新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊頻率分布直方圖、總體取值規(guī)律、總體百分位數(shù)的估計5種常考題型 同步講義

39、頻率分布直方圖、總體取值規(guī)律、總體百分位數(shù)的估計5種常考題型

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：頻率分布直方圖

作頻率分布直方圖的步驟

①求極差：極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差I(lǐng)

②決定組距與組數(shù)

將數(shù)據(jù)分組時，一般取等長組距,并且組距應(yīng)力求“取整”，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布

規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來.

③將數(shù)據(jù)分組

④列頻率分布表

小組頻數(shù)

各小組的頻率=

樣本容量.

⑤畫頻率分布直方圖

頻率頻率

縱軸表示輸，髓實(shí)際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的誕，小長方形的面積=組距

頻率

×?=頻率?

考點(diǎn)二：頻率分布直方圖的性質(zhì)

頻率

①因為小矩形的面積=組距X篇=頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣，頻

率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小.

②在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.

頻數(shù)輸=樣本容量.

④頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范

圍內(nèi)的頻率，可近似地估計總體在這一范圍內(nèi)的可能性.

考點(diǎn)三：常見統(tǒng)計圖表的特點(diǎn)與區(qū)別

扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例，條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別

或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率，條形圖適用于描述離散型數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述連續(xù)型數(shù)據(jù).折線

圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.

考點(diǎn)四：百分位數(shù)

①百分位數(shù)定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第。百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有

〃％的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100—〃)％的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

②常用的百分位數(shù)

1.四分位數(shù)：第25百分位數(shù),第50百分位數(shù),第75百分位數(shù).

2.其它常用的百分位數(shù)：第1百分位數(shù),第5百分位數(shù),第95百分位數(shù)，第99百分位數(shù).

③計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟如下：

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；

第2步，計算i=n×po∕o?,

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第P百分位數(shù)為第，項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù),

則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

【題型目錄】

題型一：頻率分布表

題型二：頻率分布直方圖

題型三：總體百分?jǐn)?shù)的估算

題型四：頻率分布直方圖平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算

題型五：頻率分布直方圖中的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

【典型例題】

題型一：頻率分布表

【例1】已知樣本數(shù)據(jù):10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,

12,11.那么頻率為0.2的是()

A.[5.5,7.5)B.[7.5,9.5)C.[9.5,11.5)D.[11.5,13.5]

【答案】D

【解析】根據(jù)所給數(shù)據(jù),結(jié)合選項中的分組,即可求得各組的頻率.

【詳解】樣本共有20個.根據(jù)選項,可分為4組,各組的頻數(shù)和頻率如卜表所示：

分組頻數(shù)頻率

[5.5,7.5)20.1

[7.5,9.5)60.3

[9.5,11.5)80.4

[11.5,13.5]40.2

合計201.0

從表中可以看出頻率為0.2的是[11.5,13.5].

【例2】考查某校高三年級男同學(xué)的身高，隨機(jī)地抽取50名男同學(xué)，測得他們的身高(單位:

Cm)如下表所示：

171170165169167167170161164167

171163163169166168168165160168

158160163167173168169170160164

171169167159151168170174160168

176157162166158164180179169169

(1)這組數(shù)據(jù)的極差為,數(shù)據(jù)160的頻數(shù)為,數(shù)據(jù)171的頻率為

(2)填寫下面的頻率分布表：

身高頻數(shù)頻率

[150.5,153.5)

[153.5,156.5)

[156.5,159.5)

[159.5,162.5)

[162.5J65.5)

[165.5,168.5)

[168.5,171.5)

[171.5,174.5)

[174.5,177.5)

[177.5,180.5)

(3)畫出該校高三年級男同學(xué)身高的頻率分布直方圖.

【答案】⑴29,4,0.06

⑵填表見解析

(3)直方圖見解析

【分析】(1)最高身高減去最低身高即為極差，統(tǒng)計身高為160的人數(shù)即為頻數(shù)，用身高為171

的人數(shù)除以50即得頻率；

(2)統(tǒng)計出50名同學(xué)中各段的人數(shù)即為頻數(shù)，再求頻率即可；

(3)根據(jù)(2)中的數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖即可.

(1)

解：因為最高身高為180,最低身高為151,所以極差為：180-151=29；

因為身高為160的人數(shù)為4,所以頻數(shù)為4；

3

因為身高為171的人數(shù)為3,所以頻率為才=0.06；

(2)

解：填表如下：

身高頻數(shù)頻率

[150.5,153.5)10.02

[153.5,156.5)00

[156.5,159.5)40.08

[159.5,162.5)60.12

[162.5,165.5)80.16

[165.5,168.5)130.26

[168.5,171.5)130.26

[171.5,174.5)20.04

[174.5,177.5)10.02

[177.5,180.5)20.04

(3)

解：由頻率分布表，可得頻率分布直方圖，如卜:

【題型專練】

1.根據(jù)中國銀行的外匯牌價，第一季度的60個工作日中，歐元的現(xiàn)匯買入價(IOO歐元的外匯

可兌換人民幣)的分組和各組的頻數(shù)如下：

[1050,1060),1；[1060,1070),7；[1070,1080),20；[1080,1090),11；[∣O9O,11∞),13；

[11(X),1110),6；[1110,1120),2.

