平面向量線性運算經(jīng)典習題及平面向量習題整理

MathwangPAGEPAGE1平面向量線性運算經(jīng)典習題1.設(shè)點M是線段BC的中點,點A在直線BC外,=4,|則||=()A.8B.4C.2D.12.已知△ABC中,點D在BC邊上,且則r+s的值是()C.-3D.03.平面向量a,b共線的充要條件是()A.a,b方向相同B.a,b兩向量中至少有一個為0C.存在λ∈R,使b=λaD.存在不全為零的實數(shù)λ1,λ2,使λ1a+λ24.已知O?A?B是平面上的三個點,直線AB上有一點C,滿足則等于()5.設(shè)D?E?F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點,則與A.反向平行 B.同向平行C.不平行 D.無法判斷6.已知a,b是不共線的向量,=λa+b,=a+μb,(λ,μ∈R),那么A、B、C三點共線的充要條件為()A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=17.設(shè)，而是一非零向量，則下列各結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①③8.若化簡（）A． B． C． D．以上都不對9.在△ABC中，D、E、F分別BC、CA、AB的中點，點M是△ABC的重心，則等于 （）A． B． C． D．10.若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且滿足,則△ABC的形狀為________.11.如圖,平面內(nèi)有三個向量??其中與的夾角為120°,與的夾角為30°,且||=||=1,||=,若=λμ(λ,μ∈R),則λ+μ的值為________.12.如圖,在△ABC中,點O是BC的中點,過點O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N,若則m+n的值為________.13．若a，b是兩個不共線的非零向量，t∈R，若a，b起點相同，t為何值時，a，tb,eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點在一條直線上？．14.設(shè)a、b是不共線的兩個非零向量,(1)若=a-3b,求證:A、B、C三點共線;(2)若8a+kb與ka+2b共線,求實數(shù)k的值.15.如圖所示,△ABC中,點M是BC的中點,點N在AC邊上,且AN=2NC,AM與BN相交于點P,求AP:PM的值.向量習題分類精選向量的模點評：向量模的處理思路：幾何法，平方，坐標(2011·遼寧)若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為(B)A.eq\r(2)－1 B．1C.eq\r(2) D．2已知向量a≠e，|e|＝1，滿足：對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則(C)A．a(chǎn)⊥e B．a(chǎn)⊥(a－e)C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)(16上期中)若向量滿足,則在方向上的投影的最大值是________.設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|b·c|的值一定等于(A)A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積C．以a，b為兩邊的三角形的面積D．以b，c為兩邊的三角形的面積【2013，安徽理9】在平面直角坐標系中，是坐標原點，兩定點滿足則點集所表示的區(qū)域的面積是（D）A．B．C．D．【2013湖南6】已知是單位向量，.若向量滿足(A)A．B．C．D．【2015湖南理2】已知點，，在圓上運動，且，若點的坐標為，則的最大值為（B）A.6B.7C.8D.9【2013重慶，理10】在平面上，，,.若，則的取值范圍是（D）A、B、C、D、【2014湖南16】在平面直角坐標系中,為原點,動點滿足=1，則的最大值是_________.【2015高考浙江，理15】已知是空間單位向量，，若空間向量滿足，且對于任意，，則___．__．__．，，.【2013高考重慶理第10題】在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||＜，則||的取值范圍是(D)．A．B．C．D．已知中，，點是所在平面內(nèi)一點.若，且，則.（2017屆武漢市二月調(diào)考.理11）已知為兩個非零向量，且，，則的最大值為（D）A．B．C．D．平面向量基本定理，基底轉(zhuǎn)化，雙參數(shù)問題常見處理方法:線性運算（加、減、數(shù)乘）直接轉(zhuǎn)化；待定系數(shù)法；方程組法?！?013年.浙江卷.理17】設(shè)為單位向量，非零向量，x，y∈R.若的夾角為，則的最大值等于__________．2如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝meq\o(AM,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝neq\o(AN,\s\up16(→))，則m＋n的值為________．2點評：三點共線經(jīng)常作為隱含信息出現(xiàn)，不容易察覺。在邊長為1的正中，向量，且則的最大值為________.點評：思路1.基底法.可選取為基底.思路2.坐標法，關(guān)鍵是D,E兩點坐標表示.如圖所示，平面內(nèi)有三個向量eq\o(OA,\s\up16(→))、eq\o(OB,\s\up16(→))、eq\o(OC,\s\up16(→))，其中eq\o(OA,\s\up16(→))與eq\o(OB,\s\up16(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up16(→))與eq\o(OC,\s\up16(→))的夾角為30°.且|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為______．λ＋μ＝6.給定兩個長度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up16(→))和eq\o(OB,\s\up16(→))，它們的夾角為120°.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧eq\x\to(AB)上變動．若eq\o(OC,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________．2點評：思路1.利用,得，基本不等式求得（有漏洞：x、y可能為負數(shù)?。?思路2.坐標法，設(shè)，得求解.思路3.幾何法，設(shè)AB交OC于T，，由A、T、B三點共線得.(2019屆高一3月考16)在扇形中，點為弧上的動點，點可與點或重合，若，則的最大值為。(2017屆武漢四月調(diào)考理科16)已知的外接圓圓心為，且，若，則的最大值為.在中，已知,,，為線段上的一點，且則的最大值為（C）A． B． C． D．點評：由條件可得，CA=3，CB=4.由三點共線可得，再消元或湊基本不等式求解.【2014天津，理8】已知菱形的邊長為2，，點分別在邊上，，．若，，則（C）（A）（B）（C）（D）【2013山東，理15】已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為__________．如右圖，，點在由射線、線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，且，則的取值范圍是__________，當時，的取值范圍是__________.