微考點(diǎn)7-2遞推方法計(jì)算概率與一維馬爾科夫過程（數(shù)列與概率結(jié)合）

微考點(diǎn)72遞推方法計(jì)算概率與一維馬爾科夫過程（數(shù)列與概率結(jié)合）【考點(diǎn)分析】①轉(zhuǎn)移概率：對(duì)于有限狀態(tài)集合，定義：為從狀態(tài)到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率.②馬爾可夫鏈：若，即未來狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)的影響，與之前的無關(guān).③完備事件組：如果樣本空間中一組事件組符合下列兩個(gè)條件：（1）；（2）.則稱是的一個(gè)完備事件組，也稱是的一個(gè)分割.④全概率公式：設(shè)是一個(gè)完備事件組，則有⑤一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻時(shí)，位于點(diǎn)，下一個(gè)時(shí)刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個(gè)單位.若記狀態(tài)表示：在時(shí)刻該點(diǎn)位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.進(jìn)一步，我們假設(shè)在與處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收，不再游走.于是，.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過程.進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為，原地不動(dòng)，其概率為，向右平移一個(gè)單位，其概率為，那么根據(jù)全概率公式可得：【精選例題】【例1】（2023·新高考1卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．解析：（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．【例2】某公司為激勵(lì)員工，在年會(huì)活動(dòng)中，該公司的位員工通過摸球游戲抽獎(jiǎng)，其游戲規(guī)則為：每位員工前面都有1個(gè)暗盒，第1個(gè)暗盒里有3個(gè)紅球與1個(gè)白球.其余暗盒里都恰有2個(gè)紅球與1個(gè)白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個(gè)暗盒里取出1個(gè)球，并將這個(gè)球放入第2個(gè)暗盒里，第2位員工再?gòu)牡?個(gè)暗盒里面取出1個(gè)球并放入第3個(gè)暗盒里，依次類推，第位員工再?gòu)牡趥€(gè)暗盒里面取出1個(gè)球并放入第個(gè)暗盒里.第位員工從第個(gè)暗盒中取出1個(gè)球，游戲結(jié)束.若某員工取出的球?yàn)榧t球，則該員工獲得獎(jiǎng)金1000元，否則該員工獲得獎(jiǎng)金500元.設(shè)第位員工獲得獎(jiǎng)金為元.(1)求的概率；(2)求的數(shù)學(xué)期望，并指出第幾位員工獲得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望最大.【答案】(1)；(2)，第1位【詳解】（1）的情形為第2位員工從第2個(gè)盒子中摸出紅球，包括兩種情況：①第1位員工從從第1個(gè)盒子中摸出紅球放入第2個(gè)盒子后第2位員工摸出紅球；②第1位員工從從第1個(gè)盒子中摸出白球放入第2個(gè)盒子后第2位員工摸出紅球.故的概率為：.（2）設(shè)第位員工取出紅球的概率為則有,即：，且故組成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.即；第位員工取出白球的概率為.易知的所有可能取值為則的分布列如下：1000500；顯然關(guān)于單調(diào)遞減，第1位員工獲得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望最大.【例3】網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)激烈且耗時(shí)的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員提高自己的耐力．耐力訓(xùn)練分為無氧和有氧兩種訓(xùn)練方式．某網(wǎng)球俱樂部的運(yùn)動(dòng)員在某賽事前展開了一輪為期90天的封閉集訓(xùn)，在封閉集訓(xùn)期間每名運(yùn)動(dòng)員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練．由訓(xùn)練計(jì)劃知，在封閉集訓(xùn)期間，若運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為；若運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為．若運(yùn)動(dòng)員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無氧訓(xùn)練的概率相等．(1)封閉集訓(xùn)期間，記3名運(yùn)動(dòng)員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)封閉集訓(xùn)期間，記某運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，求．【答案】(1)分布列見解析，2；(2)【詳解】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練為事件M，第2天進(jìn)行無氧訓(xùn)練為事件N，則，，所以3名運(yùn)動(dòng)員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)，可知，則，，，，所以的分布列為0123所以．（2）依題意可得，即（，且）．則（，且），且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，即，所以．