信號與系統(tǒng)課件：連續(xù)信號與系統(tǒng)的時(shí)域分析

連續(xù)信號與系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1沖激函數(shù)及其性質(zhì)2.2系統(tǒng)的沖激響應(yīng)2.3信號的時(shí)域分解和卷積積分2.4卷積的基本計(jì)算方法2.5卷積的性質(zhì)2.6連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析習(xí)題2

信號與系統(tǒng)分析的基本任務(wù)是在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。連續(xù)信號與系統(tǒng)的時(shí)域分析是指信號與系統(tǒng)的整個(gè)分析過程都在連續(xù)時(shí)間域進(jìn)行，即所涉及

的函數(shù)自變量均為連續(xù)時(shí)間變量t的一種分析方法。這種方法直觀，是學(xué)習(xí)各種變換域分析方法的基礎(chǔ)。

本章首先介紹沖激函數(shù)及其性質(zhì)，沖激響應(yīng)的求解，然后從任意波形信號的分解出發(fā)引出卷積積分，介紹求解零狀態(tài)響應(yīng)的時(shí)域卷積分析法，討論信號的卷積積分運(yùn)算及圖解，卷積的運(yùn)算性質(zhì)和含有沖激函數(shù)的卷積，以便利用這些運(yùn)算性質(zhì)來簡化一些卷積的運(yùn)算。

2.1沖激函數(shù)及其性質(zhì)

2.1.1階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù)是一類較為特殊的函數(shù)，常稱為奇異函數(shù)。它在線性系統(tǒng)分析以及其它許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中占有重要的地位。

1.階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)定義為

其波形如圖2.1－1所示。由式(2.1－1)和圖2.1－1所示的波形可看出，單位階躍函數(shù)在t

<0時(shí)恒為零，在t>0時(shí)恒為1，在躍變點(diǎn)

t=0處，函數(shù)值未定義。圖2.1－1單位階躍函數(shù)

將單位階躍函數(shù)乘以常數(shù)A

，可構(gòu)成幅值為A

的階躍函數(shù)Aε(t)，表達(dá)式為

其波形如圖2.1－2(a)所示。若階躍函數(shù)在t=t0

時(shí)發(fā)生階躍，則稱其為延時(shí)階躍函數(shù)，可表示為

其波形如圖2.1－2(b)所示。圖2.1－2階躍函數(shù)

2.沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)定義為

和

式(2.1－5)表示單位沖激函數(shù)的面積(或強(qiáng)度)為1。單位沖激函數(shù)的波形如圖2.1－3所示，圖中(1)表示其強(qiáng)度。圖2.1－3單位沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)δ(t)十分抽象，它不同于普通函數(shù)。它除在原點(diǎn)之外，處處為零，并且具有單位面積值。直觀地看，這一函數(shù)可以設(shè)想為一個(gè)窄脈沖的極限。比如一個(gè)矩形脈沖，寬度為Δ，高度為1/Δ，其面積為1，在極限情況下，當(dāng)Δ→0時(shí)，它的高度無限增大，但面積始終保持為1，如圖2.14(a)所示。圖2.1－4矩形脈沖演變?yōu)闆_激信號

若沖激函數(shù)的強(qiáng)度為常數(shù)A，則可表示為Aδ(t)，其波形如圖2.1－5所示。

若單位沖激函數(shù)在t=t0

處出現(xiàn)，則稱其為延遲的沖激函數(shù)，可表示為

其波形如圖2.1－6所示。圖2.1－5強(qiáng)度為A的沖激函數(shù)圖2.1－6延遲的沖激函數(shù)

沖激函數(shù)代表一些幅值極大而作用時(shí)間極短的物理量的數(shù)學(xué)模型。

在理解沖激函數(shù)δ

(t

)時(shí)，應(yīng)注意以下兩點(diǎn):

(1)δ(t)僅在t=0瞬間出現(xiàn)，其幅度為∞

，其余時(shí)刻(t≠0)均為零。

(2)

表示沖激函數(shù)與時(shí)間軸構(gòu)成的面積，稱為沖激函數(shù)的強(qiáng)度，標(biāo)示在該信號的旁邊。

2.1.2沖激函數(shù)的性質(zhì)

作為廣義函數(shù)，沖激函數(shù)具有如下常用性質(zhì)。

1.加權(quán)性質(zhì)

