新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修2習(xí)題第一章立體幾何初步1.7.3

7.3球1.把球的表面積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍,那么它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的()A.2倍 B.22倍 C.2倍 D.32解析:設(shè)球原來(lái)的半徑為r,則表面積S=4πr2,體積V=43πr3,又設(shè)擴(kuò)大后球的半徑為R,則4πR2=8πr2∴R=2r,∴擴(kuò)大后球的體積V擴(kuò)=43πR3=43π(2r)3=22·43πr3=22V,∴答案:B2.棱長(zhǎng)為a的正方體內(nèi)有一個(gè)球,且與這個(gè)正方體的12條棱都相切,則這個(gè)球的體積應(yīng)為()A.π6a3 B.π4a3 C.23πa3 D.2解析:由題意可知正方體的面對(duì)角線是球的直徑,設(shè)球的半徑為r,則r=22a,球的體積V=43π2答案:C3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()A.16π3 B.19π12 C.解析:由三視圖可知該幾何體是三棱柱,它的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為1.設(shè)其外接球的半徑為R,則R2=2332+122=1912,因此球的表面積S=答案:C4.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=()A.1 B.2C.4 D.8解析:由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個(gè)圓柱被過(guò)圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓柱及一個(gè)半球拼接而成的.其表面積由一個(gè)矩形的面積、兩個(gè)半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個(gè)球的表面積的一半組成.∴S表=2r×2r+2×12πr2+πr×2r+12×4π=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.答案:B5.如圖所示,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度,那么球的體積為()A.500π3cm3 B.866C.1372π3cm3 D解析:設(shè)球半徑為Rcm,根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm,球心到截面的距離為(R2)cm.所以由42+(R2)2=R2,得R=5,所以球的體積為V=43πR3=43π×53=500π3cm3答案:A6.半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體,則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為()A.5π∶6 B.6π∶2 C.π∶2 D.5π∶12解析:作過(guò)正方體對(duì)角面的截面如圖,設(shè)半球的半徑為R,正方體的棱長(zhǎng)為a,那么CC'=a,OC=2a在Rt△C'CO中,由勾股定理,得CC'2+OC2=OC'2,即a2+22a2=R2,∴R=62a.從而V半球=23πR3=23π62因此V半球∶V正方體=62πa3∶a3=6π∶2答案:B7.已知正四棱錐OABCD的體積為322,底面邊長(zhǎng)為3,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為解析:設(shè)正四棱錐的高為h,則13×(3)2h=322,解得高h(yuǎn)=3所以球的表面積為4π·(6)2=答案:24π8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為.

解析:由幾何體的三視圖可知該幾何體的頂部是長(zhǎng)、寬、高分別為6m,3m,1m的長(zhǎng)方體,底部為兩個(gè)直徑為3m的球,所以該幾何體的體積為V=6×3×1+2×43π×323=(18+9π)(m答案:(18+9π)m39.據(jù)說(shuō)偉大的阿基米德去世以后,敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑.在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案,圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.那么圖形中圓錐、球、圓柱的體積比為.

解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則V圓柱=πr2h,圓錐的底面半徑為r,高為h,則V圓錐=13πr2h,球的半徑為r,所以V球=43πr3.又h=2r,所以V圓錐∶V球∶V圓柱=13πr2h∶43πr3∶(πr2h)=2答案:1∶2∶310.設(shè)四面體的各條棱長(zhǎng)都為1,若該四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,求該球的表面積.解如圖所示,由已知四面體的各條棱長(zhǎng)都為1,得各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,過(guò)點(diǎn)A作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O,連接BO.在Rt△AOB中,AB=1,BO=32×23=設(shè)球的半徑為R,球心為O1,則O1在線段AO上,OO1=AOR=63R,O1B=R,BO=3在Rt△O1OB中,O1B2=OB2+OO1即R2=332+63所以球的表面積S=4πR2=3π11.已知過(guò)球面上三點(diǎn)A,B,C的截面到球心的距離等于球的半徑的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球的表面積與體積.解如圖所示,設(shè)球心為O,球的半徑為R,作OO1⊥平面ABC于O1,由于OA=OB=OC=R,則O1是△ABC的外心.設(shè)M是AB的中點(diǎn),由于AC=BC,則O1∈CM.設(shè)O1M=x,易知O1M⊥AB,則O1A=22+x2,O1C=CMO1M=62-22x.又O1A=O1C,所以22+x2=62-22x.解得x=724.則O1A=O1B=O1C=924.在Rt△OO1A中,O1O=R2,∠OO1A=90°,OA=R.由勾股定理,得R22+9242=R★12.在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi),有兩球相外切,并且又分別與正方體內(nèi)切.(1)求兩球半徑之和;(2)大球的半徑是多少時(shí),兩球體積之和最小?解(1)如圖所示,ABCD為過(guò)球心的對(duì)角面,AC