新教材數(shù)學高中必修一課時素養(yǎng)評價3-3-2從函數(shù)觀點看一元二次不等式

課時素養(yǎng)評價十四從函數(shù)觀點看一元二次不等式(15分鐘30分)1.下列四個不等式中解集為R的是 ()A.x2+x+1≥0B.x22QUOTEx+QUOTE>0C.2x2+3x4<0D.x2+6x+10>0【解析】選D.對于D項,不等式可化為QUOTE>1,所以x2+6x+10>0的解集為R,其他不等式相應的方程的判別式均大于0,故解集不為R.2.關于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2x1=15,則a=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.原不等式等價于(x+2a)(x4a)<0,a>0,所以不等式的解集為(2a,4a),所以x2x1=4a(2a)=15,解得a=QUOTE.3.若產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數(shù)關系式是y=3000+20x0.1x2(0<x<240),若每臺產品的售價為25萬元,則生產者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產量是 ()A.100臺 B.120臺C.150臺 D.180臺【解析】選C.y25x=0.1x25x+3000≤0,即x2+50x30000≥0,解得x≥150或x≤200(舍去).故生產者不虧本的最低產量是150臺.4.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象與x軸的兩個交點為(1,0)和(3,0),則不等式ax2+bx+c<0的解集是________.

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象知所求不等式的解集為(∞,1)∪(3,+∞).答案:(∞,1)∪(3,+∞)5.若不等式x24x+3m<0的解集為空集,則實數(shù)m的取值范圍是________.

【解析】由題意,知x24x+3m≥0對一切實數(shù)x恒成立,所以Δ=(4)24×3m≤0,解得m≥QUOTE.答案:QUOTE6.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300m2的內接矩形花園(陰影部分),求矩形花園一邊長x(單位:m)的取值范圍.【解析】矩形的一邊長為xm,設另一邊長為ym,則由三角形相似知QUOTE=QUOTE,所以y=40x.因為xy≥300,所以x(40x)≥300,所以x240x+300≤0,所以10≤x≤30.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在R上定義運算☉:a☉b=ab+2a+b,則滿足x☉(x2)<0的實數(shù)x的取值范圍為 ()A.(0,2) B.(2,1)C.(∞,2)∪(1,+∞) D.(1,2)【解題指南】先利用☉運算的法則變形,再解不等式.【解析】選B.由a☉b=ab+2a+b,得x☉(x2)=x(x2)+2x+x2=x2+x2<0,所以2<x<1.2.若不等式ax2xc>0的解集為(2,1),則函數(shù)y=ax2xc的圖象為 ()【解析】選B.因為不等式的解集為(2,1),所以a<0,排除C、D,又與x軸交點的橫坐標為2,1,所以排除A.3.若不等式x22x+5≥a23a對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為()A.[1,4]B.(∞,2]∪[5,+∞)C.(∞,1]∪[4,+∞)D.[2,5]【解析】選A.x22x+5=(x1)2+4的最小值為4,所以x22x+5≥a23a對任意實數(shù)x恒成立,只需a23a≤4,解得1≤a≤4.【補償訓練】函數(shù)y=QUOTE對一切x∈R恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A.m>2 B.m<2C.m<0或m>2 D.0≤m≤2【解析】選D.由題意知x2+mx+QUOTE≥0對一切x∈R恒成立,所以Δ=m22m≤0,所以0≤m≤2.4.某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為12萬元/輛,年銷售量為10000輛.本年度為適應市場需求,計劃提高產品質量,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1),則出廠價相應提高比例為0.75x,同時預計年銷售量增加比例為0.6x,已知年利潤=(出廠價投入成本)×年銷售量.為使本年度的年利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例x的范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題意,設本年度年利潤為y,則y=[(1+0.75x)×12(1+x)×10]×(1+0.6x)×10000=6000x2+2000x+20000,即y=6000x2+2000x+20000(0<x<1).上年度利潤為(1210)×10000=20000.所以y20000>0,即6000x2+2000x>0,所以0<x<QUOTE,即x的范圍為QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.下面所給關于x的不等式,其中一定為一元二次不等式的是 ()A.3x+4<0 B.x2+mx1>0C.ax2+4x7>0 D.x2<0【解析】選BD.根據(jù)一元二次不等式的定義以及特征可判定A一定不是,C不一定是,B,D一定是.6.下列結論錯誤的是 ()A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0的解集為RB.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ=b24ac≤0C.若關于x的不等式ax2+x1≤0的解集為R,則a≤QUOTED.不等式QUOTE>1的解為x<1【解析】選ABD.A選項中,只有a>0時才成立;B選項當a=b=0,c≤0時也成立;D選項應為0<x<1.三、填空題(每小題5分,共10分)7.某地每年銷售木材約20萬立方米,每立方米價格為2400元.為了減少木材消耗,決定按銷售收入的t%征收木材稅,這樣每年的木材銷售量減少QUOTEt萬立方米.為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元,則t的取值范圍是________.

