弧長與扇形面積試題及答案

弧長與扇形面積一、選擇題1．（2016·湖北十堰）如圖，從一張腰長為60cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面（不計損耗），則該圓錐的高為（）A．10cmB．15cmC．10SHAPEcmD．20SHAPEcm【考點】圓錐的計算．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE的長，再利用弧長公式計算出弧CD的長，設圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長得到r，然后利用勾股定理計算出圓錐的高．【解答】解：過O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的長==20π，設圓錐的底面圓的半徑為r，則2πr=20π，解得r=10，∴圓錐的高==20．故選D．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．2.(2016蘭州，12,4分)如圖，用一個半徑為5cm的定滑輪帶動重物上升，滑輪上一點P旋轉(zhuǎn)了108o，假設繩索（粗細不計）與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了（）（A）πcm(B)2πcm(C)3πcm(D)5πcm【答案】：C【解析】：利用弧長公式即可求解【考點】：有關(guān)圓的計算3．(2016福州，16,4分)如圖所示的兩段弧中，位于上方的弧半徑為r上，下方的弧半徑為r下，則r上=r下．（填“＜”“=”“＜”）【考點】弧長的計算．【分析】利用垂徑定理，分別作出兩段弧所在圓的圓心，然后比較兩個圓的半徑即可．【解答】解：如圖，r上=r下．故答案為=．【點評】本題考查了弧長公式：圓周長公式：C=2πR（2）弧長公式：l=（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）；正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．4.(2016·四川資陽)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以點B為圓心，BC的長為半徑作弧，交AB于點D，若點D為AB的中點，則陰影部分的面積是（）A．2﹣πB．4﹣πC．2﹣πD．π【考點】扇形面積的計算．【分析】根據(jù)點D為AB的中點可知BC=BD=AB，故可得出∠A=30°，∠B=60°，再由銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，根據(jù)S陰影=S△ABC﹣S扇形CBD即可得出結(jié)論．【解答】解：∵D為AB的中點，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2，∴BC=AC?tan30°=2?=2，∴S陰影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π．故選A．5.(2016·四川自貢)圓錐的底面半徑為4cm，高為5cm，則它的表面積為（）A．12πcm2 B．26πcm2 C．πcm2 D．（4+16）πcm2【考點】圓錐的計算．【專題】壓軸題．【分析】利用勾股定理求得圓錐的母線長，則圓錐表面積=底面積+側(cè)面積=π×底面半徑2+底面周長×母線長÷2．【解答】解：底面半徑為4cm，則底面周長=8πcm，底面面積=16πcm2；由勾股定理得，母線長=cm，圓錐的側(cè)面面積=×8π×=4πcm2，∴它的表面積=16π+4π=（4+16）πcm2，故選D．【點評】本題利用了勾股定理，圓的周長公式和扇形面積公式求解．6.（2016·四川廣安·3分）如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，則S陰影=（）A．2π B．π C．π D．π【考點】圓周角定理；垂徑定理；扇形面積的計算．【分析】根據(jù)垂徑定理求得CE=ED=2，然后由圓周角定理知∠DOE=60°，然后通過解直角三角形求得線段OD、OE的長度，最后將相關(guān)線段的長度代入S陰影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．【解答】解：如圖，假設線段CD、AB交于點E，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE=ED=2，又∵∠BCD=30°，∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，∴OE=DE?cot60°=2×=2，OD=2OE=4，∴S陰影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE?CE=﹣2+2=．故選B．7.（2016吉林長春，7，3分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，若OA=2，∠P=60°，則的長為（）A．πB．πC．D．【考點】弧長的計算；切線的性質(zhì)．【專題】計算題；與圓有關(guān)的計算．【分析】由PA與PB為圓的兩條切線，利用切線的性質(zhì)得到兩個角為直角，再利用四邊形內(nèi)角和定理求出∠AOB的度數(shù)，利用弧長公式求出的長即可．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠OBP=∠OAP=90°，在四邊形APBO中，∠P=60°，∴∠AOB=120°，∵OA=2，∴的長l==π，故選C【點評】此題考查了弧長的計算，以及切線的性質(zhì)，熟練掌握弧長公式是解本題的關(guān)鍵．