9.13菱形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2023-2024學(xué)年蘇科版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)尖子生同步培優(yōu)練習(xí)（含答案解析）

第9章中心對(duì)稱圖形-平行四邊形9.13菱形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）姓名：_________班級(jí)：_________學(xué)號(hào)：_________注意事項(xiàng)：本試卷共24題，解答24道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、解答題（共24小題）1．如圖，已知，分別以、為圓心，以長(zhǎng)度10為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)和．依次連接、、、，連接交于點(diǎn)．（1）判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求的長(zhǎng)．2．如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，以、為鄰邊作平行四邊形，如圖1所示．（1）證明平行四邊形是菱形；（2）若，連接、、，如圖2所示，①求證：；②求的度數(shù)．（3）若，，，是的中點(diǎn)，如圖3所示，求的長(zhǎng)．3．如圖，在菱形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)，且，連接．（1）求證：；（2）當(dāng)，時(shí)，求菱形的邊長(zhǎng)．4．已知：如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，、、分別是對(duì)角線上的四等分點(diǎn)，順次連接、、、．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)滿足條件時(shí)，四邊形是菱形；（3）若，①探究四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；②當(dāng)，時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形的面積．5．已知：如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線的垂直平分線與邊、分別相交于點(diǎn)、．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長(zhǎng)．6．如圖，菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，，在對(duì)角線上．（1）若．①判斷四邊形的形狀并說(shuō)明理由；②若，求線段的長(zhǎng)；（2）將（1）中的線段從當(dāng)前位置沿射線的方向平移，若平移過(guò)程中，求此時(shí)的長(zhǎng)．7．如圖，在菱形中，對(duì)角線和交于點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接、．（1）若，求的度數(shù)；（2）求證：．8．如圖，四邊形是菱形，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求菱形的面積．9．如圖，菱形中，，分別為，上的點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）連接，若，，求的長(zhǎng)．10．如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分．過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)連接．（1）求證；四邊形是菱形；（2）若，，求的長(zhǎng)．11．如圖，菱形的邊長(zhǎng)是10厘米，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，且厘米，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2厘米的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1厘米的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)后，點(diǎn)，停止運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，的面積是8平方厘米；（2）如果的面積為，請(qǐng)你寫(xiě)出關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式．12．如圖所示，在菱形中，，，為正三角形，點(diǎn)、分別在菱形的邊、上滑動(dòng)，且、不與、、重合．（1）證明不論、在、上如何滑動(dòng)，總有；（2）當(dāng)點(diǎn)、在、上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形的面積和的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最小值．13．如圖，已知菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，求菱形的面積．14．如圖，在菱形中，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接、．（1）求證：；（2）點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，若，，試判斷四邊形是什么圖形，并證明你的結(jié)論．15．如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，且，連接、，連接交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若菱形的邊長(zhǎng)為2，，求的長(zhǎng)．16．已知：在菱形中，，點(diǎn)和點(diǎn)分別在邊和邊上，連接、、，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)是邊中點(diǎn)時(shí)，連接對(duì)角線分別交、、于點(diǎn)、、，連接交對(duì)角線于點(diǎn)，在不添加任何輔助線和字母的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中面積等于面積3倍的三角形或四邊形．17．菱形中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上．（1）如圖1，若是的中點(diǎn)，，求證：是的中點(diǎn)．（2）如圖2，若，，求的度數(shù)．18．已知，四邊形是菱形，，的兩邊分別與射線，相交于點(diǎn)，，且．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)不與，重合），求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，連接，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫(xiě)出圖2中三對(duì)相等的線段（菱形相等的邊除外）．19．【猜想】如圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交．于點(diǎn)．．若平行四邊形的面積是8，則四邊形的面積是．