新教材數(shù)學(xué)高中必修一課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)7-3-2-2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)

課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)四十一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(15分鐘35分)1.函數(shù)f(x)=2sinQUOTE,x∈[π,0]的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.令2kπQUOTE≤xQUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z,解得2kπQUOTE≤x≤2kπ+QUOTEπ,k∈Z,又π≤x≤0,所以QUOTE≤x≤0.【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)y=2sinQUOTE的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.QUOTE(k∈Z)B.QUOTE(k∈Z)C.QUOTE(k∈Z)D.QUOTE(k∈Z)【解析】選B.y=2sinQUOTE=2sinQUOTE,函數(shù)y=sinQUOTE的單調(diào)遞減區(qū)間為y=2sinQUOTE的單調(diào)遞增區(qū)間,令2kπ+QUOTE≤2xQUOTE≤2kπ+QUOTE(k∈Z),解得kπ+QUOTE≤x≤kπ+QUOTE(k∈Z),所以y=2sinQUOTE的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE(k∈Z).2.函數(shù)y=cosQUOTE,x∈QUOTE的值域是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)閤∈QUOTE,所以x+QUOTE∈QUOTE,所以y=cosQUOTE∈QUOTE.3.下列不等式中成立的是 ()A.sinQUOTE>sinQUOTEB.sin3>sin2C.sinQUOTEπ>sinQUOTED.sin2>cos1【解析】選D.因?yàn)閟in2=cosQUOTE=cosQUOTE,且0<2QUOTE<1<π,所以cosQUOTE>cos1,即sin2>cos1.由正弦函數(shù)f(x)=sinx的性質(zhì)知f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增,又QUOTE<QUOTE<QUOTE<0,所以sinQUOTE<sinQUOTE,A錯(cuò);f(x)=sinx在QUOTE上單調(diào)遞減,又QUOTE<2<3<π,所以sin3<sin2,B錯(cuò),C中QUOTEπ+QUOTE=π,所以sinQUOTE=sinQUOTE,C錯(cuò).4.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTEsinωx+φ+QUOTEω>0,|φ|<QUOTE的最小正周期為π,且是偶函數(shù),則 ()A.f(x)在QUOTE上單調(diào)遞減B.f(x)在QUOTE上單調(diào)遞減C.f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增D.f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增【解析】選A.由條件知ω=2.因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)且|φ|<QUOTE,所以φ=QUOTE,這時(shí)f(x)=QUOTEsinQUOTE=QUOTEcos2x.因?yàn)閤∈QUOTE時(shí),2x∈(0,π),所以f(x)在QUOTE上單調(diào)遞減.5.函數(shù)y=sin2xcosx+1的最大值為________.

【解析】y=sin2xcosx+1=cos2xcosx+2=QUOTE+QUOTE,因?yàn)?≤cosx≤1,所以當(dāng)cosx=QUOTE時(shí),y取最大值QUOTE.答案:QUOTE6.已知函數(shù)f(x)=2cosQUOTE.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x值.【解析】(1)令2kππ≤3x+QUOTE≤2kπ(k∈Z),解得QUOTEQUOTE≤x≤QUOTEQUOTE(k∈Z).所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE(k∈Z).(2)當(dāng)3x+QUOTE=2kππ(k∈Z)時(shí),f(x)取最小值2.即x=QUOTEQUOTE(k∈Z)時(shí),f(x)取最小值2.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.函數(shù)y=sinQUOTE在區(qū)間[0,π]上的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由2kπ+QUOTE≤2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE(k∈Z),得kπ+QUOTE≤x≤kπ+QUOTE(k∈Z),取k=0,則一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為QUOTE.2.下列關(guān)系式中正確的是 ()A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°【解析】選C.由誘導(dǎo)公式,得cos10°=sin80°,sin168°=sin(180°12°)=sin12°,由正弦函數(shù)y=sinx在[0°,90°]上是單調(diào)遞增的,所以sin11°<sin12°<sin80°,即sin11°<sin168°<cos10°.3.函數(shù)y=|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.畫出y=|sinx|的圖象即可求解.【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=QUOTE在[π,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE,QUOTED.QUOTE∪QUOTE【解析】選C.在[π,π]上,依據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可知y=|cosx|的單調(diào)遞增區(qū)間是QUOTE和QUOTE,而f(x)隨|cosx|取值的遞增而遞減,故QUOTE,QUOTE為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.4.若函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減,則ω= ()A.3 B.2 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減,因此QUOTE=QUOTE,所以ω=QUOTE.【誤區(qū)警示】函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增不是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是QUOTE,即QUOTE不一定是函數(shù)的一個(gè)完整增區(qū)間,應(yīng)該利用函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間推導(dǎo)出函數(shù)的最大值點(diǎn).二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.同時(shí)具有以下性質(zhì)的函數(shù)不可能為 ()①最小正周期是π;②圖象關(guān)于直線x=QUOTE對稱;③在QUOTE上是單調(diào)遞增的.A.y=sinQUOTE B.y=cosQUOTEC.y=sinQUOTE D.y=cosQUOTE【解析】選ABD.最小正周期是π的只有B,C,y=cosQUOTE=cosQUOTE=sinQUOTE,當(dāng)x∈QUOTE時(shí),2xQUOTE∈QUOTE,因此在QUOTE上C是單調(diào)遞增的,B是單調(diào)遞減的,令2xQUOTE=QUOTE+kπ(k∈Z),則x=QUOTE+QUOTEπ(k∈Z).當(dāng)k=0時(shí),x=QUOTE為一條對稱軸,因此只有C具有這三條性質(zhì).6.設(shè)函數(shù)f(x)=cosQUOTE,則下列結(jié)論正確的是 ()A.f(x)的一個(gè)周期為2πB.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=QUOTE對稱C.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=QUOTED.f(x)在QUOTE上單調(diào)遞減【解析】選ABC.A項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cosQUOTE的周期為2kπ(k∈Z,且k≠0),所以f(x)的一個(gè)周期為2π,A正確.B項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cosQUOTE圖象的對稱軸為直線x=kπQUOTE(k∈Z),所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=QUOTE對稱,B項(xiàng)正確.C項(xiàng),f(x+π)=cosQUOTE.令x+QUOTE=kπ+QUOTE(k∈Z),得x=kπQUOTEπ,當(dāng)k=1時(shí),x=QUOTE,所以f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=QUOTE,C項(xiàng)正確.D項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cosQUOTE的單調(diào)遞減區(qū)間為QUOTE(k∈Z),單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE(k∈Z),所以QUOTE是單調(diào)遞減區(qū)間,QUOTE是單調(diào)遞增區(qū)間,D項(xiàng)錯(cuò)誤.【光速解題】畫出函數(shù)的圖象,馬上就可以得到選項(xiàng)A、B、D的對錯(cuò),利用誘導(dǎo)公式將選項(xiàng)C化簡,結(jié)合圖象,也可以得到選項(xiàng)C的對錯(cuò).三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知函數(shù)f(x)=2sinωx(ω>0)在區(qū)間QUOTE上的最小值是2,則ω的最小值為________.