8.（2016·廣東深圳）如圖，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的頂點C是弧AB的中點，點D在OB上，點E在OB的延長線上，當正方形CDEF的邊長為時，則陰影部分的面積為（）A.B.C.D.答案：A考點：扇形面積、三角形面積的計算。解析：∵C為的中點，CD=9.（2016·廣西賀州）已知圓錐的母線長是12，它的側(cè)面展開圖的圓心角是120°，則它的底面圓的直徑為（）A．2B．4C．6D．8【考點】圓錐的計算．【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角與半徑（即圓錐的母線的長度）求得的弧長，就是圓錐的底面的周長，然后根據(jù)圓的周長公式l=2πr解出r的值即可．【解答】解：設圓錐的底面半徑為r．圓錐的側(cè)面展開扇形的半徑為12，∵它的側(cè)面展開圖的圓心角是120°，∴弧長==8π，即圓錐底面的周長是8π，∴8π=2πr，解得，r=4，∴底面圓的直徑為8．故選D．【點評】本題考查了圓錐的計算．正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．10.（2016年浙江省寧波市）如圖，圓錐的底面半徑r為6cm，高h為8cm，則圓錐的側(cè)面積為（）A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm【考點】圓錐的計算．【專題】與圓有關(guān)的計算．【分析】首先利用勾股定理求出圓錐的母線長，再通過圓錐側(cè)面積公式可以求得結(jié)果．【解答】解：∵h=8，r=6，可設圓錐母線長為l，由勾股定理，l==10，圓錐側(cè)面展開圖的面積為：S側(cè)=×2×6π×10=60π，所以圓錐的側(cè)面積為60πcm2．故選：C．【點評】本題主要考察圓錐側(cè)面積的計算公式，解題關(guān)鍵是利用底面半徑及高求出母線長即可．11．（2016.山東省青島市,3分）如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條和AC的夾角為120°，長為25cm，貼紙部分的寬BD為15cm，若紙扇兩面貼紙，則貼紙的面積為（）A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2【考點】扇形面積的計算．【分析】貼紙部分的面積等于扇形ABC減去小扇形的面積，已知圓心角的度數(shù)為120°，扇形的半徑為25cm和10cm，可根據(jù)扇形的面積公式求出貼紙部分的面積．【解答】解：∵AB=25，BD=15，∴AD=10，∴S貼紙=﹣=175πcm2，故選A．12．（2016.山東省泰安市，3分）如圖，是一圓錐的左視圖，根據(jù)圖中所標數(shù)據(jù)，圓錐側(cè)面展開圖的扇形圓心角的大小為（） A．90° B．120° C．135° D．150°【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑得到圓錐的底面周長，也就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，根據(jù)勾股定理得到圓錐的母線長，利用弧長公式可求得圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角． 【解答】解：∵圓錐的底面半徑為3， ∴圓錐的底面周長為6π， ∵圓錐的高是6， ∴圓錐的母線長為=9， 設扇形的圓心角為n°， ∴=6π， 解得n=120． 答：圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為120°． 故選B． 【點評】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解． 13．（2016·江蘇無錫）已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長為6cm，則它的側(cè)面展開圖的面積等于（）A．24cm2 B．48cm2 C．24πcm2【考點】圓錐的計算．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=×底面圓的周長×母線長即可求解．【解答】解：底面半徑為4cm，則底面周長=8πcm，側(cè)面面積=×8π×6=24π（cm2）．故選：C．二、填空題1．（2016·黑龍江大慶）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圓弧過點B和點C，且與AD相切，則圖中陰影部分面積為75﹣．【考點】扇形面積的計算；矩形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)．【分析】設圓的半徑為x，根據(jù)勾股定理求出x，根據(jù)扇形的面積公式、陰影部分面積為：矩形ABCD的面積﹣（扇形BOCE的面積﹣△BOC的面積）進行計算即可．【解答】解：設圓弧的圓心為O，與AD切于E，連接OE交BC于F，連接OB、OC，設圓的半徑為x，則OF=x﹣5，由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，即x2=（x﹣5）2+（5）2，解得，x=5，則∠BOF=60°，∠BOC=120°，則陰影部分面積為：矩形ABCD的面積﹣（扇形BOCE的面積﹣△BOC的面積）=10×5﹣+×10×5=75﹣，故答案為：75﹣．