2023年高考數(shù)學(xué)練習(xí)壓軸題（新高考版）10 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題）（全題型壓軸題） （解析版）

專題10一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題)(全題型壓軸題)

利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

①Fa)=g(%)型

②/α)≥gα)型(或∕α)≤g(w)型)

③變更主元法

④構(gòu)造函數(shù)法

①Fa)=g(??)型

1.(2022?湖北省廣水市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高一階段練習(xí))已知函數(shù)=2x+α,g(x)=αr+5-0

⑴若函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間[-1,0]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)若對任意的％∈[T3],總存在Λ2∈[T,3],使得“Λ,)=g(w)成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)[-3,0]

⑵(-8,-6M2,+8)

(1)

y="χ)的圖象開口向上，對稱軸為X=1,所以函數(shù)/(X)在上單調(diào)遞減,因?yàn)楹瘮?shù)y=f(χ)在

區(qū)間—1,0上存在零點(diǎn)，所以《[二、,解得—3≤α≤0,即實(shí)數(shù)”的取值范圍為[-3,0].

[/(O)=67≤O

⑵

記函數(shù)"x)=x2-2x+",xe[-1,3]的值域?yàn)榧螦,g(x)=ax+5-a,XeE,3]的值域?yàn)榧螦

XW

則對任意的,w[T3],總存在2[T,3],使得f(Λi)=g(A?)成立OA=B.

因?yàn)閥="x)的圖象開口向上，對稱軸為x=l,所以當(dāng)xe[T3],

/(x)mh＞=?ΛD="lJ(x)max=∕(3)=4+3,得A={y|。-1≤y≤(2+3}.

當(dāng)Q=O時(shí)，g(x)的值域?yàn)閧5},顯然不滿足題意；

[5—2a≤α—1

當(dāng)。＞0時(shí)，以幻的值域?yàn)锽={y∣5-2αKy≤5+24},因?yàn)锳q3,所以UC,解得α≥2;

[5+2α≥α+3

[5+2?！堞小?

當(dāng)αvθ時(shí)，g(x)的值域?yàn)?={y∣5+2a≤y≤5-2α},因?yàn)锳qB,所以＜,解得α≤-6.

[5-2a≥a+3

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍為(-8,-6]。[2,+8)

2.(2022?福建?廈門一中高一期末)已知函數(shù)/(x)=sin2χ+cosx-4.

(1)當(dāng)α=0時(shí)，求/(X)在不上的值域;

(2)當(dāng)α>O時(shí)，已知g(x)=alog2(x+3)-2,若叫e^,π,V馬U,5]有/(為)=g(?),求”的取

值范圍.

「13一

【答案】⑴[-1,1]：(2).

【詳解】(1)?α=0,∕(x)=1-cos2x+cosΛ=-cos2x+cosx+1,Xe-,π

令f=cosx,設(shè)Mf)=T2+r+1=一[一g)+：,r∈[-l,0],

函數(shù)Mf)在[-1,0]上單調(diào)遞增，∕ι(-l)=-1,Λ(O)=1,

??"(x)的值域?yàn)閇T,l].

(2)設(shè)/(χ)的值域?yàn)榧螦g(x)的值域?yàn)榧螧,根據(jù)題意可得BqA,

π

f(x)=~COS2X+COSX+1-6Zx∈—、冗

2

t∈[-l,θ],

函數(shù)y=-"g>+；-。在[TO]上單調(diào)遞增，且/(XL=T-aJ(x)2=l-"

A-[—1—<7,1—<?],

g(x)=alog2(x+3)-2又。>0,所以gθ?)在口⑸上單調(diào)遞增，

g(l)=2α-2,g(5)=3α-2,ΛB=[2a-2,3a-21,

2a-2≥-l-a

13

由BuA得3a-2<↑-a=>—≤o≤-

34

a>0

13

「?。的取值范圍是-

_34_

【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地,已知函數(shù)y=∕(x),x∈[",可，y=g(x),x∈[c?,d],

(1)若?%∈[a,A],Vx2∈[c?,d],總有/(xj<g(x2)成立，故F(X)mκvg(%)nil,;

(2)若VXlebW,≡?*d],有/(?η)<g(x2)成立，故/(x)max<g(??)max；

(3)若玉?∈[α,同,Bx2e[c,d],有/㈤<g(w)成立,故/(力/<gθ?)max；

(4)若VXl∈[α,A],3X2&[c,d\,有/(%)=g(x2),則f(x)的值域是g(x)值域的子集.

3.(2022?全國,高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=立'(l≤x≤4),且，⑴=5.

