山東省淄博市2023屆高三上學期第一次模擬考試數(shù)學含解析

淄博市2022-2023學年度高三模擬考試

數(shù)學試卷

注意事項：

L答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡.上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有-

項是符合題目要求的.

1,若集合A=沖2-5A6≤0},3={小=ln(214)},則MA)CB=()

A.(-1,7]B.(-1,6]C.(7,+∞)D.(6,-HΛ)

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合A,B中元素的范圍，然后求GA)8即可.

【詳解】A=L-5x-6≤0j—{x∣T≤?≤6∣,

B-∣x∣y—ln(2%-14)∣={x∣2x-14>θ}={x∣X>7∣,

.?.?A=(→Λ,-1)(6,-HΛ),

二低A)∩6=(7,M).

故選：C.

-J

2.設復數(shù)Z==+4i,則2I=()

1+i

A0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】求出復數(shù)Z的代數(shù)形式，進而可求模.

1-i(IT)(IT)

【詳解】z=L+4i=B3《+4i=—i+4i=3i,

l+ι(l+ι)(l-ι)

故選：D.

3.函數(shù)/(x)=ASin(8+1](0〉0)的圖象與X軸的兩個相鄰交點間的距離為W,得到函數(shù)

g(x)=Acosox的圖象，只需將/(x)的圖象()

π兀

A.向左平移3個單位B.向右平移3個單位

1212

C.向左平移2個單位D.向右平移白個單位

1810

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)條件求出周期，即可得到①，再利用平移的規(guī)則即可得到答案、.

【詳解】函數(shù)/(X)=Asin"+"?>0)的圖象與X軸的兩個相鄰交點間的距離為三，

EF-K2π2π

則T=2×-=—=——

3369

69=3,

UIπ吟

「./(x)=ASin3x+--=AλCOS3x+----Acos3x——=ACoS3x---

I32)I6jI18J

???只需將“X)的圖象向左平移2個單位即可得到函數(shù)g(X)=Acos3X的圖象.

18

故選：C.

4.如圖，某幾何體的形狀類似膠囊，兩頭都是半球，中間是圓柱，其中圓柱的底面半徑與半球的半徑都為

2,若該幾何體的表面積為2()作，則其體積為()

442816

A.—πB.15π——πD.一π

3

【答案】A

【解析】

【分析】由圖可知：該幾何體是有一個圓柱和兩個半球拼接而成，根據(jù)表面積公式求出圓柱的高，利用體

積計算公式即可求解.

【詳解】由題意可知：設該幾何體中間部分圓柱的高為力，圓柱的半徑為r,

則該幾何體的表面積為4π∕+2πr?∕z=20π:，因為r=2，所以Zz=I,

444

所以該幾何體的體積V=—兀/+兀，.〃=一π,

33

故選:A.

5.某公園有如圖所示A至“共8個座位，現(xiàn)有2個男孩2個女孩要坐下休息，要求相同性別的孩子不坐

在同一行也不坐在同一列，則不同的坐法總數(shù)為()

ABCD

EFGH

A.168B.336C.338D.84

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先排男生再排女生，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】第一步：排男生，第一個男生在第一行選一個位置有四個位置可選，第二個男生在第二行有三個

位置可選，由于兩名男生可以互換，故男生的排法有4x3x2=24利h

第二步：排女生，若男生選■，則女生有BE,BG,8",CE,CH,OE,。G共7種選擇，由于女生可以

互換，故女生的排法有2x7=14種，

根據(jù)分步計數(shù)原理，共有24x14=336種，

故選：B

6.已知「ABO中，。4=1,OB=2,OA-OB=-?過點。作。。垂直AB于點。，則()

52.34—

A.OD^-OA+-OBB.OD=-OA+-OB

7777

2543

C.OD=-OA+-OBD.OD=二。A+二06

7777

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)OAOB=-1求得ZAOB=120°，再用余弦定理求得AB=用,利用等面積法求得ODM,

勾股定理求得AO=也，從而AO=2AB,最后分解為已知向量即可.

