《4.4.3 不同函數(shù)增長的差異》課件及同步練習(xí)

4.4.3不同增長函數(shù)的差異第四章

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)課程目標(biāo)1.掌握常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì),并體會其增長的快慢.2.理解直線上升、對數(shù)增長、指數(shù)爆炸的含義以及三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)；2.邏輯推理：三種函數(shù)的增長速度比較；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：由函數(shù)圖像求函數(shù)解析式；4.數(shù)據(jù)分析：由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)；5.數(shù)學(xué)建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的數(shù)形結(jié)合思想總結(jié)函數(shù)性質(zhì).

溫故知新我們看到，一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異．事實(shí)上，這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問題具有不同增長規(guī)律的反映．因此，如果把握了不同函數(shù)增長方式的差異，那么就可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題的增長情況，選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律．下面就來研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長方式的差異．提出問題

雖然它們都是增函數(shù)，但增長方式存在很大差異，這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問題具有不同增長規(guī)律的反映.

我們?nèi)匀徊捎糜商厥獾揭话?，由具體到抽象的研究方法.

下面就來研究一次函數(shù)f(x)=kx+b，k>0，指數(shù)函數(shù)g(x)=ax(a>1)，對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)增長方式的差異.問題探究以函數(shù)y=2x與y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異.

分析：(1)

在區(qū)間(-∞,0)上，指數(shù)函數(shù)y=2x值恒大于0，一次函數(shù)y=2x值恒小于0，所以我們重點(diǎn)研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異.(2)

借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點(diǎn)作圖如下：xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········y=2xy=2x問題探究(3)

觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長方式：結(jié)論1：函數(shù)y=2x與y=2x有兩個(gè)交點(diǎn)(1,2)和(2,4)結(jié)論2：在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之上結(jié)論3：在區(qū)間(1,2)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之下結(jié)論4：在區(qū)間(2,3)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之上綜上：雖然函數(shù)y=2x與y=2x都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同，函數(shù)y=2x的增長速度不變，但是y=2x的增長速度改變，先慢后快.問題探究請大家想象一下，取更大的x值，在更大的范圍內(nèi)兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系？思考：隨著自變量取值越來越大，函數(shù)y=2x的圖象幾乎與x軸垂直，函數(shù)值快速增長，函數(shù)y=2x的增長速度保持不變，和y=2x的增長相比幾乎微不足道.問題探究總結(jié)一：函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上增長快慢的不同如下：

雖然函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.

隨著x的增大，y=2x的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=2x的增長速度.

盡管在x的一定范圍內(nèi)，2x<2x，但由于y=2x的增長最終會快于y=2x的增長，因此，總會存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有2x>2x.歸納總結(jié)總結(jié)二：一般地指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長都與上述類似.

即使k值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a值，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)雖然有一段區(qū)間會小于y=kx(k>0)，但總會存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，y=ax(a>1)的增長速度會大大超過y=kx(k>0)的增長速度.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練分析：(1)

在區(qū)間(-∞,0)上，對數(shù)函數(shù)y=lgx沒意義，一次函數(shù)值恒小于0，所以研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異.(2)

借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點(diǎn)作圖如下：xy=lgx0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·········以函數(shù)y=lgx與

為例研究對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異.

y=lgx問題探究(3)

觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長方式：

總結(jié)一：雖然函數(shù)y=lgx與在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在明顯差異.在(0,+∞)上增長速度不變，y=lgx在(0,+∞)上的增長速度在變化.隨著x的增大，的圖象離x軸越來越遠(yuǎn)，而函數(shù)y=lgx的圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣.y=lgx問題探究例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；這表明，當(dāng)x>10，即y>1，y=lgx比相比增長得就很慢了.y=lgx問題探究思考：將y=lgx放大1000倍，將函數(shù)y=1000lgx與比較，仍有上面規(guī)律嗎？先想象一下，仍然有.