【例4】甲乙兩人進(jìn)行投籃比賽，兩人各投一次為一輪比賽，約定如下規(guī)則：如果在一輪比賽中一人投進(jìn)，另一人沒投進(jìn)，則投進(jìn)者得1分，沒進(jìn)者得1分，如果一輪比賽中兩人都投進(jìn)或都沒投進(jìn)，則都得0分，當(dāng)兩人各自累計(jì)總分相差4分時(shí)比賽結(jié)束，得分高者獲勝．在每次投球中甲投進(jìn)的概率為0.5，乙投進(jìn)的概率為0.6，每次投球都是相互獨(dú)立的．(1)若兩人起始分都為0分，求恰好經(jīng)過4輪比賽，甲獲勝的概率．(2)若規(guī)定兩人起始分都為2分，記（）為甲累計(jì)總分為i時(shí)，甲最終獲勝的概率，則①求證（）為等比數(shù)列②求的值．【答案】(1)0.0348；(2)①證明見解析；②【詳解】（1）記在每一輪比賽中甲得為事件A，，乙得為事件B，，得0分為事件C，．記“恰好經(jīng)過4輪比賽，甲獲勝”為事件D則，所以恰好經(jīng)過4輪，甲贏得比賽的概率為.（2）記甲累計(jì)總分為i時(shí)，甲最終獲勝為事件M，則即整理可得且顯然，為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，②，，，，疊加可得，而，【例5】某學(xué)校新校區(qū)在校園里邊種植了一種漂亮的植物，會(huì)開出粉紅色或黃色的花．這種植物第1代開粉紅色花和黃色花的概率都是，從第2代開始，若上一代開粉紅色的花，則這一代開粉紅色的花的概率是，開黃色花的概率是；若上一代開黃色的花，則這一代開粉紅色的花的概率為，開黃色花的概率為．設(shè)第n代開粉紅色花的概率為．(1)求第2代開黃色花的概率；(2)證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)事件表示第i代開粉紅色花，事件表示第i代開黃色花，由題意可得，所以第2代開黃色花的概率為．（2）由題可知，，即．設(shè)（），則，，解得，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；可得，即；因此，由累加法可得：．所以可得.【跟蹤訓(xùn)練】1.有一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子與一個(gè)有61個(gè)格子的矩形方格圖，矩形方格圖上從0，1，2，…，60依次標(biāo)號(hào).一個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于第0個(gè)方格中，現(xiàn)有如下游戲規(guī)則：先投擲骰子，若出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)1格，否則質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)2格，每次投擲的結(jié)果互不影響.(1)求經(jīng)過兩次投擲后，質(zhì)點(diǎn)位于第4個(gè)格子的概率；(2)若質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到第59個(gè)格子或第60個(gè)格子時(shí)，游戲結(jié)束，設(shè)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到第個(gè)格子的概率為，求和的值.【答案】(1)；(2)，.【詳解】（1）設(shè)事件為質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)1格，事件為質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)2格，則，設(shè)事件為質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過兩次投擲后位于第4個(gè)格子，所以.（2）質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到第個(gè)格子的情況可分為兩種：由第個(gè)格子移動(dòng)至第個(gè)格子；由第個(gè)格子移動(dòng)至第個(gè)格子，則，，因此，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是，因此，所以，.2.重慶南山風(fēng)景秀麗，可以俯瞰渝中半島，是徒步休閑的好去處.上南山的步道很多，目前有標(biāo)識(shí)的步道共有18條.某徒步愛好者俱樂部發(fā)起一項(xiàng)活動(dòng)，若挑戰(zhàn)者連續(xù)12天每天完成一次徒步上南山(每天多次上山按一次計(jì)算)運(yùn)動(dòng)，即可獲得活動(dòng)大禮包.已知挑戰(zhàn)者甲從11月1號(hào)起連續(xù)12天都徒步上南山一次，每次只在涼水井步道和清水溪步道中選一條上山.甲第一次選涼水井步道上山的概率為而前一次選擇了涼水井步道，后一次繼續(xù)選擇涼水井步道的概率為前一次選擇清水溪步道，后一次繼續(xù)選擇清水溪步道的概率為，如此往復(fù).設(shè)甲第n(n=1，2，…，12)天走涼水井步道上山的概率為.(1)求和；(2)求甲在這12天中選擇走涼水井步道上山的概率小于選擇清水溪步道上山概率的天數(shù).【答案】(1)，；(2)11天.【詳解】（1）甲第二天走涼水井步道上山的概率為，依題意，；由題意得，整理得，而，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由題意知，選擇走涼水井步道上山的概率小于走清水溪步道上山概率只需，即，有，即，當(dāng)為偶數(shù)，恒成立；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有即可，而當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)成立，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)成立，因此有11天符合要求，所以甲在這12天中選擇走涼水井步道上山的概率小于選擇清水溪步道上山概率的天數(shù)是11天.3．有個(gè)編號(hào)分別為的盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，其余盒子中均為1個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，現(xiàn)從第2個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，，依次進(jìn)行．