【解析】設按銷售收入的t%征收木材稅時,稅金收入為y萬元,則y=2400QUOTE×t%=60(8tt2).令y≥900,即60(8tt2)≥900,解得3≤t≤5.答案:[3,5]8.已知關于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),則QUOTE=________,關于x的不等式QUOTE>0的解集是________.

【解析】依題意,a>0且QUOTE=1,所以QUOTE=1;不等式QUOTE>0可變形為(axb)(x2)>0,即QUOTE(x2)>0,所以(x+1)(x2)>0,故x>2或x<1.答案:1{x|x<1或x>2}四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知不等式ax23x+6>4的解集為{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2(ac+b)x+bc<0.【解析】(1)因為不等式ax23x+6>4的解集為{x|x<1或x>b},所以x1=1與x2=b是方程ax23x+2=0的兩個實數(shù)根,b>1且a>0.由根與系數(shù)的關系,得QUOTE解得QUOTE(2)由(1)知不等式ax2(ac+b)x+bc<0可化為x2(2+c)x+2c<0,即(x2)(xc)<0.當c>2時,不等式(x2)(xc)<0的解集為{x|2<x<c};當c<2時,不等式(x2)(xc)<0的解集為{x|c<x<2};當c=2時,不等式(x2)(xc)<0的解集為.10.某城市上年度電價為0.80元/千瓦時,年用電量為a千瓦時.本年度計劃將電價降到0.55元/千瓦時～0.75元/千瓦時,而用戶期望電價為0.40元/千瓦時(該市電力成本價為0.30元/千瓦時).經測算,下調電價后,該城市新增用電量與實際電價和用戶期望電價之差成反比,比例系數(shù)為0.2a.試問當?shù)仉妰r最低為多少時,可保證電力部門的收益比上年度至少增加20%?【解析】設新電價為x元/千瓦時(0.55≤x≤0.75),則新增用電量為QUOTE千瓦時.依題意,有(a+QUOTE)(x0.3)≥a(0.80.3)(1+20%),即(x0.2)(x0.3)≥0.6(x0.4),整理得x21.1x+0.3≥0,解此不等式,得x≥0.6或x≤0.5,又0.55≤x≤0.75,所以0.6≤x≤0.75,因此xmin=0.6,即電價最低為0.6元/千瓦時,可保證電力部門的收益比上年度至少增加20%.1.對于實數(shù)x,當且僅當n≤x<n+1(n∈N*)時,[x]=n,則關于x的不等式4[x]236[x]+45<0的解集為________.

【解析】由4[x]236[x]+45<0,得QUOTE<[x]<QUOTE,又當且僅當n≤x<n+1(n∈N*)時,[x]=n,所以[x]=2,3,4,5,6,7,所以所求不等式的解集為[2,8).答案:[2,8)2.當0≤x≤2時不等式QUOTE(2tt2)≤x23x