77

OA-OB=IGAhoqCoSZAOB=2cosAAOB——1,即cosZ.AOB=—?,

又因為0°<NAOB<180'，所以NAOB=I20°?

在「408中，根據(jù)余弦定理可得:

AB2=OA1+OB2-2Q4?03?cos120°=7，即AB="，

根據(jù)三角形面積公式SAoB=gAB?。。=；?OB?sin120°,解得OD考,

=y∣OA^—OD2=2'，

.?.AD.?.AD=-AB,

77

2

：.OD^OA+ADOA+-AB==OA+-,-(OB-OA?^-OA+-OB.

77、>77

故選：A

7.直線X-2y+2=0經(jīng)過橢圓二+二=l(α>∕,>0)的左焦點尸，交橢圓于A,8兩點，交)’軸于M點,

ab

若尸M=3AM，則該橢圓的離心率為()

δ√∏+√5r√∏-√5_√∏-√5n√17+√5

8429

【答案】C

【解析】

【分析】由直線X-2),+2=0與坐標軸的交點，得到網(wǎng)一2,0),M(0,1),則c=2,由EM=3A”，

得A點坐標，點A又在橢圓上，由定義求得24,可求橢圓的離心率.

【詳解】對直線X-2y+2=0,令y=0,解得X=-2,令X=0,解得y=l,

故廠(—2,0),M(0,1),則FM=(2,1),設A(Xo,%)，則AM=(F),1—%),

所以/(x)>0,在(0,T成立，

所以/(0.3)>0,即/(O.3)=e°3-l-tanO.3>O,

所以e03-l>tanθ.3,即α>c,

令〃(X)=In(I+x)-X,x∈(θ,^?,所以/(χ)=T=

因為Xe(O,所以言■<(),即/(χ)<0,

所以MX)在(θ,?上單調(diào)遞減，

所以∕ι(x)<Zi(O)=O,即In(I+x)<x,

令m(x)=x-tanx,x∈I0,四］所以∕√(x)=l------∑-,

I2)COS-X

因為Xjo,孚，所以1——［一<0,即加(x)<0,

V2√cosX

所以m(x)在(0,￡)上單調(diào)遞減，

所以<∕π(θ)=0,即XVtanx,

所以In(I+x)<x<tanx,在(。,5)成立，

令x=0.3,則上式變?yōu)镮n(1+0.3)<0.3<tan0.3,所以力<0.3<c,即8<c,

綜上，a>c>b.

故選：B.

TrTr

【點睛】解決此題的關鍵是構(gòu)造函數(shù)"x)=e'-l—tanx,O<x<“g(x)=ln(l+x)-x,O<x<-,

∕π(x)=x-tan%,O<x<p然后利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可.

二、多項選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分

9.某學校為普及安全知識,對本校1500名高一學生開展了一次校園安全知識競賽答題活動(滿分為100分).

現(xiàn)從中隨機抽取IOO名學生的得分進行統(tǒng)計分析,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,則根據(jù)該直方圖,

下列結(jié)論正確的是()

A.圖中X的值為0.016

B.估計該校高一大約有77%的學生競賽得分介于60至90之間

C.該校高一學生競賽得分不小于90的人數(shù)估計為195人

D.該校高一學生競賽得分的第75百分位數(shù)估計大于80

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可得X=O.017,判斷A錯誤；計算出得分介于60至90之間的頻率，

判斷B正確；利用1500乘以得分不小于90頻率，判斷C正確；計算得分介于50至80之間的頻率判斷D

正確.

【詳解】由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：

(0.01+0.013+X+0.028+0.032)×10=1,解得X=O.017,故A錯誤:

得分介于60至90之間的頻率為(0.028+0.032+0.017)X10=0.77,故B正確；

得分不小于90的人數(shù)估計為1500x0.013x10=195,故C正確；

得分介于50至80之間的頻率為0.01χl0+0.028χl0+0.032χl0=0.7<0.75,故D正確.