(1)列出歐元的現(xiàn)匯買入價的頻率分布表；

(2)估計歐元的現(xiàn)匯買入價在[1065,1105)內(nèi)的頻率；

(3)若歐元的現(xiàn)匯買入價不超過X的頻率的為0.95,求x?

【答案】(1)頻率分布表見解析

(2)0.8415

(3)1108.3

【分析】(1)根據(jù)題中信息可列出頻率分布表；

(2)根據(jù)頻率分布表可計算出歐元的現(xiàn)匯買入價在[1065,1105)內(nèi)的頻率；

(3)分析得出XwIlOo,1110),根據(jù)題意列出關(guān)于X的等式，即可解得X的值.

(I)

解：歐元的現(xiàn)匯買入價的頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[1050,1060)10.017

[1060,1070)70.117

[1070,1080)200.333

[1080,1090)110.183

[1090,11∞)130.217

[1100,1110)60.100

[1110,1120]20.033

合計601

(2)

解：估計歐元的現(xiàn)匯買入價在［1065,1105)內(nèi)的頻率約為

0.117x0.5+0.333+0.183+0.217+0.1x0.5=0.8415.

(3)

解：因為0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.867<0.95，0.867+0.1=0.967>0.95，

所以，XWIlOo,1110),且有0.867+“(X)X(M=0.95,解得X=IIO8.3.

2.某制造商生產(chǎn)一批直徑為40mm的乒乓球，現(xiàn)隨機(jī)抽樣檢查20個，測得每個球的直徑(單

位:mm,保留兩位小數(shù))如下：

40.0340.0039.9840.0039.9940.0039.98

40.0139.9839.9940.0039.9939.9540.01

40.0239.9840.0039.9940.0039.96

(1)完成下面的頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖;

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)

[39.97,39.99)

[39.99,40.01)

[40.01,40.031

合計

(2)假定乒乓球的直徑誤差不超過0.02mm為合格品.若這批乒乓球的總數(shù)為IooO0,試根據(jù)抽

樣調(diào)查結(jié)果估計這批產(chǎn)品的合格個數(shù).

【答案】(1)頻率分布表見解析，頻率分布直方圖見解析；(2)8500.

【分析】(D根據(jù)所給的頻數(shù)和樣本容量，用頻數(shù)除以樣本容量做出每一組數(shù)據(jù)對應(yīng)的頻率,填

入表中，畫出對應(yīng)的頻率分步直方圖和頻率分布折線圖?(2)計算抽樣產(chǎn)品在［39.98,40.02］的個數(shù),

計算合格率，即可求出這批產(chǎn)品的合格只數(shù).

【詳解】(1)頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)20.10

[39.97,39.99)40.20

[39.99,40.01)100.50

[40.01,40.03]40.20

合計201.00

頻率分布直方圖如圖.

頻率

39.9539.9739.9940.0140.03直徑∕mm

(2)?.?抽樣的20個產(chǎn)品中直徑(單位：mm)在［39.98,40.02］范圍內(nèi)的有17個,

17

合格品頻率為與XloO%=85%.

.,.100∞×85%=85∞.

故根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，可以估計這批產(chǎn)品的合格個數(shù)為8500.

3.對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：

壽命/小時100-200200-300300-400400-500500~600

個數(shù)2030804030

(1)完成頻率分布表;

分組頻數(shù)頻率

100-200

200-300

300~400

400-500

500-600

合計

（2）畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖；

（3）估計電子元件壽命在100~400小時以內(nèi)的頻率；

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）0.65.

【分析】（1）按追蹤調(diào)查表填寫頻率分布表；

（2）按頻率分布表畫出頻率分布直方圖，由頻率分布直方圖可畫出頻率分布折線圖;

（3）由頻率分布表計算壽命在100?400小時以內(nèi)的頻率.

【詳解】（1）完成頻率分布及如下:

分組頻數(shù)頻率

100-20020().10

200~300300.15

300-400800.40

400~500400.20

500~600300.15

合計2001

（2）完成頻率分布直方圖如下:

0.0040

0.0020

0.0015

().0010

頻率分布折線圖如下:

(3)由頻率分布表可知，壽命在100~400小時的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.10+0.15+0.40=0.65,

所以估計電子元件壽命在100-400小時的頻率為0.65.

題型二：頻率分布直方圖

【例1】關(guān)山中學(xué)為了調(diào)查該校學(xué)生對于新冠肺炎疫情防控的了解情況，組織了一次新冠肺炎

疫情防控知識競賽，并從該學(xué)校1200名參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并統(tǒng)計了這100名

學(xué)生成績情況(滿分100分，其中90分及以上為優(yōu)秀)，得到了樣本頻率分布直方圖，根據(jù)頻

率分布直方圖推測，這1200名學(xué)生中競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約為()

A.8B.28C.96D.336

【答案】C

【分析】從頻率分布直方圖可求出優(yōu)秀的學(xué)生所占比例，從而求出1200名學(xué)生中競賽成績?yōu)閮?yōu)

秀的學(xué)生人數(shù).

