考點20二項式定理-2024年新高考藝體生一輪復(fù)習

考點20二項式定理一．二項式定理（1）二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)（2）通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項（3）二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)（4）項數(shù)為n＋1，且各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n指定項的系數(shù)或二項式系數(shù)1.解題思路：通項公式2.常見指定項：若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項(2)h(r)是非負整數(shù)?Tr＋1是整式項(3)h(r)是負整數(shù)?Tr＋1是分式項(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項三．二項式系數(shù)的性質(zhì)四．系數(shù)和賦值法1．賦值法的應(yīng)用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展開式的各項系數(shù)之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．2．二項式系數(shù)最大項的確定方法(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數(shù)最大；(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)項與第\f(n＋1,2)＋1項))的二項式系數(shù)相等并最大．五．常見解題思路1.求形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關(guān)的量(常數(shù)項、參數(shù)值、特定項等)的步驟①利用二項式定理寫出二項展開式的通項公式，常把字母和系數(shù)分離(注意符號不要出錯)；②根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項要求指數(shù)為零，有理項要求指數(shù)為整數(shù))先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，解出r；③把r代入通項公式中，即可求出Tr＋1，有時還需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．2.求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式中與特定項相關(guān)的量的步驟①根據(jù)二項式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開，并寫出其通項公式；②根據(jù)特定項的次數(shù)，分析特定項可由(a＋b)m與(c＋d)n的展開式中的哪些項相乘得到；③把相乘后的項合并即可得到所求特定項或相關(guān)量．3.求三項展開式特定項的方法①通常將三項式轉(zhuǎn)化為二項式積的形式，然后利用多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題的處理方法求解．②將其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式展開，然后再分類考慮特定項產(chǎn)生的所有可能情形．4.二項展開式系數(shù)最大項的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數(shù)最大，應(yīng)用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))從而解出k來，即得．5.整除問題：用二項式定理處理整除問題，通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項式定理展開，只考慮后面一、二項(或者是某些項)就可以了．6.近似運算：利用二項式定理近似運算時，首先將冪的底數(shù)寫成兩項和或差的形式，然后確定展開式中的保留項，使其滿足近似計算的精確度．考點一二項式指定項的系數(shù)【例11】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）二項式的展開式中常數(shù)項為（

）A． B．60 C．210 D．【答案】B【解析】展開式的通項為，所以，常數(shù)項為，故選：B.【例12】（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在的展開式中，含的項的系數(shù)為（

）A．8 B．28 C．56 D．70【答案】B【解析】展開式的通項公式，當時，即時，有，所以含的項的系數(shù)為，故選：B.【例13】（2023·山東青島）若的展開式中共有個有理項，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】的展開式通項為，，當時，為有理項，故.故選：C.【變式】1．（2024·四川綿陽·統(tǒng)考二模）的展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【解析】的展開式的通項為．令，得．的系數(shù)為．故選：A．2．（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）展開式中的第四項為（

）A． B． C．240 D．【答案】B【解析】展開式的通項公式為，所以,故選：B3．（2024上·全國·高三專題練習）展開式中含項的系數(shù)為，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，得．∴，依題意，∴．故選：A.4．（2024·全國·高三專題練習）寫出展開式中的一個有理項為.【答案】（答案不唯一）【解析】展開式的通項公式為（），所以展開式中的有理項分別為：時，；時，；時，；時，.故答案為：（四個有理項任寫其一均可）.考點二二項式系數(shù)與系數(shù)的性質(zhì)【例21】（2023遼寧省大連市）的展開式中，二項式系數(shù)最大的是（