若f

(t

)是一個(gè)在t=t0

時(shí)連續(xù)的普通函數(shù)，則有

證明由于沖激函數(shù)δ(t-t

0)僅在t=t0時(shí)其值為∞，其余時(shí)刻均為零，所以連續(xù)信號f(t)與沖激函數(shù)δ

(t-t

0

)乘積的結(jié)果，等于一個(gè)強(qiáng)度為f

(t

0

)的沖激函數(shù)f(t

0

)δ(t-t

0)，如圖2.1－7所示。

在式(2.1－7)中，如果令t=t0，則有圖2.1－7加權(quán)性質(zhì)證明圖示

2.抽樣性質(zhì)

證明

式(2.1－8)表明：任意連續(xù)函數(shù)f(t)與沖激函數(shù)相乘并從-∞

到∞積分，等于f(t)在沖激函數(shù)出現(xiàn)時(shí)刻t=t0時(shí)的函數(shù)值f(t

0)。也就是說，將沖激函數(shù)出現(xiàn)時(shí)刻t=t0時(shí)f(t)的函數(shù)值f(t

0)抽出來了。

在式(2.1－9)中，如果令t0=0，則有

3.奇偶性

單位沖激函數(shù)δ

(t)為偶函數(shù)，即

4.尺度變換性質(zhì)

這里a為常數(shù)，且a≠0。

5.δ(t)與ε(t)的關(guān)系

由沖激函數(shù)的定義，有

即

式(2.1－14)表明:沖激函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)。相應(yīng)地，將式(2.1－14)等式兩端微分，有

即單位階躍函數(shù)微分等于沖激函數(shù)。

2.1.3沖激偶及其性質(zhì)

1.沖激偶δ‘

(t)

單位沖激函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)稱為單位二次沖激函數(shù)或沖激偶，表示為

其圖形如圖2.1－8所示。圖2.1－8單位二次沖激函數(shù)或沖激偶

圖2.1－

9沖激偶的演變

從圖2.1－9可看出

2.沖激偶的性質(zhì)

1)加權(quán)性質(zhì)

若函數(shù)

f(t

)和f'(t

)在t=t0

時(shí)連續(xù)，則

3)奇函數(shù)性質(zhì)

沖激偶δ'(t)是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，在全時(shí)域?qū)ζ浞e分，正、負(fù)兩個(gè)沖激的面積相互抵消，其積分為零，如式(2.1－18)。

2.2系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，是指系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，激勵(lì)為單位沖激信號δ

(t)作用下的響應(yīng)，即單位沖激信號δ(t)作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用h(t)表示。由于沖激響應(yīng)h

(t

)在時(shí)域卷積分析法中起著十分重要的作用，因此必須掌握計(jì)算它的方法，下面討論其求取方法。

1.給定具體電路求沖激響應(yīng)h(t)

對于簡單電路，直接計(jì)算該電路在單位沖激信號δ

(t

)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，即沖激響應(yīng)h

(t

)?，F(xiàn)舉例說明如下。

【例2.2－1】RC并聯(lián)電路如圖2.2－1所示，激勵(lì)為電流源iS

(t)，響應(yīng)為電壓uC

(t

)，試求電路的沖激響應(yīng)h

(t)。圖2.2－1例2.2－1用圖

解由于電路是零狀態(tài)，故uC

(0-)=0，當(dāng)iS

(t

)=δ(t)在t=0時(shí)接入電路，根據(jù)KCL和VCL，列出電路的微分方程為

對上式兩邊從t

=0-到t

=0+

取積分，得

因?yàn)殡娙蓦妷簎C

(t

)是有限的，故圖2.2－2RL串聯(lián)電路

這里順便指出，在經(jīng)典的電路理論中，常常強(qiáng)調(diào)電容電壓和電感電流都不能突變，但從上述例子可知，在單位沖激信號激勵(lì)下，情況并非如此。這是因?yàn)閱挝粵_激電流源或電

壓源是理想化的具有無限瞬時(shí)功率的信號源，它們能在瞬間供給足夠的能量，改變系統(tǒng)的儲(chǔ)能狀態(tài)，從而使電容電壓或電感電流發(fā)生突變。

對于較復(fù)雜的任意階電路，可用復(fù)頻域分析法求沖激響應(yīng)h

(t)，在第4章中介紹。

2.給定系統(tǒng)的微分方程求沖激響應(yīng)h(t)

描述一個(gè)n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

式中，

x

(t

)為輸入信號;y(t)為輸出信號;a0

、a1

、…、an

，

b0

、b1

、…、bm

均為常數(shù)?，F(xiàn)改變式(2.2－1)使等號右側(cè)為x(t

)，即

由此可得，對于如式(2.2－2)所示的微分方程，可求解相應(yīng)的齊次方程，代入式(2.2－5)和式(2.2－6)n個(gè)初始條件，即可得到在t>0時(shí)的沖激響應(yīng)h0(t)，然后根據(jù)系統(tǒng)的線性非時(shí)變特性，求得式(2.2－1)所示微分方程的沖激響應(yīng)

