《三角形》全章復(fù)習(xí)及鞏固-知識(shí)講解提高

./《三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固〔提高知識(shí)講解[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.認(rèn)識(shí)三角形并能用符號(hào)語(yǔ)言正確表示三角形,理解并會(huì)應(yīng)用三角形三邊之間的關(guān)系.2.理解三角形的高、中線、角平分線的概念,通過(guò)作三角形的三條高、中線、角平分線,提高學(xué)生的基本作圖能力,并能運(yùn)用圖形解決問(wèn)題．3.能夠運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算,證明問(wèn)題.4.通過(guò)觀察和實(shí)地操作知道三角形具有穩(wěn)定性,知道四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性,了解穩(wěn)定性與沒(méi)有穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中的廣泛應(yīng)用．5.了解多邊形、多邊形的對(duì)角線、正多邊形以及鑲嵌等有關(guān)的概念；掌握多邊形內(nèi)角和及外角和,并能靈活運(yùn)用公式解決有關(guān)問(wèn)題,體驗(yàn)并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法,進(jìn)一步培養(yǎng)說(shuō)理和進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的能力.[知識(shí)網(wǎng)絡(luò)][要點(diǎn)梳理]要點(diǎn)一、三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)1.三角形三邊的關(guān)系：定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：〔1理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.〔2三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形,若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng),則這三條線段可以組成三角形；反之,則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng),可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．2.三角形按"邊"分類：3.三角形的重要線段：〔1三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線,簡(jiǎn)稱三角形的高．要點(diǎn)詮釋：三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.〔2三角形的中線三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線,要點(diǎn)詮釋：一個(gè)三角形有三條中線,它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn),叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.〔3三角形的角平分線三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)三角形有三條角平分線,它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn),這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.要點(diǎn)二、三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定,那么三角形的形狀大小就完全固定了,這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．

要點(diǎn)詮釋：<1>三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變,大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．<2>三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如,房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu),它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條<或兩條>木板,構(gòu)成一個(gè)三角形,就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu),也是這個(gè)道理．<3>四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性,也就是說(shuō),四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后,不能確定它的形狀,它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用,如活動(dòng)掛架,伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性,如在窗框未安好之前,先在窗框上斜著釘一根木板,使它不變形．要點(diǎn)三、三角形的內(nèi)角和與外角和1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．推論：1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余2.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性質(zhì)：〔1三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．〔2三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點(diǎn)四、多邊形及有關(guān)概念1.多邊形的定義：在平面內(nèi),由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.要點(diǎn)詮釋：多邊形通常還以邊數(shù)命名,多邊形有n條邊就叫做n邊形．三角形、四邊形都屬于多邊形,其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形.2.正多邊形：各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．要點(diǎn)詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件,二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形,四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形,只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才是正方形.3.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段,叫做多邊形的對(duì)角線.

要點(diǎn)詮釋：<1>從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引<n－3>條對(duì)角線,將多邊形分成<n－2>個(gè)三角形；<2>n邊形共有條對(duì)角線．要點(diǎn)五、多邊形的內(nèi)角和及外角和公式1.內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為<n－2>·180°<n≥3,n是正整數(shù)>．要點(diǎn)詮釋：〔1一般把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決；<2>內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù),求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和,求其邊數(shù).2.多邊形外角和：n邊形的外角和恒等于360°,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).要點(diǎn)詮釋：<1>外角和公式的應(yīng)用：

①已知外角度數(shù),求正多邊形邊數(shù)；

②已知正多邊形邊數(shù),求外角度數(shù).

<2>多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：

①n邊形的內(nèi)角和等于<n－2>·180°<n≥3,n是正整數(shù)>,可見(jiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān),每增加1條邊,內(nèi)角和增加180°.要點(diǎn)六、鑲嵌的概念和特征1.定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋,通常把這類問(wèn)題叫做用多邊形覆蓋平面<或平面鑲嵌>．這里的多邊形可以形狀相同,也可以形狀不相同.要點(diǎn)詮釋：〔1拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊.