【點評】本題考查的是扇形面積的計算，掌握矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和扇形的面積公式S=是解題的關(guān)鍵．2．（2016·湖北鄂州）如圖，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝6cm，則圖中陰影部分的面積是.【考點】扇形的面積．【分析】利用陰影部分面積=扇形的面積-三角形的面積進行計算．【解答】解：S陰影=S扇=πnR2－S△AOB=π×60×62－×6×6×=6π-9.故答案為：（6π-9）cm2．【點評】本題考查了求扇形的面積．要熟知不同條件下的扇形的面積的求法：S扇=LR（L為扇形弧長，R為半徑）=αR2（α為弧度制下的扇形圓心角，R為半徑）=πnR2（n為圓心角的度數(shù)，R為半徑）；C扇=2πnR+2R（n為圓心角的度數(shù)，R為半徑）=(α+2)R（α為弧度制下的扇形圓心角，R為半徑）；S扇=πRM.3.（2016·四川樂山·3分）如圖8，在中，，,以點為圓心，的長為半徑畫弧，與邊交于點,將繞點旋轉(zhuǎn)后點與點恰好重合，則圖中陰影部分的面積為___▲__.答案：解析：依題意，有AD＝BD，又，所以，有CB＝CD＝BD，即三角形BCD為等邊三角形∠BCD＝∠B＝60°，∠A＝∠ACD＝30°，由，求得：BC＝2，AB＝4，＝，陰影部分面積為：＝＝4.（2016江蘇淮安，17，3分）若一個圓錐的底面半徑為2，母線長為6，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120°．【考點】圓錐的計算．【分析】根據(jù)圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，首先求得展開圖的弧長，然后根據(jù)弧長公式即可求解．【解答】解：圓錐側(cè)面展開圖的弧長是：2π×2=4π（cm），設圓心角的度數(shù)是n度．則=4π，解得：n=120．故答案為120．【點評】本題主要考查了圓錐的有關(guān)計算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．5.（2016·廣東廣州）如圖，以點為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦是小圓的切線，點是切點，則劣弧AB的長為.（結(jié)果保留）［難易］容易［考點］勾股定理，三角函數(shù)，求弧長，垂徑定理［解析］因為AB為切線，P為切點，劣弧AB所對圓心角［參考答案］6.（2016年浙江省寧波市）如圖，半圓O的直徑AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，則圖中陰影部分的面積為．【考點】扇形面積的計算．【分析】由CD∥AB可知，點A、O到直線CD的距離相等，結(jié)合同底等高的三角形面積相等即可得出S△ACD=S△OCD，進而得出S陰影=S扇形COD，根據(jù)扇形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵弦CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S陰影=S扇形COD=?π?=×π×=．故答案為：．【點評】本題考查了扇形面積的計算以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出S陰影=S扇形COD．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，通過分割圖形找出面積之間的關(guān)系是關(guān)鍵．7.（2016年浙江省臺州市）如圖，△ABC的外接圓O的半徑為2，∠C=40°，則的長是π．【考點】三角形的外接圓與外心；弧長的計算．【分析】由圓周角定理求出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式：l=（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）即可求解．【解答】解：∵∠C=40°，∴∠AOB=80°．∴的長是=．故答案為：π．8．（2016·山東煙臺）如圖，C為半圓內(nèi)一點，O為圓心，直徑AB長為2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，將△BOC繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′，點C′在OA上，則邊BC掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為πcm2．【考點】扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出兩個扇形的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式進行計算即可得出答案．【解答】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=，∴B′C′=，∴S扇形B′OB==π，S扇形C′OC==，∵∴陰影部分面積=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣=π；故答案為：π．9．（2016·山東煙臺）如圖，在正方形紙片ABCD中，EF∥AD，M，N是線段EF的六等分點，若把該正方形紙片卷成一個圓柱，使點A與點D重合，此時，底面圓的直徑為10cm，則圓柱上M，N兩點間的距離是cm．【考點】圓柱的計算．