然后，根據(jù)系統(tǒng)的線性非時(shí)變特性，得

當(dāng)然，給定系統(tǒng)微分方程求解沖激響應(yīng)h(t

)，也可用復(fù)頻域分析方法，在第4章中介紹。

2.3信號的時(shí)域分解和卷積積分

上一節(jié)我們介紹了沖激函數(shù)和沖激響應(yīng)，在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論任意波形的信號將可以分解為連續(xù)的沖激信號之和，進(jìn)而說明卷積積分的物理意義。

2.3.1信號的時(shí)域分解

對于任意波形的信號x

(t)，我們可以用一系列矩形脈沖來近似，如圖2.3－1所示。所有矩形脈沖的寬度為Δ，其高度隨著它在時(shí)間軸上的位置而不同，對于在t=nΔ時(shí)刻出現(xiàn)的矩形脈沖，其高度為x

(nΔ)，即該時(shí)刻的x(t)值。圖2.3－1任意波形信號的分解圖2.3－2門函數(shù)表示

將每一個(gè)小的矩形脈沖用門函數(shù)來表示，門函數(shù)的來表示方式如圖2.3－2所示。這樣，原信號x(t

)就可近似地表示為無窮多個(gè)矩形脈沖之和，即

顯然，脈沖寬度Δ取得越小，近似越好。當(dāng)脈沖寬度Δ→0時(shí)，式(2.3－1)可表示為

當(dāng)Δ→0時(shí)，

Δ→dτ，

nΔ成為新變量τ

，求和變成對連續(xù)新變量τ

的積分。由于當(dāng)脈沖寬度Δ→0時(shí)，門函數(shù)變?yōu)闆_激函數(shù)(如圖2.1－9(a)、(b)所示)，即有

于是式(2.3－2)便可寫為

式(2.3－3)表明:任意波形的信號x(t)可以分解為無窮多個(gè)連續(xù)的沖激信號之和。

在數(shù)學(xué)上，將式(2.3－3)這種積分運(yùn)算定義為卷積積分，簡稱為卷積。記作

一般而言，兩個(gè)函數(shù)f1

(t)與f2

(t)的卷積積分寫為

2.3.2時(shí)域卷積分析法

下面研究系統(tǒng)在任意波形的信號x

(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。對于線性非時(shí)變系統(tǒng)來說，激勵(lì)和響應(yīng)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。若系統(tǒng)在單位沖激信號δ

(t

)作用下引起的零狀態(tài)響應(yīng)為沖激響應(yīng)h(t

)，則有

于是，任意波形信號x

(t

)作用于線性系統(tǒng)引起的零狀態(tài)響應(yīng)為

式(2.3－6)表明:線性非時(shí)變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)是激勵(lì)信號x(t)與沖激響應(yīng)h(t)的

卷積積分，記作

一旦求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，只要計(jì)算任意激勵(lì)信號x(t)和與h(t)，的卷積積分，就可求得x(t)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。這種方法使零狀態(tài)響應(yīng)的計(jì)算大為簡化，通常稱這種分析方法為時(shí)域卷積分析法。

2.4卷積的基本計(jì)算方法

卷積積分作為一種數(shù)學(xué)工具，其基本計(jì)算方法有兩種，即函數(shù)式計(jì)算法(又稱解析法)和圖解法。2.4.1卷積的函數(shù)式計(jì)算法如果作卷積運(yùn)算的兩個(gè)信號以函數(shù)式給出，則用函數(shù)式計(jì)算卷積較為方便。此方法的關(guān)鍵是在卷積計(jì)算過程中確定出積分的上下限和卷積生成函數(shù)的非零值定義域?，F(xiàn)舉例說明。

2.4.2卷積的圖解法

卷積的圖解能夠直觀地理解卷積積分的計(jì)算過程并加深對其物理意義的理解，而且在確定卷積積分的上下限時(shí)，卷積的圖解將是一個(gè)極有用的輔助手段。

前面已給出兩個(gè)函數(shù)卷積積分的計(jì)算式為

由此得卷積積分圖解法的主要步驟如下:

