高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習課時訓(xùn)練第12章概率隨機變量及其分布63

【課時訓(xùn)練】第63節(jié)離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布一、選擇題1．(2018浙江嘉興一中質(zhì)檢)隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】p＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2?a＝3，所以D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1，所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故選C.2．(2018廣東廣雅中學(xué)期中)口袋中有5個形狀和大小完全相同的小球，編號分別為0,1,2,3,4，從中任取3個球，以X表示取出球的最小號碼，則E(X)＝()A．0.45 B．0.54C.0.55 D．0.6【答案】B【解析】易知隨機變量X的取值為0,1,2，由古典概型的概率計算公式得P(X＝0)＝eq\f(6,C\o\al(3,5))＝0.6，P(X＝1)＝eq\f(3,C\o\al(3,5))＝0.3，P(X＝2)＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝0.1.所以E(X)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5，故選B.3．(2018浙江東陽模擬)若隨機事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用隨機變量ξ表示A在1次試驗中發(fā)生的次數(shù)，則eq\f(2Dξ－1,Eξ)的最大值為()A．2＋2eq\r(2) B．2eq\r(2)C．2－eq\r(2) D．2－2eq\r(2)【答案】D【解析】隨機變量ξ的所有可能取值為0,1，且P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，即ξ～B(1，p)，則E(ξ)＝p，D(ξ)＝p(1－p)，eq\f(2Dξ－1,Eξ)＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2p＋\f(1,p))).而2p＋eq\f(1,p)≥2eq\r(2p·\f(1,p))＝2eq\r(2)，當且僅當2p＝eq\f(1,p)，即p＝eq\f(\r(2),2)時取等號．因此當p＝eq\f(\r(2),2)時，eq\f(2Dξ－1,Eξ)取得最大值2－2eq\r(2).4．(2018南陽模擬)設(shè)隨機變量X～B(2，p)，隨機變量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則D(3Y＋1)＝()A．2 B．3C．6 D．7【答案】C【解析】由題意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(1,2)p(1－p)＋Ceq\o\al(2,2)p2＝eq\f(5,9)，所以p＝eq\f(1,3)，則Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，故D(Y)＝3×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,3)，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×eq\f(2,3)＝6.5．(2018江西宜春質(zhì)檢)已知隨機變量ξ的所有可能取值分別為1,2,3,4,5.若數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝4.2，則ξ取值為5的概率至少為()A．0.1 B．0.15C．0.2 D．0.25【答案】C【解析】設(shè)ξ的取值為1,2,3,4,5的概率分別為p1，p2，p3，p4，p5，pi∈[0,1]，i＝1,2,3,4,5，則p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，則p1＋2p2＋3p3＋4(1－p1－p2－p3－p5)＋5p5＝4.2，p5＝0.2＋3p1＋2p2＋p3≥0.2，當p1＝p2＝p3＝0時等號成立．6．(2018吉林長春質(zhì)檢)據(jù)統(tǒng)計，某城市的火車站春運期間日接送旅客人數(shù)X(單位：萬)服從正態(tài)分布X～N(6,0.82)，則日接送人數(shù)在6萬到6.8萬之間的概率為(P(|X－μ|<σ)＝0.6826，P(|X－μ|<2σ)＝0.9544，P(|X－μ|<3σ)＝0.9974)()A．0.6826 B．0.9544C．0.9974 D．0.3413【答案】D【解析】因為μ＝6，σ＝0.8，所以P(6<X<6.8)＝eq\f(P5.2<X<6.8,2)＝eq\f(0.6826,2)＝0.3413.故選D.7．(2018廣東惠州二調(diào))設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,3)，若P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，則實數(shù)a等于()A．7 B．6C．5 D．4【答案】B【解析】由隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,3)可得正態(tài)分布密度曲線的對稱軸為直線x＝4，又P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，∴x＝a－5與x＝a＋1關(guān)于直線x＝4對稱，∴(a－5)＋(a＋1)＝8，即a＝6.故選B.8．(2018河北石家莊一模)設(shè)X～N(1，σ2)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且P(X≥3)＝0.0228，那么向正方形OABC中隨機投擲20000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為()附：(隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544)．A．12076 B．13174C．14056 D．7539【答案】B【解析】由題意，得P(X≤－1)＝P(X≥3)＝0.0228，∴P(－1<x<3)＝1－0.0228×2＝0.9544，∵P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P(0<X<1)＝eq\f(1,2)P(0<X<2)＝0.3413，故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為20000×(1－0.3413)＝13174，故選B.二、填空題9．(2018南高中期中)設(shè)隨機變量X的概率分布列為X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)則P(|X－3|＝1)＝________.【答案】eq\f(5,12)【解析】由eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，解得m＝eq\f(1,4)，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12).10．(2018河南新鄉(xiāng)三模)在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為________．【答案】0.8【解析】由正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，知ξ在(1,2)內(nèi)取值的概率也為0.4，故ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.11．(2018內(nèi)蒙古包頭調(diào)研)已知X是離散型隨機變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1＜x2.若E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，則x1＋x2的值為________．【答案】3【解析】由題意得X的所有可能取值為x1，x2，所以E(X)＝eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2＝eq\f(2,9)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＋x2＝4，,6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)，))(舍去)，故x1＋x2＝3.12．(2018開中學(xué)一模)2012年國家開始實行法定節(jié)假日高速公路免費通行政策，某收費站在統(tǒng)計了2017年清明節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天每天通行車輛的數(shù)量ξ服從正態(tài)分布ξ～N(1000，σ2)，若P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1000)＝b，則eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值為________．【答案】32【解析】由ξ～N(1000，σ2)，P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1000)＝b得a＝0.5－b，所以a＋b＝eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))(a＋b)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(b,a)＋\f(9a,b)))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2\r(\f(b,a)·\f(9a,b))))＝32，所以eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值為32.三、解答題13．(2018淄博模擬)某4S店在一次促銷活動中，讓每位參與者從盒子中任取一個由0～9中任意三個數(shù)字組成的“三位遞減數(shù)”(即個位數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)字)．若“三位遞減數(shù)”中的三個數(shù)字之和既能被2整除又能被5整除，則可以享受5萬元的優(yōu)惠；若“三位遞減數(shù)”中的三個數(shù)字之和僅能被2整除，則可以享受3萬元的優(yōu)惠；其他結(jié)果享受1萬元的優(yōu)惠．(1)試寫出所有個位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”；(2)若小明參加了這次汽車促銷活動，求他得到的優(yōu)惠金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．【解】(1)個位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”有：984,974,964,954,874,864,854,764,754,654，共10個．(2)由題意知，不同的“三位遞減數(shù)”共有Ceq\o\al(3,10)＝120(個)．小明得到的優(yōu)惠金額X的取值可能為5,3,1.當X＝5時，三個數(shù)字之和可能為20或10，當三個數(shù)字之和為20時，有983,974,965,875，共4個“三位遞減數(shù)”；當三個數(shù)字之和為10時，有910,820,730,721,640,631,541,532，共8個“三位遞減數(shù)”．所以P(X＝5)＝eq\f(4＋8,120)＝eq\f(1,10).當X＝3時，三個數(shù)字之和只能被2整除，即這三個數(shù)字只能是三個偶數(shù)或兩個奇數(shù)一個偶數(shù)，但不包括能被10整除的“三位遞減數(shù)”，故P(X＝3)＝eq\f(C