【詳解】從頻率分布直方圖可求出優(yōu)秀的學(xué)生所占比例為0.008x10=0.08,

故這1200名學(xué)生中競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約有1200x0.08=96,

【例2】有一個容量為60的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：U1515.5),2；[15.5,19.5),

4；[19.5,23.5),5；[23.5,27.5),16；[27.5,31.5),11；[31.5,35.5),12；[35.5,39.5),7；[39.5,43.5],

3.根據(jù)樣本的頻率分布估計數(shù)據(jù)落在[27.5,39.5)的頻率約是()

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件求出數(shù)據(jù)落在［27539.5)的頻數(shù)，從而可求出其頻率.

【詳解】數(shù)據(jù)落在［27.5,39.5)的個數(shù)為11+12+7=30,

故數(shù)據(jù)落在［27.5,39.5)的頻率約是230=1

602

【例3】在樣本頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8

個長方形的面積和的自，且樣本容量為140,則中間一組的頻數(shù)為.

【答案】40

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖各小矩形面積之和為1,可以求出中間一個小長方形的面積，即

該組的頻率，所以中間一組的頻數(shù)=∣40χ頻率.

【詳解】設(shè)中間一個小長方形面積為X,其他8個長方形面積為:x,

根據(jù)頻率分布直方圖各小矩形面積之和為1,

得x+?∣x=l,則X=^,即中間一組的頻率為針

2

所以中間一組的頻數(shù)為140x,=40.

【例4】特崗教師是中央實(shí)施的一項對中西部地區(qū)農(nóng)村義務(wù)教育的特殊政策，通過公開招聘高

校畢業(yè)生到中西部地區(qū)“兩基”攻堅縣、縣以下農(nóng)村學(xué)校任教，進(jìn)而提高農(nóng)村教師隊伍的整體素

質(zhì)，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某市招聘特崗教師需要進(jìn)行筆試和面試，一共有600名應(yīng)聘者參加

筆試考試，從中隨機(jī)抽取了100名應(yīng)聘者，記錄他們的筆試分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：［20,30),

［30,40),［80,90),得到如圖所示頻率分布直方圖.

頻率

(1)若該市計劃168人進(jìn)入面試，請估計參加面試的最低分?jǐn)?shù)線；

(2)已知樣本中筆試分?jǐn)?shù)低于40分的有5人，試估計總體中筆試分?jǐn)?shù)在［40,50)內(nèi)的人數(shù).

【答案】⑴78

(2)30

【分析】（1）根據(jù)題意求得進(jìn)入面試的頻率P=0?28,再判斷最低分?jǐn)?shù)線X所在分?jǐn)?shù)區(qū)間，結(jié)合

頻率的計算公式得到方程，解之即可；

（2）由頻率分布直方圖求得不低于50分的頻率，由題意求得分?jǐn)?shù)低于40分的頻率，從而求得

筆試分?jǐn)?shù)在［40,50）內(nèi)的頻率，再由頻數(shù)等于總數(shù)乘以頻率即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）根據(jù)題意，得進(jìn)入面試的頻率P=黑=0?28,

由頻率分布直方圖可知，筆試分?jǐn)?shù)位于［70,80）、［80,90）的頻率分別為0.4、0.2,

所以設(shè)參加面試的最低分?jǐn)?shù)線Xw（70,80）,

得（80—x）χ0.04+0.2=P,解得χ=78,

故參加面試的最低分?jǐn)?shù)線約為78.

（2）樣本中筆試分?jǐn)?shù)不低于50分的頻率為：0.1+0.2+04+0.2=0.9,

樣本中筆試分?jǐn)?shù)低于40分的頻率為：??θ,θ?,

IOO

所以樣本中筆試分?jǐn)?shù)在［40,50）內(nèi)頻率為：1-0.05-0.9=0.05,

故總體中筆試分?jǐn)?shù)在［40,50）內(nèi)的人數(shù)約為600X0.05=30（人）

【例5】某學(xué)校IOOO名學(xué)生參加信息技術(shù)學(xué)分認(rèn)定考試，用按性別比例分層隨機(jī)抽樣的方法從

中抽取了IOO名學(xué)生的成績,記錄他們的分?jǐn)?shù),并將數(shù)據(jù)分成8組：120,30）,［30,40）,L,［90,100］,

整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）求圖中”的值，并估計全校學(xué)生中成績不低于70分的學(xué)生人數(shù)；

（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)不低于70的男生占樣本中全部男生人數(shù)的;，且樣本中分?jǐn)?shù)不低于70的男

生與女生人數(shù)之比為4:3,求總體中男生人數(shù)和女生人數(shù)之比.

【答案】（1）"=0.004,全校學(xué)生中成績不低于70分的學(xué)生人數(shù)為350；

（2）3:2.

【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布直方圖，利用各小矩形面積和為1求出α,再求出不低于70

分的頻率即可計算作答.

