2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)串講（北師大版）：相交線與平行線（11個(gè)考點(diǎn)）（解析版）

專題02相交線與平行線

思維導(dǎo)圖）

一.相交線和平行線的概念及表示

1.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種.

2.相交線：若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線.

表示方法：如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)0.

3.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

表示方法：如圖，直線AB與直線CD平行，可記為AB〃8.

二.對頂角的概念及性質(zhì)

1.對頂角的概念：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線且這兩個(gè)角有公共頂點(diǎn).

2.對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.

≡.互為余角和互為補(bǔ)角及其性質(zhì)

?.如果兩個(gè)角的和是180°,那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.

2.如果兩個(gè)角的和是90。，那么稱這兩個(gè)角互為余角.

3.同角或等角的補(bǔ)角相等；同角或等角的余角相等.

四.垂直的概念及表示

1.兩條直線相交成四個(gè)角，如果有一個(gè)角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一

條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.

2.如圖，直線AB與直線Co垂直，記作點(diǎn)。是垂足.

五.垂線的性質(zhì)

1.平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

2.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.

六.點(diǎn)到直線的距離

1.過點(diǎn)A作直線/的垂線，垂足為點(diǎn)8,則線段AB的長度叫做點(diǎn)A到直線/的距離，此時(shí)線段AB叫垂

線段.

A

----------□---------/

H

七.探索直線平行的條件

1.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念

2.兩條直線平行的條件：

a同位角相等，兩直線平行；

Q內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

頷旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

3.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.

4.平行于同一條直線的兩條直線平行.

八.平行線的性質(zhì)

1.兩直線平行，同位角相等.

2.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

3.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

九.利用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角

【專題過關(guān)】

對頂角及鄰補(bǔ)角的概念及性質(zhì)（共3小題）

1.下面四個(gè)圖形中，Nl與N2是鄰補(bǔ)角的是（）

Λ,?-.NC.-^-O,W

【答案】C

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，結(jié)合具體的圖形進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可知，

圖中的NI與N2是鄰補(bǔ)角，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角，理解鄰補(bǔ)角的定義是正確解答的關(guān)鍵.

2.下列各圖中，Nl與N2是對頂角的是（）

?b.??

【答案】C

【分析】根據(jù)對頂角的定義解答即可.

【詳解】解：根據(jù)對頂角的定義可知：只有C選項(xiàng)中的是對頂角，其它都不是.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查對頂角的定義，掌握對頂角的定義是解題的關(guān)鍵.對頂角的定義：兩條直線相交后所得

的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長線，這樣的兩個(gè)角叫做對頂角.

3.如圖，直線AB和CD交于點(diǎn)。，OE平分NBOC,若Nl+N2=60°,則NEOB的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)對頂角和鄰補(bǔ)角的定義即可得到NBOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線即可得出NEOB的度數(shù).

【詳解】解：?.?N1+N2=6O°,

.?.Nl=/2=30。，

二NBOC=180o-Zl=l50°,

又?.?0E平分NB。。，

.?.ZEOB=-ZBOC=LXI50。=75°.

22

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角、對頂角.解題的關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角、對頂角的定義和性質(zhì)，要注意運(yùn)用：對

頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°.

二.余角與補(bǔ)角相關(guān)角度計(jì)算（共4題）

4.已知Ne的余角為35°,則Na的補(bǔ)角度數(shù)是（）

A.145oB.125oC.55oD.35°

【答案】B

【分析】根據(jù)余角的定義得出Nα=9O°-35°=55°,再由補(bǔ)角的定義即可求出答案.

【詳解】解：：Na的余角為35°,

：.Na=90°-35°=55°,

.?.Na的補(bǔ)角=180°-Na=I80°-55°=125°.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查余角和補(bǔ)角的計(jì)算，掌握余角和補(bǔ)角的定義是解題關(guān)鍵.

