微積分的研究對象

大學(xué)文科數(shù)學(xué)福建師范大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院什么是數(shù)學(xué)？

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)（恩格斯）數(shù)學(xué)的地位？

數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后（高斯）數(shù)學(xué)的分支

算術(shù)、高等代數(shù)、歐式幾何等25個(gè)分支§1微積分的基礎(chǔ)牛頓的流數(shù)法

變量->“流量”

變量的微小變化->“瞬”

認(rèn)為“瞬”是非零增量，又認(rèn)為被它所乘的那些項(xiàng)可以算作沒有。極限、實(shí)數(shù)、集合在微積分中的作用

柯西創(chuàng)建“極限理論”+魏爾斯特拉斯

無窮小=以零為極限的變量

嚴(yán)格極限理論

極限是微積分的理論基礎(chǔ)，極限的運(yùn)算封閉性。例：1，1.4，1.41，1.414，…實(shí)數(shù)系的建立及領(lǐng)域概念NZQRC

有理數(shù)處處稠密，但不是完全覆蓋數(shù)軸

不是有理數(shù)！

實(shí)數(shù)具有連續(xù)性，在微積分中所指的數(shù)均值實(shí)數(shù)。領(lǐng)域概念

以點(diǎn)為中心，為半徑的鄰域§1.2微積分的研究對象——函數(shù)

伽利略經(jīng)過精確的實(shí)驗(yàn)，測得自由落體的運(yùn)動方程：

在力學(xué)中，質(zhì)量為m，速度為v的物體運(yùn)動時(shí)所具有的能量（稱為動能）在電學(xué)中，電流強(qiáng)度為I

的電流通過電阻為R的導(dǎo)線時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量在幾何中半徑為r的圓的面積上述這些變量之間的關(guān)系都有一個(gè)相同的抽象形式這就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系式。

如果將這個(gè)函數(shù)關(guān)系的性質(zhì)研究清楚了，那么前面的那些實(shí)際變量之間的關(guān)系的性質(zhì)也就清楚了.

數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)是它的高度抽象性，隨之也就具有應(yīng)用的廣泛性.下面給出函數(shù)的一般定義.一、函數(shù)概念x稱為自變量，y稱為因變量.注意：例如，是定義在R上的一個(gè)函數(shù)，它的值域是確定函數(shù)的兩要素：定義域、值域和對應(yīng)法則。例1

判斷下列各對函數(shù)是否相同？

相同不同(定義域不同)不同(對應(yīng)法則不同)相同不同(定義域不同)(1)根據(jù)實(shí)際問題；(2)自然定義域：使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.如何求函數(shù)的自然定義域？

(a)分式的分母不等于零；

(b)偶次根號內(nèi)的式子應(yīng)大于或等于零；

(c)對數(shù)的真數(shù)應(yīng)大于零；

(e)若函數(shù)的表達(dá)式由多項(xiàng)組成,則定義域?yàn)楦黜?xiàng)定義域的交集；(f)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.定義域的確定：例2求下列函數(shù)的(自然)定義域。

因此，函數(shù)的定義域?yàn)榻饧炊x域?yàn)橐虼?，函?shù)的定義域?yàn)?）圖象法2）表格法3）解析法(公式法)二、函數(shù)的表示法

在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).分段函數(shù)這也是分段函數(shù)，其定義域?yàn)?/p>

yOx11-12-2-1解例31)符號函數(shù)幾個(gè)分段函數(shù)的例子.2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過x的最大整數(shù).12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo1234o有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xy3)狄利克雷函數(shù)(Dirichlet)函數(shù)的幾種基本特性一、有界性M-Mba則稱函數(shù)有界。ba函數(shù)的有界性還可以細(xì)分為：

則稱函數(shù)f(x)在I上下有界

.M2

M1

M1稱為

f(x)在I上的下界。M2稱為

f(x)在I上的上界。定理：函數(shù)f(x)有界當(dāng)且僅當(dāng)f(x)上有界且下有界。則稱函數(shù)f(x)在I上上有界

.