）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【答案】C【解析】由二項式，可得其展開式共有9項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得中間項第5項的二項式系數(shù)最大.故選：C.【例22】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）的展開式中，系數(shù)最小的項是（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】C【解析】依題意，的展開通項公式為，其系數(shù)為，當為奇數(shù)時，才能取得最小值，又由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，是的最大項，所以當時，取得最小值，即第6項的系數(shù)最小.故選：C．【例23】2．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知的展開式中第四項和第八項的二項式系數(shù)相等，則展開式中x的系數(shù)為【答案】【解析】第四項和第八項的二項式系數(shù)相等,則，故展開式中x的系數(shù)為，故答案為：【變式】1．（2023·甘肅）已知的展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則該展開式中各項系數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則∴展開式的通項為則該展開式中各項系數(shù)若求系數(shù)的最小值，則為奇數(shù)且，即，解得∴系數(shù)的最小值為故選：C.2．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知的二項展開式中系數(shù)最大的項為．【答案】【解析】設(shè)系數(shù)最大的項為，則，解得，因為且為整數(shù)，所以，此時最大的項為.故答案為：3．（2023上·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W?？计谥校┒検降恼归_式中，系數(shù)最大的項為．【答案】【解析】展開式通項公式為，且為整數(shù).要想系數(shù)最大，則為偶數(shù)，其中，，，，顯然系數(shù)最大項為.故答案為：考法三（二項式）系數(shù)和【例31】（2024·重慶·校聯(lián)考一模）（多選）已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】已知，令，有，A選項錯誤；令，有，令，有，，B選項正確；展開式的通項為，，，C選項正確，D選項正確.故選：BCD【例32】．（2024·黑龍江）（多選）若，其中為實數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，則原式轉(zhuǎn)化為，對A，令，得，故A正確；對B，由二項式定理得，故B錯誤；對CD，令，得，令，得，所以，所以，故C正確，D錯誤.故選：AC【變式】1．（2024·河南）（多選）已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】選項A：取，則，則錯誤；選項B：取，則，則，故B正確；選項C：的展開式通項為，所以，C正確；選項D：取，則，將其與作差，得，所以，故D正確.故選：BCD.2（2023·遼寧）（多選）若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意，當，，當時，，A正確；當時，，所以，，B，C錯誤；，當時，，所以，D正確.故選：AD．3．（2023·浙江紹興）（多選）設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由題設(shè)，二項式展開式通項為，所以，時，時，故，A對；又，即，令，即，則①，B錯；令，即，則②，由①②得：，則，C對；由知：展開式奇數(shù)項系數(shù)為負，偶數(shù)項系數(shù)為正，所以，而，故，即，D對.故選：ACD4．（2023·山西朔州）（多選）若，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】對于,令則故正確；對于,，故錯誤；對于,令則則故錯誤；對于,令得又故正確.故選：考法四兩個二項式乘積的系數(shù)【例41】（2024·全國·模擬預(yù)測）展開式中，含項的系數(shù)為．【答案】【解析】∵展開式的通項為，∴展開式中，含項為，則含項的系數(shù)為.故答案為：.【例42】（2024上·全國·高三專題練習）展開式中的常數(shù)項是120，則實數(shù)．【答案】2【解析】∵展開式的通項公式為，令得，即．令得，即，∴展開式中的常數(shù)項為，故，解得．故答案為：2【變式】1．（2024·全國·模擬預(yù)測）展開式中，含的項的系數(shù)為．【答案】【解析】由二項式展開式的通項，則在展開式中，含項的系數(shù)為．故答案為：.2．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）在的展開式中的系數(shù)為.【答案】【解析】結(jié)合題意可得：所以的系數(shù)為.故答案為:.3．（2024上·陜西西安·高三長安一中?？茧A段練習）的展開式中的常數(shù)項為.【答案】10【解析】展開式的通項公式為，令，得；令，得，所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：10考法五三項式系數(shù)【例51】（2023·江西南昌）在的展開式中，項的系數(shù)為（

