概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題集及答案-1

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題集及答案－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》作業(yè)集及答案

第1章概率論的基本概念

§1.1隨機(jī)試驗(yàn)及隨機(jī)事件1.(1)一枚硬幣連丟3次，觀察正面H﹑反面T出現(xiàn)的情形.樣本空間是：S=

(2)一枚硬幣連丟3次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).樣本空間是：S=2.(1)丟一顆骰子.A：出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則A=；B：數(shù)點(diǎn)大于2，則B=(2)一枚硬幣連丟2次，A：第一次出現(xiàn)正面，則A=；B：兩次出現(xiàn)同一面，則=；C：至少有一次出現(xiàn)正面，則C=；b5E2RGbCAP；p1EanqFDPw.DXDiTa9E3d.

§1.2隨機(jī)事件的運(yùn)算

1.設(shè)A、B、C為三事件，用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：(1)A、B、C都不發(fā)生表示為：.(2)A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生表示為：.RTCrpUDGiT(3)A與B都不發(fā)生,而C發(fā)生表示為：.(4)A、B、C中最多二個發(fā)生表示為：.5PCzVD7HxA(5)A、B、C中至少二個發(fā)生表示為：.(6)A、B、C中不多于一個發(fā)生表示為：.jLBHrnAILg2.設(shè)S?{x:0?x?5},A?{x:1?x?3},B?{x:2??4}：則（1）A?B?（4）A?B=，（2）AB?，（5）AB=，（3）AB?。，

xHAQX74J0X

§1.3概率的定義和性質(zhì)

1.已知P(A?B)?0.8,P(A)?0.5,P(B)?0.6，則(1)P(AB)?,(2)(P(AB))=則P(AB)=,(3)P(A?B)=..LDAYtRyKfE

2.已知P(A)?0.7,P(AB)?0.3,

§1.4古典概型

1.某班有30個同學(xué),其中8個女同學(xué),隨機(jī)地選10個,求:(1)正好有2個女同學(xué)的概率,(2)最多有2個女同學(xué)的概率,(3)至少有2個女同學(xué)的概率.2.將3個不同的球隨機(jī)地投入到4個盒子中,求有三個盒子各一球的概率.

§1.5條件概率與乘法公式

1．丟甲、乙兩顆均勻的骰子，已知點(diǎn)數(shù)之和為7,則其中一顆為1的概率是2.已知P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2,則P(A?B)?。。

§1.6全概率公式

1.

有10個簽，其中2個“中”，第一人隨機(jī)地抽一個簽，不放回，第二人再隨機(jī)地抽一個簽，說明兩人抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk1/19

2.

第一盒中有4個紅球6個白球，第二盒中有5個紅球5個白球，隨機(jī)地取一盒，從中隨機(jī)地取一個球，求取到紅球的概率。dvzfvkwMI1

§1.7貝葉斯公式

1．

某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠，另30%需經(jīng)過調(diào)試，調(diào)試后有80%能出廠，求（1）該廠產(chǎn)品能出廠的概率，（2）任取一出廠產(chǎn)品,求未經(jīng)調(diào)試的概率。rqyn14ZNXI

2．將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3:2，若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？EmxvxOtOco

§1.8隨機(jī)事件的獨(dú)立性

1.電路如圖，其中A,B,C,D為開關(guān)。設(shè)各開關(guān)閉合與否相互獨(dú)立，且每一開關(guān)閉合的概率均為p,求L與R為通路（用T表示）的概率。SixE2yXPq5ALCDBR

3.

甲，乙,丙三人向同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.4,0.5和0.6，是否命中，相互獨(dú)立，求下列概率:(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。6ewMyirQFL

第1章作業(yè)答案

§1.11：（1）S?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}；（2）S?{0,1,2：（1）A?{1,

2,3}

3,5}B?{3,4,5,6}；

（2）A?{正正，正反},B?{正正，反反},C?{正正，正反，反正}?！?.21：(1)ABC；(2)ABC；(3)ABC；(4)A?B?C；(5)AB?AC?BC；(6)AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC；

2：(1)A?B?{x:1?x?4}；(2)AB?{x:2?x?3}；(3)AB?{x:3?x?4}；

2/19

（4）A?B?{x:0?x?1或2?x?5}；（5）AB?{x:1?x?4}。§1.31：(1)P(AB)=0.3,(2)P(AB)=0.2,(3)P(A?B)=0.7.2：P(AB))=0.4.

