2022-2023學(xué)年甘肅省高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年甘肅省高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.若集合4={-3,-1,2,6},8={吊刀>0},則4。8=（）

A.{2,6}B.{-3,-1}C.{-1,2,6}D.{-3,—1,2）

2.“％2一》一6>0”是“χ<-5”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.復(fù)數(shù)（一1+2。（3-。在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.sinl45°cos35°=()

A.-sin70°B.-TSin70°C.sin70oD.∣sin70o

5.若正方形4BC。的邊長(zhǎng)為2,則I而一四+前I=()

A.4√-2B.2y∏,C,ΛΓ2D.?

6.若而是方程2*=12-3x的解，則殉∈()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

7.一個(gè)內(nèi)壁底面半徑為2的圓柱體玻璃杯中盛有體積為U的水，若放入一個(gè)玻璃球（球的半徑

與圓柱體玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)了玻璃球，則V=（）

A20ττB.6TT16TTD.8兀

8.柜子中有3雙不同顏色的手套，紅色、黑色、白色各1雙.若從中隨機(jī)地取出2只，則取出

的手套是一只左手套一只右手套，但不是一雙手套的概率為（）

A.IB.IC.ID.I

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.甘肅省1953年、1964年、1982年、1990年、2000年、2010年、2020年歷次人口普查城

鎮(zhèn)人口比重圖如圖所示，則（）

甘肅省歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重圖

B.甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的中位數(shù)為22.04%

C.甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的第三四分位數(shù)為36.12%

D.甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的平均數(shù)大于25%

10.某飲料廠商開(kāi)發(fā)了一種新的飲料，為了促銷(xiāo)，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有

“一等獎(jiǎng)”，“二等獎(jiǎng)”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”.甲從新開(kāi)的一箱中任選2瓶購(gòu)買(mǎi)，設(shè)事

件4表示“甲沒(méi)有中獎(jiǎng)”，事件8表示“甲獲得一等獎(jiǎng)”，事件C表示“甲中獎(jiǎng)”，貝∣J()

A.事件4和事件B是對(duì)立事件B.事件4和事件C是對(duì)立事件

C.P(B+C)=P(C)D.P(BC)=P(C)

11.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,已知α=3,b=4,銳角C滿(mǎn)足SiTlC=①,

4

則()

A.△48C的面積為3Λ∕15B.cosC=?

C.c=√19D.cosB=

在直三棱柱中

12.4BC-4BιCι，BC=B4=q,4C=2,cC1

=3,點(diǎn)E在棱上，AE=1,。是&G的中點(diǎn)，貝∣J()/V^?D/'、

A.三棱柱4BC-4[BιG的側(cè)面積為34+3/?x&

B.三棱柱4BC-A/iG外接球的表面積為13兀A:~~《

C.BICl〃平面BCZ)

D.CE1平面BlDE

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=log5x+1,則/(-5)=.

14.已知Sina=-2cosa,貝IJtan(α+/=.

15.已知函數(shù)y=cos2<υx(3>0)在［一(制上的最小值為則3的值為.

16.刻畫(huà)空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂

點(diǎn)的曲率等于2τr與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度

用弧度制).例如，正四面體的每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角為半所以正四面體在各頂點(diǎn)的

曲率為2τr*x3=π■.在底面為矩形的四棱錐P-ABCD中，PaI底面4BCD,AD=

「PAPC與底面4BCD所成的角為也在四棱錐P-ABC。中，頂點(diǎn)B的曲率為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

證明：以4(1,2),B(3,6),C(0,5),。(—1,3)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形.

18.(本小題12.0分)

已知復(fù)數(shù)Zl=1+i,z2=2+mi(m∈R).

⑴若孑為純虛數(shù)，求m；

(2)若∈R,求3Z1+iZ2的實(shí)部與虛部之和.

19.(本小題12.0分)

已知cos(α+sinasinβ=?.

⑴求COSaCoS0；

(2)求cos(2α—20).