(1)畫出f1

(t)和f2

(t)的波形，將圖中的t軸改換成軸，分別得到f1

(τ)和f2

(τ

)的波形。

(2)將f2

(τ

)的波形以縱軸為軸線反折，得到f2

(-τ

)波形。

(3)將f2

(-τ

)波形沿τ軸平移一個(gè)t值。在t<0時(shí)，波形向左移；在t>0時(shí)，波形向右移。這樣就得到了f2

(t

-τ)的波形。

(4)將f1

(τ)和f2

(t-τ)相乘，得f1

(τ)f2

(t-τ)，然后計(jì)算積分值它是f1

(τ)f2

(t-τ)波形與τ軸之間包含的凈面積。

(5)將f2

(t-τ)波形連續(xù)地沿τ軸平移，就得到在任意時(shí)刻t

的卷積積分f1

(τ)*f2

(t)。

【例2.4－4】試用圖解法求圖2.4－1所示兩個(gè)函數(shù)的卷積。圖2.4－1例2.4－1用圖

【例2.4－5】已知某系統(tǒng)的激勵(lì)信號x(t)和沖激響應(yīng)h

(t)的波形如圖2.4－4所示。

試求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)=x(t)*h(t)。圖2.4－4例2.4－5用圖

解①首先改換變量，將圖中x(t)和h(t)的變量

t改換成τ

，如圖2.4－4所示。

②作h(τ)反折和平移，如圖2.4－5(a)、(b)所示。圖2.4－5h(τ)的反折和平移圖2.4－6卷積的求解過程

④將上述結(jié)果整理，得

2.5卷積的性質(zhì)

作為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，卷積運(yùn)算具有某些特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)在信號與系統(tǒng)分析中有重要作用。利用這些性質(zhì)可使卷積運(yùn)算大為簡化。

2.5.1卷積的運(yùn)算性質(zhì)

1.卷積代數(shù)

通常，代數(shù)中的乘法運(yùn)算性質(zhì)也適用于卷積運(yùn)算。

(1)交換律。

證明

(2)分配律。

證明

(3)結(jié)合律。

證明

而

故式(2.5－3)成立。

2.卷積的微分與積分

卷積代數(shù)運(yùn)算的規(guī)律與普通乘法類似，但卷積的微分或積分運(yùn)算卻與普通兩函數(shù)相乘的微分或積分運(yùn)算不同。

設(shè)y

(t

)=f1

(t)*f2

(t

)，則有

(1)卷積的微分性質(zhì)

證明

同理可證

(2)卷積的積分性質(zhì)。

證明

同理可證

2.卷積的微分與積分

卷積代數(shù)運(yùn)算的規(guī)律與普通乘法類似，但卷積的微分或積分運(yùn)算卻與普通兩函數(shù)相乘的微分或積分運(yùn)算不同。

設(shè)y

(t)=f1

(t)*f2

(t

)，則有

(1)卷積的微分性質(zhì)。

證明

同理可證

(2)卷積的積分性質(zhì)。

證明

同理可證

(3)卷積的微積分性質(zhì)。

綜合上述，卷積的微積分性質(zhì)可以進(jìn)一步推廣，其一般形式可寫成

式中，

i、j或i+j為正整數(shù)時(shí)，表示導(dǎo)數(shù)的階數(shù)；為負(fù)整數(shù)時(shí)，表示重積分的次數(shù)。

2.5.2與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積

1.與沖激函數(shù)δ(t)的卷積

任意函數(shù)f

(t

)與單位沖激函數(shù)δ(t)卷積的結(jié)果仍然是函數(shù)f(t)本身。

式(2.5－9)表明，任意函數(shù)f(t)與一個(gè)有時(shí)移的單位沖激函數(shù)δ

(t-t0)作卷積，其結(jié)果等于將該函數(shù)f

(t

)移至沖激出現(xiàn)的時(shí)刻，而波形不變。這一性質(zhì)稱為沖激函數(shù)的重現(xiàn)性質(zhì)(RelicationProperty)。

2.與沖激偶δ‘(t)的卷積

利用卷積的微分性質(zhì)，得

由此可見，任意函數(shù)f

(t)與沖激偶δ

’(t)的卷積等于f(t)的導(dǎo)數(shù)。

同理有

證明

3.與階躍函數(shù)ε(t)的卷積

利用卷積的積分性質(zhì)，有

證明

式(2.5－12)表明，任意函數(shù)f(t)與階躍函數(shù)ε(t)的卷積等于函數(shù)f(t)的積分。

同理有

證明

即任意函數(shù)f

(t

)與時(shí)延階躍函數(shù)ε(t-t0

)作卷積，等于將該函數(shù)時(shí)延t0

作積分。

關(guān)于卷積的運(yùn)算性質(zhì)以及含有沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積在簡化卷積運(yùn)算方面的應(yīng)用，通過下面具體例子加以說明。