28101019810101910§1.41：(1)C8,(2)(,(3)1-(C22.C22/C30（C22?C8C22?C82C22）/C30?C8C22）/C30

2：P43/43.§1.51：.2/6；2：1/4。§1.61：設(shè)A表示第一人“中”，則P(A)=2/10設(shè)B表示第二人“中”，則P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=

21822????10910910

兩人抽“中‘的概率相同,與先后次序無關(guān)。2：隨機(jī)地取一盒，則每一盒取到的概率都是0.5，所求概率為：p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45§1.71：（1）94%（2）70/94；2：0.993；§1.8.1：用A,B,C,D表示開關(guān)閉合，于是T=AB∪CD,從而，由概率的性質(zhì)及A,B,C,D的相互獨(dú)立性P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)=P(A)P(B)+P(C)P(D)–P(A)P(B)P(C)P(D)

?p2?p2?p4?2p2?p4

2：(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；kavU42VRUs(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

第2章隨機(jī)變量及其分布

§2.1隨機(jī)變量的概念，離散型隨機(jī)變量

1一盒中有編號為1，2，3，4，5的五個球，從中隨機(jī)地取3個，用X表示取出的3個球中的最大號碼.,試寫出X的分布律.2某射手有5發(fā)子彈，每次命中率是0.4，一次接一次地射擊，直到命中為止或子彈用盡為止，用X表示射擊的次數(shù),試寫出X的分布律。y6v3ALoS89

§2.2

0?1分布和泊松分布

1某程控交換機(jī)在一分鐘內(nèi)接到用戶的呼叫次數(shù)X是服從λ=4的泊松分布，求(1)每分鐘恰有1次呼叫的概率；(2)每分鐘只少有1次呼叫的概率；(3)每分鐘最多有1次呼叫的概率；2設(shè)隨機(jī)變量X有分布律：X23,Y～π(X),試求：p0.40.6（1）P(X=2,Y≤2)；(2)P(Y≤2)；(3)已知Y≤2,求X=2的概率。

§2.3

1

貝努里分布

一辦公室內(nèi)有5臺計算機(jī)，調(diào)查表明在任一時刻每臺計算機(jī)被使用的概率為0.6，計算機(jī)是否被使用相互獨(dú)立，問在同一時刻M2ub6vSTnP(1)恰有2臺計算機(jī)被使用的概率是多少？3/19

(2)至少有3臺計算機(jī)被使用的概率是多少？(3)至多有3臺計算機(jī)被使用的概率是多少？(4)至少有1臺計算機(jī)被使用的概率是多少？2設(shè)每次射擊命中率為0.2，問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊，才能使至少擊中一次的概率不小于0.9？

§2.4

隨機(jī)變量的分布函數(shù)

x??1?0?1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：F(x)=?0.5?1?x?1?1x?1?

（1）求P(X≤0)；P?0?X?1?；P(X≥1)，(2)寫出X的分布律。

2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：F(x)=?1?x

?Ax???0

x?0x?0

,求（1）常數(shù)A,(2)P?1?X?2?.

§2.5

連續(xù)型隨機(jī)變量

1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：f(x)??

?kx0?x?1?0其他

（1）求常數(shù)k的值；（2）求X的分布函數(shù)F(x)，畫出F(x)的圖形，（3）用二種方法計算P(-0.50.5).

§2.6

均勻分布和指數(shù)分布

4/19

1設(shè)隨機(jī)變量K在區(qū)間(0,5)上服從均勻分布,求方程4x+4Kx+K+2=00YujCfmUCw有實(shí)根的概率。2假設(shè)打一次電話所用時間（單位：分）X服從??0.2的指數(shù)分布，如某人正好在你前面走進(jìn)電話亭，試求你等待：（1）超過10分鐘的概率；（2）10分鐘到20分鐘的概率。eUts8ZQVRd

2

§2.7

正態(tài)分布

P(X>3)；sQsAEJkW5T

1隨機(jī)變量X～N(3,4),(1)求P(22),(2)確定c，使得P(X>c)=P(X

(2)P(X≥1)=0.981684,(3)P(X≤1)=1-P(X≥2)=1–0.908422=0.091578。2：(1)由乘法公式：

P(X=2,Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)=0.4×(e

?2

?2e?2?2e?2)=2e?2

（2）由全概率公式：P(Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)+P(X=3)P(Y≤2|X=3)zvpgeqJ1hk=0.4×5e

?2

+0.6×

17?3e=0.27067+0.25391=0.524582

（3）由貝葉斯公式：P(X=2|Y≤2)=

P(X?2,Y?2)0.27067??0.516P(Y?2)0.52458

§2.31：設(shè)X表示在同一時刻被使用的臺數(shù)，則X～B(5,0.6),

2(1)P(X=2)=C50.620.4334(2)P(X≥3)=C50.630.42?C50.640.4?0.65

4(3)P(X≤3)=1-C50.640.4?0.65

(4)P(X≥1)=1-0.4

5

2：至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.