X

(1)求實(shí)數(shù)m的值，并求函數(shù)/(X)的值域：

(2)函數(shù)g(x)=奴-1(-2≤x≤2),若對任意％e[1,4],總存在x0e[-2,2],使得g(%)=/&)成立,

求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

【答案】⑴m=4,/(x)值域?yàn)閇4,5卜(2)"≥3或α≤-3.

【詳解】⑴由/^(1)=5,得m=4,SPf(x?=^Λ±=x+i.

XX

”X)在[1,2]上遞減,在[2,4]上遞增，且〃2)=4,41)=/(4)=5.

???/(x)值域?yàn)閇4,5].

(2)對于任意xγ[1,4],總存在%e[-2,2],使得g(%)="Λ,)成立，則F(X)的值域是g(x)值域

的子集；

依題意知，QwO,

當(dāng)α>0時(shí)，g(%)∈[-2α-l,2"-l],βp[4,5]?[-24/-1,2?-1].

a>0

.?.<-2α-l≤4,解得4≥3.

2a-l≥5

當(dāng)αvθ時(shí)，g(Λ0)∈[2^-l,-2α-l],Kp[4,5]?[2a-l,-2a-l].

a<0

2a-?≤4,解得.≤-3.

-2a-l≥5

故α≥3或α<-3.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查特殊函數(shù)的應(yīng)用以及由命題成立確定集合包含關(guān)系：

(1)特殊函數(shù)y=0r+±(α,b>O):圖像在?、四象限，在第一象限以x為界先減后增；

XVa

(2)若?x,l?使/(x)=g(%),則AX)值域包含于g(%)的值域.

4.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)f(x)=」一(x∈A,且XH2).

x-2

(1)判斷并證明了(X)在區(qū)間(0,2)上的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(x)=χ2-2αx與函數(shù)/(x)在xe[0J上有相同的值域，求。的值；

(3)函數(shù)∕z(x)=(l-3從)x+546≥l,x∈[0,l],若對于任意[0,1],總存在巧?[OK，使得

/(%)=版々)成立，求b的取值范圍.

【答案】(1)見解析；(2)a=l；(3)[2,+∞)

22

【詳解】(1)/(X)在區(qū)間(0,2)上為減函數(shù)任取0<%<々<2,/(xj-∕(w)=上;--三

Xj-2X2一2

=x∣2(??-2)m-2)=中2(占一々)-5-石)=52同一受)一(％+三)(％-三)

-

一(X,-2)(X2-2)=(X,-2)(X2-2)(—2)

二［玉(；：2.：］(；三),由于0<%<±<2,占-2<0,占-2<0,玉-々<0,Λ1(Λ?-2)-2X,<0,

所以fα)T(W)>O,〃孑)>/伍),所以F(X)在(0,2)上遞減.

(2)因?yàn)?(x)在［0』上遞減，所以其值域?yàn)椋?,0］，即xe［0,l］時(shí)，g(x)∈［-l,0］.因?yàn)間(())=0為

≥1

最大值，所以最小值只能為g(l)或g(ɑ).若g⑴=-1,則，M=L若g(α)=-l,則

［I-Za=-I

1

—≤6Z≤1

52,α=l.綜上所述，tz=l.

—a2=—1

(3)當(dāng)b"x∈［0,l］時(shí)，MX)在［°川上遞減，所以MX)在［0,1］上的最大值為Mo)=56,最小值

5?>0

Λ(0)≥0

為力(1)=1一3斤+5乩由(2)知〃x)在[05上的值域?yàn)閇TO].所以所以■1-36+5力4—1,

A(l)≤-Γ

?≥1

解得b≥2.

5.(2022?重慶?高二階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+(α-2)Ma是常數(shù))，此函數(shù)對應(yīng)的曲線y=∕(x)

在點(diǎn)。,/⑴)處的切線與X軸平行

⑴求。的值，并求f(x)出的最大值；

(2)設(shè)，w>0,函數(shù)8(》)=：蛆3_爾,*6(1,2),若對任意的XIe(1,2),總存在Λ2e(l,2),使

f(x,)-g(x2)=0

求m的取值范圍

【答案】⑴。=1,〃力3=InlT=T

3

(2)λ^∈[3--In2,+oo)

(1)

對/(X)求導(dǎo)，得r(X)=g+(α-2),

由題意可得，/'⑴=1+(。-2)=0,

解得。=1,

所以/(x)=In?r,

定義域?yàn)?0,+8)，且((X)=L-1,

X

當(dāng)O<x<l時(shí)，∕,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>l時(shí),廣(X)<0,/(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=l時(shí)，/(x)有極大值，也為最大值且/(XLlX=/⑴=InIT=T.