5.若一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的余角的4倍，則這個(gè)角是（）

A.30oB.45oC.60oD.75°

【答案】C

【分析】根據(jù)互為余角的兩個(gè)角的和等于90°,互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于180°,列出方程，然后解方程

即可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)角為x°,則它的補(bǔ)角為(180—x)。，余角為(90—x)°,

根據(jù)題意可得：180—X=4(90-x),

解得：X=60,

即這個(gè)角為60°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了互為余角與補(bǔ)角的性質(zhì)，表示出這個(gè)角的余角與補(bǔ)角然后列出方程是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，NC4。被AE平分，/￡鉆=25°且與n。4￡互余，則NC4。的度數(shù)是()

A.130oB.135oC.140oD.125°

【答案】A

【分析】根據(jù)NE4E=25°且與NC4E互余，得出NC4E=90°-25°=65°,根據(jù)NC4。被AE平分，

求出結(jié)果即可.

【解答】解：；NE4E=25°且與/C4E互余，

.?.NCAE=90°—25°=65°,

?/NC4O被AE平分，

.?.NC4Z>=2NC4E=2x65°=130°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角的計(jì)算，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)余角的定義求出

NC4E=90°-25°=65°.

7.若NC與N/?互補(bǔ)，且Na>N∕7,則下列表示N夕的余角的式子中：Φ90o-Z∕?;②Na-90°；③

180o-Za;④g(Nc—N/?).正確的是()

A.①②B.①②④C.①②③D.①②③④

【答案】B

【分析】根據(jù)和為90。的兩個(gè)角互為余角即可求解.

【詳解】解：:Na與N/?互補(bǔ)，

；.Za+Zβ=?SQo,

.?./￡=180?！狽a,

.?.N夕的余角為90。一/月，則①符合題意；

?.?90o-Z∕7=90°—(180°—Na)=90°—180°+Na=Na-90°,則②符合題意；

???/￡=180?！狽e,則③不符合題意；

o

V?(Za-Zy9)=?[(180°-Z∕7)-Z^]=?(180°-2Z∕?)=90-Zβ,④符合題意；

.?.符合題意的有：①②④，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角和補(bǔ)角以及角的概念，掌握角的概念以及余角和補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵.

=.垂線的相關(guān)概念(共3題)

8.下列四個(gè)說法：①兩點(diǎn)確定一條直線：②過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；③連接直線

外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；④從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的

距離，其中正確的說法的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，垂線的性質(zhì)，垂線段最短，點(diǎn)到直線的距離的定義，逐項(xiàng)分析即可求解.

【詳解】解：①兩點(diǎn)確定一條直線，正確，符合題意；

②同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線，不正確，不符合題意；

③連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，正確，符合題意；

④從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，不正確，不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)確定一條直線，垂線的性質(zhì)，垂線段最短，點(diǎn)到直線的距離的定義，掌握以上知

識是解題的關(guān)鍵.

9.點(diǎn)P為直線MN外一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C為直線MN上三點(diǎn)，PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則

P

到直線MN的距離為()

A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm

【答案】D

【分析】直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，由此即可判斷.

【詳解】解：由垂線的性質(zhì)：垂線段最短，2<4<5,當(dāng)PC，/時(shí)，點(diǎn)P到直線/的距離為2cm,當(dāng)PC與

/不垂直時(shí)，點(diǎn)P到直線/的距離小于2cm,

因此點(diǎn)P到直線/的距離小于或等于2cm即不大于2cm.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離的概念，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)到直線的距離的定義.

10.如圖，AC±BC,CDYAB,垂足分別為C,D.則點(diǎn)A到直線BC的距離是線段的長.

【答案】AC

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)到直線的垂線段的長度，可得答案.

【詳解】解：AClBC,垂足為點(diǎn)C,CDlAB,垂足為點(diǎn)。，則點(diǎn)4到BC的距離是線段AC的長度，

故答案為：AC.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)到直線的垂線段的長度.

四.垂線的性質(zhì)應(yīng)用（共3題）

11.如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處（ABLCD）,開始挖渠才能使水渠的長度最短,

這樣做的依據(jù)是（）

CCpD

A

A.兩點(diǎn)之間線段最短B.點(diǎn)到直線的距離C.垂線段最短D.兩點(diǎn)確定一條直線

【答案】C

【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短進(jìn)行解答.

