專題5空間向量與立體幾何（原卷版）-

專題5空間向量與立體幾何01專題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識梳理、常用結(jié)論與技巧）02考情分析·解密高考03高頻考點(diǎn)·以考定法（四大命題方向+五道高考預(yù)測試題，高考必考2227分）命題點(diǎn)1多面體表面積體積問題命題點(diǎn)2多面體內(nèi)切外接問題命題點(diǎn)3空間幾何體中角度問題命題點(diǎn)4空間幾何體中動(dòng)點(diǎn)問題04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（精選9道最新名校模擬試題+9道易錯(cuò)提升）空間幾何體常用以及易錯(cuò)知識點(diǎn)空間角向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩條異面直線所成的角為θ，它們的方向向量分別為v1，v2，則cosθ=|cos<v1，v2>|=|v1?v2||v1||v0，直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為v，平面α的法向量為n，則sinθ=|cos<v，n>|=vθ=<v?

0，兩個(gè)平面所成的角設(shè)平面α，β所成的角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ=|cos<n1，n2>|=|n1?n2||n1||n?

0，(1)當(dāng)直線與平面平行或直線在平面內(nèi)時(shí)，直線與平面所成的角為0；(2)兩個(gè)平面相交會(huì)形成四個(gè)二面角，二面角的取值范圍為[0，π]，一般規(guī)定較小的二面角為兩個(gè)平面所成的角.兩個(gè)平面平行時(shí)，它們所成的角為0.空間距離向量求法點(diǎn)到直線的距離設(shè)直線l的方向向量為v，點(diǎn)P為l外一點(diǎn)，點(diǎn)A為l上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到l的距離d=|點(diǎn)到平面的距離設(shè)n為平面α的法向量，點(diǎn)A為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，則平面α外任一點(diǎn)P到平面α的距離d=|兩平行線間的距離在平行直線m，n上分別任取一點(diǎn)A，P，設(shè)直線m的方向向量為v，則兩平行線m，n間的距離d=|AP|2兩平行平面間的距離在平行平面α，β上各取一點(diǎn)A，B，設(shè)平面α的法向量為n，則兩平行平面α，β之間的距離d=|AB?n1.四點(diǎn)共面的充要條件空間中任一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使MP=xMA+yMB，或?qū)臻g中任一點(diǎn)O，有OP=OM+xMA+yMB(或OP=(1xy)·OM+xOA+yOB).2.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)兩點(diǎn)，點(diǎn)M在直線AB上，AM=λMB(λ∈R且λ≠1)則稱點(diǎn)M為有向線段AB的定比分點(diǎn)，其坐標(biāo)為x1空間幾何體是高考中必考點(diǎn)，一般以2+1或者是3+1形式出現(xiàn)，主要考查多面體體積以及內(nèi)切外接問題，必考題型為空間二面角問題真題多維細(xì)目表考點(diǎn)考向考題立體幾何多面體表面積體積問題多面體內(nèi)切外接問題③空間幾何題角度問題④空間幾何體動(dòng)點(diǎn)問題2023新全國Ⅰ卷T12T14全國ⅡT9T14全國乙T8全國甲T112022全國甲卷T9新全國Ⅰ卷T4全國ⅡT112021全國Ⅰ卷T202023新高考Ⅰ卷T12全國乙卷T16全國甲卷T152022全國乙卷T9新高考Ⅰ卷T8全國ⅡT72021Q全國甲卷T72023新高考Ⅰ卷T18全國乙卷T19全國甲卷T182022全國乙卷T18新高考ⅡT20新高考Ⅰ卷T19甲卷T182021全國乙卷T5T18新高考Ⅰ卷T202023新高考ⅠT182021全國甲卷T19命題點(diǎn)1多面體表面積體積問題典例01．（2022·全國甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．典例02（2023·全國Ⅱ）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為典例03．（2023·全國·Ⅰ卷）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為．典例04．（2023·全國乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．命題點(diǎn)2多面體內(nèi)切外接問題典例01（2022·全國Ⅰ卷）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．典例02（2023·全國Ⅰ卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體典例03．（2023·全國乙卷）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．典例04（2023·全國甲卷）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn)命題點(diǎn)3空間幾何體中角度問題典例01（線面角問題）（2022·全國甲卷）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為典例02（線面角、線線角問題）（2022·全國Ⅰ卷）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為典例03（線面角解答題）3．（2023·全國甲卷）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．典例04（二面角問題）（2023·全國·Ⅱ卷）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．命題點(diǎn)4空間幾何體中動(dòng)點(diǎn)問題典例01（2023·全國·統(tǒng)考Ⅰ卷）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．典例02．（2021·全國·甲卷）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?預(yù)計(jì)2024年高考中立體幾何也會(huì)是以小題加解答題形式出現(xiàn)，小題將是以空間幾何體體內(nèi)切外接球，線面角，以及體積為主，解答題則是以線面垂直以及二面角為主。1．中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．2．在梯形中，，將沿折起，連接，得到三棱錐，則三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．在正方體中，點(diǎn)P滿足，則（