【分析】根據(jù)題意得到EF=AD=BC，MN=2EM，由卷成圓柱后底面直徑求出周長，除以6得到EM的長，進而確定出MN的長即可．【解答】解：根據(jù)題意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，∵把該正方形紙片卷成一個圓柱，使點A與點D重合，底面圓的直徑為10cm，∴底面周長為10πcm，即EF=10πcm，則MN=cm，故答案為：．10．（2016·四川巴中）如圖，將邊長為3的正六邊形鐵絲框ABCDEF變形為以點A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細）．則所得扇形AFB（陰影部分）的面積為18．【考點】正多邊形和圓；扇形面積的計算．【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出的長=12，由扇形的面積=弧長×半徑，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵正六邊形ABCDEF的邊長為3，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，∴的長=3×6﹣3﹣3═12，∴扇形AFB（陰影部分）的面積=×12×3=18．故答案為：18．11．（2016山東省聊城市，3分）如圖，已知圓錐的高為，高所在直線與母線的夾角為30°，圓錐的側(cè)面積為2π．【考點】圓錐的計算．【專題】計算題．【分析】先利用三角函數(shù)計算出BO，再利用勾股定理計算出AB，然后利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算圓錐的側(cè)面積．【解答】解：如圖，∠BAO=30°，AO=，在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，∴BO=tan30°=1，即圓錐的底面圓的半徑為1，∴AB==2，即圓錐的母線長為2，∴圓錐的側(cè)面積=?2π?1?2=2π．故答案為2π．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．12．（2016·江蘇蘇州）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D，若∠A=∠D，CD=3，則圖中陰影部分的面積為．【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理；扇形面積的計算．【分析】連接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面積，進而可求出圖中陰影部分的面積．【解答】解：連接OC，∵過點C的切線交AB的延長線于點D，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，∵AO=CO，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=2∠A，∵∠A=∠D，∴∠COD=2∠D，∴3∠D=90°，∴∠D=30°，∴∠COD=60°∵CD=3，∴OC=3×=，∴陰影部分的面積=×3×﹣=，故答案為：．13．（2016·江蘇泰州）如圖，⊙O的半徑為2，點A、C在⊙O上，線段BD經(jīng)過圓心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，則圖中陰影部分的面積為π．【考點】扇形面積的計算．【分析】通過解直角三角形可求出∠AOB=30°，∠COD=60°，從而可求出∠AOC=150°，再通過證三角形全等找出S陰影=S扇形OAC，套入扇形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，∴OB==，sin∠AOB==，∠AOB=30°．同理，可得出：OD=1，∠COD=60°．∴∠AOC=∠AOB+=30°+180°﹣60°=150°．在△AOB和△OCD中，有，∴△AOB≌△OCD（SSS）．∴S陰影=S扇形OAC．∴S扇形OAC=πR2=π×22=π．故答案為：π．14.(2016蘭州，12,4分)如圖，用一個半徑為5cm的定滑輪帶動重物上升，滑輪上一點P旋轉(zhuǎn)了108o，假設繩索（粗細不計）與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了（）（A）πcm(B)2πcm(C)3πcm(D)5πcm【答案】：C【解析】：利用弧長公式即可求解【考點】：有關(guān)圓的計算15．(2016福州，16,4分)如圖所示的兩段弧中，位于上方的弧半徑為r上，下方的弧半徑為r下，則r上=r下．（填“＜”“=”“＜”）【考點】弧長的計算．【分析】利用垂徑定理，分別作出兩段弧所在圓的圓心，然后比較兩個圓的半徑即可．【解答】解：如圖，r上=r下．故答案為=．【點評】本題考查了弧長公式：圓周長公式：C=2πR（2）弧長公式：l=（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）；正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．18、(2016廣東，14,4分)如圖5，把一個圓錐沿母線OA剪開，展開后得到扇形AOC，已知圓錐的高h為12cm，OA=13cm，則扇形AOC中的長是cm；（結(jié)果保留）答案：考點：勾股定理，圓錐的側(cè)面展開圖，弧長公式。解析：由勾股定理，得圓錐的底面半徑為：＝5，扇形的弧長＝圓錐的底面圓周長＝16．