§2.41：（1）P(X≤0)=0.5；P?0?X?1?=0.5；P(X≥1)=0.5，

(2)X的分布律為：XP-10.510.5

2：(1)A=1,

(2)P?1?X?2?=1/6

x?00?x?1；x?1

00.5?0.50

?0?2§2.51：（1）k?2，（2）F(x)??x?1?

（3）P(-0.5

第3章多維隨機(jī)變量

§3.1

1.

二維離散型隨機(jī)變量

設(shè)盒子中有2個紅球，2個白球，1個黑球，從中隨機(jī)地取3個，用X表示取到的紅球個數(shù)，用Y表示取到的白球個數(shù)，寫出(X,Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。1nowfTG4KI

2.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：XY試根椐下列條件分別求a和b的值；(1)P(X?1)?0.6；(2)P(X?1|Y?2)?0.5；01

00.10.1

10.2b

2a0.2fjnFLDa5Zo

(3)設(shè)F(x)是Y的分布函數(shù)，F(xiàn)(1.5)?0.5。

§3.2

1.

二維連續(xù)型隨機(jī)變量

?k(x?y)0?x?1,0?y?1(X、Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：f(x,y)??其他?0

求（1）常數(shù)k；（2）P(X

1.(X,Y)的聯(lián)合分布律如下，試根椐下列條件分別求a和b的值；(1)P(Y?1)?1/3；

XY12

11/6a

21/9b

31/181/9

(2)P(X?1|Y?2)?0.5；（3）已知X與Y相互獨(dú)立。

2.(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，求常數(shù)c，并討論X與Y是否相互獨(dú)立？

2?cxy0?x?1,0?y?1f(x,y)??其他?0

第3章作業(yè)答案

§3.1XY122：(1)a=0.1b=0.3HbmVN777sL10.40.30.7(2)a=0.2b=0.220.30.0.3(3)a=0.3b=0.10.70.31§3.21：(1)k=1；(2)P(X

3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：XY已知E(XY)?0.65，0

00.1

10.2

2a

則a和b的值是：10.1b0.2AVktR43bpw（A）a=0.1,b=0.3；（B）a=0.3,b=0.1；（C）a=0.2,b=0.2；（D）a=0.15,b=0.25。ORjBnOwcEd

4．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下：求EX,EY,E(XY?1)。

?xy0?x?1,0?y?2f(x,y)??他?0其

§4.2

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

01230.4（D）4.則E(X2?2X?3)是：

1．設(shè)X有分布律：X

（A）1；

p0.1（B）2；

0.20.3（C）3；

?5?yx2?y?1f(x,y)?2.設(shè)(X,Y)有，試驗(yàn)證E(XY)?E(X)E(Y)，但X與Y不?4?其他?0

相互獨(dú)立。

§4.3

方差

1．丟一顆均勻的骰子，用X表示點(diǎn)數(shù)，求EX,DX.

2．X有密度函數(shù)：f(x)??

?(x?1)/4?0

0?x?2其他

，求D(X).

9/19

§4.4

常見的幾種隨機(jī)變量的期望與方差

1．設(shè)X~?(2),Y~B(3,0.6),相互獨(dú)立，則E(X?2Y),D(X?2Y)的值分別是：3．-1.6和4.88；（B）-1和4；（C）1.6和4.88；（D）1.6和-4.88.

2.設(shè)X~U(a,b),Y~N(4,3)，X與Y有相同的期望和方差，求a,b的值。（A）0和8；（B）1和7；（C）2和6；（D）3和5.

§4.6

獨(dú)立性與不相關(guān)性

矩

1．下列結(jié)論不正確的是（）（A）X與Y相互獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)；（B）X與Y相關(guān)，則X與Y不相互獨(dú)立；（C）E(XY)?E(X)E(Y)，則X與Y相互獨(dú)立；（D）f(x,y)?fX(x)fY(y)，則X與Y不相關(guān)；2．若

COV(X,Y)?0，則不正確的是（

）

（A）E(XY)?E(X)E(Y)；（B）E(X?Y)?E(X)?E(Y)；（C）D(XY)?D(X)D(Y)；（D）D(X?Y)?D(X)?D(Y)；3．（X,Y）有聯(lián)合分布律如下，試分析X與Y的相關(guān)性和獨(dú)立性。X－101Y－11/81/81/801/801/8）11/81/81/8.

