6.2.2向量的數(shù)量積（原卷版）-高一數(shù)學(xué)下學(xué)期《一隅三反》（人教A版2019）

6.2.2向量的數(shù)量積考法一平面向量的數(shù)量積【例11】（2023·江蘇南京）已知等邊三角形邊長為，則（

）A． B． C． D．【例12】（2024·云南）已知向量與的夾角為，且，，則.【一隅三反】1．（2023·江西）中，，，，為斜邊的中點(diǎn)，則（）A．1 B．1 C．2 D．22.（2024江西）已知向量、滿足，與的夾角為，則（）A． B． C． D．3．（2023·四川成都）已知中，，則．考法二平面向量的模長【例21】（2024·浙江寧波）已知，，且，的夾角為，則（

）A．1 B． C．2 D．【例22】（2023·四川甘孜）已知平面向量，且與的夾角為，則（

）A． B．4 C．2 D．0【一隅三反】1.（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·山西大同）設(shè)向量，滿足，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．83（2024·河北保定）已知向量滿足，，，則（

）A． B． C．5 D．20考法三平面向量的夾角【例31】（2023·江蘇南通）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【例32】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量與滿足，若，則（

）A． B． C． D．【例33】（2023·青海西寧）已知向量，，，且，則（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2024上·廣東深圳）已知為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2．（2024上·云南）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若都為非零向量，且，，則向量的夾角為（

）A． B． C． D．考法四平面向量的投影（向量）【例41】．（2023·上海嘉定）已知平面上兩單位向量，，，則在上的數(shù)量投影為.【例42】（2023下·湖北省直轄縣級(jí)單位·高一湖北省仙桃中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為單位向量，，向量，的夾角為，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023上·內(nèi)蒙古赤峰）已知向量、滿足，則在方向上的投影數(shù)量為（

）A． B． C． D．2．（2024上·天津）已知，，m為實(shí)數(shù)，若，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（2023·上海楊浦）已知平面向量，滿足，且向量，的夾角為，則在方向上的數(shù)量投影為.4．（2023下·廣東惠州·高一校考階段練習(xí)）已知，，，則在方向上的投影向量是.考法五平面向量的綜合運(yùn)用【例51】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是邊長為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例52】（2023上·湖北荊門）如圖，是邊長2的正方形，為半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【例53】（2023下·廣東揭陽·高一校聯(lián)考期中）已知向量，若與的夾角為；若與的夾角為鈍角，則取值范圍為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023下·湖北宜昌·高一校聯(lián)考期中）已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024上·重慶·高三統(tǒng)考期末）若向量，滿足，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍是．3．（2023·江蘇揚(yáng)州）已知在中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是．4．（2023上·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量滿足，則的最大值是，最大值是．單選題1．（2024·黑龍江大慶）已知向量，的夾角為，，且向量與垂直，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C． D．22（2024·云南楚雄）已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．3．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┮阎?，且滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（2023下·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習(xí)）在等腰梯形ABCD中，AB=CD=2，，則在上的投影的數(shù)量為（

）A． B． C． D．5．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識(shí).“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（

）A．9 B．12 C．15 D．166（2023下·廣東茂名）已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為120°，則（

）A． B． C． D．17（2023·江考）已知向量，的夾角為60°，且，則（

）A． B．C． D．8．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知非零且不垂直的平面向量滿足，若在方向上的投影與在方向上的投影之和等于，則夾角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．多選題9．（2024上·廣東深圳）已知是夾角為的單位向量，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為10．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩個(gè)不共線的向量，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的取值范圍是 B．C．在方向上的投影向量不可能為 D．與的夾角的最大值為11．（2023·廣東）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．在等腰直角三角形ABC中，若A為直角，則的夾角為45°.B．由可得或.C．向量在向量上的投影向量是一個(gè)向量，而向量在向量上的投影是一個(gè)數(shù)量.D．對(duì)于非零向量，，“”是“與的夾角為銳角”的充分不必要條件．12．（2023上·福建莆田）已知是單位向量，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若不共線，則C．若，則夾角的最小值是D．若的夾角是，則填空題13（2024上·河北張家口）已知向量，的夾角為，，，則．14．（2024·廣西）若向量，，且，則．15．（2023上·四川廣安）已知向量，，且在方向上的投影數(shù)量為，則向量與的夾角為．16．（2023上·天津北辰）在平行四邊形ABCD中，，，向量在向量上的投影向量為，則解答題17．（2024·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀﹩挝幌蛄?，滿足.(1)求與夾角的余弦值：(2)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（2023上·天津河西）如圖，中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).(1)用表示；(2)設(shè)，求的值；(3)若，求的最大值.19．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在中，N是邊AB的中點(diǎn)，且，設(shè)AM與CN交于點(diǎn)P.記，.(1)用，表示向量，；(2)若，，求的余弦值.20（2023下·全國·高一期末）如圖，在中，已知P為線段上的一點(diǎn)，，，且與的夾角為60°．(1)若，求；(2)若，且，求實(shí)數(shù)