江蘇省宿遷市2024屆高三下學(xué)期調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含答案）

宿遷市2024屆高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，則的值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．5．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等差數(shù)列，，則的值為（）A． B． C． D．16．已知，向量在上的投影向量為，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．或7．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團(tuán)隊(duì)決定用AI對(duì)抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來(lái)甄別視頻的真假．該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報(bào)率是0.04，即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)隨機(jī)變量，其中，下列說(shuō)法正確的是（）A．變量的方差為1，均值為0 B．C．函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù) D．10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)為拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)下列說(shuō)法正確的是（）A．若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則面積的最小值為2B．若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的圓外C．若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則以線(xiàn)段為直徑的圓與直線(xiàn)相切D．過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，若兩切線(xiàn)的交點(diǎn)在直線(xiàn)上，則直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)11．已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為棱的點(diǎn)，且，若點(diǎn)為正方體內(nèi)部（含邊界）點(diǎn)，滿(mǎn)足：為實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)的軌跡為菱形及其內(nèi)部B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．最小值為D．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________．13．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍為_(kāi)________．14．在一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)放入一個(gè)與側(cè)面及底面都相切的實(shí)心球后，再在該圓錐內(nèi)的空隙處放入個(gè)小球，這些小球與實(shí)心球、圓錐的側(cè)面以及底面都相切，則的最大值為_(kāi)________（?。┧?、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且．（1）求的值；（2）若，求證：．16．（15分）如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，平面平面．（1）證明：；（2）若，且與平面所成角的正切值為2，求平面與平面所成二面角的正弦值．17．（15分）某班欲從6人中選派3人參加學(xué)?；@球投籃比賽，現(xiàn)將6人均分成甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行選拔比賽．經(jīng)分析甲隊(duì)每名隊(duì)員投籃命中概率均為，乙隊(duì)三名隊(duì)員投籃命中的概率分別為，．現(xiàn)要求所有隊(duì)員各投籃一次（隊(duì)員投籃是否投中互不影響）．（1）若，求甲、乙兩隊(duì)共投中5次的概率；（2）以甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)的期望為依據(jù)，若甲隊(duì)獲勝，求的取值范圍．18．（17分）已知函數(shù)．（1）若，求的極小值；（2）若過(guò)原點(diǎn)可以作兩條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，求的取值范圍．19．（17分）已知雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)交一條漸近線(xiàn)于．（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于兩點(diǎn)，求的取值范圍．參考答案1．【答案】C【解析】，選C．2．【答案】D【解析】，選D．3．【答案】A【解析】解法一：兩角和與差余弦公式+同角平方關(guān)系，選A．解法二：平方法+誘導(dǎo)公式，選A．4．【答案】A【解析】解法一：，選A．解法二：特值當(dāng)時(shí)，，排除B，D，當(dāng)時(shí)，，排除C，選A．5．【答案】B【解析】解法一：性質(zhì)+特值，排除C，D；當(dāng)時(shí)，排除A，選B．解法二：基本量運(yùn)算由解法一知，則，選B．解法三：二級(jí)結(jié)論，由，則，又，則或（舍去），選B．6．【答案】A【解析】向量在上的投影向量為，則，又，則，選A．另解：向量在上的投影向量為，排除C，D，觀察選項(xiàng)“顏值”，選A．7．【答案】B【解析】解法一：極化恒等式+解三角形+通徑，又，又，則，選B．解法二：向量坐標(biāo)運(yùn)算+坐標(biāo)翻譯垂直不妨設(shè)，則，下同解法一（略），選B．解法三：對(duì)稱(chēng)性+焦點(diǎn)三角形設(shè)右焦點(diǎn)，又，則，又，則，選B．解法四：余弦定理的向量形式+極化恒等式，，，則，又，則，選B．