因?yàn)榇嬖贛=1，使對任意x

(-

,+

)，有|sinx|

1，所以y=sinx是(-

,+

)內(nèi)的有界函數(shù)。y

=sinx有界嗎?二、單調(diào)性

例如,函數(shù)y=x

3在(-

,+

)內(nèi)單調(diào)增加。

而函數(shù)

y

=

x

2

在區(qū)間(-

,0)內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間(0,+

)內(nèi)單調(diào)增加。三、奇偶性例1

判斷下列函數(shù)的奇偶性：

偶函數(shù)非奇非偶偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)例2是偶函數(shù)；而是奇函數(shù)。證明是容易的。

由此可證：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)必可表示為一個(gè)偶函數(shù)和一個(gè)奇函數(shù)之和：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱。yxox-x具有奇偶性的函數(shù)的圖形有某種對稱性：yxox-x奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。例3解故f(x)是偶函數(shù).2-11四、周期性(通常周期函數(shù)的周期是指其最小正周期).注意：并非任意周期函數(shù)都有最小正周期.如狄利克雷函數(shù)任何正有理數(shù)都是它的周期,但并不存在最小的正有理數(shù)。2.2 逆向思維的一例——

反函數(shù)

定義

設(shè)函數(shù)y=f

(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閆。如果對于每個(gè)y

Z，存在唯一x

D，使f

(x)=y，則x是一個(gè)定義在Z上的函數(shù)，稱為

y=f

(x)的反函數(shù)，記為x=f-1(y)。函數(shù)y

=f

(x)與函數(shù)x

=f-1(y)是互為反函數(shù)。將x與y互換，就得所求反函數(shù)為例1

求y

=

3x-1的反函數(shù)。解

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.

例如，在(-

,+

)內(nèi)，y

=

x2

不是一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，所以它沒有反函數(shù)。一個(gè)函數(shù)若有反函數(shù)，它必定是一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。

在(0,+

)內(nèi)y

=

x2有反函數(shù)

在(-

,0)內(nèi)，y

=

x2有反函數(shù)

x-x

y解例2

求函數(shù)xyO的反函數(shù)。所以所求反函數(shù)為例3與互為反函數(shù)。1.常數(shù)函數(shù)2.3 基本初等函數(shù)

常函數(shù)的定義域?yàn)?-

,+

)，圖形為平行于x軸,在y軸上截距為C的直線。

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)

定義域?yàn)?-

,+

)，值域?yàn)?0,+

)，都通過點(diǎn)(0,1),當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。4.對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù),定義域?yàn)?0,+

),圖形通過(1,0)點(diǎn),當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)單調(diào)減少。對數(shù)的基本性質(zhì)：換底公式對數(shù)恒等式5.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)

y

=

sinx與y

=

cosx的定義域均為(-

,+

)，均以2p為周期。y

=

sinx為奇函數(shù)，y

=

cosx為偶函數(shù)。它們都是有界函數(shù)。定義域:x

(2n+1)p/2。周期:p。奇函數(shù)。正切函數(shù)定義域:x

np。周期:p。奇函數(shù)。余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)6.反三角函數(shù)定義域：值域：單調(diào)增加函數(shù)；奇函數(shù).定義域：值域：單調(diào)減少函數(shù)；無奇偶性.xy定義域：值域：單調(diào)增加函數(shù)；奇函數(shù).反余切函數(shù)xy定義域：值域：單調(diào)減少函數(shù)；無奇偶性.反三角函數(shù)值的確定：求arcsinx值的方法：

例1例2類似地有2.4復(fù)合函數(shù)例如：可看作由復(fù)合而成。注：不是任何函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)函數(shù)。不能復(fù)合。和u稱為中間變量。

注意復(fù)合次序：

復(fù)合可以多次進(jìn)行。例1例2的復(fù)合。

重要問題：把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解為幾個(gè)簡單函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算或四則運(yùn)算。例3例4例5(1)解(2)例6解所以于是

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算得到