【詳解】解：要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處（ABLC￡>）,開始挖渠才能使水渠的長度最短，

這樣做的依據(jù)是：垂線段最短，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短.它

是相對于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言.

12.下列生活實(shí)例中，數(shù)學(xué)原理解釋錯(cuò)誤的是（）

A.測量兩棵樹之間的距離，要拉直皮尺，應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)之間，線段最短

B.用兩顆釘子就可以把一根木條固定在墻上，應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)確定一條直線

C.測量跳遠(yuǎn)成績，應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

D.從一條河向一個(gè)村莊引一條最短的水渠，應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線

與已知直線垂直

【答案】D

【分析】由直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線的性質(zhì)：垂線段最

短，即可判斷.

【詳解】解：A、測量兩棵樹之間的距離，要拉直皮尺，應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)之間，線段最短，正確，

故A不符合題意；

B、用兩顆釘子就可以把一根木條固定在墻上，應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)確定一條直線，正確，故B不符合

題意；

C、測量跳遠(yuǎn)成績，應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，正確，

故C不符合題意；

D、從一條河向一個(gè)村莊引一條最短的水渠，應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段

中，垂線段最短，故D符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

13.在體育課上某同學(xué)跳遠(yuǎn)的情況如圖所示，直線/表示起跳線，經(jīng)測量，P3=3.3米，PC=3.1米，

Pr）=3.5米，則該同學(xué)的實(shí)際立定跳遠(yuǎn)成績是米.

【答案】3.1

【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：?.?PC-U,

...該同學(xué)的實(shí)際立定跳遠(yuǎn)成績應(yīng)測量圖中線段PC的長，

.?.該同學(xué)的實(shí)際立定跳遠(yuǎn)成績?yōu)?1米，

故答案為：3.1.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)，垂線段最短指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短.它

是相對于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言.

五.利用垂直的定義、對頂角性質(zhì)等求角的度數(shù)（共2題）

14.如圖，點(diǎn)O在直線BO上，已知NCQD=IO5°,OC±OA,則Nl的度數(shù)為.

C

B、

【答案】15。

【分析】先利用平角定義求出NCoB的度數(shù)，然后再根據(jù)垂直定義可得NCQ4=90°,從而利用角的和差

關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：???NCOD=IO5°,

.?.ZCOB=180o-ZCOD=75°,

'：OClOA,

：.NCQ4=90。，

：.Zl=ACOA-ZCOB=15°,

故答案為：15°.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，直線AB與直線Co相交于點(diǎn)O,OElOF,且。4平分NCOE,若NoOE=50°,K∣JZBOF

的度數(shù)為.

【答案】25°

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，由NDoE=50°,得NCOE=I800-NE>QE=130°?根據(jù)角平分線的定義，

由OA平分NCoE,得NAoC=LNCoE=65°.再根據(jù)對頂角相等，得NBoD=NAoC=65°.根據(jù)

2

垂直的定義，由OELOF,得NEoF=90°,那么N￡>Ob=NEo尸一NOOE=90°—50°=40°,進(jìn)而

推斷出ZBOF=ZBOD-ZDOF=65°—40°=25°?

【詳解】解：?；NDC）E=50°,

：.ZCOE=180。一ADOE=130。.

平分NCoE,

：.ZAOC=-ΛCOE=65°.

2

ZBOD=ZAOC=65。.

'：OELOF,

：.NEoF=90°.

：.ZDOF=ZEOF-NDoE=90°-50°=40°.

.?.ZBOF=ABOD-ZDOF=65°—40°=25°.

故答案為：25°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直、角平分線的定義、對頂角與鄰補(bǔ)角，熟練掌握垂直的定義、角平分線的定義

對頂角與鄰補(bǔ)角的定義是解決本題的關(guān)鍵.

六.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識別（共3題）

16.下列圖形中，Nl和N2是同位角的是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)同位角的概念求解即可.

【詳解】解：A選項(xiàng)中Nl和N2是同位角,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查同位角，兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并

且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角.