(2016安徽，13，5分)如圖，已知⊙O的半徑為2，A為⊙O外一點，過點A作⊙O的一條切線AB，切點是B，AO的延長線交⊙O于點C，若∠BAC=30°，則劣弧的長為．【考點】切線的性質(zhì)；弧長的計算．【分析】根據(jù)已知條件求出圓心角∠BOC的大小，然后利用弧長公式即可解決問題．【解答】解：∵AB是⊙O切線，∴AB⊥OB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，∴∠BOC=120°，∴的長為=．故答案為．三、解答題1.(2016·新疆)如圖，在⊙O中，半徑OA⊥OB，過點OA的中點C作FD∥OB交⊙O于D、F兩點，且CD=，以O為圓心，OC為半徑作，交OB于E點．（1）求⊙O的半徑OA的長；（2）計算陰影部分的面積．【考點】扇形面積的計算；垂徑定理．【分析】（1）首先證明OA⊥DF，由OD=2CO推出∠CDO=30°，設OC=x，則OD=2x，利用勾股定理即可解決問題．（2）根據(jù)S圓=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE計算即可．【解答】解；（1）連接OD，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵CD∥OB，∴∠OCD=90°，在RT△OCD中，∵C是AO中點，CD=，∴OD=2CO，設OC=x，∴x2+（）2=（2x）2，∴x=1，∴OD=2，∴⊙O的半徑為2．（2）∵sin∠CDO==，∴∠CDO=30°，∵FD∥OB，∴∠DOB=∠ODC=30°，∴S圓=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE=×+﹣=+．【點評】本題考查扇形面積、垂徑定理、勾股定理、有一個角是30度的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用分割法求面積．學會把求不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形面積，屬于中考?？碱}型．2.(2016·云南)如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線于點D，AE⊥DC，垂足為E，F(xiàn)是AE與⊙O的交點，AC平分∠BAE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AE=6，∠D=30°，求圖中陰影部分的面積．【考點】切線的判定；扇形面積的計算．【分析】（1）連接OC，先證明∠OAC=∠OCA，進而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，進而證明DE是⊙O的切線；（2）分別求出△OCD的面積和扇形OBC的面積，利用S陰影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．【解答】解：（1）連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵點C在圓O上，OC為圓O的半徑，∴CD是圓O的切線；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD===4，∴S△OCD===8，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=×π×OC2=，∵S陰影=S△COD﹣S扇形OBC∴S陰影=8﹣，∴陰影部分的面積為8﹣．【點評】本題主要考查了切線的判定以及扇形的面積計算，解（1）的關(guān)鍵是證明OC⊥DE，解（2）的關(guān)鍵是求出扇形OBC的面積，此題難度一般．3.（2016·四川成都·9分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB為半徑作⊙C，交AC于點D，交AC的延長線于點E，連接ED，BE．（1）求證：△ABD∽△AEB；（2）當=時，求tanE；（3）在（2）的條件下，作∠BAC的平分線，與BE交于點F，若AF=2，求⊙C的半徑．【考點】圓的綜合題．【分析】（1）要證明△ABD∽△AEB，已經(jīng)有一組對應角是公共角，只需要再找出另一組對應角相等即可．（2）由于AB：BC=4：3，可設AB=4，BC=3，求出AC的值，再利用（1）中結(jié)論可得AB2=AD?AE，進而求出AE的值，所以tanE==．（3）設設AB=4x，BC=3x，由于已知AF的值，構(gòu)造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值，即可知道半徑3x的值．【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DBC，由題意知：DE是直徑，∴∠DBE=90°，∴∠E=90°﹣∠BDE，∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDE，∴∠ABD=∠E，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△AEB；（2）∵AB：BC=4：3，∴設AB=4，BC=3，∴AC==5，∵BC=CD=3，∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，由（1）可知：△ABD∽△AEB，∴==，∴AB2=AD?AE，∴42=2AE，∴AE=8，在Rt△DBE中tanE====；（3）過點F作FM⊥AE于點M，∵AB：BC=4：3，∴設AB=4x，BC=3x，∴由（2）可知；AE=8x，AD=2x，∴DE=AE﹣AD=6x，∵AF平分∠BAC，∴=，∴==，∵tanE=，∴cosE=，sinE=，∴=，∴BE=，∴EF=BE=，∴sinE==，∴MF=，∵tanE=，∴ME=2MF=，∴AM=AE﹣ME=，∵AF2=AM2+MF2，∴4=+，∴x=，∴⊙C的半徑為：3x=．