2023屆高考前復習（上海）1-1集合與常用邏輯用語四大考點與真題訓練（解析版）

2023年高考數(shù)學考前30天迅速提分復習方案(上海地區(qū)專用))

專題1.1集合與常用邏輯用語四大考點與真題訓練

考點一：集合的含義與表示

一、填空題

1.(2022?上海青浦?統(tǒng)考二模)已知集合A=,[∕√+lJ,其中1走A且$+，</,函數(shù)

_6J6

JM=9且對任意α∈A,都有/(α)cA,則/的值是.

X-I

【答案】叵旦或3.

2

【分析】先判斷區(qū)間上J+1]與X=I的關(guān)系可得r>l,再分析s+[<l時定義域與值域的關(guān)系，根

據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可確定定義域與值域的區(qū)間端點的不等式，進而求得S和/即可.最后分析當

s>l時，/(x)∈ι+∣,ι+^4jU1+—?,1+土，從而確定定義域與值域的關(guān)系，列不等式求

L^.」S———

L6J

解即可

【詳解】先判斷區(qū)間山+1]與X=I的關(guān)系，因為I任A,故r+l<l或CL因為當r+l<l,即f<0

時，由題意，當tcA時，-^->0gA,故不成立；故r>l.

t-?

再分析區(qū)間s,s+J與X=I的關(guān)系，因為1WA,故s+!<l或s〉l.

_oj6

①當s+,<l,即s<3時，因為/(X)=T在區(qū)間s,s+g上為減函數(shù)，故當Xes,s+。

66XTL6JL6

1

/(x)因為‘、<1，而7>1，故此時s,s+一

5-16

八

s≥s1--S~2---1-1-s——1≤/0

666故6U=。,解得「增'因為

因為s。，故,6BP-

O1/25

s+-≤s-22。

6666

5

故S=JJ_Ji，，.此時區(qū)間5,5+?在X=I左側(cè)，在"+1]在X=I右側(cè).故當xe[∕"+l]時,

12L6J

/(χ)e^~^,~y,因為Y?,i,故qp/+ι],所以，；，此時

仁:黑，故—。，解得”萼，因為故

②當s>l時，/(x)=l+=在區(qū)間Xes,s+[U[f,f+1]上單調(diào)遞減，易得

t

1111111，故此時,且,

?(?)e1+7'1+7≡TU1+?6即

IrFl+-<s+-1

6t-?6?1+-―-≤t+11

11

t≤口÷Λ≥t

1≤r且6即

1÷

-51

s————<t

6.5—1

1_r+6

2

7≡T~z-r-6=0,因為ι>l,故「=3；

綜上所述，或3

故答案為：軍或3.

2.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)Z是方程x+'=√∑的一個根，集合

X

M={ψ=z2π-',n∈N?},若在集合,種任取兩個數(shù)，則其和為零的概率為—

【答案】?

【分析】由題意解出Z=且±立i,根據(jù)復數(shù)的乘方以及集合的互異性確定

22

根據(jù)古典概型處理運算.

【詳解】舊S即匕缶+.0,解得Z4士卓

當Z=走+烏時,

22

則z3=一變+變i,

,5一也ZJ在一名

2222

當Z=巫-g時,

22

則Z3=-也-也i,.5-√2.√2Z7-√2,√29-√2√2.

------1-----1Z=-----------------1,…

222222

則集合M有4個元素：zL,一字，Z2=-孝+字，N,=乎+率,√2√2.

1即

22

zz,z,z,zz,zz,ZZ,

若在集合力沖任取兩個數(shù)，共有如下可能：2IZ2,134232434共6個基本事件，其和為

21

零的有z∣Z3,Z2Z4,共2個基本事件，則其和為零的概率為P===;

63

故答案為：?.

3.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預測）已知集合A={x∣∕-4x<0,xeN*},則用列舉法表示集合

A=______

【答案】{1,2,3}

【分析】根據(jù)不等式的解法，求得0<x<4,進而利用列舉法，即可求解.

【詳解】由不等式f-4χ<0,可得MX-4)<0,解得0<x<4,

即集合4=*|0<*<4且X€%*}={1,2,3}.

故答案為：{123}.

4.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預測)已知集合A={χf-3x≤O,x∈Z},用列舉法表示集合A為

【答案】{0,1,2,3}

【分析】解一元二次不等式，根據(jù)集合描述法得到集合的列舉法表示.

【詳解】由/一3χ≤0可得0≤x≤3,

.?.4={小2一3x≤0,x∈z}={θ,l,2,3},

故答案為：{0,1,2,3}

5.(2021?上海?統(tǒng)考模擬預測)已知集合A={l,2,3},B={?,m,n},若3-％∈A,〃+lwA,則

非零實數(shù)機+〃的可能取值集合是

【答案】{2}

m=2[m=0

八或C，即可得到答案.

{〃=O[n=2

【詳解】因為3-m∈A,所以3-m=1或3-m=2或3-m=3,

解得=2或機=1或6=0,

因為"+1∈A,所以〃+1=1或〃+1=2或〃+1=3,

解得〃=0或〃=1或〃=2,

又因為8={l,w},所以(或{,即6+〃=2.

n=()[n=2

故答案為：{2}

6.(2021?上海?統(tǒng)考模擬預測)設{叫是集合d∣O<f<s,且s∕eN}(其中e為自然對

數(shù)的底數(shù))中所有的數(shù)從小到大排成的數(shù)列，若lg%“<10，則”的最大值為.

【答案】138

【分析】先觀察到s=k時的所有項都小于s=a+l的任意一項，然后計算得到

23023

e<10'<(e-l)e=e^-e^,可知2m≤276,即可得到結(jié)果.

【詳解】解：記{%}中的項為品，

當s=kkeN)時，f=0,1,2,…，k-?,

其中r=0時，?！叭∽畲笾礶*,

當s=A+l時，t=0,1,2,…，k,

其中Z=A時，4取最小值JT-e3

顯然e"∣-e*>i,

即S=Z時的所有項都小于s=Z+l的任意一項，

故{%}從小到大排列順序為al2,a02,%,ɑ,?,am,

由Inloa2.303,得23<101nl0<23+ln(e-l),

.?.e23<10M<(e-l)e23=e24-e23,

又評-e°為數(shù)列的第(1+2+…+23)=276項，

.?.e"-e23為數(shù)歹(I的第277項，

要使Ig%”<10，即％π<ιo'°,

/.2m≤276,m≤138,

.?.m的最大值為138.

故答案為：138.

【點睛】本題考查了指對數(shù)的大小比較，不等式的問題，考查了集合中元素的互異性，靈活程

度很高.

7.(2021?上海?統(tǒng)考一模)已知集合A={x,f}(xeR),若IeA,貝IJX=.

【答案】T

【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系以及集合的特征即可求解.

【詳解】A={x,x"(xeR),kA,

貝!Jx=I或f=1,

解得X=I或1二一1,

當x=l時，集合A中有兩個相同元素，(舍去)，

所以X=T.

故答案為：-1

8.(2021?上海奉賢?上海市奉賢中學校考二模)不等式H￡>0的解集為例，且2￡”,

X+a

則實數(shù)”的取值范圍是.

【答案】(-∞,-2]54,+8)

【解析】由題可知實數(shù)。滿足竿W≤O或2+α=O,解出即可.

【詳解】由題可知實數(shù)。滿足浮W≤O或2+α=0,

解得"-2或a≥4或q=-2,

故實數(shù)”的取值范圍是(-∞,-2]54,+∞).

9.(2021?上海閔行?上海市七寶中學?？寄M預測)已知集合

A={x∣x=cos2色產(chǎn)，當〃，為4022時，集合A的元素個數(shù)

為.

【答案】1006

(2n-l)π

I+COS

【詳解】由加=4022,得到集合4中的r_?(2n-l>_2011，

m2

在一個周期內(nèi)，CoS嗡詈有1006個不同的值，

所以集合A中的元素個數(shù)為1006.

故答案為1006.

【點睛】本題主要考查二倍角的余弦公式、余弦函數(shù)的周期性，掌握集合中元素的互異性，意

在考查綜合所學知識解答問題的能力，是一道基礎(chǔ)題.

二、解答題

10.(2022?上海青浦?統(tǒng)考二模)設函數(shù)F(x)=χ2+pχ+q(p,qeR),定義集合

Df=W/(/(X))=x,xeR},集合號={xI/(/(x))=0,x∈R}.

⑴若P=q=O,寫出相應的集合巧和馬；

⑵若集合0={0},求出所有滿足條件的PM;

⑶若集合號只含有一個元素，求證：P≥O,q≥Q.

【答案】⑴0={OJ,Ef=[G}

(2)p=l,q=O

(3)證明見解析

【分析】(1)由d=x、∕=o解得X,可得巧，Ef.

(2)由/(/(x))—X=。得f+(p+l)x+p+q+1=0或￡+(P-I)X+q=0,然后由

2

A=(P+1)2-4(p+q+l),Δ2=(P-I)-?>Δ,,方程/(/(x))-x=O只有一個實數(shù)解0,得

Δ2=0,Δ,<0,轉(zhuǎn)化為f+(pT)χ+g=O有唯一實數(shù)解0,可得答案；

(3)由條件，/(F(X))=O有唯一解，得/(X)=O有解，分/(X)=O有唯一解而、/(X)=O有兩個解

χpχ2U,<χ2),結(jié)合/(χ)的圖像和實數(shù)解的個數(shù)可得答案.

【詳解】(1)f(X)=X2,Z(Z(X))=X4,由d=X解得X=O或X=I,由/=()解得X=0,所以

Dz={0,l},Ef=W.

(2)由/(/(x))-X=f(f(x))~/(%)+fix')-X=f-{x)+pf(x)-X2-px+f(x)-x=

(f(x)+x+p+l')(f(x)-x)=(x2+(p+l)x+p+q+?)(x2+(p-l)x+q)=0,

得χ2+(p+l)χ+p+g+l=0或χ2+(P-I)X+q=0,

2222

?L=(P+1)-4(P+?+1)=(P-1)-?-4,Δ2=(P-D-?=(∕7-1)-4?>Δ1,而方程

/(/(X))-x=0只有一個實數(shù)解0,所以&=0,4<0,

即只需一+(P-DX+4=0有唯一實數(shù)解0,所以p=l,q=0.

(3)由條件，/(/(x))=0有唯一解，所以/(χ)=0有解，

①若/(x)=0有唯一解馬，則AX)=(X-%)2,且/(x)=%有唯一解，結(jié)合/O)圖像可知％=0,

所以f(x)=χ2,所以P=<7=0.②若/(X)=O有兩個解x∣,%(x∣<々)，

貝IJ/(X)=(X-X)(X-W),且兩個方程AX)=X,,F(X)=%總共只有一個解,結(jié)合/(X)圖像可知

/(X)=W有唯一解，所以與<°，占<。，所以4=中2>°，且/(X)的對稱軸x=-?∣<0，所以

P>Q,所以p>O,g>O.

綜上，p≥O,q≥O.

【點睛】本題主題考查了二次函數(shù)與二次方程之間的關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，方程根與系數(shù)的應用，

考查了系數(shù)對新定義的理解能力及計算能力.

考點二：集合間的基本關(guān)系

一、單選題

1.(2022?上海奉賢?統(tǒng)考模擬預測)已知集合A={x∣-∕+x+2≥0,xeN},則滿足條件

AUB=A的集合8的個數(shù)為()

A.4B.7C.8D.16

【答案】C

【分析】求解一元二次不等式化簡A,結(jié)合ADB=A,得B=A,求得A的子集個數(shù)即可.

【詳解】因為A={x∣-/+x+2≥0,x∈N}={x∣-1≤x≤2)={0,l,2}

^Auβ=A,則BuA,所以滿足條件AUB=A的集合8的個數(shù)為23=8.

故選：C.

2.(2022?上海閔行?上海市七寶中學?？寄M預測)已知集合A=",,%，.*)且

X1<X2<x3<X4,定義集合匹卜氏=!%-》/*~/—/、/=］、?、?、*若8=A,給出下列說法：

φxl+x4=x2+x3;②2&=芭+當；③2X3=W+X4;其中所有正確序號是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】由集合的新定義結(jié)合B=A,可得鼻-9=Z-W=W-斗，由此即可求解

【詳解】因為集合4={玉,毛，七，工4}且王<電<七，

若B=A,

則8中也包含四個元素，即B={0,x2-xl,X,-XI,?-Λ1),

剩下的X3-W=X4-X3=X2-X∣，

對于①：由Λt-??=々-西得七+%=々+三，故①正確；

對于②：由尤3-%2=々-不得2X2=X∣+J?,故②正確；

對于③：由三-%=X4-三得2X3=々+%，故③正確；

故選：D

二、填空題

3.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預測)已知集合A={l,2},8={l,α},且A=B,則。=

［答案］2

【5析】利用集合相等的定義求解即可.

【詳解】因為A={1,2},3={1M}且A=B,

所以集合AB中元素相同，

所以4=2,

故答案為：2

4.（2023?上海閔行?上海市七寶中學?？寄M預測）設已知集合

A={l,3,α},B={l,q2-α+ι},且B=4,貝IJa=.

【答案】T或2

【詳解】BcA,.-.a2-a+?=3^a2-a+l=a.

①由∕F+I=3得"一"2=0解得a=-1或。=2,當a=-1時，A={1,3,T},B={1,3},滿足

BcA,當a=2時，A={1,3,2},B={1,3},滿足B=A,②由/—a+1=a得/一2a+1=0,解

得a=l,當。=1時，A=jl,3,l}不滿足集合元素的互異性，綜上，若B=A,則a=T或

。=2,故答案為T或2.

5.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預測）已知集合4=卜產(chǎn)+犬_2=0},8=3版+1=0},若BqA,

則實數(shù)a的取值組成的集合是__________.

【答案】{TO，；}

【分析】先確定集合A中的元素，然后結(jié)合子集的概念，分8=0,8聲0兩種情況討論即可

得出結(jié)果.

【詳解】集合A={x∣f+x-2=。}={-2,1},B≈{x∣ar+l=0},

當8=0,即a=0時，顯然滿足條件8=4；

當8M0時，即awθ,則8

因為B=A,所以8={-2}或B={l},即一,=一2或一工=1,解得a=［或a=T,

aa2

綜上，實數(shù)a的取值組成的集合是.

故答案為：卜ι,°［}?

6.（2022?上海松江?統(tǒng)考一模）已知集合A=卜∣2≥l,xeR1.設函數(shù)y=l°g∣x+"（xeA）

Ix-2J2

的值域為8,若B=A,則實數(shù)“的取值范圍為.

【答案】（4,5］

【分析】根據(jù)分式不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的值域以及集合間的包含關(guān)系即可求解.

22x-2

【詳解】由FNI得≥0,BP—≥0,

x-2X-2x—2

(4-X)(Λ-2)≥0-C,

所以x≠2‘解得Ze”.

所以A=(2,4].

因為XeA=(2,4],

所以IOgLXe[-2,-1)/OgIX+αe[-2+4,-l+4),

22

所以3=[-2+α,-l+a),

—2+。＞2

因為B=A,所以T+4≤4'解得"a",

所以實數(shù)α的取值范圍為（4,5].

故答案為：（4,5].

7.（2022?上海普陀?統(tǒng)考二模）從集合{4,b,c}的非空子集中隨機任取兩個不同的集合“和

N,則使得Λ∕cN=0的不同取法的概率為（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.

【答案】I

【分析】首先求出集合{4,b,c?}的非空子集個數(shù)，依題意對集合M、N中元素的個數(shù)分類討

論，最后利用古典概型的概率公式計算可得；

【詳解】解：集合{α,b,c}的非空子集有2'-l=7個，

從中任取兩個不同的集合M和N共有A；=42種，

要使MCN=0,

①M中含有1個元素，N中也含有1個元素，有C；C；=6種，

②M中含有1個元素，N中含有2個元素，有C；C；=3種，

③〃中含有2個元素，N中含有1個元素，有C；C；=3種，

即滿足MCN=0的集合M、N的取法有6+3+3=12種；

故概率尸=苣="；

故答案為：,∣

8.（2022?上海金山?統(tǒng)考二模）已知集合A={T3,0},8={3,∕√},若B=A,則實數(shù)用的值

為.

【與析】解方程M=O即得解.

【詳解】解：因為B=A,所以>=T（舍去）或加=（）,

所以能=0.

故答案為：O

9.（2022?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預測）設集合M={∕M},N={1},若

N=M,則"的值為.

【答案】-1

【分析】由集合元素的特性確定a的取值范圍，再利用包含關(guān)系列式計算作答.

【詳解】由集合缺口，a2≠a,則α≠0且因N={l},N匚M,

于是得。2=1,解得α=T,

所以。的值為-1.

故答案為：-1

10.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預測）設集合"={0,l,2},N={1M},若M?N,則實數(shù)〃=

【答案】0,2

【分析】利用子集的定義即可求出。的值.

【詳解】集合M={O,L2},N={l,α},若M=N,則awM且aWl,

所以“=0或2,

故答案為：0,2

【點睛】本題主要考查了子集的定義，涉及元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列{4}的前〃項和為S,,,并且%=2,其=15,

數(shù)列也}滿足〃=2-*（"eN+）,記集合M=YI2S,f≥a”N*.,若M的子集個數(shù)

為16,則實數(shù)4的取值范圍為.

【答案】?<A≤1

Io

【詳解】由題設可得=所以S,=4等，又〃=2-野，故2也=噂則

Cl,I乙Cl—?Ci—1L2.L

-)

n+2+1)/?(/?+!)

λ<-----X,即％≤令〃〃)==

2π/2+22〃

Q3515

則/■⑴=1,/(2)=4,/(3)=-,/(4)=j,/(5)=-.

ZZ4Io

2

下面研究數(shù)列/(?)=??的單調(diào)性，

???小+1)-小)=嗎產(chǎn)-寧=胃口

.?.”?3時，f(加1)-/(/?)<0,f(zr∣-l)<f(n'),即f(〃)單調(diào)遞減.