(2)利用頻率分布直方圖求出樣本中男女生人數(shù)比，再利用樣本估計總體作答.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖知，(0.001+α+0.005+0.011*2+0.02x2+0.028)xl0=l,解得

a=0.004,

樣本中成績不低于70分的頻率為(0.004+0.011+0.02)x10=0.35,

估計全校學(xué)生中成績不低于70分的學(xué)生人數(shù)為IoooXo.35=350.

所以α=0.(XM,全校學(xué)生中成績不低于70分的學(xué)生人數(shù)為350.

(2)依題意，樣本中分?jǐn)?shù)不低于70的學(xué)生人數(shù)為IooXo.35=35,則樣本中分?jǐn)?shù)不低于70的

4

男生人數(shù)為35x1=20,

又樣本中分?jǐn)?shù)不低于70的男生占樣本中全部男生人數(shù)的g,因此樣本中全部男生人數(shù)為60,

女生人數(shù)為100-60=40,

于是得樣本中男生人數(shù)與女生人數(shù)之比為60:40=3:2,

所以總體中男生和女生人數(shù)之比為3:2.

【題型專練】

I.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們在某一天課外閱讀所

用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用頻數(shù)直方圖(如圖)表示，則課外閱讀時間在U,l?5)h內(nèi)的學(xué)生的頻率為

()

,人數(shù)

20--1_

15-

10------------------

5--------,—-----------

00.511.521.5時間/h

A.10B.15C.0.2D.0.3

【答案】C

【分析】根據(jù)頻數(shù)直方圖可知課外閱讀時間在□,l?5)h內(nèi)的學(xué)生的人數(shù)，進(jìn)而即得.

【詳解】根據(jù)頻數(shù)直方圖可知課外閱讀時間在［l,L5)h內(nèi)的學(xué)生的人數(shù)為50-(5+20+10+5)=10,

所以課外閱讀時間在［l,L5)h內(nèi)的學(xué)生的頻率為2=0.2.

2.為了評估某家快遞公司的服務(wù)質(zhì)量，某評估小組進(jìn)行了客戶滿意度調(diào)查，從該公司參與調(diào)查

的客戶中隨機(jī)抽取500名客戶的評分,評分均在區(qū)間［50,100］上,分組為［50,60)、［60,70)、［70,80)、

［80,90)、［50,60)、［90,100］,其頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定評分在60分以下表示對該公司的

服務(wù)質(zhì)量不滿意，則這500名客戶中對該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶的人數(shù)為.

【分析】由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解，

【詳解】由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間［50,60)上的頻率為：

1-(0.007+0.02+0.03+0.04)×10=0.03,

二評分在區(qū)間［50,60)上的客戶有0.03×5∞=15(人)，即對該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有15

人.

3.一個容量為20的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：U0,20)2個；［20,30)3個；130,40)X

個；［40,50)5個；［50,60)4個；［60,70)2個；根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在口0,50)內(nèi)的

概率約為.

7

【答案】0.7##—

10

【分析】根據(jù)頻率、頻數(shù)的關(guān)系，結(jié)合概率的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】由題意，x=20-(2+3+5+4+2)=4,

樣本中數(shù)據(jù)落在［10,50)內(nèi)的頻率=葉箸2=0.7

所以估計總體中數(shù)據(jù)落在［10,50)內(nèi)的概率約為0.7,

4.如圖，是某校高三年級100名學(xué)生的體育綜合測試成績的頻率分布直方圖(百分制)，其中，

成績分組區(qū)間是：［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,1∞］

⑴求圖中α的值:

(2)求這IOO名學(xué)生中，體育成績不小于80分的概率.

【答案】(l)ɑ=0.005

【分析】(1)根據(jù)小長方形的面積之和為I得出方程，即可求出結(jié)果；

(2)結(jié)合頻率分布直方圖即可求出結(jié)果.

(1)

由題意得(加+0.02+0.03+0.04)x10=1,.

解得α=0.005.

(2)

體育成績不小于80分的概率P(A)=10×0.02+10×0.005=?.

5.某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180),[180,200),[200,220),

[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如下：

頻率

(1)求直方圖中X的值；

(2)在月平均用電量為1220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層

抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？

【答案】⑴0?0075

(2)5戶

【分析】(1)根據(jù)小矩形的面積和為1求解即可；

(2)根據(jù)分層抽樣的方法求解即可.

【詳解】(1)解：由直方圖的性質(zhì)可得：

(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)X20=1,解方程可得：x=0.0075

所以，X=O.0075

(2)解：由直方圖可得：

月平均用電量為[220,240)的用戶有0.0125x20x100=25戶，

月平均用電量為［240,260）的用戶有0.0075x20x100=15戶,

月平均用電量為［260,280）的用戶有0.005x20x100=10戶，

月平均用電量為1280,300J的用戶有0.0025x20x100=5戶，

Il

抽取比例為

25+15+10+55

所以月平均用電量在［220,240）的用戶中應(yīng)抽取25x1=5戶.