(1)求從第2個(gè)盒子中取到紅球的概率；(2)求從第個(gè)盒子中取到紅球的概率；(3)設(shè)第個(gè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，的期望值為，求證：．【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析【詳解】（1）記“從第個(gè)盒子中取到紅球”為事件，此時(shí)，，則；（2）因?yàn)?，所以，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，此時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，符合題意，綜上，從第個(gè)盒子中取到紅球的概率為；（3）證明：易知的所有可能取值為1，2，此時(shí)，，則的分布列為：12所以，由于，故．4.馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲?guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為.（1）求的分布列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求的期望.解析：（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨(dú)立事件概率乘法公式可知：;;，故的分布列如下表：012（2）由全概率公式可知：，即：，所以，所以，又，所以，數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，即：.（3）由全概率公式可得：,即：,又,所以,所以,又,所以,所以,所以,所以.5.足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動(dòng).2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（1）求（直接寫出結(jié)果即可）；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小．解析：（1）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個(gè)，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為，故．（2）第次觸球者是甲的概率記為，則當(dāng)時(shí)，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則，從而，又，是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．則，∴，，，故第19次觸球者是甲的概率大6.（2019全國(guó)1卷）．為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．解析：（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）；即整理可得：；是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.1．王老師每天早上7：00準(zhǔn)時(shí)從家里出發(fā)去學(xué)校，他每天只會(huì)從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個(gè)乘坐.王老師多年積累的數(shù)據(jù)表明，他到達(dá)學(xué)校的時(shí)間在兩種交通工具下的概率分布如下表所示：到校時(shí)間7：30之前7：307：357：357：407：407：457：457：507：50之后乘地鐵0.10.150.350.20.150.05乘汽車0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當(dāng)天乘地鐵去學(xué)校，則他到校時(shí)間在7：357：40的概率為0.35.）(1)某天早上王老師通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學(xué)校，若正面向上則坐地鐵，反面向上則坐汽車.求他當(dāng)天7：407：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校，從第二天開始，若前一天到校時(shí)間早于7：40，則當(dāng)天他會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校，否則當(dāng)天他將乘坐汽車去學(xué)校.且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時(shí)間是否早于7：40，第11天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學(xué)校前坐地鐵的次數(shù)為，求；(3)已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時(shí)間早于7：40，則當(dāng)天他會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校；若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時(shí)間晚于7：40，則當(dāng)天他會(huì)乘坐汽車去學(xué)校；若他前一天乘坐汽車去學(xué)校，則不論他前一天到校的時(shí)間是否早于7：40，當(dāng)天他都會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校.記為王老師第天坐地鐵去學(xué)校的概率，求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)0.15；(2)；(3)【詳解】（1）記事件“硬幣正面向上”，事件“7：407：45到?！?，則由題有，，，故.（2）可取1，2，3，…，9，10，由題：對(duì)于，；，故，，以上兩式相減得：，故.所以.（3）由題意：，，則，這說明為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.故，所以.2．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)不透明盒子，甲盒子裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙盒子裝有4個(gè)白球，這些球的大小、形狀、質(zhì)地完全相同．