4.（2016湖北宜昌，21，8分）如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，且CD∥AB，連接AC、AD、OD，其中AC=CD，過點B的切線交CD的延長線于E．（1）求證：DA平分∠CDO；（2）若AB=12，求圖中陰影部分的周長之和（參考數(shù)據(jù)：π=，=，=）．【考點】切線的性質(zhì)；弧長的計算．【分析】（1）只要證明∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO即可．（2）首先證明==，再證明∠DOB=60°得△BOD是等邊三角形，由此即可解決問題．【解答】證明：（1）∵CD∥AB，∴∠CDA=∠BAD，又∵OA=OD，∴∠ADO=∠BAD，∴∠ADO=∠CDA，∴DA平分∠CDO．（2）如圖，連接BD，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，又∵CD∥AB，∴∠CDA=∠BAD，∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，∴==，又∵∠AOB=180°，∴∠DOB=60°，∵OD=OB，∴△DOB是等邊三角形，∴BD=OB=AB=6，∵=，∴AC=BD=6，∵BE切⊙O于B，∴BE⊥AB，∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°，∵CD∥AB，∴BE⊥CE，∴DE=BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6×=3，∴的長==2π，∴圖中陰影部分周長之和為2=4π+9+3=4×+9+3×=．【點評】本題考查切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．5.（2016江蘇淮安，25，10分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點O在邊AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓經(jīng)過點C，過點C作直線MN，使∠BCM=2∠A．（1）判斷直線MN與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求圖中陰影部分的面積．【考點】直線與圓的位置關(guān)系；扇形面積的計算．【分析】（1）MN是⊙O切線，只要證明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC以及BC，根據(jù)S陰=S扇形OAC﹣S△OAC計算即可．【解答】解：（1）MN是⊙O切線．理由：連接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，∴∠BCM=∠BOC，∵∠B=90°，∴∠BOC+∠BCO=90°，∴∠BCM+∠BCO=90°，∴OC⊥MN，∴MN是⊙O切線．（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，∴∠AOC=120°，在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，∴BO=OC=2，BC=2∴S陰=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣=﹣4．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、扇形面積、三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是記住切線的判定方法，扇形的面積公式，屬于中考常考題型．6.(2016年浙江省麗水市)如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點，AD=AB，AD，BC的延長線相交于點E．（1）求證：AD是半圓O的切線；（2）連結(jié)CD，求證：∠A=2∠CDE；（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的長．【考點】切線的判定與性質(zhì)；弧長的計算．【分析】（1）連接OD，BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ABO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根據(jù)等式的性質(zhì)得到∠ADO=∠ABO=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到即可；（2）由AD是半圓O的切線得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代換得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)已知條件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根據(jù)平角的定義得到∠BOD=180°﹣54°=126°，然后由弧長的公式即可計算出結(jié)果．【解答】（1）證明：連接OD，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD