數(shù)學(xué)-專題03 全等三角形中的一線三垂直模型（原版）

專題03全等三角形中的一線三垂直模型【模型展示】特點【已知】如圖，為等腰直角三角形，【證明】由，同理，在和中,.結(jié)論.【模型證明】解決方案【結(jié)論一】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則有以下結(jié)論成立：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE

【證明】：①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）．②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴DE＝AD+BE．【結(jié)論二】（其他形狀一線三垂直）①DE＝AD﹣BE

②DE＝BE﹣AD【題型演練】一、單選題1．一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長為（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm2．如圖，點P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點，且，．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（

）A． B．2 C．4 D．3．如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）

A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm二、填空題4．如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E，且點C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長為_____．5．如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點A，過點B作于點E，過點C作于點F．若，則__________．三、解答題6．已知：如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一點，AC⊥CE，AB＝CD，求證：BC＝DE．7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；

②DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，AD=5，BE=2，求線段DE的長．8．（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點，在的邊、上，，點，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）9．問題背景：（1）如圖①，已知中，，，直線m經(jīng)過點A，直線m，直線m，垂足分別為點D，E，易證：______+______．（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線m上，并且有，請求出DE，BD，CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）實際應(yīng)用：如圖③，在中，，，點C的坐標(biāo)為，點A的坐標(biāo)為，請直接寫出B點的坐標(biāo)．10．如圖，在中，．

（1）如圖①所示，直線過點，于點，于點，且．求證：．（2）如圖②所示，直線過點，交于點，交于點，且，則是否成立？請說明理由．11．在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如圖1，當(dāng)α＝90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)0＜α＜180時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．12．如圖，于點，點在直線上，．(1)如圖1，若點在線段上，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若點在線段的延長線上，其他條件不變，試判斷（1）中結(jié)論是否成立，并說明理由．

13．（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意鈍角，請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．14．在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當(dāng)時，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．15．在中，，，直線MN經(jīng)過點C且于D，于E．(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：

①≌；②；(2)當(dāng)直線MN燒點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．16．（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．17．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分別與過點C的直線垂直，且垂足分別為D，E．學(xué)習(xí)完第十二章后，張老師首先讓同學(xué)們完成問題1：如圖1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的長；然后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點C旋轉(zhuǎn)到△ABC的外部，BE、AD與直線CE的垂直關(guān)系不變，如圖2，猜想AD、DE、BE三者的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．18．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位