故選：BCD.

10.已知函數(shù)/(χ)=χz+χ-l(r∈R),則()

A.當/=一1時，/(x)在((),+e)有最小值1

B.當f=3時，/(x)圖象關于點(0,1)中心對稱

C.當/=2時，/(x)>lnx對任意x>0恒成立

D./(x)至少有一個零點的充要條件是f>0

【答案】AC

【解析】

【分析】利用基本不等式判斷選項A；利用函數(shù)的對稱性即可判斷選項B；利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即

可判斷選項C；舉例說明即可判斷選項D.

【詳解】對于A，當，=T時，/(x)=→%-l,

當，>0時，則/(九)=’+?￥-122J匚—1=1當且僅當｝=x,即X=I時去等號，

所以函數(shù)/(x)在(0,+8)有最小值1,故選項A正確；

對于B，當.=3時，則/(x)=x3+x-l,

因為/(τ)+/(X)=r3-xT+d+xT=-2'所以此時函數(shù)/(x)圖象不關于點(0,1)中心對稱,故

選項B錯誤；

對于C,當f=2時，則/(x)=f+χ-l,令g(χ)=d+χ-iτnχ(χ>θ),

則g'(x)=2x+]—J=4X—+1),當o<χ<:時，g，(X)<0；

XX2

當時，g'(χ)>(),所以函數(shù)g(x)在(O,L)上單調(diào)遞減，在(’,+8)上單調(diào)遞增，

222

所以g(x)≥g(L)=!+!-l+ln2=ln2-L>0,所以g(x)>O,

2424

則當f=2時，/(x)>lnx對任意x>0恒成立，故選項C正確；

對于D，因為，=—2時，函數(shù)/(x)=5+x-l(x?0),/(-l)=-l<0,∕(-^)>0,

函數(shù)在J上有一個零點，所以選項D錯誤，

故選：AC.

22

11.已知曲線C的方程為上+匕=I(W<4且mHO),A,B分別為C與X軸的左、右交點，P為。上

4m

任意一點(不與A,8重合)，則()

A.若加=-1,則C為雙曲線，且漸近線方程為y=±2χ

B.若P點坐標為。,〃)，則C為焦點在X軸上的橢圓

C.若點尸的坐標為(J4—加,Ob線段尸歹與X軸垂直，則IP目=葭

YYl

D.若直線PA，PB的斜率分別為k∣,k2,則W=--

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)方程的特征和橢圓與雙曲線的性質(zhì)逐項進行分析即可判斷.

【詳解】對于A,若機=T,則C為雙曲線，其雙曲線的漸近線方程為：y=±gx,故選項A錯誤；

2?

對于B，因為點在曲線C上，所以2-=士，所以m>0,則曲線。為橢圓，又因為加<4,所以

m4

C為焦點在九軸上的橢圓，故選項B正確；

對于C,因為點E的坐標為(J4-加,0卜所以過點F與X軸垂直的直線方程為X=J匚代入曲線方

程可得：y=±∕,若相>0,則有IPH=

若6<0,則有IP月=一羨，故選項C錯誤；

對于D，由題意可知：A(-2,0),B(2,0),設點P(Xt),%)(/≠±2),

2

則kpA=Al=一—^T，kpB=k=—,所以匕.&=,

?÷22?-22%o-4

22

又因為點P(XO,y°)(??≠±2)在曲線土→工=1上，所以N：=〃?—V*，

4m4

m2

所以Ak一公一〃'V?！猰,故選項D正確，

'2-^-4^￡-4一4

故選：BD.