）A．299 B．300C． D．【答案】C【解析】的展開式中，項是從5個多項式中任取1個用，再余下4個多項式中任取1個用，最后3個多項式都用1相乘的積，即，所以項的系數(shù)為.故選：C【例52】（2024·全國·模擬預(yù)測）在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】【解析】在的展開式中，要得到，則需要在6個式子中抽取2個，得到2個，有種方法；要得到，則需要在6個式子中抽取2個2個，得到2個，有種方法；故的系數(shù)為.故答案為：.【變式】1．（2023上·云南曲靖·高三校考階段練習）的展開式中的常數(shù)項為（

）A．588 B．589 C．798 D．799【答案】B【解析】因為展開式中的項可以看作8個含有三個單項式中各取一個相乘而得，若得到常數(shù)項，則有：①8個1；②2個，1個，5個1；③4個，2個，2個1；所以展開式中的常數(shù)項為.故選：B.2．（2023·四川達州）的展開式中，的系數(shù)為（

）A．20 B． C． D．15【答案】B【解析】，其展開式的通項為：，取得到的系數(shù)為．故選：B．3．（2023·黑龍江大興安嶺地）展開式中含項的系數(shù)為.【答案】30【解析】由于，所以的展開式中含的項為，所以的展開式中的系數(shù)為30.故答案為：30.4．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)為.【答案】【解析】表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有1個因式選，其余4個因式選1，相乘可得含的項；或者有3個因式選，1個因式選，1個因式選1，相乘可得含的項；故項的系數(shù)為：.故答案為：.考法六二項式定理的應(yīng)用【例61】（2023·山東）被8除的余數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【解析】其中是8的整數(shù)倍，故被8除的余數(shù)為3.故選：B【例62】（2024湖北）的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【解析】.故選：C【變式】1．（2023·山東菏澤）設(shè)，且，若能被13整除，則等于（

）A．0 B．1 C．11 D．12【答案】B【解析】，而是整數(shù)，是13的倍數(shù)，即能被13整除，因此能被13整除，而，即，所以，即.故選：B2．（2023·江蘇連云港）如果今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【答案】B【解析】因為，所以除以7的余數(shù)為1，所以經(jīng)過天后是星期四，故選：B．3．（2023江蘇）用二項式定理估算.（精確到0.001）【答案】1.105【解析】.故答案為：1.1054．（2023·課時練習）將精確到0.01的近似值是．【答案】0.96【解析】因為，且將精確到0.01，故近似值為0.96故答案為：0.961．（2024·全國·模擬預(yù)測）展開式中的常數(shù)項為（

）A．672 B． C． D．5376【答案】D【解析】二項式的展開式的通項，令，得，所以二項展開式中的常數(shù)項為.故選：D2．（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）二項式的展開式中常數(shù)項為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】二項式的通項公式為，令，所以常數(shù)項為，故選：A3．（2024上·全國·高三專題練習）在的展開式中，含的項的系數(shù)為（

）A．12 B．－12 C．－2 D．2【答案】B【解析】，令得，∴．故選：B4．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在的展開式中常數(shù)項為（

）A．721 B．61 C．181 D．59【答案】D【解析】=的展開式的通項公式為=，其中的展開式的通項公式為，當時，，，常數(shù)項為；當時，，，常數(shù)項為；當時，，，常數(shù)項為；故常數(shù)項為++.故選：D5．（2024上·河北保定·高三河北省唐縣第一中學?？计谀┑恼归_式的各項系數(shù)之和為1，則該展開式中含項的系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為的展開式的各項系數(shù)之和為1，令，得，解得，所以的展開式中含項為，所以該展開式中含項的系數(shù)是.故選：D.6．（2023·廣東揭陽）的展開式中的系數(shù)為（

）A．200 B．210 C．220 D．240【答案】B【解析】依題意，，而展開式中的系數(shù)為，所以的展開式中的系數(shù)為210.故選：B7．（2024上·河北廊坊）設(shè)，且，若能被7整除，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】，因為能被7整除，且能被7整除，故能被7整除，又，所以.故選：C.8．（2024·遼寧）（多選）已知的展開式的各二項式系數(shù)的和為128，則（