(2)

設(shè)“力(Xe(L2))的值域?yàn)锳tg(力(x∈(l,2))的值域?yàn)锽,

由題意"對于任意的藥?L2),總存在WW(1,2)使得/(x,)-1g(?)=O,,?

等價(jià)于A±8,

1—Y

由(1)知r(x)=?，

因?yàn)閄W(1,2),所以/'(x)<0,故在XW(L2)上單調(diào)遞減，

所以f(l)<∕(x)<"2),

即ln2-2<"x)<-l,

所以A=(In2—2,-1),

因?yàn)間(x)=；Wx3-mx,

所以g'(x)=OTC2-m=τn(x-I)(X+1),

因?yàn)榧?gt;0,故g'(x)>O,

所以g(x)在x∈(l,2)上是增函數(shù)，

所以g⑴<g(x)<g(2),

22

即一,

22

故B=——m,一m

33

-m>0>-?

3

由AqB,得JJ2

——m<ln2-2

3

解得mZ3-An2,

2

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是3-加,+8).

【關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛】解第二問的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的問題求解是解題的

關(guān)鍵.對于此類問題，還要注意以下的結(jié)論：

成立<=>

①3Λ,∈A,3X2∈β,∕(xl)=g(%){∕(Λ)∣XEA}∩{?(X)∣Λ∈β}≠0

②VXI∈A,Vx2eB,/(Xl)≤g(x?)成立=∕(x)皿4g(X2)min；

③叫∈ANXl∈B,f(xl)≤g(x2)成立=/(%1)min≤g(x2)min；

④*∈A,3X2∈B,f(xl)<g(X2)成立=/U,)min≤S(X2)max;

⑤VXl∈A,3X2∈BJ(XI)≤g(.)成立o/(xl)max≤g(x2)nm.

當(dāng)函數(shù)的最值不存在時(shí)可用值域的端點(diǎn)值代替.

?7一7

6.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)〃x)=<：+]\\函數(shù)

g(x)=ksin2-2Z+2(k>0),若存在x∣∈[(),l]及x,e[0,l],使得/(xj=g(x5)成立，求實(shí)數(shù)”的取

O

值范圍.

「141

【答案】

【詳解】由題意，

當(dāng)XW0,〈時(shí)，/(x)=-Jx+Jw0,J

Z?oo

6X2(X+1)-2X34X3+6X22X2(2%+3)

當(dāng)x∈時(shí)，〃X)=念，r(χ)恒成立,

222>0,

、乙」/十I(x÷l)(x+l)(x+l)

所以“X)在xe(g,l上單調(diào)遞增，所以〃x)e?,l

所以函數(shù)f(x)在[0,1]上的值域?yàn)锳=[0,l],

3

g(x)的值域?yàn)?=2-2k,2--k

并且Ac8*0.

T1L

若AB=0,即2-2%>l或2——<0,

2

14

解得或無>彳，

23

14

所以，若AC3H0,左的取值范圍是

②/α)≥gα)型(或/α)≤g(w)型)

1.(2022?全國?高二單元測試)已知函數(shù)/(x)=?≤,g(x)=-χ2+2x+α-l.若對任意為，x2e(0,+∞),

2x

都有/(xj≥g(x?)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】W

?1/Xe`?2x-2?e'?x-l

【詳解】f(x)=(2x)2=2院x彳,

所以在區(qū)間(0,1)J(X)<0j(x)遞減;在區(qū)間α+∞),f(χ)>o,f(χ)遞增.

所以在區(qū)間(0,y)上，/(X)的極小值也即是最小值為f(l)=?∣.

二次函數(shù)g(x)=-χ2+2x+α-l的開口向下，對稱軸為X=1,

所以當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取得最大值為g(l)=T+2+α-l=α,

由于對任意陽,?∈(o,+∞),都有Fa)*go?)恒成立,

所以“≤?∣,即°的取值范圍是b-].

故答案為：(-∞,f

2.(2022?上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí))已知XeR,定義：A(X)表示不小于X的最小整數(shù)，例如:

4(0)=2,A(T).5)=().

(1)若A(X)=2021,求實(shí)數(shù)X的取值范圍：

⑵若x>0,且A(2x+A(x))=41亨1)求實(shí)數(shù)X的取值范圍；

⑶設(shè)/(x)=-χ2+MA(χ),g(x)=4*-2*+g?,若對于任意的x∣,Λ2∈(-3,-l],都有/(χ)<g(x2),

求實(shí)數(shù)r的取值范圍.