總結(jié)二：一般地，雖然對數(shù)函數(shù)

與一次函數(shù)y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.

隨著x的增大，一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度，而對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢.

不論a值比k值大多少，在一定范圍內(nèi)，可能會大于kx，但由于的增長會慢于kx的增長，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練當(dāng)堂達(dá)標(biāo)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

1.由特殊到一般，由具體到抽象研究了一次函數(shù)f(x)=kx+b，k>0，指數(shù)函數(shù)g(x)=ax(a>1)，對數(shù)函數(shù)在定義域上的不同增長方式.課堂小結(jié)2.根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．《4.4.3不同函數(shù)增長的差異》同步練習(xí)閱讀課本136-138頁，思考并完成以下問題1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)？2.三種函數(shù)的增長速度比較？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。知識清單1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

2.三種函數(shù)的增長速度比較(1)在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù),但增長速度不同.(2)在區(qū)間(0,+∞)上隨著x的增大,函數(shù)y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長速度,而函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢.(3)存在一個(gè)x0,使得當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax<xn<ax.1.判斷正誤:(1)函數(shù)y=x2比y=2x增長的速度更快些.(

)(2)當(dāng)a>1,n>0時(shí),在區(qū)間(0,+∞)上,對任意的x,總有l(wèi)ogax<xn<ax成立.(

)(3)能用指數(shù)型函數(shù)f(x)=abx+c(a,b,c為常數(shù),a>0,b>1)表達(dá)的函數(shù)模型,稱為指數(shù)型函數(shù)模型,也常稱為“爆炸型”函數(shù)模型.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)√2.已知三個(gè)變量y1,y2,y3隨著變量x的變化情況如下表:則關(guān)于x分別呈對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)變化的變量依次為(

)A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2解析:通過指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)的增長規(guī)律比較可知,對數(shù)型函數(shù)的增長速度越來越慢,變量y3隨x的變化符合此規(guī)律;指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長,y2隨x的變化符合此規(guī)律;冪函數(shù)型函數(shù)的增長速度越來越快,y1隨x的變化符合此規(guī)律,故選C.答案:C題型分析舉一反三題型一比較函數(shù)增長的差異

例1

函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)指出圖中曲線C1,C2分別對應(yīng)的函數(shù);(2)結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(6),g(6),f(2019),g(2019)的大小.解:(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.(2)因?yàn)閒(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2

019>x2,從圖象上可以看出,當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x),所以f(2

019)>g(2

019).因?yàn)間(2

019)>g(6),所以f(2

019)>g(2

019)>g(6)>f(6).

變式1.在本例(1)中,若將“函數(shù)f(x)=2x”改為“f(x)=3x”,又如何求解第(1)題呢?解:由圖象的變化趨勢以及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長速度可知:C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=3x.

變式2.本例條件不變,(2)題改為:試結(jié)合圖象,判斷f(8),g(8),f(2019),g(2019)的大小.解:因?yàn)閒(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2

019>x2,從圖象上可以看出,當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x),所以f(8)<g(8),當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x),所以f(2

019)>g(2

019).因?yàn)間(2

019)>g(8),所以f(2

019)>g(2

019)>g(8)>f(8).解題方法（由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法）

根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí),通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢,即隨著自變量的增長,圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù),圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).

1.當(dāng)a>1時(shí),有下列結(jié)論:①指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長越快;②指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長越快;③對數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長越快;④對數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長越快.其中正確的結(jié)論是(

)A.①③ B.①④ C.②③ D.②④答案:B2.已知函數(shù)y1=2x,y2=x2,y3=log2x,當(dāng)2<x<4時(shí),有

(

)A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略),在區(qū)間(2,4)內(nèi),從上到下圖象依次對應(yīng)的函數(shù)為y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.答案:B題型二體會指數(shù)函數(shù)的增長速度例2

甲、乙、丙三個(gè)公司分別到慈善總會捐款給某災(zāi)區(qū),捐款方式如下:甲