）A．B．展開式中的系數(shù)為280C．展開式中所有項的系數(shù)和為D．展開式中的第二項為【答案】AC【解析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得：.故A正確；展開式通項為，令，則的系數(shù)為：，故B錯誤；令可得所有項的系數(shù)和為，故C正確；展開式的第二項為：，故D錯誤.故選：AC9．（2023·廣西·模擬預(yù)測）（多選）已知，則（

）A．展開式中所有二項式的系數(shù)和為 B．展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項C． D．【答案】ACD【解析】對于A：展開式中所有二項式的系數(shù)和為，正確；對于B：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)知，且是二項式系數(shù)中最大的兩項，于是展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項和第1013項，錯誤；對于C：取，得，取，得，故，正確；對于D：等式兩邊同時求導(dǎo)，得到，取，得，正確．故選：ACD10．（2023·福建泉州）（多選）已知的二項展開式中二項式系數(shù)之和為64，下列結(jié)論正確的是（

）A．二項展開式中各項系數(shù)之和為B．二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為C．二項展開式中無常數(shù)項D．二項展開式中系數(shù)最大的項為【答案】ABD【解析】A選項，由題意得，解得，中，令得，A正確；B選項，因為，所以二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為第4項，即，B正確；C選項，的通項公式為，令，解得，故，故二項展開式中有常數(shù)項，C錯誤；D選項，的通項公式為，由，解得，又，解得，故二項展開式中系數(shù)最大的項為，D正確.故選：ABD11．（2023·浙江杭州）（多選）在二項式的展開式中，下列說法正確的是（