【答案】⑴(2020,2021]

⑶(→o,2)

(1)

由A(X)定義可得，實(shí)數(shù)X的取值范圍為(2020,2021］；

(2)

若x>0,則?=2+4(2,3),所以AGm=3,

所以A(2x+A(x))=3,所以2X+A(X)<2,3］,

當(dāng)x∈(0,l］時(shí)，2x+A(x)=2x+l∈(2,3］,所以x∈(g,l；

當(dāng)x∈(l,2］時(shí)，2x+A(x)=2x+2∈(2,3］,無解；

當(dāng)xw(2,+∞)時(shí)，2x+A(x)>4,則2x+A(x)w(2,3］無解;

綜上，實(shí)數(shù)X的取值范圍是(；/；

(3)

g(x)=4"-2'+?,x2∈(-3,-1］,則2"e(J,

所以g(x)=4*-2'9=b-1+4,g(?L=4,

因?yàn)閷τ谌我獾?,X2∈(-3,-l］,都有/(x∣)<g(x2),

-

所以/(Λ1)<4,即一χ2+zx?A(x)<4對x∈(-3,-U恒成立，口"<:A：)對xe("3,T］恒成立,

當(dāng)xe(-3,-2］時(shí)，意｝=士Amf+±)≥2,所以f<2,

當(dāng)無?一2，—1］時(shí)，=所以Y%

綜上，t<2.

3.(2022?上海?高三專題練習(xí))設(shè)〃(X)表示不小于X的最小整數(shù)，例如〃(0?3)=1//(-2.5)=-2.

(1)解方程M(X-I)=3；

(2)設(shè)/(X)=〃(x?M(X)),"∈N*,試分別求出/(X)在區(qū)間(0,1］、(1,2］以及(2,3］上的值域；若/(x)

在區(qū)間(O,n↑上的值域?yàn)镸n,求集合Mn中的元素的個(gè)數(shù)；

(3)設(shè)實(shí)數(shù)a>0,g(χ)=χ+“?必包一2,∕2(χ)=用學(xué)經(jīng)，若對于任意片,々e(2,4］都有

XX-5x+7

g(χj>∕7(%),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴3<x≤4;(2)當(dāng)xe(0,l］時(shí)，值域?yàn)椋?｝；當(dāng)xe(l,2］時(shí)，值域?yàn)椋?,4｝：當(dāng)xw(2,3］

時(shí)，值域?yàn)椋?,8,9｝；普。個(gè)；(3)(3,+∞).

【詳解】【解】(1)由題意得：2<x-l≤3,解得：3<x≤4.

(2)當(dāng)Xe(0,1］時(shí)，μ｛x)=1,x?χ∕(x)=x∈(0,l］,于是〃(x?"(x))=l,值域?yàn)椋?｝

當(dāng)XW(1,2］時(shí),μ｛x)=2,x?∕∕(x)=2x∈(2,4］,于是〃3〃(X))=3或4，值域?yàn)椋?,4｝

當(dāng)x∈(2,3］時(shí)，"(x)=3,x∕(x)=3x∈(6,9］,于是M(X?"(x))=7或8或9,值域?yàn)椋?,8,9｝

設(shè)“cN*,當(dāng)xe("-l,”］時(shí)，〃(x)=〃，所以x?"(x)=nr的取值范圍為

(n2-n,n2?,-

所以/(x)在xw("T,"］上的函數(shù)值的個(gè)數(shù)為"，-

由于區(qū)間(n2-小眉與((〃+1)2-(“+1),(〃+1)2］的交集為空集,

故W,中的元素個(gè)數(shù)為1+2+3++〃=四羅.-

145

(3)由于——≤-,l≤sinmr+2≤3,因此〃(x)≤4,當(dāng)X=1時(shí)取等號，即即xe(2,4］時(shí),

X2-5X+732

MX)的最大值為4，

由題意得xe(2,4］時(shí)，g(x)>4恒成立，當(dāng)xe(2,3］時(shí)，

22

o>2x-?恒成立，因?yàn)?21-5)的=3，所以?！?

當(dāng)x∈(3,4]時(shí)，q>3χ-E恒成立，因?yàn)?χ-E<2,所以

242444

綜合得，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(3,+∞).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.首先理解〃(x)的定義，2.第三問，若對于任意西,々€(2,4]都有g(shù)(%)>〃(X2)，

轉(zhuǎn)化為g(x)>∕(x)πm,再利用參變分離求。的取值范圍.

4.(2022?福建省廈門集美中學(xué)高二期中)已知函數(shù)/(x)="+lnx.

(1)試討論/(x)的極值；

⑵設(shè)g(x)=f-2x+2,若％∈(0,+0>),玉2[0,l],使得“Λ1)<g(Λ2),求實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析

(2)(-∞,-e^3)

(1)

函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?0,+⑹，

當(dāng)α≥0時(shí)，∕,(x)>0,所以/(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)不存在極值.