4．E(XY)?E(X)E(Y)是X與Y不相關(guān)的（

（A）必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。5.E(XY)?E(X)E(Y)是X與Y相互獨(dú)立的（）

3．必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。6.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗(yàn)證X與Y不相關(guān)，但不獨(dú)立。10/19

?21x2y/4x2?y?1f(x,y)??其他?0

第4章作業(yè)答案

§4.1§4.2§4.3§4.4§4.5§4.61：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：D；4：2/3，4/3，17/9；2MiJTy0dTT1：D；1：7/2,35/12；2：11/36；1：A；2：B；1：0.2，0.355；2：－1/144,－1/11；1：C；2：C；3：X與Y不相關(guān)，但X與Y不相互獨(dú)立；4：C；5：A；

第5章極限定理

*§5.1大數(shù)定理§5.2中心極限定理

3.

一批元件的壽命（以小時計）服從參數(shù)為0.004的指數(shù)分布，現(xiàn)有元件30只，一只在用，其余29只備用，當(dāng)使用的一只損壞時，立即換上備用件，利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年（8760小時）的近似概率。gIiSpiue7A

4.

某一隨機(jī)試驗(yàn)，“成功”的概率為0.04，獨(dú)立重復(fù)100次，由泊松定理和中心極限定理分別求最多“成功”6次的概率的近似值。uEh0U1Yfmh

第5章作業(yè)答案

§5.22：0.1788；3：0.889，0.841；

第6章數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)

§6.1

1．

數(shù)理統(tǒng)計中的幾個概念

，

有n=10的樣本；1.2，1.4，1.9，2.0，1.5，1.5，1.6，1.4，1.8，1.4，則樣本均值X=樣本均方差S?

2

，樣本方差S?

2

。IAg9qLsgBX。

2．設(shè)總體方差為b有樣本X1,X2,?,Xn，樣本均值為X，則Cov(X1,X)?

§6.2

數(shù)理統(tǒng)計中常用的三個分布

，

2?0.1(5)=

1.查有關(guān)的附表，下列分位點(diǎn)的值：Z0.9=

2

，t0.9(10)=

。

2．設(shè)X1,X2,?,Xn是總體?(m)的樣本，求E(X),

D(X)。

§6.3

一個正態(tài)總體的三個統(tǒng)計量的分布

11/19

1．設(shè)總體X~N(?,?2)，樣本X1,X2,?,Xn，樣本均值X，樣本方差S，則

2

X??

?/n

1

n

~

，

X??~S/n

，

，

?

2

?(X

i?1

i

?X)2～

1

?

2

?(X

i?1

n

i

??)2～

，

第6章作業(yè)答案

§6.1§6.21．x?1.57,

s?0.254,s2?0.0646；2.Cov(X1,X)?b2/n；

2．E(X)?m,

1．-1.29，9.236，-1.3722；

D(X)?2m/n；

§6.31.N(0,1),t(n?1),

?2(n?1),?2(n)；

第7章參數(shù)估計

§7.1矩估計法和順序統(tǒng)計量法

???x??0

??1

1.設(shè)總體X的密度函數(shù)為：f(x)??計。

0?x?1其他

，有樣本X1,X2,?,Xn，求未知參數(shù)?的矩估

2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù)X~?(?)，為估計?的值，在實(shí)地隨機(jī)地調(diào)查了20次，每次1分鐘，結(jié)果如下：次數(shù)：2345量數(shù)：95試求?的一階矩估計和二階矩估計。63

WwghWvVhPE

7

4

§7.2

極大似然估計

??(??1)x??0

?

1.設(shè)總體X的密度函數(shù)為：f(x)??極大似然估計。

0?x?1其他

，有樣本X1,X2,?,Xn，求未知參數(shù)?的

§7.3

估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)

??2X?1是a的無偏估計。3.設(shè)總體X服從區(qū)間(a,1)上的均勻分布，有樣本X1,X2,?,Xn，證明a

4.設(shè)總體X～?(?)，有樣本X1,X2,?,Xn，證明aX?(1?a)S2是參數(shù)?的無偏估計（0?a?1）。

§7.4

1.

參數(shù)的區(qū)間估計

測量其纖度為：1.36，?2),抽取9根纖維，

2

纖度是衡量纖維粗細(xì)程度的一個量，某廠化纖纖度X~N(?,

1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，試求?的置信度為0.95的置信區(qū)間，（1）若?

?0.048

2

,

12/19

（2）若?未知asfpsfpi4k

2

2.

2.為分析某自動設(shè)備加工的另件的精度，抽查16個另件，測量其長度，得x?12.075㎜，s=0.0494㎜,設(shè)另件長度X