在一次球交換過程中，從甲盒子與乙盒子中各隨機(jī)選擇1個(gè)球進(jìn)行交換，重復(fù)次這樣的交換過程后，甲盒子里裝有紅球的個(gè)數(shù)為．(1)求的概率分布及數(shù)學(xué)期望；(2)求．【答案】(1)概率分布見解析，；(2)【詳解】（1）由題意可知的所有可能取值為1，2，且，由題意可知的所有可能取值為0，1，2，且，，的概率分布表如下：．（2）當(dāng)時(shí)，由題意可知的所有可能取值為0，1，2，則，，，故，故是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列．故，3．某市每年上半年都會(huì)舉辦“清明文化節(jié)”，下半年都會(huì)舉辦“菊花文化節(jié)”，吸引著眾多海內(nèi)外游客.為了更好地配置“文化節(jié)”旅游相關(guān)資源，2023年該市旅游管理部門對(duì)初次參加“菊花文化節(jié)”的游客進(jìn)行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有的人計(jì)劃只參加“菊花文化節(jié)”，其他人還想?yún)⒓?024年的“清明文化節(jié)”，只參加“菊花文化節(jié)”的游客記1分，兩個(gè)文化節(jié)都參加的游客記2分.假設(shè)每位初次參加“菊花文化節(jié)”的游客計(jì)劃是否來年參加“清明文化節(jié)”相互獨(dú)立，將頻率視為概率.(1)從2023年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機(jī)抽取三人，求三人合計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望；(2)2024年的“清明文化節(jié)”擬定于4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪，該市計(jì)劃免費(fèi)向到訪的游客提供“單車自由行”和“觀光電車行”兩種出行服務(wù).已知游客甲每天的出行將會(huì)在該市提供的這兩種出行服務(wù)中選擇，甲第一天選擇“單車自由行”的概率為，若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車自由行”的概率為，若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車行”的概率為，如此往復(fù).（i）求甲第二天選擇“單車自由行”的概率；（ii）求甲第（，2，，16）天選擇“單車自由行”的概率，并幫甲確定在2024年“清明文化節(jié)”的16天中選擇“單車自由行”的概率大于“觀光電車行”的概率的天數(shù).【答案】(1)4；(2)（i）；（ii）；2天【詳解】（1）由題意，每位游客得1分的概率為，得2分的概率為，隨機(jī)抽取三人，用隨機(jī)變量表示三人合計(jì)得分，則可能的取值為3，4，5，6，，，，，則.所以三人合計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為4.（2）第一天選擇“單車自由行”的概率為，則第一天選擇“觀光電車行”的概率為，若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車自由行”的概率為，若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車行”的概率為，則后一天選擇“單車自由行”的概率為，（i）甲第二天選擇“單車自由行”的概率；（ii）甲第天選擇“單車自由行”的概率，有，則，，∴，又∵，∴，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴．由題意知，需，即，，即，顯然n必為奇數(shù)，偶數(shù)不成立，當(dāng)時(shí)，有即可，時(shí)，成立；時(shí)，成立；時(shí)，，則時(shí)不成立，又因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以時(shí)，不成立．綜上，16天中選擇“單車自由行”的概率大于“觀光電車行”的概率的天數(shù)只有2天．4．某商場(chǎng)為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券，記顧客甲第n次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額的數(shù)學(xué)期望為.(1)求及的分布列.(2)寫出與的遞推關(guān)系式，并證明為等比數(shù)列；(3)若顧客甲一共有6次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求該顧客所得的所有獎(jiǎng)券數(shù)額的期望值.（考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)，分布列見解析；(2)，證明見解析；(3)所得獎(jiǎng)券數(shù)額的期望約為593.7元.【分析】（1）利用古典概型求出抽到紅球、黑球的概率，求出，再求出的可能值及對(duì)應(yīng)概率列出分布列.（2）分析求出遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法證明即可.（3）由（2）的結(jié)論，利用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即得.【詳解】（1）依題意，抽到一個(gè)紅球的概率為，抽到一個(gè)黑球的概率為0.4，顯然的值為25，50，則，所以，又的值為，則，所以的分布列為：25501000.40.240.36（2）依題意，當(dāng)時(shí)，甲第n次抽到紅球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為，對(duì)應(yīng)概率為，抽到黑球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為25元，對(duì)應(yīng)概率為，因此當(dāng)時(shí)，，，即，又，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為1.2，首項(xiàng)為90.（3）由（2）得，，即，所以顧客甲抽獎(jiǎng)6次，所得獎(jiǎng)券數(shù)額的期望為（元）.