解法五：直線(xiàn)方向向量+解三角形+通徑，由，則，下同解法一（略），選B．另解：減少字母?jìng)€(gè)數(shù)利于求值，還可取特值．8．【答案】C【解析】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，則，由貝葉斯公式得：，選C．9．【答案】ACD【解析】隨機(jī)變量，則A正確；，則B錯(cuò)誤；隨機(jī)變量，結(jié)合正態(tài)曲線(xiàn)易得函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則C正確；正態(tài)分布的曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，則D正確，選ACD．10．【答案】AC【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦端點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，A正確；拋物線(xiàn)，軸點(diǎn)弦的端點(diǎn)與頂點(diǎn)連線(xiàn)互相垂直（充要條件成立），則點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的圓上，B錯(cuò)誤；拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切，C正確；拋物線(xiàn)的阿基米德三角形性質(zhì)：過(guò)準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)作拋物線(xiàn)兩切線(xiàn)，切點(diǎn)恒過(guò)焦點(diǎn)（充要條件成立），則直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選AC．11．【答案】ABD【解析】在菱形內(nèi)，A正確；當(dāng)時(shí)，在線(xiàn)段上，的軌跡長(zhǎng)度為線(xiàn)段的長(zhǎng)，即為，B正確；當(dāng)時(shí)，在面內(nèi)，在上時(shí)，有最小值為，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，在面內(nèi)，在上時(shí)，與面所成角的正弦值最大，即為，D正確．故選ABD．另：幾何法和建系也可．12．【答案】10【解析】令，則當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為．13．【答案】【解析】解法一：換元法令．解法二：目標(biāo)函數(shù)+伸縮變換令．14．【答案】10【解析】1．“三切”：小球與實(shí)心球，圓錐底面，圓錐側(cè)面皆相切小球擺放態(tài)，2．“軌跡”：離散型分布，小球與底面切點(diǎn)在圓錐底面的同心圓上“圓環(huán)手串”模型小球球心在同心圓上，此種轉(zhuǎn)化便于解決問(wèn)題，3．“誤區(qū)”：兩相切小球的球心與切點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)嗎？答案為共線(xiàn)，兩小球切點(diǎn)在圓環(huán)上嗎？答案為否！實(shí)物模型手串理解，放大手串的珠子更直觀，還可作正多邊形，讓正多邊形的頂點(diǎn)為圓心，直徑為正多邊形的邊長(zhǎng)更好理解！4．“計(jì)算”：設(shè)實(shí)心球半徑為，小球半徑為，則，“手環(huán)穿”半徑為．5．“幾何”：令，關(guān)鍵條件的使用．15．【解析】（1）解法一：設(shè)的公差為，由①，得②，則②-①得，即，又，則．解法二：設(shè)的公差為因?yàn)樗詫?duì)恒成立即對(duì)恒成立所以又，則．解法三：利用必要性解題取求出結(jié)果，將代回驗(yàn)證（2）由得，即，所以，又即，則，因此則．16．【解析】（1）因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以，又四邊形為梯形，，則，在中，由余弦定理可知，，根據(jù)勾股定理可知，，即．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫嫠裕?）法一：由（1）可知，又因?yàn)?，所以平面，所以就是與平面所成角，所以，所以；以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則有取，由題意得為平面的法向量，所以，即平面與平面所成二面角的正弦值．法二：在平面內(nèi)，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接，則為平面與平面的交線(xiàn)在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接由（1）得，因?yàn)榍揖诿鎯?nèi)所以面因?yàn)槊?，所以又因?yàn)榍揖诿鎯?nèi)所以面，即面因?yàn)槊?，所以因?yàn)榍揖诿鎯?nèi)所以面，由面所以所以在直角三角形中在直角三角形中所以平面與平面所成二面角的正弦值．所以就是二面角的平面角又因?yàn)槠矫?，所以就是與平面所成角，所以，所以因?yàn)椋裕?7．【解析】（1）記“甲，乙兩隊(duì)共投中5次”為事件，則可以是甲隊(duì)投中3次，乙隊(duì)投中2次或者甲隊(duì)投中2次，乙隊(duì)投中3次．則，答：甲、乙兩隊(duì)共投中5次的概率為．（2）記甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)分別為，則，所以；的取值為0，1，2，3，則，，，，所以，的分布列為0123另解：18．【解析】（1），令得，則在上單調(diào)遞減，令得，則在上單調(diào)遞增，則的極小值為（列表也可）（2），設(shè)切點(diǎn)分別為，則在處的切線(xiàn)方程為，又切點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)，所以，即，同理，所以為方程兩個(gè)不同的根，設(shè)，則，若，則在單調(diào)遞減，不符合題意；若，令得，在單調(diào)遞減，令得在單調(diào)遞增，所以，若，即，此時(shí)方程沒(méi)有兩個(gè)不同的根，不符合題意；若，即，因?yàn)椋?，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即，又的圖像是不間斷的曲線(xiàn)，所以存在滿(mǎn)足使得，所以的取值范圍是．19．【解析】（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以解得，所以雙曲線(xiàn)的方程為．（2）