【解題指南】根據(jù)x的范圍,求出ωx的范圍,再根據(jù)f(x)的最小值,求出ω的最小值.【解析】函數(shù)f(x)=2sinωx(ω>0)在區(qū)間QUOTE上的最小值是2,則ωx的取值范圍是QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE或QUOTE≥QUOTE,解得ω≥QUOTE或ω≥6,所以ω的最小值為QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】第7題中條件“在區(qū)間QUOTE上的最小值為2”改為“在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增”其他條件不變,求ω的取值范圍.【解析】由QUOTE≤ωx≤QUOTE,得f(x)的一個(gè)遞增區(qū)間為QUOTE,由題設(shè)得QUOTE?QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE且QUOTE≥QUOTE,得0<ω≤QUOTE.8.設(shè)函數(shù)f(x)=sinQUOTE,則該函數(shù)的最小正周期為________,f(x)在QUOTE上的最小值為________.

【解析】由題意可知,T=QUOTE=π;因?yàn)閤∈QUOTE,所以2xQUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE∈QUOTE,所以f(x)在QUOTE上的最小值為QUOTE.答案:πQUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.求函數(shù)y=34cosQUOTE,x∈QUOTE的最大值、最小值及相應(yīng)的x值.【解析】因?yàn)閤∈QUOTE,所以2x+QUOTE∈QUOTE,從而QUOTE≤cosQUOTE≤1.所以當(dāng)cosQUOTE=1,即2x+QUOTE=0,x=QUOTE時(shí),ymin=34=1.當(dāng)cosQUOTE=QUOTE,即2x+QUOTE=QUOTE,x=QUOTE時(shí),ymax=34×QUOTE=5.綜上所述,當(dāng)x=QUOTE時(shí),ymin=1;當(dāng)x=QUOTE時(shí),ymax=5.10.已知f(x)=sinQUOTEQUOTE.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)討論f(x)在QUOTE上的單調(diào)性.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=sinQUOTEQUOTE,所以T=QUOTE=π,最大值為1QUOTE.(2)當(dāng)x∈QUOTE時(shí),0≤2xQUOTE≤π,從而當(dāng)0≤2xQUOTE<QUOTE,即QUOTE≤x<QUOTE時(shí),f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)QUOTE≤2xQUOTE≤π,即QUOTE≤x≤QUOTE時(shí),f(x)單調(diào)遞減.綜上可知,f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增;在QUOTE上單調(diào)遞減.1.如圖所示,函數(shù)y=cosx·|tanx|0≤x<QUOTE且x≠Q(mào)UOTE的圖象是 ()【解析】選C.y=cosx|tanx|=QUOTE故其圖象為C.2.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x),且在[4,3]上是單調(diào)遞增的,α,β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,試判斷f(sinα)與f(cosβ