<2>用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°.<3>只用一種正多邊形鑲嵌地面,當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360°時(shí),就能鋪成一個(gè)平面圖形.事實(shí)上,只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用.[典型例題]類型一、三角形的三邊關(guān)系1.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別是3,8,,若的值為偶數(shù),則的值有<>．A．6個(gè)B．5個(gè)C．4個(gè)D．3個(gè)[答案]D[解析]的取值范圍：,又為偶數(shù),所以的值可以是6,8,10,故的值有3個(gè).[總結(jié)升華]不要忽略"x為偶數(shù)"這一條件.舉一反三：[變式]三角形的三邊長(zhǎng)為2,x-3,4,且都為整數(shù),則共能組成個(gè)不同的三角形.當(dāng)x為時(shí),所組成的三角形周長(zhǎng)最大.[答案]三；8<由三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,有4-2<x-3<4+2,解得5<x<9,因?yàn)閤為整數(shù),故x可取6,7,8；當(dāng)x=8時(shí),組成的三角形周長(zhǎng)最大為11>.2.如圖,O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接OB和OC．<1>你能說(shuō)明OB+OC＜AB+AC的理由嗎?<2>若AB＝5,AC＝6,BC＝7,你能寫出OB+OC的取值范圍嗎?[答案與解析]解：<1>如圖,延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)E,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以得到,在△ABE中,AB+AE＞BE；在△EOC中,OE+EC＞OC,兩不等式相加,得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由圖可知,AE+EC＝AC,BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE,即OB+OC＜AB+AC．<2>因?yàn)镺B+OC＞BC,所以O(shè)B+OC＞7．又因?yàn)镺B+OC＜AB+AC,所以O(shè)B+OC＜11,所以7＜OB+OC＜11．[總結(jié)升華]充分利用三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行解題．類型二、三角形中的重要線段3.在△ABC中,AB＝AC,AC邊上的中線BD把△ABC的周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分,求三角形的各邊長(zhǎng)．[思路點(diǎn)撥]因?yàn)橹芯€BD的端點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn),所以AD＝CD,造成兩部分不等的原因是BC邊與AB、AC邊不等,故應(yīng)分類討論．[答案與解析]解：如圖<1>,設(shè)AB＝x,AD＝CD＝．<1>若AB+AD＝12,即,所以x＝8,即AB＝AC＝8,則CD＝4．故BC＝15-4＝11．此時(shí)AB+AC＞BC,所以三邊長(zhǎng)為8,8,11．<2>如圖<2>,若AB+AD＝15,即,所以x＝10．即AB＝AC＝10,則CD＝5．故BC＝12-5＝7．顯然此時(shí)三角形存在,所以三邊長(zhǎng)為10,10,7．綜上所述此三角形的三邊長(zhǎng)分別為8,8,11或10,10,7．[總結(jié)升華]BD把△ABC的周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分,哪部分是12cm,哪部分是15cm,問(wèn)題中沒(méi)有交代,因此,必須進(jìn)行分類討論．舉一反三：[變式]有一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田,現(xiàn)引進(jìn)四個(gè)品種進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn),需將這塊土地分成面積相等的四塊,請(qǐng)你制定出兩種以上的方案供選擇.[答案]解：方案1：如圖〔1,在BC上取D、E、F,使BD=ED=EF=FC,連接AE、AD、AF．