向量數(shù)量積、（三點）共線定理、投影常見處理方法:定義，幾何意義（投影），坐標，向量轉(zhuǎn)化（基底）在△OAB中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，OD是AB邊上的高，若eq\o(AD,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，則實數(shù)λ等于(B)A.eq\f(a·b－a,|a－b|2) B.eq\f(a·a－b,|a－b|2)C.eq\f(a·b－a,|a－b|) D.eq\f(a·a－b,|a－b|)正邊長等于，點在其外接圓上運動，則的取值范圍是（）A.B.C.D.已知中，，若是邊上的動點，求的取值范圍.點評：思路1.基底法.注意A、B、P三點共線的運用以及所設(shè)未知數(shù)范圍的確定.思路2.坐標法，以BC為x軸.【2015高考天津，理14】在等腰梯形中,已知,動點和分別在線段和上,且,則的最小值為__________．【2015高考福建，理9】已知，若點是所在平面內(nèi)一點，且，則的最大值等于（A）A．13B．15C．19D．21【2014江蘇，理12】如圖在平行四邊形中，已知，，則的值是.22AADCBP(2012·江蘇)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\r(2)，則eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BF,\s\up16(→))的值是________．eq\r(2)已知中，，若是邊上的動點，求的取值范圍.點評：思路1.基底法.注意A、B、P三點共線的運用以及所設(shè)未知數(shù)范圍的確定.思路2.坐標法，以BC為x軸.在邊長為1的正中，向量，且則的最大值為________.點評：思路1.基底法.可選取為基底.思路2.坐標法，關(guān)鍵是D,E兩點坐標表示.(16上期中)如圖所示，在中，，且，則________.點評：思路1.基底法.可選取為基底.思路2.坐標法，關(guān)鍵是C點坐標表示.思路3.幾何法，過C作AD的垂線，運用投影意義.三角形形狀、面積問題【2015高考安徽，理8】是邊長為的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（D）（A）（B）（C）（D）已知中，，是內(nèi)部一點，且，則________.（余弦定理，面積公式，面積和，三項和平方公式）已知的面積為，是三角形的某個內(nèi)角，是平面內(nèi)一點，且滿足，則下列判斷正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【2014山東.理12】在中，已知，當時，的面積為________.(2013遼寧，理9)已知點O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有(C)．A．b＝a3B．C．D．在四邊形中，，，則四邊形的面積為__________.的三邊滿足且，則的形狀是(D)A.銳角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形設(shè)P是ΔABC所在平面內(nèi)的一點，且，則ΔPAB與ΔABC的面積之比為(C)A.B.C.D.【2013年.浙江卷.理7】設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝AB，且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·，則(D)．A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC設(shè)P是△ABC內(nèi)任意一點，S△ABC表示△ABC的面積，λ1＝eq\f(S△PBC,S△ABC)，λ2＝eq\f(S△PCA,S△ABC)，λ3＝eq\f(S△PAB,S△ABC)，定義f(P)＝(λ1，λ2，λ3)．若G是△ABC的重心，f(Q)＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6))，則(A)A．點Q在△GAB內(nèi) B．點Q在△GBC內(nèi)C．點Q在△GCA內(nèi) D．點Q與點G重合三角形“三線”、“四心”在中，是的內(nèi)心，若，其中，則動點的軌跡所覆蓋的圖形的面積為（A）A.B.C.D.已知A，B，C是平面上不共線上三點，動點P滿足.則P的軌跡一定通過的(C)A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.AB邊的中點在△OAB中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，OD是AB邊上的高，若eq\o(AD,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，則實數(shù)λ等于(B)A.eq\f(a·b－a,|a－b|2) B.eq\f(a·a－b,|a－b|2)C.eq\f(a·b－a,|a－b|) D.eq\f(a·a－b,|a－b|)已知為線段上一點，為直線外一點，為上一點，滿足，，，且，則的值為（B）A.B.3C.4D.三角形“四心”知識點匯總重心G垂心H外心O內(nèi)心I示意圖定義三角形三條中線的交點叫三角形的重心。三角形三條高線所在的直線的交點叫做三角形的垂心。三解形三條垂直平分線的交點叫做三角形的外心，即外接圓圓心。三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心。性質(zhì)(1)頂點與垂心連線必垂直對邊，即AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。(2)若H在△ABC內(nèi)，且AH、BH、CH分別與對邊相交于D、E、F，則A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六組四點共圓。(3)△ABH的垂心為C，△BHC的垂心為A，△ACH的垂心為B。(4)三角形的垂心到任一頂點的距離等于外心到對邊距離的2倍。(1)內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點與內(nèi)心的連線平分頂角。(2)∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點D，則D與頂點B、C、內(nèi)心I等距(即D為△BCI的外心)。創(chuàng)新題、知識點綜合(2012·安徽)在平面直角坐標系中，點O(0,0)，P(6,8)，將向量eq\o(OP,\s\up16(→))繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)eq\f(3π,4)后得向量eq\o(OQ,\s\up16(→))，則點Q的坐標是(A)A．(－7eq\r(2)，－eq\r(2)) B．(－7eq\r(2)，eq\r(2))C．(－4eq\r(6)，－2) D．(－4eq\r(6)，2)點評：思路1.三角函數(shù)的一般定義及和差公式.思路2.向量夾角公式.【2014年.浙江卷.理8】記，，設(shè)為平面向量，則（D）A.B.C.D.【2014上海,理16】如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數(shù)為（A）（A）1(B)2(C)4(D)8【2014上海,理17】已知與是直線y=kx+1（k為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于x和y的方程組的解的情況是（B）（A)無論k，如何，總是無解（B)無論k，如何，總有唯一解（C）存在k，，使之恰有兩解（D）存在k，，使之有無窮多解【20