：集合臍KJ子集個數(shù)為16,

."沖的元素個數(shù)為4,

二不等式展≥/，解的個數(shù)為4,

Λ—<Λ≤1

16

應填答案整<∕l≤l?

16

考點三：集合的基本運算

一、單選題

1.(2022?上海?上海中學?？寄M預測)已知集合A={(x,y)k+y=2},

3={(x,y)∣x-2y=-4},則AB=()

A.{0,2}B.(0,2)C.0D.{(0,2)}

［答案］D

［^］兩點集的交集，即這兩條直線的交點.

【詳解】AcB=1(x,y){：：；；：_4,={(□2)}

故選：D.

2.(2022?上海普陀?統(tǒng)考一模)設4、4、&、L、4是均含有2個元素的集合，且

AICA7=0,4cΛw=0(i=l,2,3,,6),記B=AUA274^^4,則B中元素個數(shù)的最小

值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】設玉、々、L、x,,(“≥4)是集合B互不相同的元素，分析可知〃≥4,然后對〃的取

值由小到大進行分析，驗證題中的條件是否滿足，即可得解.

【詳解】解：設4、巧、L、七(〃24)是集合B互不相同的元素，若〃=3,則A1CA2*0,

不合乎題意.

①假設集合8中含有4個元素，可設A={χ∣,W},則4=A=A={w，xj，

4=A=4={X∣,Λ?},這與AcA7=0矛盾；

②假設集合8中含有5個元素，可設A=A={X∣,J?},A2=A7={?,?}?

滿足題意.

A,={x5,xl},A4={X2,X3},A5={?,Λ?},

綜上所述，集合B中元素個數(shù)最少為5.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查集合元素個數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于對集合元素的個

數(shù)由小到大進行分類，對集合中的元素進行分析，驗證題中條件是否成立即可.

3.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預測)已知全集U=R,則正確表示集合仞={-1,0,1}和

N={x∣χ2+2χ=o}關(guān)系的韋恩圖是()

【分析】根據(jù)M，N之間的關(guān)系進行判斷即可.

【詳解】由Y+2χ=0,解得X=O或x=-2,則N={-2,0},

又因為〃={-1,0,1},所以集合N與集合M有公共元素0,且沒有包含關(guān)系，

故選項A中的韋恩圖是正確的.

故選：A.

4.(2022?上海?上海中學?？寄M預測)已知集合M={(x,y)∣Y+y2≤i},若實數(shù)zl,〃滿

足：對任意的(x,y)eM,都有則稱U,〃)是集合〃的“和諧實數(shù)對"，則以下

集合中，存在“和諧實數(shù)對”的是

A.{(λ,μ)?λ+jLi=4}

B.{(Λ∕∕)∣Γ+√=4}

C.{(4〃)|儲一4〃=4}

D.{(ΛZ∕)∣Λ*2-***67∕∕2=4}

【答案】C

【詳解】試題分析：分析題意可知，所有滿足題意的有序?qū)崝?shù)對(4〃)所構(gòu)成的集合為

[{λ,μ)?-?<λ<?,-?<μ<?],將其看作點的集合，為中心在原點，(-U),(-I-D,(1,-1),

(Ll)為頂點的正方形及其內(nèi)部，A,B,D選項分別表示直線，圓，雙曲線，與該正方形及其內(nèi)

部無公共點，選項C為拋物線，有公共點(O,T),故選C.

【解析】以集合為背景的創(chuàng)新題.

二、填空題

5.(2023.上海.統(tǒng)考模擬預測)若4={30=仁*€用,8=何"1"2-*)},則4B=

【答案】{x∣0<x<2}

【分析】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)求集合A,8,再結(jié)合集合的交集運算求解.

(詳解】由題意可得：A={y∣y=e",xeR}={y∣y>0},B={x∣y=ln(2—x)}={x∣x<2},

故Ae8={x∣()<x<2}.

故答案為：{x∣0<x<2}.

6.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預測)已知集合A={x∣x≥α},B={T,0,l,2},若AB={l,2},則

a的最大值為.

【答案]1

【分析】根據(jù)已知集合運算結(jié)果得出“的取值范圍，即可得出答案.

【詳解】因為A={x∣x≥α},8={-l,0,L2},AB={l,2},

所以O<α<l,即。的最大值為L

故答案為：L

7.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模)已知集合A=(-2,2),8=(-3,T)U(1,5),則AUB=

【答案】(-3,5)

【分析】運用數(shù)軸法求集合的并手算.

[詳解][I],口Ir

-3-2-10125X

如圖所示，則AB=(-3,5).