6.2022年是黨的二十大召開之年，黨的二十大是我們黨進(jìn)入全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家、

向第二個百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍新征程的重要時刻所召開的一次重要的代表大會.某社區(qū)對100名

熟悉“黨史”的群眾的年齡（單位：歲）做了數(shù)據(jù)統(tǒng)計，并繪制成如圖所示的不完整的頻率分布

直方圖.統(tǒng)計員在繪制頻率分布直方圖的過程中所搜集的數(shù)據(jù)只能確定年齡在［30,35）與

［40,45］的熟悉“黨史”的人數(shù)之和是年齡在［35,40）的熟悉“黨史”的人數(shù)的3倍，且［30,35）組的

頻率比［40,45］組的頻率多0.15.

⑴分別求［30,35）,［35,40）,［40,45］組對應(yīng)的頻率；

⑵求年齡在［35,45］的熟悉“黨史”的人數(shù).

【答案】⑴0.3,0.15,0.15

（2）30

【分析】（1）由頻率分布直方圖求［20,25）和［25,30）對應(yīng)的頻率，再結(jié)合題目和頻率和為1計

算即可.

（2）由總數(shù)*頻率即可.

（1）

由頻率分布直方圖，得［20,25）組對應(yīng)的頻率為0.01x5=0.05,［25,30）組對應(yīng)的頻率為

0.07x5=0.35.

設(shè)［30,35）,［35,40）,［40,45］組對應(yīng)的頻率依次為X,Mz,

x÷y+z=l-0.05-0.35Γx=0.3

則r+z=3y,解得卜=0.15.

X-Z=O.15z=0.15

所以［30,35）,［35,40）,［40,45］組對應(yīng)的頻率依次為0.3,0.15,0.15.

（2）

因為［35,451對應(yīng)的頻率為0.15+0.15=0.3,

所以年齡在［35,45］的熟悉“黨史”的人數(shù)為IoOXo.3=30.

題型三：總體百分?jǐn)?shù)的估算

【例1】高二某班參加了“中國神舟十三號載人飛船航空知識答題”競賽，10位評委的打分如下：

5,6,6,7,7,8,9,9,10,10,則（）

A.該組數(shù)據(jù)第60百分位數(shù)為8B.該組數(shù)據(jù)第60百分位數(shù)為8.5

C.該組數(shù)據(jù)中位數(shù)為7和8D.該組數(shù)據(jù)中位數(shù)為8

【答案】B

【分析】根據(jù)百分位數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)從小到大排為：5,6,6,7,7,8,9,9,10,10

8+9

則10χ60%=6,第60百分位數(shù)為-y-=8.5,故A不符合，B符合；

7-1-2

中位數(shù)為：-=7?5,故C,D均不符合.

【例2】（多選題）某科技學(xué)校組織全體學(xué)生參加了主題為“創(chuàng)意之匠心，技能動天下''的文創(chuàng)大

賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)

行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確

的是（）

頻率

A.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間［90,1（X））內(nèi)的學(xué)生有160人

B.圖中X的值為0.020

C.估計全校學(xué)生成績的中位數(shù)約為86.7

D.估計全校學(xué)生成績的80%分位數(shù)為95

【答案】ACD

【分析】對于A,由頻率分布直方圖求出［90,100）的頻率，再乘以400可得結(jié)果，對于B,由

各組的頻率和為1可求得結(jié)果，對于C,先判斷中位數(shù)所在的區(qū)間，再列方程求解，對于D,

根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.

【詳解】由題意，成績在區(qū)間［90,100)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為400x0.040x10=160,故A正確；

li］(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=l,Wx=0.030,故B錯誤；

由于前3組的頻率和(0.005+0.010+0.015)χl0=0.3<0.5,前4組的頻率和

(0.005+0.010+0.015+0.030)×10=0.6>0.5,所以中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為“，則

(0.005+0.010+0.015)×10+0.030(α-80)=0.5,得αχ86.7,故C正確；

低于90分的頻率為1-0.4=0.6,設(shè)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為〃，

則高>j-得90=蘭02，解得〃=95,故D正確?

100-900.4

【例3】一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1,2,2,3,5,6,6,7,

8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為.

【答案】14.5

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算方法求解即可.

［詳解】???75%x20=15,.?.第75百分位數(shù)為第從小到大第15,16位數(shù)的平均數(shù)，即將乎=14.5.

［例4］杭州市某高中從學(xué)生中招收志愿者參加迎亞運(yùn)專題活動，現(xiàn)已有高一540人、高二360

人，高三180人報名參加志愿活動.根據(jù)活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者

中抽取120名.對抽出的120名同學(xué)某天參加運(yùn)動的時間進(jìn)行了統(tǒng)計，運(yùn)動時間均在39.5至99.5

(2)(i)請補(bǔ)全頻率分布直方圖；

(ii)求這120名學(xué)生運(yùn)動時間的第80百分位數(shù)是多少？

【答案】(1)高一抽取60人，高二抽取40人，高三抽取20人

(2)(i)直方圖見解析；(ii)83.5

【分析】(1)由分層抽樣的比例公式求解即可；

(2)計算頻率并補(bǔ)全頻率分布直方圖；由百分位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解即可