【例2.5－3】已知x(t)和h(t)的波形如圖2.5－1所示，試畫出x(t)*h(t)的波形。圖2.5－1例2.5－3用圖(一)

解根據(jù)沖激函數(shù)的重現(xiàn)性質(zhì)，先將h

(t

)求導(dǎo)得h‘(t)，如圖2.5－2(a)所示。再由式(2.5－4)和式(2.5－9)，可得

由此畫出y’(t

)的波形，如圖2.5－2(b)所示。然后對y‘

(t

)波形進(jìn)行積分，得到y(tǒng)(t)波形，即x

(t)*h(t)的波形，如圖2.5－2(c)所示。圖2.5－2例2.5－3用圖(二)

【例2.5－4】已知函數(shù)f1

(t)的波形如圖2.5－3(a)所示，函數(shù)f2

(t)=δ(

t)+2

δ

(t

-1)+δ(t

-2)，試畫出f1

(t)*f2

(t)的波形。圖2.5－3例2.5－4用圖

解利用沖激函數(shù)的重現(xiàn)性質(zhì)，有

由此畫出f1

(t)*f2

(t)的波形，如圖2.5－3(b)所示。

【例2.5－5】已知函數(shù)f1

(t)的波形如圖2.5－4所示，設(shè)函數(shù)f2

(t)=δ'(t+1)+δ

'(t-1

)，試畫出y(t)=f1

(t)*f2

(t)的波形。圖2.5－4例2.5－5用圖(一)

解

應(yīng)用任意函數(shù)與沖激偶卷積公式(2.5－11)，有

由此畫出f‘1(t)、f’1(t+1)、f‘1(t-1)和y(t)的波形，如圖2.5－5所示。圖2.5－5例2.5－5用圖(二)

【例2.5－6】設(shè)x(t)和h(t)的波形如圖2.5－6所示，試畫出x(t)*h(t)的波形。圖2.56例2.56用圖(一圖2.5－7例2.5－6用圖(二)

2.6連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析

線性非時(shí)變系統(tǒng)的全響應(yīng)可分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)是輸入激勵(lì)為零時(shí)，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)，用yzi(t

)表示;零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零(即系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能為零)時(shí)，僅由輸入激勵(lì)所引起的響應(yīng)，用yzs(t

)表示。這樣，線性非時(shí)變系統(tǒng)的全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，即

1.零輸入響應(yīng)yzi

(t)

第1章已介紹，描述線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程，在零輸入條件下，式(2.2－1)所示微分方程等號右端為零，化為齊次方程，即

所以零輸入響應(yīng)對應(yīng)的是齊次微分方程的解。若其特征根均為單根λi

(i=1，

2，…，

n)，則其零輸入響應(yīng)形式為

式中，

Ci為待定系數(shù)，由給定的系統(tǒng)初始狀態(tài)確定。

若特征根含有

p重根，則重根部分對應(yīng)的零輸入響應(yīng)形式為

解之得

故零輸入響應(yīng)

2.零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)

若系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能為零，亦即初始狀態(tài)為零，這時(shí)式(2.2－1)仍是非齊次方程。若其特征根均為單根λi

(i=1，

2，…，

n)，則其零狀態(tài)響應(yīng)形式為

式中，

Ci為待定系數(shù)。

由式(2.6－5)可見，零狀態(tài)響應(yīng)包含齊次解和特解兩部分。由于輸入激勵(lì)是各式各樣的，所以求解非齊次微分方程是較復(fù)雜的。為了解決求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)這一困難，可采用

時(shí)域卷積分析法，或復(fù)頻域分析法(第4章介紹)。

【例2.6－2】已知系統(tǒng)的微分方程為

y″(t)+3y‘(t)+2y(t)=x’(t)+3x(t)，輸入激勵(lì)x(t)=ε(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

解首先求y″(t)+3y'(t)+2y(t)=x(t)的沖激響應(yīng)h0(t)。其特征方程為

解得特征根λ1=-1，

λ2=-2，則

習(xí)題2

2．1利用沖激函數(shù)的加權(quán)性質(zhì)化簡下列各函數(shù)。

2．2利用沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)計(jì)算下列積分值。

2．3試證明

2．4試求下列各函數(shù)值。

2．5電路如題2－5圖所示，其中iS(t)和uS

(t)為激勵(lì)，

i(t)為響應(yīng)，試求該電路的沖激響應(yīng)。

2．6試計(jì)算下列卷積。

2．7某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的激勵(lì)x(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)由下式相聯(lián)系

試求:(