20.(本小題12.0分)

設(shè)AABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,acosB=^+c.

⑴求4;

(2)若4。為AABC的角平分線，AD=2,且2s譏B=S譏C,求△力BC的周長(zhǎng).

21.(本小題12.0分)

如圖1,正方形4BCD和正方形EFGH的中心重合，AB=3EF=6,HG//CD,J.K、L、/分

別為4。、48、"、<7。的中點(diǎn),將圖中的四塊陰影部分裁剪下來(lái),然后將4"后/、4珅/、4只7/<、

△GHL分別沿著HE、EF、FG、GH翻折，使得點(diǎn)/、J、K、L與點(diǎn)P重合，得到如圖2所示的四

棱錐P-EFGH.

(1)求直線PE與底面EFGH所成角的余弦值；

(2)若M為PF的中點(diǎn)，求M到平面PGH的距離.

22.(本小題12.0分)

某高校的入學(xué)面試中有力，B,C三道題目，規(guī)則如下：第一環(huán)節(jié)，面試者先從三道題目中隨

機(jī)抽取一道，若答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，若沒(méi)答對(duì)抽到的題目，則進(jìn)入第二環(huán)節(jié)；第

二環(huán)節(jié)，該面試者從剩下的兩道題目中隨機(jī)抽取一道，若答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，若

沒(méi)答對(duì)抽到的題目，則進(jìn)入第三環(huán)節(jié)；第三環(huán)節(jié)，若該面試者答對(duì)剩下的一道題目，則面試

通過(guò)，若沒(méi)有答對(duì)剩下的題目，則面試失敗,假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，李明

答對(duì)兒B,C題的概率依次是小?,?

(1)求李明第一環(huán)節(jié)抽中4題，且第一環(huán)節(jié)通過(guò)面試的概率;

(2)求李明第二環(huán)節(jié)或第三環(huán)節(jié)通過(guò)面試的概率.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：???4={-3,-l,2,6},B={x?x>0},

.?.AΓ?B={2,6}.

故選:A.

由交集的概念進(jìn)行運(yùn)算即可.

本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：不等式/-χ-6>0的解集4={x?x<-2或X>3},設(shè)集合B={x∣x<-5],

由B*4所以''χ2-χ-6>0"是"x<-5"的必要不充分條件.

故選：C.

解不等式，由集合的包含關(guān)系和充分必要條件的定義判斷結(jié)論.

本題考查集合的包含關(guān)系和充分必要條件的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解:因?yàn)?一l+2i)(3-i)=-l+7i,

所以(―1+2i)(3-D在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,7),位于第二象限.

故選:B.

利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)，由復(fù)數(shù)的幾何意義求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：sinl45°cos35o=sin(180o-35°)cos35°=S譏35°cos35°=^sin70o.

故選：D.

利用誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn).

本題主要考查誘導(dǎo)公式及二倍角公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

D.

【解析】解：如圖，由正方形力BCC的邊長(zhǎng)為2,則BD=2√~Σ,C

所以I亦一南+前I=|前+/I=2|前I=4y∕~2.

故選：A.

由題意，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可求解.

本題主要考查兩個(gè)向量的加減法及其幾何意義，向量的模的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)〃%)=2*+3x—12在定義上單調(diào)遞增，

又/(2)=22+6-12=-2<0,/⑶=23+9-12=5>0,

所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間是(2,3),

即ae(2,3).

故選：C.

先判斷函數(shù)AX)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性原理即可求出解的區(qū)間.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由題意，玻璃球的體積等于放入玻璃球后的體積減去原來(lái)的體積，

己知玻璃球的半徑等于圓柱形玻璃杯的底面半徑為2,

則玻璃球的體積為STrX23=券，圓柱的底面面積為4兀，

若放入一個(gè)玻璃球后，水恰好淹沒(méi)玻璃球，此時(shí)水面的高度為4,

.?.4π×4=^+K,可得V=竽.