）A．常數(shù)項是 B．各項系數(shù)和為C．第5項二項式系數(shù)最大 D．奇數(shù)項二項式系數(shù)和為32【答案】BD【解析】二項式的展開式的通項為當時，得常數(shù)項為，故A不正確；當時，可得展開式各項系數(shù)和為，故B正確；由于，則二項式系數(shù)最大為為展開式的第4項，故C不正確；奇數(shù)項二項式系數(shù)和為，故D正確.故選：BD.12．（2023·上海浦東新）（多選）若，則不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】時，A正確；時；時；所以兩式相減化簡得，，B錯誤；兩式相加化簡得，又，所以，C錯誤；，D正確.故選：BC13．（2023·福建泉州）（多選）關(guān)于，則（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】令，則，即，故A正確；令，則，即，所以，故B錯誤；根據(jù)二項式展開式的通項公式得：，故C錯誤；令，則，令，則，兩式相加可得，①兩式相減可得，②可得，所以，故D正確，故選：AD14．（2023·河北秦皇島）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】令，則，選項A錯誤；令，則，則，選項B正確；令，則，則，則，，從而，選項CD正確；故選：BCD.15．（2023·云南楚雄）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，，故錯誤．令，得，再令，得，，故正確．令，得，，，故正確．設(shè)，則，，從而，故正確．故選：．16（2023下·湖北武漢）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于A項，令，可得，故A項正確；對于B項，展開式的通項為，.由可得，所以展開式含的項為.由可得，所以展開式含的項為.所以，展開式中含的項為，所以，，故B項錯誤；對于C項，令，可得.又，兩式相加可得，，所以，故C項錯誤；對于D項，由C可知，又，所以，故D項正確.故選：AD.17．（2023下·山東青島）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由，令，可得，所以A正確；含的項為，故，所以B錯誤；令，可得，又因為，故，所以C正確；令，可得，又由，故，所以D正確.故選：ACD.18．（2023·江蘇南通）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】令.對于A選項，，A錯；對于B選項，的展開式通項為，令，可得，則，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，所以，，D錯.故選：BC.19．（2024上·天津和平·高三統(tǒng)考期末）在的二項展開式中，的系數(shù)為．【答案】/【解析】根據(jù)二項式展開式的通項公式得：，令，則.故答案為：.20．（2024上·天津南開·高三南開中學?？茧A段練習）在的展開式中，常數(shù)項為．（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】【解析】二項式展開式的通項為：（其中且），令，解得，所以，即展開式的常數(shù)項為.故答案為：21．（2024上·天津河北·高三統(tǒng)考期末）已知，若的展開式中含項的系數(shù)為40，則.【答案】【解析】展開式的通項公式為，令，解得，所以項的系數(shù)為，解得,又，所以故答案為：22．（2024上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）在二項式的展開式中，若常數(shù)項恰是所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和的5倍，則實數(shù)a的值為．（用數(shù)字作答）【答案】4【解析】二項展開式中二項式系數(shù)和為，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和應(yīng)為所有項二項式系數(shù)和的一半，即，展開式通項為，令可得常數(shù)項為，則：，即，所以.故答案為：4.23．（2023上·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習）展開式中項的系數(shù)為．【答案】8【解析】由題意可知：展開式的通項公式為,所以展開式中項的系數(shù)為.故答案為：8．24．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）已知二項式的展開式中第二、三項的二項式系數(shù)的和等于45，則展開式的常數(shù)項為．【答案】【解析】∵，解得，展開式的通項為，令，得，常數(shù)項為．故答案為：.25．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）的展開式中常數(shù)項為.【答案】80【解析】二項展開式的通項公式為，,令，得，所以常數(shù)項為.故答案為：26．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）的展開式中常數(shù)項的二項式系數(shù)為.【答案】20【解析】此二項式展開式的通項公式為，，則當時，對應(yīng)的為常數(shù)項，故常數(shù)項的二項式系數(shù)為，故答案為：20.27．（2023·甘肅白銀）的展開式中有理項的個數(shù)為.【答案】3【解析】展開式的通項為，要為有理項，則為整數(shù)，故可取，共有3項有理項.故答案為：28．（2023上·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學校考期中）的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為.【答案】1792【解析】由得，所以的展開式的通項為，當展開式的項的系數(shù)最大時，為偶數(shù)，比較，，，，，所以當時，展開式中項的系數(shù)最大，該項系數(shù)為1792.故答案為：1792.29．（2023上·全國·高三專題練習）在的展開式中的系數(shù)為.【答案】28【解析】的展開式的通項為，的展開式的通項為，故的展開式為，令，可得，故展開式中的系數(shù)為，故答案為：30．（2024·湖南株洲·統(tǒng)考一模）在的展開式中，含的項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】展開式的通項為，其中常數(shù)項為，含的項為，又因為，所以原展開式中含的項的系數(shù)為：，故答案為：.31．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學?？家荒＃┏缘挠鄶?shù)是．【答案】24【解析】，∴除以1000的余數(shù)是24．故答案為：2432．（2023上·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）若的展開式中第4項是常數(shù)項，則除以9的余數(shù)為．【答案】1【解析】由題知，，因第4項為常數(shù)項，所以當時，，所以，則，所以除以9的余數(shù)為，而，1除以9的余數(shù)為1，所以被9除余1．故答案為：1.33．（2023上·山東·高三山東省實驗中學?？茧A段練習）二項式展開式的各項系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為．【答案】6【解析】令得，由于，由于，均能被7整除，所以余數(shù)為6，故答案為：634．（2024·廣東珠海）的近似值（精確到）為．【答案】．【解析】由二項式定理，.故答案為：1.13.35．（2024·山西朔州）的計算結(jié)果精確到0.01的近似值是．【答案】1.34【解析】故答案為：36．（2023河南）求的二項展開式中系數(shù)最大的項【答案】【解析】展開式中通項公式為：，設(shè)第項的系數(shù)絕對值最大，則，即，整理得，所以且，當時，系數(shù)為負值，項的系數(shù)不是最大的；當時，，故的二項