當(dāng).<()時(shí)，由T(x)>O,解得0<x<-},故/(x)在U上單調(diào)遞增.

由T(x)<O,解得x>J,故/(x)在上單調(diào)遞減.

此時(shí)函數(shù)在X=處取得極大值.無極小值.

a

綜上所述，當(dāng)忖，函數(shù)不存在極值.

當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)在X=-L處取得極大值，無極小值.

a

⑵

由(1)知當(dāng)α≥0時(shí),/(X)在(0,+8)上為增函數(shù),

故/(x)無最大值，此時(shí)不符合題意；當(dāng)“<0時(shí)，"x)nιaχ=/W=-I+ln(T)=-l-ln(-α).

易知g(x)=9—2x+2在[0,1]上單調(diào)遞減，所以g(x)nm=g(0)=2.

因?yàn)楸豬∈(0,+e),3?∈[0,l],使得F(X)<g(x),

所以"4x<g(%*,即]τ]1)<2

解得“<γτ,所以實(shí)數(shù)α的取值范圍是(F,-e

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)｛T)=I(Xrl)±Llnx(.∈R).

X

(1)當(dāng)α≤g時(shí)，討論函數(shù)TW的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=/-2?X+4,當(dāng)α=g時(shí)，若對任意x∕∈(0,2),存在X2∈[l,2],使f(x∕)+g(X2)

≤0,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

13

【答案】(])答案不唯一，具體見解析；(2)0≥Y.

6

av2+1+x1

【詳解】(1)y(x)=C)~-Inx,

X

.,(、a—11OX--X-(Q-1)+a—l)(x-1)

X2XX2X2

①當(dāng)1Ξ0>1時(shí)，即OVaV!時(shí)，此時(shí)y(x)的單調(diào)性如下:

a2

1-a1—ci、

X(0,1)1?1.亍)(----，+8)

aa

+O-O+

增減增

II—//]—〃

當(dāng)OVQV時(shí)，/W在(°，°，(—，+8)上是增函數(shù)，在(1，一)上是減函數(shù).

327aa

②當(dāng)“=!時(shí)，/(x)=(x-?2≥0,兒V)在(0,+8)上是增函數(shù).

③當(dāng)a=0時(shí)，T(x)=g,,f(x)>O^O<x<l,/(x)<0=x>l,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(o,ι)，單調(diào)遞減區(qū)間是α+∞),

④當(dāng)"。時(shí)，/，(X)=(M區(qū)1),x,=l^<O(舍)，X,=l,

'/Jra

∕r(x)>O=>O<%<1,/,(x)<0=>x>l,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(()/)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，+8),

綜上，當(dāng)〃≤o時(shí)，yw在(o,1)上是增函數(shù)，在(1,+8)上是減函數(shù)；

當(dāng)OVaV—時(shí)，/(、)在(0?1)>(-----,+<x))上是增函數(shù)，在(1,------)上是減函數(shù),

2aa

當(dāng)α=!時(shí)，/(x)=g≡F?20,小)在(0,+8)上是增函數(shù)?

22x

(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，山)在(0,1)卜一是增函數(shù)，在(1,2)上是減函數(shù).

「是x/W(0,2)時(shí)，f(x∕)∈(-8,?∣],從而存?在X2≡[1,2],使得g(X2)=χ2-2bx2+4≤[-

〃/、12

J(X/)]min=--，

2

等價(jià)為[g(?V)]min≤—]，XE[1,2],

22

考察g(x)=N-2bx+4=(x-?)÷4-b9Λ∈[1,2]的最小值.

217

①當(dāng)?！?時(shí)，g(x)在[1,2]上遞增，[g(刈min=g⑴=5-23≤-彳，解得方≥二(舍去)，

36

2]3

②當(dāng)〃≥2時(shí)，gfr)在[L2]上遞減，[g(刈min=g⑵=8-4%≤-彳，解得〃≥”成立.

36

2

③當(dāng)IVbV2時(shí)，[g(x)]min=g(?)=4-?2≤--,無解.

綜上校?13.

6

6.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(另=；江+：/—2x-l(a力eR),g(x)=χ2-x+l,若

函數(shù)/(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1且兩函數(shù)圖象在點(diǎn)尸處的切線斜

率之和為9.