故選：C.

由已知直接利用球的體積公式，圓柱的體積公式建立等量關(guān)系求解IZ的值.

本題考查球的體積公式，圓柱的體積公式，考查運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，是中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：由題意，分別用的,α2,瓦，b2,c1,c2表示6只手套，

從中隨機(jī)地取出2只，包含(田,ɑ2),(%,仇)，(α1,?),(α1,c1),(a1,c2).(a2,b1'),(a2,Z)2),(a2,c1),

ac,ccc,

(2>z)(b[,b2),(h?,e?)>(e?,C2)>(?(l)，(。2，。2)，(l∣2)共有15種,

其中取出的手套中一只左手套一只右手套，

包含(的也)，(的㈤，(.a2.b1),(α2,Cι)((瓦㈤，‰c1),共有6種，

所以不是一雙手套的概率為P=?=∣.

故選:B.

利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率

計(jì)算公式，即可求解.

本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BC

【解析】解：甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的極差為52.23%—11.13%=41.1%,4錯(cuò)

誤；

這組數(shù)據(jù)從小到大排列依次為11.13%,12.22%,15.34%,22.04%,24.01%,36.12%,52.23%,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為22.04%,8正確；

因?yàn)?X75%=5.25,所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為36.12%,C正確；

平均數(shù)為3(11.13%+12.22%+15.34%+22.04%+24.01%+36.12%+52.23%)=⑺,%<

25%,2錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)極差判斷4根據(jù)中位數(shù)的定義判斷B,根據(jù)第三四分位數(shù)計(jì)算法則判斷C,計(jì)算平均數(shù)判斷C.

本題主要考查折線圖，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：因?yàn)?UB表示“甲沒(méi)有中獎(jiǎng)或甲獲得一等獎(jiǎng)”，但甲可能獲得二等獎(jiǎng)，

即事件4和事件B不是對(duì)立事件，4錯(cuò)誤；

事件4表示“甲沒(méi)有中獎(jiǎng)”，事件C表示“甲中獎(jiǎng)”，

則事件4和事件C是互斥且和事件為全集，事件4和事件C是對(duì)立事件，8正確；

又因?yàn)锽=C,所以P(B+C)=P(C),C選項(xiàng)正確；

P(BC)=P(B),。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)對(duì)立事件判斷A,8選項(xiàng)；根據(jù)事件的包含關(guān)系判斷C,。選項(xiàng).

本題考查互斥事件、對(duì)立事件、事件的包含關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】BC

【解析】解：在AABC中，因?yàn)棣?3,b=4,且SinC=色，

4

由三角形的面積公式，可得SMBC=^absinC=^x3x4xf=空，所以A錯(cuò)誤；

由C為銳角，且SinC=華，可得cosC=√1—siMC=>所以8正確；

44

由余弦定理得￠2=a2÷b2-2abcosC=9+16-2x3x4x?^=19,可得C=√19,所以。正

4

確；

由余弦定理得CoSB=a2+c2-b2=9+19/="至，所以。不正確.

2ac2×3×?∏919

故選：BC.

由三角形的面積公式，可判定A錯(cuò)誤；由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可判定B正確，由余弦定理,

可判定C正確，。錯(cuò)誤.

本題考查了三角形的面積公式，三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查

了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于4因?yàn)樵谥比庵?BC-中，BC=BZ=√^2AC=2,44ι=3,

所以三棱柱ABC-&BICI的側(cè)面積為(√芝+√^7+2)×3=6>∕~2+6.所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,因?yàn)锽C=B4=1∑,4C=2,所以BC2+BA2=AC?2,

