新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3習(xí)題第二章隨機變量及其分布2.3.2

2.3.2離散型隨機變量的方差課時過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1.若X的分布列如下表所示,其中p∈(0,1),則()X01PpqA.E(X)=p,D(X)=pq B.E(X)=q,D(X)=pqC.E(X)=p,D(X)=1p2 D.E(X)=q,D(X)=1p2解析:由分布列知隨機變量X服從兩點分布,所以E(X)=q,D(X)=pq.答案:B2.已知ξ的分布列為ξ101P111若η=2ξ+2,則D(η)的值為()A.13 B.59 C解析:E(ξ)=1×12+0×13+1D(ξ)=-1+則D(η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)=4答案:D3.已知隨機變量ξ服從二項分布,即ξ~B(n,p),且E(ξ)=7,D(ξ)=6,則p等于()A.17 B.16解析:根據(jù)服從二項分布的隨機變量均值和方差的計算公式,可得np=7,np(1p)=6,解得p=1答案:A4.已知隨機變量ξ的分布列如下,若E(ξ)=158,則D(ξ)等于(ξ123P0.5xyA.3364 B.5564解析:由分布列性質(zhì),得x+y=0.5.∵E(ξ)=158,∴2x+3y=118,∴D(ξ)=1答案:B5.盒中有2個白球,3個黑球,從中任取3個,以ξ表示取到的白球個數(shù),η表示取到的黑球個數(shù),則()A.E(ξ)=E(η),且D(ξ)=D(η)B.E(ξ)=3E(η),且D(ξ)=3D(η)C.E(ξ)=E(η),且D(ξ)=3D(η)D.E(ξ)=3E(η),且D(ξ)=D(η)解析:∵ξ+η=3,∴η=3ξ,∴E(η)=3E(ξ),且D(η)=(1)2D(ξ)=D(ξ),故選D.答案:D6.甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為ξ,η,ξ和η的分布列分別為ξ012P613η012P532甲、乙兩名工人的技術(shù)水平較好的為()A.一樣好 B.甲 C.乙 D.無法比較解析:工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)ξ的均值和方差分別為:E(ξ)=0×610+1×110+2×D(ξ)=(00.7)2×610+(10.7)2×110+(20.7)2×3工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)η的均值和方差分別為:E(η)=0×510+1×310+2×D(η)=(00.7)2×510+(10.7)2×310+(20.7)2×2由E(ξ)=E(η)知,兩人出次品的平均數(shù)相同,技術(shù)水平相當(dāng),但D(ξ)>D(η),可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.答案:C7.若隨機變量ξ的分布列為P(ξ=m)=13,P(ξ=n)=a,若E(ξ)=2,則D(ξ)的最小值等于(A.0 B.2 C.4 D.無法計算解析:在分布列中,概率和為1,則a+13=1,故a=∵E(ξ)=2,∴m3∴m=62n.∴D(ξ)=13×(m2)2+23×(n2)2=23×(n2)2+13×(62n2)2=2n28∴當(dāng)n=2時,D(ξ)取最小值0.答案:A8.若p為非負(fù)實數(shù),隨機變量X的分布列為X012P12p1則E(X)的最大值是,D(X)的最大值是.

解析:由分布列性質(zhì)可知p∈0則E(X)=p+1∈1,32,故E(又D(X)=12-p(p+1)2+p(p+11)2+12(p+12)2=p2p+∵p∈0∴當(dāng)p=0時,D(X)取得最大值1.答案:329.甲、乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等,而兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反野生動物保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為甲:ξ0123P0.30.30.20.2乙:η012P0.10.50.4試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理水平.解:甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)ξ的均值和方差為E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(ξ)=(01.3)2×0.3+(11.3)2×0.3+(21.3)2×0.2+(31.3)2×0.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)η的均值和方差為E(η)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(η)=(01.3)2×0.1+(11.3)2×0.5+(21.3)2×0.4=0.41.因為E(ξ)=E(η),D(ξ)>D(η),所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同,但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動,乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定.能力提升1.從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗,假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是25,設(shè)ξ為途中遇到紅燈的次數(shù),則隨機變量ξ的方差為()A.65 B.1825解析:由隨機變量ξ服從二項分布,即ξ~B3,25,可得D(ξ)答案:B2.設(shè)一次試驗成功的概率為p,進(jìn)行100次獨立重復(fù)試驗,當(dāng)p=時,成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的最大值為.