【探究】如圖2，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交，于點(diǎn)，，若，，求四邊形的面積．【應(yīng)用】如圖3，在中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，若，，則的面積是．20．如圖，是的角平分線，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果，，求的度數(shù)．21．如圖，是的角平分線，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為菱形；（2）如果，，求的度數(shù)．22．在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）證明四邊形是菱形；（3）若，，求菱形的面積．23．如圖，已知菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，求菱形的面積．24．在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：．（2）求證：四邊形是菱形．參考答案一、解答題（共24小題）1．【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理解答；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理求出，得到答案．【解析】（1）四邊形是菱形，理由如下：由題意得，，四邊形是菱形；（2）四邊形是菱形，，，，在中，，．2．【分析】（1）平行四邊形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，再有條件四邊形是平行四邊形，可得四邊形為菱形，即可解決問(wèn)題；（2）先判斷出，再判斷出，進(jìn)而得出，即可判斷出，再判斷出，進(jìn)而得出是等邊三角形，即可得出結(jié)論；（3）首先證明四邊形為正方形，再證明可得，，再根據(jù)可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：平分，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，又四邊形是平行四邊形，四邊形為菱形；（2）①四邊形是平行四邊形，，，，，，由（1）知，四邊形是菱形，，，，，，，是的平分線，，，，，，，；②，，，，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，；（3）方法一：如圖3中，連接，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，又由（1）可知四邊形為菱形，，四邊形為正方形．，，為中點(diǎn)，，，在和中，，，，．，是等腰直角三角形．，，，．方法二：過(guò)作于，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，又由（1）可知四邊形為菱形，，四邊形為正方形，，，，，，，，，，．3．【分析】（1）由“”可證，即可得出結(jié)論；（2）連接交于，先由菱形的性質(zhì)可得，，，求出、的長(zhǎng)，由勾股定理求出的長(zhǎng)，再由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．【解析】（1）證明：四邊形是菱形，，，在和中，，，，，；（2）解：如圖，連接交于，四邊形是菱形，，，，，，，，，，菱形的邊長(zhǎng)為．4．【分析】（1）連接，由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出、分別為、的中點(diǎn)，證出為的中位線，由三角形中位線定理得出，，同理：，，得出，，即可得出結(jié)論；（2）連接，證出四邊形是平行四邊形，再證明，即可得出四邊形是菱形；（3）①由（2）得：四邊形是平行四邊形，得出，證出，即可得出四邊形是矩形；②作于，于，則，證出是的中位線，得出，證出，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，求出的面積，即可得出結(jié)果．【解析】（1）證明：連接，如圖1所示：四邊形是平行四邊形，，，的中點(diǎn)在上，、、分別是對(duì)角線上的四等分點(diǎn)，、分別為、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，為的中位線，，，同理：，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：當(dāng)滿足條件時(shí)，四邊形是菱形；理由如下：連接，如圖2所示：則，，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是菱形；故答案為：；（3）解：①四邊形是矩形；理由如下：由（2）得：四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是矩形；②作于，于，如圖3所示：則，是的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，，，，，的面積，四邊形的面積的面積．5．【分析】（1）由于知道了垂直平分，因此只要證出四邊形是平行四邊形即可得出是菱形的結(jié)論．（2）根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．【解析】證明：（1）是對(duì)角線的垂直平分線，，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；（2），，，，四邊形是菱形，，在中，設(shè)，則，，，，．6．【分析】（1）①證明與互相垂直平分便可根據(jù)菱形的判定定理得出結(jié)論；②設(shè)，在中，由勾股定理列出的方程，便可求得結(jié)果；（2）分兩種情況：點(diǎn)在點(diǎn)左邊；在點(diǎn)右邊．分別通過(guò)相似三角形的性質(zhì)列出的方程，進(jìn)行解答便可．【解析】（1）①四邊形是菱形．理由如下：四邊形是菱形，，，，，，四邊形是菱形；②菱形中，，，，，，，不妨設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解得，，，；（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)，如圖，，，，，，，，解得，（小于4，不合題意，舍去），或，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，如圖，，，，，即，解得，（舍，或，綜上，或．7．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得，，，則，即可得出；（2）先證，得，再證，即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：四邊形是菱形，，，，，，；（2）證明：四邊形是菱形，，，，，，，，，在和中，，，．8．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)即可得到是的平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得．（2）由勾股定理即可得到菱形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式，即可得出結(jié)論．【解析】（1）四邊形是菱形，是的平分線，又，，．（2）設(shè)，則，，，中，，即，解得，，菱形的面積．9．【分析】（1）連接，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，根據(jù)對(duì)邊分別平行證明是平行四邊形即可．