12.如圖,在正方體ABe。一A4G。中，43=2,P是正方形ABCo內(nèi)部(含邊界)的一個動點，則()

A.存在唯一點P,使得APLBC

B.存在唯一點P,使得直線。P與平面ABS所成的角取到最小值

C.若。P=gOB,則三棱錐P-BgC外接球的表面積為8%

π

D.若異面直線RP與AB所成的角為2,則動點P的軌跡是拋物線的一部分

4

【答案】BCD

【解析】

【分析】由線面垂直得線線垂直來確定點P位置，判斷選項A；幾何法找線面角，當角最小時確定點P位

置,判斷選項B：P為03中點時，求三棱錐P-B耳C外接球的半徑，計算外接球的表面積，判斷選項C；

利用向量法解決異面直線所成角的問題，求出動點P的軌跡，判斷選項D.

［詳解】對于選項：正方形中，有

ABCC1B1BG_LB1C,

正方體中有A3/平面BCGg,BCU平面BCC耳，ABIB1C,

又BCIfAB=B,BC∣,ABu平面ABG9,8∣C,平面ABCQ∣,

只要QPU平面ABCQI,就有〃PLgC,P在線段AB上，有無數(shù)個點，A選項錯誤；

對于B選項：2。，平面48。。，直線AP與平面A88所成的角為NAP。，QO=2,NAP。取

到最小值時，PD最大,

此時點尸與點5重合，B選項正確;

對于C選項：MP=LDB,則尸為中點，_PBC為等腰直角三角形，外接圓半徑為'BC=I,三

22

棱錐P-BBC外接球的球心到平面PBC的距離為:=1,則外接球的半徑為&,所以三棱錐

P-BBC外接球的表面積為8兀，C選項正確；

對于D選項：以。為原點，∕M,OC,OA的方向為X軸，N軸，Z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標系，

則A(0,0,2),4(2,0,2),8(2,2,0),設網(wǎng)％%0)((^;^2,(^:^2),則有AP=(X,y,-2),

A,B=(0,2,-2),

II∣D1P?A1B∣∣2y+4∣兀亞

有COSRRAM=^—∏~QJ,IL=CoS：=誓化簡得爐=外,尸是正方形ABCO

內(nèi)部(含邊界)的一個動點，

所以P的軌跡是拋物線的一部分，D選項正確.

故選：BCD

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分

Cry

13.在二項式嚀-上1的展開式中，常數(shù)項是_____.

I2?j

21

【答案】——

16

【解析】

【分析】由題意首先結(jié)合通項公式寫出通項，然后結(jié)合展開式的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.

令-----=0可得：r=3,

2

則展開式的常數(shù)項為：(τyc11j=—藍

21

故答案為：----

16

14.若sin[6+色)=?,6∈(0,π),則COSe=

【答案]上建

6

【解析】

【分析】先通過sin，+%)=；以及兀)確定0+.的范圍，進而可得cos/+",再利用兩角差

[71Tt1

的余弦公式展開cos^=cosl^+---I計算即可.

【詳解】6>∈(0,π),

八兀兀7兀,又SinWπ

θH---∈

66,^6^6

兀兀1兀

若,則SmI6+二∣>sιn?=κ,與sιn∣6+=|=§矛盾,

66726

八兀π

.?.θH---∈

62

Cπ2√2

.,.cosθ+-

I6~τ^

.?.cosθ-cosIθ+---cos0+os+sin+in

[66)=(?β)^??)

=--2√-2×-√-3F1-X-1=-l--2-√-6

32326

故答案為：中

15.在平面直角坐標系Xoy中，已知點P(3,l),直線y=履+方與圓/+V="交于M,N兩點，若

二PMN為正三角形,則實數(shù)6=

【答案】-5

【解析】

【分析】結(jié)合作圖，可求得直線的斜率，以及原點到直線的距離，利用點到直線的距離公式，求得答案.