【詳解】(1)報名的學(xué)生共有1080人，抽取的比例為懸=《

l()o()9

所以高一抽取540χ9=60人，高二抽取360x"=40人，高三抽取180χ9=20人

(2)(i)第三組的頻率為1-(0.1+0.15+0.3+0.25+0.05)=0.15

故第三組的小矩形的高度為0.015,

前四組的頻率之和為0.1+0.15+0.15+0.3=0.7,

前五組的頻率之和為0.1+0.15+0.15+0.3+0.25=0.95,

所以第80百分位數(shù)為79.5+2：X10=83.5

所以第80百分位數(shù)是83.5

【題型專練】

1.已知某組數(shù)分別為4,8,3,6,7,5,12,10,9,5,則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是.

【答案】5.5##y

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，計算1OX4O%=4,這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4項與第5

項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此計算可得選項.

【詳解】因為從小到大排列為3,4,5,5,6,7,8,9,10,12,共10個數(shù)據(jù)，10x40%=4,

所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4項與第5項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

即=5.5,

2

2.為了解某校高三年級男生的體重，從該校高三年級男生中抽取17名，測得他們的體重數(shù)據(jù)

如下(按從小到大的顧序排列，單位：kg)

5656575859596163646566686970737483

據(jù)此估計該校高三年級男生體重的第75百分位數(shù)為kg

【答案】69

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法求得正確答案.

【詳解】17×0.75=12.75,

數(shù)據(jù)從小到大第13個數(shù)是69,

所以第75百分位數(shù)為69kg

3.數(shù)據(jù)3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第63百分位數(shù)是4.5,則實(shí)數(shù)X的取值范圍是.

【答案】［4.5,伊）

【分析】直接根據(jù)百分位數(shù)的定義計算得到答案.

【詳解】8×63%=5.O4,故數(shù)據(jù)的第63百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)為4.5,故xe［45K）.

4.如圖所示是將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績（成績均為整數(shù)）整理

后畫出的頻率分布直方圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可以得到前四組的頻率之和小于0?8,所以80%分位數(shù)在［120,130）

一組內(nèi)，設(shè)出變量，列出方程，求解即可.

【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖知,0.01×10+0.015×10×2+0.03×10=0.7<0.8,

第五組的頻率為0.0225xl0=0.225>0.1,.?.80%分位數(shù)在［120,130）一組內(nèi)，

設(shè)80%分位數(shù)為X,則（x-120）×0.0225+0.7=0.8,

解得x≈124.44,即80%分位數(shù)為124.44.

題型四：頻率分布直方圖平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算

【例1】在剛剛進(jìn)行的全校體能測試中，錦一高三某班40名同學(xué)體能成績恰在［60,90］內(nèi)，繪成

如下頻率分布直方圖（滿分100分），下列說法正確的是（）

A.該班學(xué)生體能成績的中位數(shù)是75分

B.該班占40%的同學(xué)體能成績達(dá)到優(yōu)秀(80分及以上為優(yōu)秀)

C.該班學(xué)生體能成績的平均數(shù)是77分

D.該班學(xué)生體能成績的眾數(shù)是78分

【答案】C

【分析】根據(jù)公式，根據(jù)頻率分布直方圖，分別計算中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)等.

【詳解】A.設(shè)中位數(shù)為X,則().()1X5+0.02x5+0.04x5+(x-75)x0.06=0.5,

解得：X=77.5,故A錯誤；

B.成績在80分以上的頻率為0.05x5+0.02x5=0.35,所以應(yīng)該是35%的同學(xué)體能成績優(yōu)秀，故

B錯誤；

C.平均分為(62.5X0.01+67.5X0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5χ0.02)χ5=77,故

C正確：

D.眾數(shù)應(yīng)該是77.5,故D錯誤.

【例2】眼睛是心靈的窗戶，然而隨著網(wǎng)絡(luò)、手機(jī)、平板電腦等電子產(chǎn)品的普及，越來越多的

青少年的視力情況堪憂，因此，為了喚醒大家對視力損害的重視，每年的6月6日被定為全國

愛眼日，每年10月的第二個星期四被定為世界愛眼日.某小學(xué)為了了解在校學(xué)生的視力情況,

對所有在校學(xué)生的視力進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示，則該小學(xué)所有學(xué)生視力的中位數(shù)約

為().

頻率

,l藕

2.000....................—

1.250-...............

0.750-...................

0.625；...........

0.250^........

0.125—1——

04.04.24.44.64.85.05.2視力

A.4.50B.4.93C.5.10D.4.87

【答案】D

【分析】中位數(shù)即當(dāng)矩形框面積累計到0.5時對應(yīng)的橫坐標(biāo)的值，先算前五個小矩形的面積可

知中位數(shù)落在4.85.0之間，結(jié)合比例可求對應(yīng)中位數(shù)的值.