解析:D(ξ)=np(1p)≤n·p+1-p22=n4,等號在p=1p,即p=12時成立,此時,答案:123.隨機變量ξ的分布列為ξ101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,若E(ξ)=13,則D(ξ)=.解析:∵a,b,c成等差數(shù)列,∴2b=a+c.∵E(ξ)=13,∴a+c=13,且得a∴D(ξ)=-答案:54.盒中有2個白球,3個黑球,從中任取3個球,以X表示取到白球的個數(shù),η表示取到黑球的個數(shù).給出下列各項:①E(X)=65,E(η)=95;②E(X2)=E(③E(η2)=E(X);④D(X)=D(η)=9其中正確的是.(填上所有正確項的序號)

解析:X的分布列為X012P133E(X)=0×110+1×35E(X2)=02×110+12×35+D(X)=E(X2)(E(X))2=9η的分布列為η123P331E(η)=1×310+2×35E(η2)=12×310+22×35+D(η)=E(η2)(E(η))2=18答案:①②④5.某同學(xué)向如圖的圓形靶投擲飛鏢,飛鏢落在靶外(環(huán)數(shù)記為0)的概率為0.1,飛鏢落在靶內(nèi)的各個點是隨機的.已知圓形靶中三個圓為同心圓,半徑分別為30cm,20cm,10cm,飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖.設(shè)這位同學(xué)投擲一次得到的環(huán)數(shù)為隨機變量X,求X的分布列、均值和方差.解:由題意可知,飛鏢落在靶內(nèi)各個區(qū)域的概率與它們的面積成正比,而與它們的質(zhì)量和形狀無關(guān).由圓的半徑值可得到三個同心圓的半徑比為3∶2∶1,面積比為9∶4∶1,所以8環(huán)區(qū)域、9環(huán)區(qū)域、10環(huán)區(qū)域的面積比為5∶3∶1,則擲得8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別設(shè)為5k,3k,k,根據(jù)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)有0.1+5k+3k+k=1,解得k=0.1,得到離散型隨機變量X的分布列為X08910P0.10.50.30.1X的均值E(X)=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7.D(X)=0.1×(07.7)2+0.5×(87.7)2+0.3×(97.7)2+0.1×(107.7)2=7.01.★6.為了迎戰(zhàn)下屆奧運會,對甲、乙兩名射手進(jìn)行一次選拔賽.已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.設(shè)ξ,η分別表示甲、乙每次擊中的環(huán)數(shù).(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).解:(1)依據(jù)題意知,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.∵乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,∴乙射中7環(huán)的概率為1(0.3+0.3+0.2)=0.2.∴ξ,η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)結(jié)合(1)中ξ,η的分布列可得:E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,D(ξ)=(109.2)2×0.5+(99.2)2×0.3+(89.2)2×0.1+(79.2)2×0.1=0.96,D(η)=(108.7)2×0.3+(98.7)2×0.3+(88.7)2×0.2+(78.7)2×0.2=1.21.∵E(ξ)>E(η),說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高.又D(ξ)<E(η),說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中,比較穩(wěn)定.∴甲的射擊技術(shù)好.★7.根據(jù)以往的經(jīng)驗,某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表:降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差;(2)在降水量至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率.解:(1)由已知條件有P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)P(X<300)=0.70.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)P(X<700)=0.90.7=0.2,P(X≥900)=1P(X<900)=10.9=0.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D(Y)=(03)2×0.3+