【詳解】由題意可知尸(3,1)在圓上，如圖:

故y=Aχ+b即為y=_3x+〃,

因為一PΛ勿V為正三角形，則。點為一PMN的中心，由中心及重心性質(zhì)知，

“="=?，故性=巫，解得b=i5,

22√l+92

結(jié)合尸(3,1)在圓上，.PMN是圓的內(nèi)接正三角形，可知力<0,即b=—5.

故答案為：—5,

.∣%+2∣+l,?≤0。,,“

16.己知函數(shù)/(X)=1C,若存在實數(shù)α<8<c,滿足/3)=/r3)=/(C),則

In%,%>0

af(a)+bf?b)+Cf(C)的最大值是.

【答案】3e3-12

【解析】

【分析】作出F(X)的函數(shù)圖象，得出α+b=-4,c∈(e,e3],將4⑷+妙S)+?f(c)化簡為(c-4)lnc,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x-4)lnx,x∈(e,e3],由g'(x)>0得出g(χ)單調(diào)遞增，求出g(χ)的最大值，即可求

得答案.

【詳解】解：作出J”)的函數(shù)圖象如圖所示：

???存在實數(shù)“<b<c,滿足/(α)=/3)=/(c),

`.(x-?^b——4,

.?.af0gwmckj+bf(b)+cf(c)=(a+b+Cv(C)=(C-4)f(c)=(c-4)Inc,

由圖可知，l<∕(c)≤3,

.,.e<c≤e3，

設g(x)=(x-4)lnx,其中χ∈(e,e3］,

g(X)=Inx+1——，顯然g'(χ)在xe(e,"］單調(diào)遞增，

X

4

g'(e)=2——>0,

e

.,.x∈(e,e3］,g'(x)>0,

???g(x)在x∈(e,e3］單調(diào)遞增，

g(x)在XG(e,e3］的最大值為g(e3)=3(e3-4)=3e3-12,

...(c?-4"(c)的最大值為3e3-12,

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

,,

17.已知數(shù)列｛%｝中，al=l,?+1=2a,,+3×2-'（n∈N*）.

（1）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；

（2）求數(shù)列｛《,｝的前〃項和S“

【答案】（1）是等差數(shù)列，理由見解析

（2）S,,=2+（3"-4）?2"T

【解析】

【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求解；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得出凡=（3〃一l）?2"-2[eN*）,然后利用錯位相減法即可求解.

【小問1詳解】

因為％1_4.=也±3欄二一生=2.,

所以數(shù)列｛/■｝是以T為首項，以1為公差的等差數(shù)列；

【小問2詳解】

由(1)知：

數(shù)列[會)的通項公式為：/=；+(〃—l)x[=；(3〃—l),

則4=(3〃_1>2'-2(〃GN*),

0l,,3,,2

S,1=2×2^'+5×2+8×2+??-+(3n-4)×2^+(3n-l)×2-φ,

25,,=2×20+5×2'+8×22+???+(3n-4)×2,,^2+(3∕7-l)×2"^l(2),

①一②得：—5,=l+3x(2°+2∣+…+2”2)_(3“_1)X2"T

1_7w->

=1+3X----------(3〃—1)x2"T

1-2、)

=—2+(4—34)?2"T,

貝2=2+(3l)?2"T.

18.在.ABC中，角A,B,C的對邊分別是α,b，c,滿足（α+"C）（α+A>—c）=αZ?

（1）求角。；

（2）若角。的平分線交AB于點。，且CO=2,求20+8的最小值.

【答案】⑴y

⑵6+4√2

【解析】

【分析】（1）結(jié)合已知條件，利用余弦定理即可求解；

（2）利用正弦定理得到α=2∣?+竺±],?=2∣^4+1|,然后利用基本不等式即可求解.

Vs?nB）ISInA）

【小問1詳解】

222

由（0+/?+o）（0+。一。）=劭可得：a+b-c--ah，

由余弦定理知，co==噎?

2

2

又C∈（0,兀）因此C=?π.