17.如圖，直線α,6被直線C所截，下列說法中不正確的是（）

1a

b

2?b

C

A.Nl與N2是對頂角B.N2與N5是同位角C.n3與N5是同旁內(nèi)角D?N2與N4是內(nèi)錯(cuò)角

【答案】C

【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.Nl與N2是對頂角，正確，因此選項(xiàng)A不符合題意；

B.N2與25是直線人直線》被直線C所截得的同位角，正確，因此選項(xiàng)B不符合題意：

C.N3與N5不是同旁內(nèi)角，不正確，因此選項(xiàng)C符合題意；

D.N2與N4是直線“、直線6被直線C所截得的內(nèi)錯(cuò)角，正確，因此選項(xiàng)D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角以及對頂角、鄰補(bǔ)角，理解同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角以及

對頂角的定義是正確判斷的前提.

18.如圖，下列說法正確的是（）

A.Nl和NB是同位角B.N2和N3是內(nèi)錯(cuò)角C.N3和N4是對頂角D.NB和N4是同旁內(nèi)角

【答案】B

【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.Nl和NB不是同位角，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.N2和N3是內(nèi)錯(cuò)角，原說法正確，故此選項(xiàng)符合題意；

C.N3和N4是鄰補(bǔ)角，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.NB和N4不是同旁內(nèi)角，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，理解同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義是正確判斷的前提.

七.平行線的判定（共4小題）

19.如圖，下列能判定48〃Cr）的條件有（）

①N1=N2;

②ZABC=NC；

③N3=ZT>3C;

④NA+ZADC=180°.

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可.

【詳解】解：???N1=N2,

/.AB//CD,

故A符合題意；

由NABC=NC,不能判定A3〃CD,

故B不符合題意；

?.?Z3=ZDBC,

.?.AD//BC,

故C不符合題意；

?.?NA+ZADC=180。，

.?.AB//CD,

故D符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

20.如圖表示釘在一起的木條。，h,c.若測得Nl=50°,Z2=75o,要使木條4〃人，木條。至少要旋

【答案】25

【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，求出旋轉(zhuǎn)后Nl的同位角的度數(shù)，然后用N2減去NI即可得到木條”

旋轉(zhuǎn)的度數(shù).

【詳解】解:如圖，

ZAoC=Nl=50°時(shí)，AB//b,

???要使木條。與b平行，木條α旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是75。一50°=25°.

故答案是：25.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，根據(jù)同位角相等兩直線平行求出旋轉(zhuǎn)后/2的同位角的度數(shù)是解題的關(guān)

鍵.

21.閱讀下面的解答過程，并填空.

如圖，ZABC=ZACB,8。平分NABC,CE平分NACB,NDBF=NF.求證：CE〃DF.

證明：；B。平分NABC,CE平分ZACB,（已知）

ΛZDBC=-Z,NECB=LN.（角平分線的定義）

22

又?.?NABC=NAQS,（已知）

???Z=Z.（等量代換）

又?.?NDBF=NE,（已知）

二Z______=Z_____.（等量代換）

【答案】見解析

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以在證明過程中寫入相應(yīng)的條件，本題得以解決.

【詳解】證明：：B。平分NABC,CE平分NACB,（已知）

ΛZDBC=-ZABC,ZECB=-ZACB.（角平分線的定義）

22

又?.?NAJBC=NACB,（已知）

：./DBC=/ECB.（等量代換）

又,：NDBF=4F,（已知）

...NECB=ZF.（等量代換）

.?CE∕∕DF.（同位角相等，兩直線平行）

故答案為：ABC；ACB；DBC；ECB；ECB；F；同位角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

22.如圖，點(diǎn)E、F分別是AB、CZ）上的點(diǎn)，連接B。、AD.EC、BF,AD分別交CE、BF于點(diǎn)、G、

H,若/DHF=/AGE,ZABF=NC,求證：AB//CD.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】證明：YZDHF=ZAHB,ZDHF=ZAGE,

'ZAHB=ZAGE,

：.BH//EC,

：.ZABFZAEG,

?：ZABF=ZC,

：.ZAEG=NC,

.?.AB//CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，對頂角相等，熟練掌握同位角相等兩直線平行，和內(nèi)錯(cuò)角

相等兩直線平行，是解題的關(guān)鍵.