方案2：如圖<2>,分別取AB、BC、CA的中點(diǎn)D、E、F,連接DE、EF、DF．方案3：如圖<3>,取AB中點(diǎn)D,連接AD,再取AD的中點(diǎn)E,連接BE、CE．方案4：如圖<4>,在AB取點(diǎn)D,使DC＝2BD,連接AD,再取AD的三等分點(diǎn)E、F,連接CE、CF．類型三、與三角形有關(guān)的角4.在△ABC中,∠ABC＝∠C,BD是AC邊上的高,∠ABD＝30°,則∠C的度數(shù)是多少?[思路點(diǎn)撥]按△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況,分類討論．[答案與解析]解：分兩種情況討論：〔1當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí),如圖所示,在△ABD中,∵BD是AC邊上的高<已知>,∴∠ADB＝90°<垂直定義>．又∵∠ABD＝30°<已知>,∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°<三角形內(nèi)角和定理>,∴∠ABC+∠C＝120°,又∵∠ABC＝∠C,∴∠C＝60°．<2>當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí),如圖所示．在直角△ABD中,∵∠ABD＝30°<已知>,所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°<三角形內(nèi)角和定理>,∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．綜上,∠C的度數(shù)為60°或30°．[總結(jié)升華]在解決無(wú)圖的幾何題的過(guò)程中,只有正確作出圖形才能解決問(wèn)題．這就要求解答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性,雙解和多解問(wèn)題也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)該注意的一個(gè)重要環(huán)節(jié)．舉一反三：[變式]如圖,AC⊥BC,CD⊥AB,圖中有對(duì)互余的角？有對(duì)相等的銳角？[答案]3,2．類型四、三角形的穩(wěn)定性5.如圖是一種流行的衣帽架,它是用木條〔四長(zhǎng)四短構(gòu)成的幾個(gè)連續(xù)的菱形〔四條邊都相等,每一個(gè)頂點(diǎn)處都有一個(gè)掛鉤〔連在軸上,不僅美觀,而且使用,你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？[答案與解析]解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩(wěn)定性,可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離。它的固定方法是：任選兩個(gè)不在同一木條上的頂點(diǎn)固定就行了。[總結(jié)升華]要使物體具有穩(wěn)定性,應(yīng)做成三角形,否則做成四邊形、五邊形等等.舉一反三：[變式]如圖,我們知道要使四邊形木架不變形,至少要釘一根木條．那么要使五邊形木架不變形,至少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形,至少要釘幾根木條?使n邊形木架不變形．又至少要釘多少根木條?[答案]要使五邊形木架不變形,至少要釘2根木條；使七邊形木架不變形,至少要釘4根木條；使n邊形木架不變形,至少要釘<n-3>根木條．類型五、多邊形內(nèi)角和及外角和公式6．某多邊形除一個(gè)內(nèi)角α外,其余內(nèi)角的和是2750°．求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．[思路點(diǎn)撥]由已知條件可知,這個(gè)多邊形內(nèi)角和要大于2750°,而因?yàn)橥苟噙呅蔚拿恳粋€(gè)內(nèi)角α的范圍是：0°＜α＜180°,所以2750°加上一個(gè)180°又大于內(nèi)角和,所以本題建立不等式組來(lái)解答.

[答案與解析]設(shè)這個(gè)多邊形是邊形,則它的內(nèi)角和是,

∴2750°+0°＜<n-2>×180°＜2750°+180°∵n為正整數(shù),∴n=18.

[總結(jié)升華]本題是多邊形的內(nèi)角和定理和的綜合運(yùn)用.一般設(shè)出邊數(shù),根據(jù)條件列出關(guān)于的不等式組,求出的取值范圍,再根據(jù)n取正整數(shù)得出正確的值即可.舉一反三[變式]一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。

[答案]可設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,某一個(gè)外角為α

則<n－2>×180＋α＝1350

從而<n－2>=

因?yàn)檫厰?shù)n為正整數(shù),所以α＝90,n＝9類型六、多邊形對(duì)角線公式的運(yùn)用7．某校七年級(jí)六班舉行籃球比賽,比賽采用單循環(huán)積分制〔即每?jī)蓚€(gè)班都進(jìn)行一次比賽.你能算出一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽嗎？

[思路點(diǎn)撥]本題體現(xiàn)與體育學(xué)科的綜合,解題方法參照多邊形對(duì)角線條數(shù)的求法,即多邊形的對(duì)角線條數(shù)加上邊數(shù).如圖：[答案與解析]共需要比賽〔場(chǎng).[總結(jié)升華]對(duì)于其他學(xué)科問(wèn)題要善于把它與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系在一起,便于解決.舉一反三[變式]一個(gè)多邊形共有44條對(duì)角線,則多邊形的邊數(shù)是〔.

A．8B．9C．10D．11[答案]D；類型七、鑲嵌問(wèn)題8．分別畫出用相同邊長(zhǎng)的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計(jì)圖.

<1>正方形和正八邊形；

<2>正三角形和正十二邊形；

<3>正三角形、正方形和正六邊形.[思路點(diǎn)撥]只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個(gè)周角,那么這些多邊形就能作平面鑲嵌.[答