故答案為：(-3,5).

8.(2023?上海靜安?統(tǒng)考一模)已知全集為實數(shù)集R,集合M={MA≤22?>≤256},滬

2

{Λ∣log5(x-4x)>1},則方CN=.

【答案】(―,—2)7(5,一)

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式得到"，M，N,然后求交集即可.

【詳解】不等式??≤22,4256可整理為丁422*428,所以-442x≤8,解得-2≤x≤4,所以

16

Λ/=∣x∣-2≤x≤4∣,M={x∣x<-2或x>4},

不等式logs(f-4x)>l可整理為Iogs(χ2-4x)>log55,所以/-4x>5,即(x—5)(x+l)>0,解

得x<-l或x>5,所以N={x∣x<T或x>5},MN=(-∞,-2)(5,-κo).

故答案為：(-∞,-2)55,4∞).

9.(2022?上海閔行?上海市七寶中學?？寄M預測)設全集U={x∣W<3,xeZ},集合

Λ={-?,?},則Q,A=—.

【答案】{-2,0,2}

【分析】解絕對值不等式可求得全集U,根據(jù)補集定義可得結(jié)果.

【詳解】U={XW<3,xeZ}={X_3<x<3,xeZ}={-2,-1,0,l,2},A={-l,l},

.?<,A={-2,0,2}.

故答案為：{-2,0,2).

10.(2022?上海金山?統(tǒng)考一模)若集合A={(x,y)](x+?+x+y-240},

B={(x,y)∣(x-α)2+(y-2a-l)2≤^-l},且AC3≠0,則實數(shù)0的取值范圍是.

【答案】-*-ι

【分析】化簡集合A={(x,y)∣-2≤x+y≤l},其表示兩平行線線上及其中間部分的點(如陰影部

分所示)，集合8表示以M(α?2α+l)為圓心，獷工為半徑的圓及其圓內(nèi)的點，而

AnB≠0,即表示該圓與陰影部分有交點，可利用直線與圓的位置關(guān)系來解決此題.

【詳解】因為A={(x,y)∣(x+y)2+x+y-2≤θ}={(x,y)k2≤x+y41},

所以集合A是被兩條平行直線x+y=-2,x+y=1夾在其中的區(qū)域，如圖所示，

β=?J(x,y)∣(x-α)2+(y-2O-l)2≤a2-lj,

其中(x—α)+(y—2α—1)-=-1由片一1≥O,解得a≤-1或a≥l,

當a=±l時，朦示點(1,3)或(TT),

當ax±l時，B表示以M(a,2a+1)為圓心，廬工為半徑的圓及其內(nèi)部的點，

其圓心在直線y=2x+l上，

依題意AC8H0,即表示圓M應與陰影部分相切或者相交，

當a=T時，顯然滿足題意，當a=l時，不滿足題意，

當a<—1時，因為ACB≠0,

所以d≤r,即也4必二T,

√2

所以(a+D(7a+ll)≤0,

所以-9≤a<-1;

當〃〉1時，因為Ac3工0,

所以d≤r,即血土l∣≤g,

√2

所以7∕+2≤0,無解；

綜上，頭數(shù)。的取值范圍足-1,τ.

故答案為：-%-1

11.(2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模)設A={x∣-l<x<2},B={x∣x∈Z},貝l]4B=.

【答案】{0,1}##{1,0}

【分析】根據(jù)交集的知識求得正確答案.

【詳解】依題意，集合8的元素是整數(shù)，所以A∩3={(U}.

故答案為：{0,1}

12.(2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模)已知全集U=R,集合A={x∣∣x∣>0},則N=.

【答案】{0}

【分析】先化簡集合A,再利用集合補集的定義求解即可.

【詳解】由|目>0解得χ*0,

所以A={x∣XH0},所以N={0},

故答案為：{0}

13.(2022?上海長寧?統(tǒng)考一模)設全集U={1,2,3,4},4={1,3},則彳=.

【答案】{2,4}

【分析】根據(jù)補集定義直接求解.

【詳解】由題全集U={L2,3,4},A={1,3},所以Z={2,4},

故答案為：{2,4}.

14.(2022?上海嘉定?統(tǒng)考一模)已知集合A={x∣∣x-l∣<l},Z是整數(shù)集，則ACZ=

【答案】{1}

【分析】先用公式法解絕對值不等式確定集合A,再取交集即可.

【詳解】.?.-1<X-1<1,.?.0<X<2,.?.A=(0,2),.?.AnZ={l}.

故答案為：{1}.

15.(2022?上海楊浦?統(tǒng)考一模)設集合4={x∣0≤x≤2},集合8={也-140},則AB=

【答案】［o,ι］

【分析】求出集合B,再求交集可得答案.

［詳解】集合8={小—1≤0}={中≤1},則ACB=No≤x41}.

故答案為：［05.

16.(2022?上海閔行?統(tǒng)考一模)若集合M={0,l,2},N={x∣2x—1>0},則MCN=

【答案】{1,2}

【分析】先解得集合N,再根據(jù)交集的運算即可求得McN.

【詳解】集合N={x∣2x-l>0}={x∣x>j),

因為〃={0,1,2},所以MN={l,2},

故答案為：{1,2}.

17.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預測)集合A=N言≤0,xeR1,8={x∣2i<l,xeR},則

ACM)=-

【答案】［1,2)

【分析】先求出集合48進而根據(jù)集合的交集和補集運算即可求得答案.

10

【詳解】由題意，A=［-l,2),β={x∣2'-<2}=(^,l),^=［1,4∞),.?.A^(RB)=［1,2).

故答案為：口,2).

18.(2022?上海徐匯?位育中學?？寄M預測)已知集合

X={l,2,3},ξ,={1,2,3,∕},("∈N*),設S,,={(α,b)∣4整除b或b整除

a，α∈X,b≡Yn},令/(?)表示集合Sn所含元素的個數(shù)，則/(2022)=.

【答案】3709

【分析】根據(jù)S,的定義進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】“2022)表示集合所含元素的個數(shù)，

其中4e{l,2,3},ft∈{1,2,3,,2022},

1整除。的有(1,1),(2,1),(3」),(2,2),(3,3)共5個.

。整除［的:

(1)I整除b的有2022個;

2022

(2)2整除6的有二］一=1011個；

(3)3整除人的有學=674個.

重復的有(1,1),(2,2),(3,3)共3個.

所以/(2022)=5+2022+1011+674-3=3035+674=3709.

故答案為：3709

考點四：常用邏輯用語

一、單選題

1.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標系XOy中，“相<0”是“方程/+W/=1

表示的曲線是雙曲線”的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

［答案］

【彳析】C由雙曲線方程的特征計算得力的范圍，再由集合的包含關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】:F?+沖2=1表示雙曲線,

/.m<0.

??m<O^x2+my2=1表示雙曲線的充要條件.

故選：C.

2.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預測)已知”0,則“∕<q”是“_1>〃”的()條

a

件.

A.充分不必要B.充要

C.必要不充分D,既不充分也不必要

［答案］

【彳析】B解不等式，根據(jù)充要條件的定義判斷即可.

【詳解】由∕<α可得。<0即0m+i)(α-i)<o,

解得α<-l或O<a<l,

11.2

由一>4可得——67>0HP——>0,

aaa

所以(1一α)(l+α)α>0也即α(α+l)(α—1)<0,

解得αvT或0<”1，

所以“/<〃”是“ka”的充要條件，

a

故選:B.

3.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預測)已知。,夕∈R則"sin(α+0=sin20”是

“β=a+2kπ(keZ)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用正弦函數(shù)性質(zhì)得出以夕的關(guān)系，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】由sin(α+")=sin2a,

可得α+尸=2α+2kπ、kGZ或a+［3=π—2a+2kπ.左∈Z,

即β-ajr2kπ{k∈Z)或分=2%)+萬一3。(2∈Z),

所以由“sin(α+∕)=sin2α”推不出“6=α+2Aτr(A+Z)”，由“β=a+2k元也必”可推出

“sin(a+￡)=sin2a”，

所以“sin(α+/7)=sin2a”是“4二?+2左1(左∈Z)"的必要不充分條件.

故選：B.

4.(2022?上海金山?統(tǒng)考一模)已知直線4：3x-(“+2))，+6=0,直線

∕√0r+(2α-3)y+2=0,則“a=_9”是“"4”的()

?.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

［答案］

［分析】C根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合直線平行的等價條件進行判斷即可.

2

【詳解】若。=—9,則兩直線方程分別為4：3x+7y+6=O和Q3x+7y-(=O,

滿足兩直線平行，即充分性成立，

若〃4,

當α=O時，兩直線分另IJ為/］:3x-2y+6=0和4：-3y+2=0,

此時兩直線不平行，不滿足條件.

當ɑ∕0時，若兩直線平行則一=U~∑v≠-,

a(2a-3)2

3—+2)/、/、

由一=—^得3(26?_3)=_Q(Q+2),即々2+&/_9=0,

ClIZtZ-JJ

所以。=一9或。=1,

當"=I時，^=?Ξ^=∣＞不滿足條件.