【詳解】由題圖可知，前5個小矩形的面積分別為0.2x0.125=0.025,0.2x0.25=0.05,

0.2×0.625=0.125,0.2×1.25=0.25,0.2x0.75=0.15,

前4個小矩形的面積之和為0.025+0.05+0.125+0.25=0.45,

前5個小矩形的面積之和為0.025+0.05+0.125+0.25+0.15=0.6,

故所求中位數(shù)為4.8+匕05晨-04竺5。4.87,

【例3】(多選題)為推動學(xué)校體育運(yùn)動發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，增強(qiáng)健康管理意識,

某校根據(jù)性別比例采用分層抽樣方法隨機(jī)抽取了120名男生和80名女生,調(diào)查并分別繪制出男、

女生每天在校平均體育活動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，則()

男生女生

A.4=0.010B.該校男生每天在校平均體育活動時間中位數(shù)的

估計值為75

C.估計該校至少有一半學(xué)生每天在校平均體育活動時間超過一小時D.估計該校每天在校平

均體育活動時間不低于80分鐘的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為3:1

【答案】AC

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，求出樣本的數(shù)字特征，根據(jù)樣本數(shù)字特征即可估計總體數(shù)字特

征.根據(jù)各小矩形面積之和等于1,即可解出。的值；中位數(shù)是小矩形面積之和累計為0.5的值；

分別求出活動時間超過一小時的男生和女生，即可判斷；分別求出活動時間不低于80分鐘的男

生和女生，即可判斷.

【詳解】A：由已知得，10“+IOXo.020+10x0.035+10x0.020+10α+10x0.005=1,解得，α=0.010；

B：α=0.010,前兩個小矩形面積之和為0.3,即中位數(shù)在［&),70)內(nèi)，設(shè)為如

則有k“2^-x60°?°35xl0+0?3=0?5，解得，"=60+490"65.7，該校男生每天在校平均體育活動時

/1)—607

間中位數(shù)的估計值為65.7；

C：根據(jù)頻率分布直方圖可得，男生中每天在校平均體育活動時間超過一小時的頻率為

10×(0.035+0.020+0.010+0.005)=0.700,人數(shù)為120x0.7=84；女生中每天在校平均體育活動時間

超過一小時的頻率為IOX(0.030+0.010+0.005)=0.450,人數(shù)為80x0.450=36.則可得，學(xué)生每天

在校平均體育活動時間超過一小時的頻率為掾4=0.6,所以該校至少有一半學(xué)生每天在校

12()+oθ

平均體育活動時間超過一小時;

D：根據(jù)頻率分布直方圖可得，男生中每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘的頻率為

10×(0.010+0.∞5)=0.15,人數(shù)為120x0.15=18；女生中每天在校平均體育活動時間不低于80分

鐘的頻率為IOXo.005=0.050,人數(shù)為80x0.050=4,所以每天在校平均體育活動時間不低于80

分鐘的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為18?=91,所以該校每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘

的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為9:2.

【例4】某企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：

[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100],得到如下頻率分布直方圖.

,頻率

組距

m................

0.025........................................

0.015..........................

0.010一…一

0.005-----------------------------------

5060708090志質(zhì)量啟標(biāo)值

(1)求出直方圖中機(jī)的值：

⑵在樣本中，有50%的個體小于或者等于中位數(shù)，同時也有50%的個體大于或者等于中位數(shù),

所以在頻率分布直方圖中，在中位數(shù)的左邊和右邊直方圖的面積相等.請利用樣本估計總體的

思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)(精確到0.01).

【答案】(1)0.030

(2)73.33

【分析】(1)用所有的矩形面積之和為1,求得，〃的值；

(2)先估計中位數(shù)n落在[70.80]內(nèi)，用"左邊的面積為0.5求出〃值.

【詳解】(1)?10(0.010+0.015×2+∕n+0.025+0.(X)5)=l,解得Tn=O.030,

所以直方圖中m的值為0.030

(2)因為0.1+0.15+0.15=0.4<0.5,0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5,所以中位數(shù)在第4組，

220

設(shè)中位數(shù)為“，則0.1+0.15+0.15+0.03("-70)=0.5,解得W=亍=73.33,

所以估計該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為73.33.

【例5]從某校參加數(shù)學(xué)競賽的試卷中抽取一個樣本，考查競賽的成績分布，將樣本分成6組，

得到頻率分布直方圖如圖所示，從左到右各小組的小長方形的高的比為1:1:3:5:4:2,最右邊

的一組的頻數(shù)是8.

(2)估計參加這次數(shù)學(xué)競賽成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

【答案】(I)N=64,

(2)眾數(shù)為75、中位數(shù)為76、平均數(shù)為75

【分析】(1)利用頻率分布直方圖中的相關(guān)公式即可求解；

(2)利用頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的特點(diǎn)即可求解.

【詳解】(1)；從左到右各小組的小長方形的高的比為1:1:3:5:4:2

從左到右各小組的小長方形的面積的比為1:1:3:5:4:2

???從左到右各小組的小長方形的面積的分別為;?1,1J，3白，5j4j2弓

16Io161616Io

QO5]]

,**—=—1?*?N=64，a=—X—=—

N16161032

(2)設(shè)中位數(shù)為%,平均數(shù)為工

113V5_3

?10(2161616J165’

.".XQ=76

-113542

,.?χ=45×-+55×-+65×-+75×-+÷85×-+95×-=75,

161616161616

???估計參加這次數(shù)學(xué)競賽成績的眾數(shù)為75、中位數(shù)為76、平均數(shù)為75.