【小問2詳解】

CDADI-

在NACZ）中，由SinA.兀，得AZ）=——>

SmiSinA

CDBDr-

在aBCD中，由Sin8一.兀，可得BD=金~，

sm7SinB

所以C=AD+BD=0+F；

sinAsinB

JL+JL

L

在，ABC中，由一?=-?=*,得」r=S=SinASin8,

SinAsιn8SinCSinAsinB√3

^2-

?，/SinA）,JsinB八

解得α=21+—^,b=2?---+1,

VsinB）（sinA）

~C,Jr2sinAsin

所以2。+/?=23÷,÷~17，

?sinBnsinA）

因為SinA>0,sinB>0,

所以2α+l≥2（3+2J至辿X絲父=2（3+2&）=6+4拒,

、VSinBSinAl'）

當且僅當2sh√A=siι√3時取等號，

因此2。+〃的最小值為6+4>∕Σ.

19.某電商平臺統(tǒng)計了近七年小家電的年度廣告費支出者（萬元）與年度銷售量、（萬臺）的數(shù)據(jù)，如表所示：

年份2016201720182019202020212022

廣告費支出X1246H1319

銷售量y1.93.2404.45.25.35.4

77

其中ZXiy=279.4,X%,2=708

(i)若用線性回歸模型擬合y與X的關系，求出y關于X的線性回歸方程;

(2)若用y=c+d4模型擬合得到的回歸方程為y=1.63+0.99√7,經(jīng)計算線性回歸模型及該模型的代

分別為0.75和0.88,請根據(jù)代的數(shù)值選擇更好的回歸模型擬合＞與X的關系，進而計算出年度廣告費X為

何值時，利潤］=200y-x的預報值最大？

Yxl.yi-nxy∑(x,.-x)(χ.-?)

參考公式：b=R--------=T=———二—

χnx

∑ji-'IXXi-X)

i=li=l

【答案】(1)y=0.17x+2.84

(2)選用回歸方程y=1.63+0.99√7更好，x=9801時，利潤的預報值最大

【解析】

【分析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)，利用公式即可求出線性回歸方程；

(2)R2越大擬合效果越好，選用回歸方程y=1.63+0.99&更好，從而計算出結(jié)果.

【小問1詳解】

由題意可得：

-1+2+4+6+11+13+19C

X=-----------------------------=8

7

-1.9+3.2+4.0+4.4+5.2+5.3+5.4…

y=---------------------------------------------=4.2

∑χy-7χy

jii279.4-7×8×4.2…

所以6=號......------------------?—=0.17

2

∑^,2-7JV2708-7×8

Z=I

α=>-法=4.2-0.17x8=2.84>

)'關于X的線性回歸方程：y=0.17x+2.84.

【小問2詳解】

因為0.75<0.88,浦越大擬合效果越好，

選用回歸方程>?=1.63+0.99?更好，

Z=200(1.63+0.99√Λ)-%=-Λ+198√X+326

Z=-(√X-99)2+10127,

即當?=99時，X=9801時，利潤的預報值.

20.已知多面體ABCDEF中，ADIIBCIIEF,且AD=CD=OE=4,BC=EF=2,

π

/BCD=NFED=一

3

⑵若BF=2?，求直線CO與平面A3戶所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵

22

【解析】

【分析】（1）通過證明BOZ）FIAo得4），平面6。尸，從而證明ADLBb;

（2）由條件證得BD_LFD，以ZM所在直線為X軸，以。B所在直線為V軸，以OE所在直線為Z軸,

建立空間直角坐標系求解.

【小問1詳解】

連接

π

在ABCD中，OC=4,BC=2,NBCD=—,

3

BD-=BC-+DC2-IBC-DCcos-^n,

3

Tt

可得NoBC=―,即3DJ"8C,

2

同時AD〃BC,可得Br)J_A￡＞，

同理可得OFIA。，

因為3￡>_LAD，OFlAQ,且&)u平面3DE,DFU平面BDF，BDlDF=D,

所以ADJ■平面Br>E；

又因為BRU平面8。尸，所以Aoj.BE?