貝IJaW1,即α=-9,

un

則“。=-9”是li∣∣l2的充要條件，

故選：C

5.(2022?上海長寧?統(tǒng)考一模)設/(X)=X"(",2,-1,;,1,2,31，則“函數(shù)y"(x)的圖

象經(jīng)過點(T,-1)”是“函數(shù)y=∕(x)為奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］C

【彳析】由圖象過點解得a的值的集合，再由奇函數(shù)解得a的值的集合，由兩個集合相等確定充

要條件關(guān)系.

【詳解】YN=F(X)的圖象經(jīng)過點(TT),f(X)=χa,

.?.-ι=(-ιr

又?.?αe{-2,-l,g,l,2,3}

:.a∈{—1,1,3)

?.?y=/(X)為奇函數(shù)，?€{-2,-11,1,2,3)

.?.a∈{—1,1,3)

???“y=∕(χ)的圖象經(jīng)過點(TT)”是“y=∕(χ)為奇函數(shù)”的充要條件.

故選：c.

6.(2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模)設數(shù)列{叫為：…，其

ZZz+?4l?H?oooooooo

中第1項為:，接下來2項均為5,再接下來4項均為J,再接下來8項均為…，以此類推，

1248

記S“=?q,現(xiàn)有如下命題：①存在正整數(shù)Z,使得為＜：；②數(shù)列是嚴格減數(shù)列.下列

判斷正確的是()

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

【答案】D

【分析】由題規(guī)律找出明的表達式，利用不等式的性質(zhì)判斷即可，對”進行分類討論寫出

S”,從而求出腦，利用辿-2＜0即可.

【詳解】由題意得：當2i≤"≤2*T伏wN?)時,

其中〃=2*^'+/H,0≤W≤2^l-l(w∈N),

1＞?

""一Fr-FrT

所以不存在正整數(shù)3使得為＜；,故①為假命題；

K

當〃=2*-l(%eN*)時

I

S“=l+2χL+4χL+8xL+2*^×-J-Γ=?,

"2482lc^'

所以"工」ST電

〃+1nn(n+1)

∕%-Srl

〃(〃+1)

(2,T)XAA

n(∕z+1)

(I-Λ)-^Γ

<0

〃(〃+1)

當n=2i+a,0≤"z≤2i—2()l≥2,機WN)時;

Sn+I

----------S--n=--n--S--n-l-,l-----(-n----+---[-)-S--n-

n÷In7?(n+l)

-Stt

??(??+1)

Qi+”?)、擊-(J)+。"+1)'剎

n(π+l)

(2-k)一擊

<0

n(n+l)

故數(shù)列，彳｝是嚴格減數(shù)列,

所以②為真命題.

故選：D.

Iuunp∣UUΠ∣2∣l∏jn∣2

7.（2022?上海嘉定?統(tǒng)考一模）己知,ABC,那么“kq+∣AB∣TBq<0”是“ABC為

鈍角三角形”的（）

A.充分條件但非必要條件B.必要條件但非充分條件

C.充要條件D.以上皆非

【答案】A

【分析】利用余弦定理得到充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到答案.

IUUUl2IUliI∣2IUiBl2

【詳解】∣AC∣+∣ΛB∣-∣BC∣<0,BP?2+c2-α2<O,

由余弦定理得：c。SA=Zr<0,

Ibc

因為A∈（0,7t）,所以Aee,π）,故—A5C為鈍角三角形，充分性成立，

lUlBl2∣UUU∣2

+∣Λβ∣-∣βcj>o,必要性不成立,

IUUnpIUIBpR

+∣AB∣-∣βC∣<0"是"ABC為鈍角三角形”的充分條件但非必要條件.

故選：AR

8.（2022?上海虹口?統(tǒng)考一模）設^eR,已知直線/：y=皿+1與圓C:/+/=1,貝IJ

“加>0”是“直線/與圓C相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先求出直線與圓相交的充要條件，然后根據(jù)充分、必要條件的判斷即可求解.

【詳解】因為直線Ly=e+1與圓Cd+y2=l,

由點到直線的距離公式可得："=不:<1,解得:

"zcR且mW0,

V!+???2

因為〃2>0成立，則〃?cR且加WO一定成立，

但meR且〃2W0成立，則機>0不一定成立，

所以“加>0”是“直線/與圓。相交”的充分不必要條件,

故選：?.

二、填空題

9.(2022?上海青浦?統(tǒng)考二模)若命題：“存在整數(shù)X使不等式(履-公-1)(尤-2)<0成立”

是假命題，則實數(shù)4的取值范圍是.

f【λ答a.案