【題型專練】

1.某次考試后，甲、乙兩班的數(shù)學(xué)老師分別統(tǒng)計了各自班級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(百分制，均位于

[40,100]內(nèi)),并將所得數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分

組得到如圖所示的頻率分布直方圖.在兩個班級參考人數(shù)相等的前提下，下列說法正確的是()

A.乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)的估計值高于甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)的估計值（同一組中

的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）

B.乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的最高分高于甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的最高分

C.甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格（60分以下）的人數(shù)多于乙班

D.甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)的估計值小于乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)的估計值

【答案】C

【分析】由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)對選項逐一判斷，

【詳解】對于A,甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)估計值

xl=45×0.02+55×0.16+65×0.22÷75×0.3+85×0.2+95×0.1=73,

乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)估計值

E=45x0.06+55x0.1+65x0.3+75x0.22+85x0.16+95x0.16=73,

則兩班平均數(shù)的估計值相等，故A錯誤，

對于B,由頻率分布直方圖無法得最高分，故B錯誤，

對于C,甲班數(shù)學(xué)成績不及格人數(shù)的頻率為0.02+0.16=0.18,乙班數(shù)學(xué)成績不及格人數(shù)的頻率

為0.06+0.1=0.16,兩個班級參考人數(shù)相等，故C正確，

對于D,甲班成績在［40,70）的頻率為0.02+0.16+0.22=0.4,在［40,80）的頻率為0.7,則中位

數(shù)的估計值在［70,80）間，%,=70+害二"XlO=§=73.3,

同理得乙班成績的中位數(shù)的估計值X,=70+×10=^≈71.8,

0.68-0.4611

司＞占，故D錯誤，

2.已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為（）

［編號niH?

0.（MClp?

0.030Lf-I

0.01S

0.010

0.005

500070M)90IOOIkM

A.64B.65C.64.5D.66

【答案】B

【分析】首先判斷中位數(shù)位于［60,70)之間，設(shè)中位數(shù)為X,依題意可得

0.03×10+(x-60)×0.()4=0.5,解得即可.

【詳解】解：因為(0.03+0.04)X10=0.7>0.5,所以中位數(shù)位于［60,70)之間，

設(shè)中位數(shù)為X,則0.03χl0+(x-60)χ0.(M=O.5,解得x=65,

即中位數(shù)為65.

故選：B

3.統(tǒng)計局就某地居民的月收入情況調(diào)查了IOoOO人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本頻率分布直方圖,

每個分組包括左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)，如第一組表示收入在［500,1000)元之間.

⑴求”的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù).

【答案】⑴α=0.0∞5;

(2)眾數(shù)：1750和2250：中位數(shù)：1900：平均數(shù)：1950.

【分析】(1)由頻率分布直方圖中所有頻率和為1可得“值；

(2)由各組數(shù)據(jù)的頻率和中點(diǎn)值估計眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù).

【詳解】(I)由頻率分布直方圖(QooO2+0.0004+24+0.0003+0.0001)x500=1,

α=0.0005；

(2)由于區(qū)間［1500,2000)和［2000,2500)的頻率相等且最高，因此眾數(shù)是1750和2250；

前3個區(qū)間的頻率和為(0.0002+0.0004+0.0∞5)χ500=0.55>0.5,前2個區(qū)間的頻率和為

(0.0002+0.0004)X500=0.3,

所以中位數(shù)在區(qū)間［1500,2(MX))上，設(shè)中位數(shù)為X,則三整=淺言京，解得x=1900:

5000.0005×500

平均值為

(750×0.0∞2+1250×0.0004+1750×0.0005+2250×0.0∞5+2750X0.0003+3250×0.0∞1)×500

=1950.

4.第19屆亞運(yùn)會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會成功舉辦的重要保

障.某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了IOO名候選者的面試成績，并分成五

組：第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95),繪制成

如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相

(2)計算本次面試成績的眾數(shù)和平均成績；

(3)根據(jù)組委會要求，本次志愿者選拔錄取率為19%,請估算被錄取至少需要多少分.

【答案】⑴。=0?005∕=0.025；

(2)眾數(shù)為70,平均成績?yōu)?9.5分：

(3)78分.

【分析】(1)先算出第五組頻率，可得后由前兩組頻率和為0.3可得尻

(2)由眾數(shù)，平均數(shù)計算公式可得答案.

(3)中位數(shù)對應(yīng)錄取率為50%,本題即是求頻率0.81所對應(yīng)分?jǐn)?shù).

【詳解】(1)由題圖可知組距為10.

第三組，第四組頻率之和為(0.045+0.020)x10=0.65,又后三組頻率和為0.7,

則第五組頻率為0.05,第一組頻率也為0.05,故第二組頻率為0.25.

得α=0.005,6=0.025.

(2)由題圖