(1)求4,〃的值；

(2)對任意斗,々目-1,1],不等式/(xj+&<g(w)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

4=6,(2)f-∞,--

【答案】()

1b=4：

【詳解】解：(1)因?yàn)?l)=g(l),所以>+京一3=1,即24+3b=24,

又gθ)=2x-l,所以g'(l)=l

∕,(x)=0r2+fex-2,∕,(l)=a+fe-2

由題意得尸(l)+g'(l)=α+〃-l=9,

所以4+人=IO

2a+3b=24,ya=6,

由a+h=?0,彳’

b=4,

(2)由(1)W/(x)=2x3+2x2-2x-l,

對任意的看,％2w[T』，/(xJ+Z<g(??)恒成立,

所以“x)l≡+k<g(x)minxe([Tl]),

因?yàn)?(X)=6Y+4x-2=2(3X-I)(X+1),

令/'(x)<0得一l<χ<;,令/'(χ)>0得x<-l或x>g.

所以函數(shù)/(χ)在-i,?上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

而/(T)=Ij⑴=1，所以"x)a=l,

而g(x)=J?-x+l=(x_g)+；,

當(dāng)xe[-l,l]時(shí)，g(χ)njg∣ψ∣=]

3

故1+k<3，

4

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地,已知函數(shù)y=∕(x),xw[α,"∣,y=g(x),x∈[c,d]

⑴若VXI∈[α,b],VΛ?∈[c,d],總有/(%)<g(j?)成立,故/(*)max<g(??)mil,;

(2)若％e[α,句,3x2e[c,d],有f&)<g(%)成立,故/(x)raκ<g(%)mα；

(3)若玉?w[α,句,?∈[c?,J],有F(Xl)<g(%)成立,故f(x)mill<g(w)min;

(4)若V%w[α,司,3?∈[c,d],有"(xj=g(x2),則〃力的值域是g(x)值域的子集.

IYl-1]

7.(2022?全國,高三專題練習(xí)(理))已知函數(shù)/(x)=X—mlnx—------("2∈R),^(x)=-x2+eχ-xex.

X2

⑴若m<e+l,試求TW在[1,e]的最小值;

(2)當(dāng)"?≤2時(shí)，若存在x∕∈[e,e2],使得對任意的X2∈[-2,0],/M)≤g(x2)成立，求實(shí)數(shù)小的取值范

圍.

【答案】(1)當(dāng)∕n≤2時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值為2-m；當(dāng)2vmve+l時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值為

∕π-2-wln(m-l)

e2-e+l

⑵

e+1

(1)

/W—1

f[x)=χ-i7i?nx------,且定義域(0,+o0),

X

f(x)=l-+=(x-l)[x-(m-l)],

①當(dāng)m≤2時(shí).，若x∈[1,e],則/(x)≥0,

「?凡r)在[1,e]上是增函數(shù)，則7U)min=/⑴=2一九

②當(dāng)2<m<e+l時(shí)，若x∈[l,m一1],則了(X)≤0;

若1,e],則/(Λ)≥0.

?r)min=J[fn-l)=m-2-m?r?(f∏-l).

(2)

已知等價(jià)于/(X∕)min≤g(X2)min?

由(1)知"Z≤2時(shí)，在笛∈[e,e2]±?∕(x∕)≥O,

所以汽燈為單調(diào)遞增函數(shù)，

〃、/T、m-?

「?J(-V∕)min=∕(e)=e-/72-----------.

e

又/(x)=x÷eχ-(x÷l)ex=x(l-ex),

當(dāng)X2∈[-2,0]時(shí)，g’(X2)≤0,g(X2)min=g(0)=L

所以m≤2且e—一竺二Li,???c2-e+1≤,n≤2.

ee+1

「e2—e+l1

所以實(shí)數(shù)，”的取值范圍是———,2.

e+1

8.(2022?黑龍江?鐵人中學(xué)高二期中)已知函數(shù)/(x)=x—(α+l)lnχ-3(α∈R),g(x)=^?x2+eχ-xex.

(1)當(dāng)x∈[l,e]時(shí),求/(x)的最小值；

(2)當(dāng)時(shí)，若存在Meee2],使得對任意的X20—2,Ob∕%)<g(x2)恒成立，求a的取值范

圍.

(1-2e>

【答案】(1)答案不唯一，具體見解析；(2)-e一-J.

(e+1)

【詳解】(1)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),f(χ)=

(DX,"

①當(dāng)a≤l時(shí)，x∈[l,e],f(x)≥O,

/W為增函數(shù)，f(×)min-f(1)=I-CL

②當(dāng)l<a<e時(shí)，

x∈[l1時(shí),F(X)≤0,/W為減函數(shù);

x∈[a,e]時(shí),f(x)≥O,f(x)為增函數(shù).

所以f(×)min-f(a)=a-(a+l)?r?a-l.

③當(dāng)a≥e時(shí)，x∈[l,e]時(shí)，f(×)≤0,

/(x)在口，e]上為減函數(shù).

f(×)min=f(e)=e-(a+l)—-.

e

綜上，當(dāng)a≤l時(shí)，f(×)min=l-a;

當(dāng)l<o<e時(shí)，/(x)m∕n=a-(σ+l)lna-1；

當(dāng)a≥e時(shí)，f(×)min=e—(a÷l)—-.