八.平行線判定的實(shí)際運(yùn)用（共2小題）

23.如圖，一個(gè)彎形管道ABC。，若它的兩個(gè)拐角NABC=120。，NBCo=60°,則管道AB〃CZX這

里用到的推理依據(jù)是

【答案】同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

【分析】由已知NABC=I20°,NBC。=60°,即NABC+NBCD=120。+60°=180°,根據(jù)同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，兩直線平行即可得到A3〃CD.

【詳解】解：?；NABC=120°,NBcD=60°

.?.ZABC+ZBCD=180°,

ΛAB//CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），

故答案為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線

平行.

24.《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深

受觀眾喜愛.在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點(diǎn)A和點(diǎn)C的兩盞激光燈控制.如圖，光線AB與燈

帶AC的夾角NA=40°,當(dāng)光線CB'與燈帶AC的夾角NACB'=時(shí)，CB'//AB.

【答案】140°或40°

【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)CB'在AC的右側(cè)時(shí)，NAC8'=140°時(shí)，CB'//AB,理由如下：

?.?NACB'=140。，NA=40。，

.?.ZACB'+ZA=180。，

.?.CB'//AB,

當(dāng)CB'在AC的左側(cè)時(shí)，NACB'=40。時(shí)，CB'//AB,

故答案為：140?；?0°.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，熟記“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵.

九.利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)（共5小題）

25.如圖，直線AB、S被直線石尸所截，已知AB〃C￡）,/1=55°,則N2的度數(shù)為（）

A.350B.45oC.55oD.125°

【答案】C

【分析】先根據(jù)對頂角相等得出N3的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N2的度數(shù)即可.

【詳解】解：如圖，

：/1=55。，

.?.N3=N1=55。，

AB//CD,

.?.N2=N3=55°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵.

26.如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過，在A,B,C三處經(jīng)過三次拐彎，此時(shí)道路恰好和第一

次拐彎之前的道路平行（即A七〃CD）,若NA=IOO°,NB=160°,則NC的度數(shù)是.

【答案】120°

【分析】首先過B炸BF〃AE,根據(jù)A￡〃C￡）,可得/〃CD,進(jìn)而得到Z4=NA5E,

ZFBC+ZC=180°,然后可求出NC的度數(shù).

【詳解】解：如圖所示，過8作防〃AE,

VZA=IOO0,

.?.NABF=ZA=JOO。，

又：NABC=I6（）。，

.?.ZFBC=ZABC-ZABF=160。-Io0。=60°,

?.?AE//CD,

：.BF//CD,

：.ZC=I80°-ZFBC=180。-60。=120°,

故答案為：120°

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

27.如圖1,將一條兩邊互相平行的紙條折疊.

（1）若圖中α=80°,則夕=

（2）在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使得圖1中的S邊與CB邊重合（如圖2）,若繼續(xù)沿CB邊折疊，CE邊

恰好平分NAQ3,則此時(shí)夕的度數(shù)為度?

圖1圖2

【答案】（1）50；45

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等，可知NQ4D=Nα=80°,再利用折疊的性質(zhì)可知，=50。；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，折疊兩次后形成的三個(gè)角與折疊后的NAcE都相等，而這四個(gè)角的和為180°,

故每個(gè)角為45°,從而可知NACB=90°,再由（1）的思路可得夕的值.

【詳解】解：（1）根據(jù)上下邊互相平行可知，ZOAD=Za,

'Ja=SOo,

.?.NOAD=80°.

又NQ4O+24=180。，

."=50。.

故答案為：50.

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，折疊兩次后形成的三個(gè)角都相等，

根據(jù)題意可知，折疊兩次后形成的三個(gè)角與折疊后的NACE都相等，而這四個(gè)角的和為180°,故每個(gè)角為

45°,

ΛZACB=90°,即α=90°,

由(1)中可得，∕7=i×(180o-90o)=45o.

故答案為：45.

【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對平行線性質(zhì)和折疊問題的掌握情況，根據(jù)實(shí)際情況對問題進(jìn)行解答.學(xué)生可以自

主動(dòng)手操作，通過實(shí)際操作可以較容易的對問題進(jìn)行解答.