）A．對于任意的正實(shí)數(shù)，三棱錐的體積始終不變B．對于任意的正實(shí)數(shù)，都有平面C．存在正實(shí)數(shù)，使得異面直線與所成的角為D．存在正實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成的角為4．如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點(diǎn)在棱上.(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.5．如圖，在四棱錐中，，．(1)求證：平面平面；(2)若線段上存在點(diǎn)，滿足，且平面與平面的夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值．（★精選9道最新名校模擬考試題+9道能力高頻考點(diǎn)提升題）A·A·新題速遞一、單選題1．（2024上·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？计谀┥w碗是由茶碗、茶蓋、茶船三件套組成，蓋碗又稱“三才碗”，蘊(yùn)含了古代哲人講的“天蓋之，地栽之，人育之”的道理．如圖是乾隆時(shí)期的山水人物方蓋碗的茶蓋和茶碗，近似看作兩個(gè)正四棱臺的組合體，其中茶碗上底面的邊長為﹐下底面邊長為，高為，則茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（

）A．7碗 B．8碗 C．9碗 D．10碗2．（2024上·四川達(dá)州·高三統(tǒng)考期末）球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓（大圓就是經(jīng)過球心的平面截球面所得的圓）在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，我們把這個(gè)弧長叫做這兩點(diǎn)間的球面距離．已知長方體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且，，則，D兩點(diǎn)間的球面距離為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（

）A． B． C． D．4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校聯(lián)考期末）過正四棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，若四棱錐與四棱臺的表面積之比為，則直線與底面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024上·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三棱錐PABC內(nèi)接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在三棱錐PABC表面上運(yùn)動(dòng)，且，已知在弧度制下銳角，滿足：，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過點(diǎn)D作球的截面，截面的面積最小為 B．過點(diǎn)D作球的截面，截面的面積最大為C．點(diǎn)Q的軌跡長為 D．點(diǎn)Q的軌跡長為6．（2024·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）若點(diǎn)P是棱長為2的正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時(shí)，線段AP長度的最大值為3C．當(dāng)直線AP與平面ABCD所成的角為45°時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長度為D．直線DM被正方體的外接球所截得的線段的長度為三、填空題7．（2024上·山東德州·高三德州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）葫蘆是一種爬藤植物，在我國傳統(tǒng)文化中，其枝密集繁茂，象征著兒孫滿堂、同氣連枝；其音近于“福祿”，寓意著長壽多福、事業(yè)發(fā)達(dá)；其果口小肚大，代表著心胸開闊、和諧美滿．如圖，一個(gè)葫蘆的果實(shí)可以近似看做兩球相交所得的幾何體，其中的下半部分是半徑為的球的一部分，的上半部分是半徑為3的球的一部分，且，則過直線的平面截所得截面的面積為．四、解答題8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形與均為直角梯形，平面，．(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且，求證：BG與平面DCE不平行；(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，求AF的長及四棱錐D－ABEF的體9．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)證明：平面.(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.BB·易錯(cuò)提升一、單選題一、單選題1．（2024·河北聯(lián)考模擬）如圖，西周琱生簋（guǐ）是貴族琱生為其祖先制作的宗廟祭祀時(shí)使用的青銅器．該青銅器可看成由上、下兩部分組成，其中上面的部分可看作圓臺，下面的部分可看作圓柱，且圓臺和圓柱的高之比約為，圓臺的上底面與圓柱的底面完全重合，圓臺上、下底面直徑之比約為，則圓臺與圓柱的體積之比約為（

）A． B．C． D．2．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（

） B． C． D．

3．（2024·河南·高三模擬）設(shè)為兩個(gè)不同的平面，為三條不同的直線，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則二、多選題4．（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)）勒洛三角形也被稱為定寬曲線，勒洛三角形的立體版就是如圖所示的立體圖形，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，它是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分組成的，因此它能像球一樣來回滾動(dòng).這種立體圖形稱為勒洛四面體，若圖中勒洛四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為P、A、B、C，任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為1，則下列說法正確的是（

）A．圖中所示勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為1B．圖中所示勒洛四面體的內(nèi)切球的表面積為C．平面截此勒洛四面體所得截面的面積為D．圖中所示的勒洛四面體的體積是5．（2024上·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐PABC內(nèi)接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在三棱錐PABC表面上運(yùn)動(dòng)，且，已知在弧度制下銳角，滿足：，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過點(diǎn)D作球的截面，截面的面積最小為 B．過點(diǎn)D作球的截面，截面的面積最大為C．點(diǎn)Q的軌跡長為 D．點(diǎn)Q的軌跡長為三、填空題6．（2024·吉林·統(tǒng)考二模）足尖雖未遍及美景，浪漫卻從未停止生長.清風(fēng)牽動(dòng)裙擺，處處彰顯著幾何的趣味.下面的幾何圖形好似平鋪的一件裙裝，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，若沿圖中的虛線折起，圍成一個(gè)封閉幾何體，則的體積為;的外接球的表面積為.四、解答