(2)由題意知HR(X∈[e,閩)的最小值小于g(χ)(χ∈[-2,OD的最小值.

由(1)知當(dāng)Q<1時(shí)，/(X)在R圖上單調(diào)遞增，

f(x)min=f(e)=e—(G÷1)—-.

e

g,(x)=(l~e×)x.

當(dāng)x∈L2,0]時(shí),g'(x)≤0,g(x)為減函數(shù).

g(x)min=g(0)=l.

所以e—(α+l)-3<l,即。>三名，

ee+1

所以α的取值范圍為^,1.

【e+1J

9.(2022?河北?石家莊二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試)設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=2x3-3Y+a,

g(x)=x2(21nx-3).

⑴若函數(shù)/(x)與X軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵對于Vx∣w[T,2],3x2∈[l,e],都有〃xj≥g(xj,試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴0<“<l

(2)[5-e2,+∞)

(1)

/',(X)=6X2-6X=6X(X-1),

由r(x)>0,解得x>l或X<O;由r(x)<0解得0<x<l,

所以F(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,+∞)上單調(diào)遞增，

若函數(shù)“X)與X軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，則解得0<“<l,

所以若函數(shù)/(x)與X軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)"的取值范圍為0<α<l:

(2)

對于VΛ?e[-l,2],Bx2∈[?,e],?β??(?,)≥?(?),則〃芭)而了8?)而.，

由(1)知函數(shù)〃力在[TO)匕單調(diào)遞增，

在(0,1]上單調(diào)遞減，在(1,2]上單調(diào)遞增，又/(—l)=a—5,/(l)=6t-l,

故當(dāng)xe[T,2]時(shí)/(%n="T)=α-5,

因?yàn)間(x)=χ2(21nx-3),且x∈[l,e],則/(x)=4x(InX-I)≤4x(l-1)=。,

故函數(shù)g(x)在[l,e]上單調(diào)遞減,故g(x)nil1=g(e)=-e>,

由題意可得a—5≥γ2,故a≥5-e?.

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為[5-e2,+∞).

yvι-4-]∏?

10.(2022?河南安陽?高二階段練習(xí)(文))已知函數(shù)/(X)=----------,g(x)=2xlnx+χ2-ar+3,m,

X

QWR.

⑴求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)W=O時(shí)，若0e[l,e],現(xiàn)W?,e使〃。送㈤成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】⑴/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為((),e~'),單調(diào)遞減區(qū)間為(ei,+oo)

(2)α≥4

⑴

由/(X)=空處，則小)=匕組地上駕過

XXX

由(I-W)TnX<0,解得χ>ef,(I-M-InX>0,W?Mθ<x<e'^m

所以當(dāng)x>ej"時(shí)，f'ω<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)0<χ<e2'時(shí)，ΓU)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞

增.

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為((),e'^m),單調(diào)遞減區(qū)間為(e-',+8)

(2)

當(dāng)加=0時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減

所以函數(shù)f(x)在[l,e]上單調(diào)遞增.在[e,e[上單調(diào)遞減，

2

又/⑴=0,/(e)≈??,所以“X)Zn="1)=0

Fe[l,e[,3x2∈?,e使/(5)..g(x2)成立，即ONg(X2)

即Hre-,e使0≥2xlnx+f一公+3成立

e_

3「1

即q≥21nx+x+-在x∈-,e上有解

X|_e_

2

設(shè)MX)=2?nx+x+~,則//(x)=-+l-4=-+II=(EFT)

XXjrXX

所以當(dāng)1<x<l時(shí)，∕z'(x)<O,/?(X)單調(diào)遞減.

e

當(dāng)l<x≤e時(shí)，/ι,(x)>0,MX)單調(diào)遞增.

所以∕z(x)≥∕z(l)=4

3「1"I

要使得“≥21nx+x+—在x∈-,e匕有解.，則1≥4

Xe

11.(2022?吉林?延邊二中高二期中)設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)"x)=x3-3x2+α,g(x)=xlnx.

⑴若函數(shù)/(x)與X軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，求。的范圍

⑵對于FWI,3],MeJe,都有〃占)“伍)，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴(0,4)

(2)[e+4,÷x)

⑴

∕'(x)=3/-6x=3x(x-2)

由F(X)>(),解得x>2或x<0：由/'(x)<0解得0<x<2

所以/(x)在(y,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.