28.如圖，已知NB=75°,NACβ=56°,C。平分NAC8,DE//BC,求N￡DC和NBOC的度數(shù).

【答案】NEDC=28。；ZfiDC=77°

【分析】CO平分ZACB,ZACB=56°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求得ZDCB的度數(shù)，又由DE//BC,

根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得NEC)C的度數(shù)，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得NBoE

的度數(shù)，即可求得NBDC的度數(shù).

【詳解】解：???NACB=56°,CD平分NACB,

.?.NBCOJZACB=28。，

2

?：DE//BC,

：.ZEDC=ADCB=28o,ΛBDE+ZB=180°,

?：NB=75°,

：.ZSDE=105。，

：.ZBDC=ZBDE-ZEDC=105°-28°=77°.

.?.NEDC=28°,NBOC=77°.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與角平分線的定義，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ)定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

29.把一塊含60°角的直角三角尺EFG(ZEFG=90°，NEGE=60°)放在兩條平行線AB,CD之間.

(1)如圖1,若三角形的60°角的頂點(diǎn)G放在Co上，且N2=2N1,求/1的度數(shù)；

(2)如圖2,若把三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)E,G分別放在AB和C。上，請你探索并說明ZAEF與NFGC

間的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,若把三角尺的直角頂點(diǎn)尸放在C。上，30。角的頂點(diǎn)E落在AB上，請直接寫出NAEG與

NCFG的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)/1=40°；(2)Z4EF+ZFGC=90°；(3)ZAEG+ZCFG=300°

【分析】(1)依據(jù)A6〃CD,可得Nl=NEGO,再根據(jù)N2=2N1,ZFGE=60°,即可得出

NEGD=∣(180o-60o)=40°,進(jìn)而得到Nl=40°；

(2)根據(jù)AB//CD,可得ZAEG+ZCGE=↑S0°,再根據(jù)NFEG+ZEGF=90。,即可得到

ZAEF+ZFGC90°；

(3)依據(jù)AB//CD,可知NA￡產(chǎn)+NCFE=180°,再代入ZAEF=ZAEG-30°,ZCFE=NCFG-90。,

即可求出ZAEG+ZCFG=300°.

【詳解】解：(1)VAB//CD,

：.Nl=NEGD,

?.?N2=2N1,

.?.N2=2NEGO,

又；/打龍=60°,

.?.NEGD=J(180。-60。)=40°,

/1=40。；

(2)VAB//CD,

：.ZA￡G+NCGE=180。，

即ZAEF+ZFEG+ZEGF+ZFGC=180°,

又?/ZFEG+ZEGF=90°,

.?.ZAE尸+NFGC=90°；

(3)ZAEG+ZCFG=3Q0o.理由如下：

?：AB//CD,

.?ZAEF+ZCFE=?S0o,

：.ZAEG-ZFEG+ZCFG-ZEFG=180°,

VZFEG30°,NEFG=90。，

.?.ZAEG-30°+ZCFG-90°=180°,

.?ZAEG+ZCFG=300°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

十.平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用(共2小題)

30.在下列解答中，填上適當(dāng)?shù)臄?shù)式或理由：

如圖，AB//CD//EF,BC平分NABE,試說明：ZE=2ZC.

解：?；AB//CD(),

：?ZABC=N(),

「BC平分46E(已知)，

ΛZABC=-Z(),

2

VAB//EF(已知)，

ΛZABE=Z().

?ze??z(等量代換)

2

【答案】見解析

【分析】利用平行線的性質(zhì)，角平分線的定義即可求解.

【詳解】解；?；A8〃Co（已知），

ΛZABC=ZC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

?.?8C平分NABE（已知），

ΛZABC=-ZABE（角平分線的定義），

2

VAB//EF（已知），

ΛZABE=AE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

???NC=JNE（等量代換）

2

即NE=2NC.

故答案為：已知；C；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；ABE-,角平分線的定義；E-,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;

E.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義.熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

31.如圖所示，DE//BC,N1=N3,CDlAB.

（1）求證：FGVAB.

（2）若N3=45°,求NAr）E的度數(shù).