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算）.5．現(xiàn)代排球賽為5局3勝制，每局25分，決勝局15分.前4局比賽中，一隊(duì)只有贏得至少25分，并領(lǐng)先對(duì)方2分時(shí)，才勝1局.在第5局比賽中先獲得15分并領(lǐng)先對(duì)方2分的一方獲勝.在一個(gè)回合中，贏的球隊(duì)獲得1分，輸?shù)那蜿?duì)不得分，且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方.經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩支球隊(duì)在每一個(gè)回合中輸贏的情況如下：當(dāng)甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為；當(dāng)乙隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為.(1)假設(shè)在第1局比賽開始之初，甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)，求甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率；(2)當(dāng)兩支球隊(duì)比拼到第5局時(shí)，兩支球隊(duì)至少要進(jìn)行15個(gè)回合，設(shè)甲隊(duì)在第個(gè)回合擁有發(fā)球權(quán)的概率為.假設(shè)在第5局由乙隊(duì)先開球，求在第15個(gè)回合中甲隊(duì)開球的概率，并判斷在此回合中甲、乙兩隊(duì)開球的概率的大小.【答案】(1)；(2)，甲隊(duì)開球的概率大于乙隊(duì)開球的概率．【分析】（1）甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分，分為3種情況，依次求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，以及全概率公式，即可求解．【詳解】（1）在前3個(gè)回合中甲隊(duì)恰好獲得2分對(duì)應(yīng)的勝負(fù)情況如下：勝勝負(fù)，勝負(fù)勝，負(fù)勝勝，共3種情況，對(duì)應(yīng)的概率分別為，，，所以甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率；（2）根據(jù)全概率公式得，即，易知，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故，因?yàn)椋?，而在每一個(gè)回合中，甲、乙兩隊(duì)開球的概率之和為1，從而可得在此回合中甲隊(duì)開球的概率大于乙隊(duì)開球的概率．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：甲隊(duì)在第i個(gè)回合擁有發(fā)球權(quán)的概率為，由全概率公式得，問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推公式，通過構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項(xiàng).6．某知識(shí)測(cè)試的題目均為多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A，B，C，D這4個(gè)選項(xiàng)，4個(gè)選項(xiàng)中僅有兩個(gè)或三個(gè)為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.已知測(cè)試過程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇，每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.若第一題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為；第題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為.(1)若第二題只選了“C”一個(gè)選項(xiàng)，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個(gè)選項(xiàng)，設(shè)Y表示第n題得分，求證：.【答案】(1)分布列見解析；；(2)；(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率.由全概率公式可求出，繼而可求，再由全概率公式計(jì)算第二題得分分布列的各種情況，并根據(jù)公式計(jì)算期望；（2）根據(jù)（1）中由第一題到第二題正確選項(xiàng)數(shù)概率的計(jì)算理解，由全概率公式可以得出一般性的結(jié)論化簡(jiǎn)可得，可知為等比數(shù)列,求通項(xiàng)可得；（3）根據(jù)（2）求出的可得，在利用全概率公式即可求得的分布列，計(jì)算出,則結(jié)論可證.【詳解】（1）設(shè)事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率.設(shè)事件表示選項(xiàng)“C”為第二題的一個(gè)正確選項(xiàng)，用隨機(jī)變量表示第二題得分.依題得，可能取值為.因?yàn)?，，所以所以的分布列?所以.（2）依題得，，所以，又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以，.（3）由（2）可知，，.依題得，可能取值為.，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：高中階段的馬爾科夫鏈類型的概率問題解決關(guān)鍵是利用全概率公式找到概率的遞推式，然后用數(shù)列手段去處理求解.7．甲?乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負(fù)的一方，需將自己的一枚籌碼給對(duì)方；若平局，雙方的籌碼不動(dòng)，當(dāng)一方無籌碼時(shí)，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局中甲勝的概率為0.3?乙勝的概率為0.2.(1)第一局比賽后，甲的籌碼個(gè)數(shù)記為，求的分布列和期望；(2)求四局比賽后，比賽結(jié)束的