函數(shù)“X)與X軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，則伉2j=-4+α<0解得°<“<4

所以函數(shù)/(x)與X軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)。的取值范圍0<“<4

⑵

對丁?VΛ1∈[1,3],Vx2∈?,e,都有/(χj≥g(%),則/(5)mta≥g(%)maχ.

由(1)可知，函數(shù)/(x)在[1,2)上單調(diào)遞減，在(2,3]上單調(diào)遞增,

故當(dāng)xe[l,3]時(shí)，"xL="2)=α-4,

因?yàn)間(x)=xln*,且XG?,e,則g'(x)=l+lnx≥0flg'(x)不恒為零，

故函數(shù)g(x)在：，e上單調(diào)遞增，故g(x)nm=g(e)=e,

由題意可得α-4≥e,故“≥e+4.

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為[e+4,E)

12.(2022?四川省資陽中學(xué)高二期中(理))已知/(x)=InX-,n∕-(2m-l)x(meR),

g(χ)=?∣^-χ2-i?

(1)當(dāng)〃?=1時(shí)，求/(X)極值；

(2)討論“X)單調(diào)性；

(3)當(dāng)機(jī)>0時(shí)，若對于任意內(nèi)>0,總存在X2G[-2,-1],使得/(xj≤g(xj,求〃?的取值范圍.

【答案】(1)極大值為=-ln2,無極小值

4

(2)答案見解析

(3)f-+∞

由題可知，函數(shù)定義域?yàn)?0,+a，由r(x)=_(2x”(x+i)

當(dāng)r(χ)>o,解得o<χ<g,當(dāng)r(χ)<o,解得尤>；,所以函數(shù)/(χ)在X=J處取得極大值

：Tn2,無極小值.

(2)

〃小(2"AI)(X+1)

①所以當(dāng)〃z≤o時(shí)，有r(χ)>o恒成立，F(xiàn)(X)在(0,+。。)單調(diào)遞增,

②當(dāng)〃2>0時(shí)，由f'(x)>0解得：xe(°，L/(x)在(°，1)上單調(diào)遞增：

由J"(x)<。解得：xe[2w,+ccj,/(x)在—,+s)上單調(diào)遞減；

綜上，W≤0時(shí)，/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增；機(jī)>0時(shí)，〃x)在(0,上單調(diào)遞增，在(5，+81二

單調(diào)遞減.

當(dāng)相>0時(shí)，f(x?xm=f-In2m-1,

根據(jù)題意,不等式等價(jià)于*-ln2∕n-l≤g(x2)maχ,x2∈[-2,-1],

對于g(x)=5一/一1,g'(χ)=∕-2x>0,X∈[-2,-1].

所以g(x)在xw[-2,T上單增，所以g(χ)maχ=g(-l)=(-2,則有/--ln2%-l≤J-2,

乙D4TΛΛLND

設(shè)MM=-^——In2m-1,(加>0),則=-^—<0,

4m^m

〃(⑼在定義域內(nèi)為減函數(shù)-2,所以機(jī)≥?∣,即用的取值范圍是

③變更主元法

1.(2022?全國?高一一課時(shí)練習(xí))已知對任意me。,3],otd一松一∣<一機(jī)+5恒成立，則實(shí)數(shù)X的取

值范圍是()

C?D?W,W)

【答案】D

【詳解】對任意機(jī)c[l,3],不等式〃a2_爾_]<_加+5恒成立，

即對任意〃z?1,3],"J_%+1)<6恒成立，

所以對任意me[1,3],f-x+l<色恒成立，

m

所以對任意me[l,3],χ2-x+l<[9]=2,

Im√min

所以/一x+l<2,解得匕逝<χ<匕且，

22

故實(shí)數(shù)X的取值范圍是??,??^j.

故選：D.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=χ2+αx+3,若α∈[4,6]J(x)Nθ恒成立，則實(shí)數(shù)X的取

值范圍是.

【答案】(-∞,-3-√6][-3+√6,+∞)

【詳解】令〃(o)=x"+∕+3,當(dāng)αe[4,6]時(shí)，伙α)NO恒成立，

fΛ(4)>0,[X2+4X+3≥0,LL

只需，Aa>n?÷?≤-3-y∕βsKX≥-3+>/6.

(Λ(6)≥0,[x'+6x+3≥0,

所以實(shí)數(shù)X的取值范圍是(fo,-3-#][-3+瘋+8).

故答案為：(7,-3-#]I[-3+#,+8)

3.(2022?福建省永泰縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試)定義在(-U)上的函數(shù)”x)滿足對任意的X,

ye(T,l),都有/(x)+∕(y)=∕1^J,且當(dāng)Xe(0,1)時(shí)，/(x)<0.

⑴求證：函數(shù)/(x)是奇函數(shù)；

(2)求證：/(x)在(TI)上是減