新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修2習(xí)題第一章立體幾何初步1.7.3

7.3球1.把球的表面積擴(kuò)大到原來的2倍,那么它的體積擴(kuò)大到原來的()A.2倍 B.22倍 C.2倍 D.32解析:設(shè)球原來的半徑為r,則表面積S=4πr2,體積V=43πr3,又設(shè)擴(kuò)大后球的半徑為R,則4πR2=8πr2∴R=2r,∴擴(kuò)大后球的體積V擴(kuò)=43πR3=43π(2r)3=22·43πr3=22V,∴答案:B2.棱長為a的正方體內(nèi)有一個球,且與這個正方體的12條棱都相切,則這個球的體積應(yīng)為()A.π6a3 B.π4a3 C.23πa3 D.2解析:由題意可知正方體的面對角線是球的直徑,設(shè)球的半徑為r,則r=22a,球的體積V=43π2答案:C3.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()A.16π3 B.19π12 C.解析:由三視圖可知該幾何體是三棱柱,它的底面是邊長為2的等邊三角形,側(cè)棱長為1.設(shè)其外接球的半徑為R,則R2=2332+122=1912,因此球的表面積S=答案:C4.圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=()A.1 B.2C.4 D.8解析:由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個圓柱被過圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個圓柱及一個半球拼接而成的.其表面積由一個矩形的面積、兩個半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個球的表面積的一半組成.∴S表=2r×2r+2×12πr2+πr×2r+12×4π=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.答案:B5.如圖所示,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度,那么球的體積為()A.500π3cm3 B.866C.1372π3cm3 D解析:設(shè)球半徑為Rcm,根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm,球心到截面的距離為(R2)cm.所以由42+(R2)2=R2,得R=5,所以球的體積為V=43πR3=43π×53=500π3cm3答案:A6.半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體,則這個半球的體積與正方體的體積之比為()A.5π∶6 B.6π∶2 C.π∶2 D.5π∶12解析:作過正方體對角面的截面如圖,設(shè)半球的半徑為R,正方體的棱長為a,那么CC'=a,OC=2a在Rt△C'CO中,由勾股定理,得CC'2+OC2=OC'2,即a2+22a2=R2,∴R=62a.從而V半球=23πR3=23π62因此V半球∶V正方體=62πa3∶a3=6π∶2答案:B7.已知正四棱錐OABCD的體積為322,底面邊長為3,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為解析:設(shè)正四棱錐的高為h,則13×(3)2h=322,解得高h(yuǎn)=3所以球的表面積為4π·(6)2=答案:24π8.一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為.

解析:由幾何體的三視圖可知該幾何體的頂部是長、寬、高分別為6m,3m,1m的長方體,底部為兩個直徑為3m的球,所以該幾何體的體積為V=6×3×1+2×43π×323=(18+9π)(m答案:(18+9π)m39.據(jù)說偉大的阿基米德去世以后,敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑.在墓碑上刻了一個如圖所示的圖案,圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.那么圖形中圓錐、球、圓柱的體積比為.

解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則V圓柱=πr2h,圓錐的底面半徑為r,高為h,則V圓錐=13πr2h,球的半徑為r,所以V球=43πr3.又h=2r,所以V圓錐∶V球∶V圓柱=13πr2h∶43πr3∶(πr2h)=2答案:1∶2∶310.設(shè)四面體的各條棱長都為1,若該四面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上,求該球的表面積.解如圖所示,由已知四面體的各條棱長都為1,得各個面都是邊長為1的正三角形,過點(diǎn)A作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O,連接BO.在Rt△AOB中,AB=1,BO=32×23=設(shè)球的半徑為R,球心為O1,則O1在線段AO上,OO1=AOR=63R,O1B=R,BO=3在Rt△O1OB中,O1B2=OB2+OO1即R2=332+63所以球的表面積S=4πR2=3π11.已知過球面上三點(diǎn)A,B,C的截面到球心的距離等于球的半徑的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球的表面積與體積.解如圖所示,設(shè)球心為O,球的半徑為R,作OO1⊥平面ABC于O1,由于OA=OB=OC=R,則O1是△ABC的外心.設(shè)M是AB的中點(diǎn),由于AC=BC,則O1∈CM.設(shè)O1M=x,易知O1M⊥AB,則O1A=22+x2,O1C=CMO1M=62-22x.又O1A=O1C,所以22+x2=62-22x.解得x=724.則O1A=O1B=O1C=924.在Rt△OO1A中,O1O=R2,∠OO1A=90°,OA=R.由勾股定理,得R22+9242=R★12.在棱長為1的正方體內(nèi),有兩球相外切,并且又分別與正方體內(nèi)切.(1)求兩球半徑之和;(2)大球的半徑是多少時,兩球體積之和最小?解(1)如圖所示,ABCD為過球心的對角面,AC