所以△ABC為以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

22

所以三棱柱ABC-&Bi6的外接球半徑r=JI+(|)=?,

所以外接球的表面積為13τr,所以B正確；

對(duì)于C,因?yàn)锽lCJ/BC,BlClC平面BCD,BCU平面BCC,

所以BiG〃平面BCD,所以C正確；

對(duì)于D,由已知得AlBl=BlG，

又。是&Cl的中點(diǎn)，所以當(dāng)014G，

因?yàn)閭?cè)棱441JL平面力IBlG,BIDU平面4窗傳1，所以A4ι1B1D,

因?yàn)?41n&G=&,所以BlDJ_平面A41GC,

因?yàn)镃EU平面441GC，所以BlDJLCE,

因?yàn)锳E=1,AC=2,AA1=3,

所以CE=∕T,DE=口,Co=CU,

則CE?+0E?=。。2,所以CEIDE,

因?yàn)镈EnBlD=。，DE,BlDU平面BlDE,

所以CEI平面BlOE,所以。正確.

故選：BCD.

對(duì)于4直接求解側(cè)面面積即可；對(duì)于8,判斷出△4BC為直角三角形，然后根據(jù)已知直接求解外

接球的半徑，從而可求出其表面積；對(duì)于C,由棱柱的性質(zhì)和線面平行的判定分析判斷；對(duì)于D,

由題意可證得BlDl平面441CIC,由BIDJ.CE,再由勾股定理的逆定理可得CEJ.DE,然后由線

面垂直的判定定理可證得結(jié)論.

本題考查了幾何體的側(cè)面積計(jì)算以及外接球問(wèn)題，考查了線面關(guān)系的判斷與證明，屬于中檔題.

13.【答案】-2

【解析】解：/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=log5x+1,

則有f(-5)=-/(5)=-(logs5+1)=-2.

故答案為：-2.

利用函數(shù)的奇偶性和區(qū)間內(nèi)的函數(shù)解析式求值.

本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】一^

【解析】解：由題意S譏α=-2CoSQ可知tcma=-2,

則tag+5=F=瑞=4.

'4'1—tana1+23

故答案為：-1.

根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求得tana=-2,再根據(jù)兩角和的正切公式即可求得答案.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式，根據(jù)兩角和差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)

是解決本題的關(guān)鍵.

15.【答案W

2

【解析】解：y=cosωx=-(1+cos2ωx)f

又Xe[一兄上

所以2"X∈[-詈,第.

因?yàn)閥=∣(1+cos20>x)取得最小值

所以y=COS23%取得最小值一

因?yàn)?(υ%∈[―?,?],ω>0,

τrω2π(πω2π

?-T\~~~^^3^

_πω__2τr,πω_2π,

--r-^τlτ~τ

(ω>0>0

解得3=￡

故答案為：I

對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)得y=g(l+cos2<υx),由X的范圍，求得2a>X的范圍，則由題意可知y=cos2<υx在

23XW[-詈,詈]取得最小值-；，從而可得關(guān)于3的不等式組，進(jìn)而可求得結(jié)果.

本題考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題.

16.【答案】~

【解析】解：設(shè)PA=1，則TW=

PA1底面4BC0,

???AC是PC在底面4BCD上的射影，

則4PCA是PC與底面ABCD所成的角，即NPCA=I

O

則SinNPCa=票艮喘=,得PA=2,則4C=√3,

即AB=√AC2-BC2=√3-2=1，

即AB=P4,貝IJ在RtAPAB中，NPBA=%,

PB=BC=√^^>

VPB2+BC2=2+2=4=PC2,

.???PBC是直角三角形，則NPBC=≡

???乙ABC=全

???頂點(diǎn)B的曲率為2τr-≡-^-≡=y?

故答案為：?.

根據(jù)條件分別求出角8的面角之和，然后進(jìn)行計(jì)算即可.

本題主要考查空間幾何體各面三角形夾角的計(jì)算，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算是解決本

題的關(guān)鍵，是中檔題.

17.【答案】證明:由題意得超=(2,4),而=(-2,1),DC=(1,2)，則荏=2DC,

得4B〃DC月SB=2DC,則四邊形4BCD為梯形.

因?yàn)檐?AD=-2×2+l×4=0.所以4B1AD.