（2）過(guò)點(diǎn)作，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【解析】（1）證明：連接，如圖四邊形是菱形，平分，且，，，．又菱形中，，四邊形是平行四邊形．（2）解：過(guò)點(diǎn)作于．，，，，，在中，，，．，在中，根據(jù)勾股定理得，．10．【分析】（1）先證出，進(jìn)而判斷出，得出，即可得出結(jié)論；（2）先證出，再求出，利用勾股定理求出，得出，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：，，為的平分線，，，，，四邊形是平行四邊形，，是菱形；（2）解：四邊形是菱形，，，，，，，在中，，，，，，，．11．【分析】（1）根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)是10厘米，厘米，可得厘米，厘米，設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，根據(jù)的面積是8平方厘米，列出方程即可得結(jié)論；（2）分三種情況討論：根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置確定的取值范圍進(jìn)而可得關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式．【解析】（1）菱形的邊長(zhǎng)是10厘米，厘米，厘米，厘米，設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，的面積是8平方厘米，根據(jù)題意，得，，，，，，解方程得，，，均符合題意，答：當(dāng)運(yùn)動(dòng)2秒或8秒時(shí)，的面積是8平方厘米；（2）根據(jù)題意，得①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，．12．【分析】（1）（1）先求證，進(jìn)而求證、為等邊三角形，得，進(jìn)而求證，即可求得；（2）根據(jù)可得，故根據(jù)即可解題；由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形的邊與垂直時(shí)，邊最短．的周長(zhǎng)會(huì)隨著的變化而變化，求出當(dāng)最短時(shí)，的周長(zhǎng)即可．【解析】（1）如圖，連接，四邊形為菱形，，，是等邊三角形，，，，，，，和為等邊三角形，，，在和中，，．；（2）四邊形的面積不變，的周長(zhǎng)發(fā)生變化．理由如下：由（1）得，則，故，是定值，作于點(diǎn)，則，．的周長(zhǎng)由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形的邊與垂直時(shí)，邊最短．故的周長(zhǎng)會(huì)隨著的變化而變化，且當(dāng)最短時(shí)，的周長(zhǎng)會(huì)最?。?3．【分析】（1）根據(jù)菱形的對(duì)邊平行且相等可得，，然后證明得到，，從而證明四邊形是平行四邊形；（2）欲求菱形的面積，求得、的長(zhǎng)度即可．【解析】（1）證明：四邊形是菱形，，又，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，菱形的面積．14．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，根據(jù)全等三角形的判定推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，求出，求出，，求出，根據(jù)平行四邊形的判定和矩形的判定得出即可．【解析】（1）證明：四邊形是菱形，，，在和中，；（2）四邊形是矩形，證明：四邊形是菱形，，，，，，，，，，即，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是矩形．15．【分析】（1）先求出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直求出，證明是矩形，可得即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理得出的長(zhǎng)度即可．【解析】（1）證明：在菱形中，．，，，四邊形是平行四邊形．，平行四邊形是矩形．．（2）解：在菱形中，，．在矩形中，．在中，．16．【分析】（1）證，即可得出；（2）證出是的中位線，得出，由直角三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，，，求出的面積，的面積，得出的面積的面積，同理的面積的面積；證，得出的面積的面積，則四邊形的面積的面積，同理四邊形的面積的面積．【解析】（1）證明：四邊形是菱形，，，，平分，，，，是等邊三角形，，，，，，在和中，，，；（2）解：圖2中面積等于面積3倍的三角形為和，四邊形為四邊形和四邊形；理由如下：由（1）得：，，，，是等邊三角形，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，是的中位線，，是的中位線，，，，，，，設(shè)，則，，，的面積，的面積，的面積的面積，的面積的面積，同理：的面積的面積；，，，的面積的面積，四邊形的面積的面積，同理：四邊形的面積的面積．17．【分析】（1）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)和含的直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解析】證明：（1）如圖1所示：連接．在菱形中，，，．等邊三角形．是的中點(diǎn)，．，．．．．，，是的中點(diǎn)；（2）如圖2所示：連接．是等邊三角形，，．．，，．．在和中，，．．，是等邊三角形．，，．18．【分析】（1）得出，是等邊三角形，證明即可得出結(jié)論；（2）同（1）證明，可得出答案．【解析】（1）證明：四邊形是菱形，，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，，．（2）解：，，．由（1）知，是等邊三角形，，，，，，，，，，即．19．【探究】如圖2，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交，于點(diǎn)，，若，，求四邊形的面積．【應(yīng)用】如圖3，在中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，若，，則的面積是．【分析】猜想：首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可根據(jù)定理證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；探究：根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)全等三角形的判定定理得到，由于，于是得到結(jié)果；應(yīng)用：延長(zhǎng)到使，根據(jù)全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，即可得到結(jié)論．【解析】猜想：四邊形是平行四邊形，，．，，在與中，，，四邊形的面積的面積；故答案為：4；探究：四邊形是菱形，，．，，在與中，，，由菱形的對(duì)稱性，得，．應(yīng)用：延長(zhǎng)到使，在與中，，，，，．故答案為：620．【分析】（1）由題意可證，四邊形是平行四邊形，即可證四邊形為菱形；（2）由三角形內(nèi)角和定理求出，由菱形的性質(zhì)即可得出答案．【解析】（1）證明：，四邊形是平行四邊形平分且四邊形為平行四邊形四邊形為菱形；（2）解：，，，四邊形為菱形，，．21．【分析】（1）由題意可證，四邊形是平行四邊形，即可證四邊形為菱形；（2）由三角形內(nèi)角和定理求出，