【小問2詳解】

Z

在VJBoz中，易得BD=FD=26，且BF=2?，

所以BDLFD，同時RD_LA0，JDFlAZ)，

以DA所在直線為X軸，以。B所在直線為V軸，以。/所在直線為Z軸，如圖所示，

建立空間直角坐標系D-xyz.

其中A(4,0,0),β(θ,2√3,θ),F(0,0,2^),c(-2,2√3,θ),

A戶=(-4,O,26),ΛB=(-4,2^,θ),

設向量,=(x,y,z)為平面AB∕z的法向量,

nAB=O-4x+2?j3y-O

滿足<

∕ι?AF=O-4x+2GZ=O

不妨取〃=(右,2,2),OC=(—2,26,Ob

直線CD與平面ABF所成角的正弦值為:

21.已知拋物線C：V=2pχ(p>o)上一點p(2")到其焦點尸的距離為3,A,8為拋物線C上異于原

點的兩點.延長■，M分別交拋物線C于點M,N,直線AN,相交于點Q.

(1)若求四邊形ABMN面積最小值;

(2)證明:點Q在定直線上.

【答案】(1)32(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)拋物線的焦半徑公式求得拋物線方程，設A(Xl,y),/(々,%)，直線AM的方程

x=∕ττy+l(m≠θ),聯(lián)立方程，利用韋達定理求得X+%，X?%,再根據(jù)弦長公式求得IAMl,∣BN∣,

再結(jié)合基本不等式即可得解；

(2)設B(Xpy3)，N(X4,乂)，。(加，女)，根據(jù)A,N,。三點共線和8,M,。三點共線，求得

XQ,再結(jié)合(1)即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

由拋物線定義可知，2+4=3,解得p=2,

2

即拋物線C方程為V=4x,

由題意，設Aa,χ),M(x2,y2),直線AM的方程X=陽+1(〃件0),

由〈2：，消去X得y-4切一4=0,A=16根2+16〉O恒成立，

y=Ax

由韋達定理可知：χ+%=4m,丁/μ=-4，

故IAA∕∣=M+x2+p=〃Myl+必)+4=4(加2+1),

因為所以直線BN的方程為x=-'y+l,

m

則SABMN=[∣AM∣?忸N|=；x4(/+1卜4(4+1]=8(/+二+2卜32

，，?mj、mJ

1

當且僅當機92=F，即%=±1時等號成立，

m

所以四邊形ABMN面積的最小值為32；

【小問2詳解】

設3（天,%），N（X4,%），Q（XQ，%），因為A,B,M,N都在C上,

2

所以，χ.=^-(ι=1,2,3,4).

因為A,N,。三點共線，所以有叢二%=止土

%一%玉一XQ

一)'匚)L=21_?ɑ.yl?y4+4Λ

BP0

?-4AJi="

y-V+4%

同理，因為8,M,。三點共線，可得%=J223——色

%+%

χ.%+4q_%.%+4%

即

%+為

解得：4q=?3??EQ22.口以5

%+為7。4

v

由(1)可知，X?%=%.”=-4,代入上式可得：AXQ=?Cm，二>)=-4,

%+為一%-”

得XO=T,

即點。在定直線X=-1上.

【點睛】本題考查了拋物線的焦半徑公式及拋物線與直線位置關系的應用，考查了拋物線中四邊形的面積

的最值問題，及拋物線中的定直線問題，考查了邏輯推理和數(shù)據(jù)分析能力，有一定的難度.

22.已知函數(shù)/(x)=xlnx和g(x)=b(x-4)伍＞0)有相同的最小值.

(1)求力的值;

(2)設〃(X)=/(x)+g(x),方程〃(X)=W有兩個不相等的實根X],x『求證："：人?＞。

2e

4

【答案】(1)b=-