故以A(L2),S(3,6),C(0,5),。(-1,3)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形.

【解析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，證明4B〃CC且4B=2DC,再證明4BJ.4D,可得結(jié)論.

本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(I)因?yàn)閆i=I+i,Z2=2+mi,

ɑpp.z2_2+mi_(2÷mt)(l-i)_(2+m)+(m-2)i

加以五=1+i=(l+t)(l-i)=2,

由黃為純虛數(shù)，得解得Zn=一2?

故771=-2.

(2)由(1)可知摟=(2+m”(m-2)i,

由ER，得m-2=0,解得根=2.則N2=2+23

所以3zι+i∑2=3+3i+2i-2=1+5i,

所以3zι+iZ2的實(shí)部為1,虛部為5,即實(shí)部與虛部之和為1+5=6.

【解析】⑴先計(jì)算h=(2+叱S-2)i,從而可得｛：;彳=0(求解即可;

(2)由題意可得m-2=0,解得TU=2,從而可計(jì)算3z〔+iz2=1+5i,進(jìn)而可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)因?yàn)镃OS(α+S)=cosacosβ—sinasinβ=cosacosβ-?=?,

117

所以CoSaCos∕?=-÷-=—;

715

(2)因?yàn)閏os(α—∕?)=cosacosβ+sinasinβ

or7

所以cos(2α-20)=cos2(a-0)=2cos2(a—/?)—1=2×--1=—.

JoIo

【解析】(1)根據(jù)兩角和的余弦公式運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)兩角差的余弦公式可得cos(α-^)=∣,再結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解.

本題主要考查了和差角公式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)因?yàn)閍cosB=g+c,由正弦定理可得：2sinAcosB=sinB+2sin(A+B)=

SinB+2sinBcosA+2sinAcosB,

可得SinB+2sinBcosA=0,又因?yàn)镾bIB≠0,

可得CoS4=—?,而A∈(O,τr),

解得4=∣7Γ:

A

(2)因?yàn)?。為4的角平分線，所以MaD=?CAD=∣,

所以《48?AC-sin?BAC=AC?AD?s?n?CAD+?AC?---------?(

222B-----------D

sin?BADf

βp∣6csin∣τr=WbX2sin^+∣c×2sin-,

可得be=2h+2c；(?)

因?yàn)?siτιB=StnC,由正弦定理可得2Z?=c,②，

由①②可得匕=3,c=6,

由余弦定理可得Q=√h2÷c2—2bccosA=J9÷36-2×3×6×(―?)=3y[~7?

所以三角形的周長(zhǎng)為：α÷h+c=3?Γ7÷3+6=3√7÷9.

所以△ABC的周長(zhǎng)為3/7+9.

【解析】（1）由正弦定理及三角形的角的關(guān)系，可得4角的余弦值，再由4角的范圍，可得4角的大

小；

（2）由角平分線的性質(zhì)，由等面積法求出b,c的關(guān)系，再由題意可得b,C的關(guān)系，進(jìn)而求出b,c的

值，再由余弦定理可得α的大小，進(jìn)而求出三角形的周長(zhǎng).

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）如圖1,取HED

的中點(diǎn)N,連接/N.

如圖2,連接EG、HF,設(shè)EG、HF

的交點(diǎn)為。，連接P。.

由題意得H/=E/,所以，PE=

IE=√IN2+EN2=

V22+I2=V-5"

因?yàn)镻E=PF=PG=PH,四邊形EFG，為正方形，則四棱錐P-EFGH為正四棱錐,

又因?yàn)镋GnHF=。，所以，PojL平面EFGH,

所以，PE^J^EFGH^^^^]?PE0.

因?yàn)镋F=2,則EG=CEF=2S，所以，EO=TEG=LL

因?yàn)镻oJL平面EFGH,EoU平面EFGH,所以，PO1E0,

琲;［、］,DZ7八EO√~~2V10

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