2021-2022學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共有8小題。每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項符合題目要求：

1.（5分）在一次高臺跳水運(yùn)動中，某運(yùn)動員在運(yùn)動過程中的中心相對于水面的高度〃（單

位：m）與起跳后的時間，（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系⑺=-4.9r2+4.8z+lL則運(yùn)動員

在f=Is時瞬時速度為（）

A.SmlsB.-lθ.9m∕sC.↑0.9m∕sD.Tmls

2.（5分）3名同學(xué)報名參加足球隊、籃球隊，每名同學(xué)限報其中的一個運(yùn)動隊，則不同的

報名方法的種數(shù)是（）

A.8B.6C.5D.9

3.（5分）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為「（X=O）=0.2,P（X=I）=0.6,P（X=2）

=0.2,則E（2X-3）=（）

A.2B.1C.-1D.-2

4.（5分）在10件產(chǎn)品中，有8件合格品，2件次品，從這10件中任意抽出3件，抽出的

3件中恰有1件是次品，則不同抽法的種數(shù)是（）

A.56B.28C.120D.16

5.（5分）己知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=/（x）的圖象

如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）

XO123

P0.20.30.4a

則下列計算結(jié)果正確的是()

A.α=0.2B.P(X22)=0.7C.E(X)=1.4D.D(X)=6.3

7.(5分)小明上學(xué)有時做公交車，有時騎自行車，他記錄多次數(shù)據(jù)，分析得到：坐公交車

平均用時30加〃，樣本方差為36；騎自行車平均用時24加"，樣本方差為4,假設(shè)做公交

車用時X-N(30,62),騎自行車用時Y-N(34,22),貝IJ()

A.P(X≤38)>P(r≤38)

B.P(X≤34)>P(F≤34)

C.如果有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇坐公交車

D.如果有34分鐘可用，小明應(yīng)選擇自行車

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=ex+,-In(x+M,X=-1為/(x)的極值點，貝IJ()

A.f(X)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)上單調(diào)遞增

B./(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,+8)上單調(diào)遞減

C./(X)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,+8)上單調(diào)遞減

D./(x)在(-2,-I)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)上單調(diào)遞增

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對5分，部分選對得2分，有錯項不得分)

(多選)9.(5分)下列有關(guān)一元線性回歸方程模型的結(jié)論中，正確的有()

A.在經(jīng)驗回歸方程丫=-0.4%+3中，當(dāng)解釋變量X每增加1個單位時，相應(yīng)變量y增加

0.4個單位

B.若樣本相關(guān)系數(shù)「的絕對值越接近于1,則車隊樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

C.若決定系數(shù)爐的值越接近于0,則表示回歸模型的擬合效果越好

D.在回歸模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好

（多選）10.（5分）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（)

A.若/（x）=sin（2Λ-1）,則/（?）=2cos（2χ-l）

B.若f（x）=∕°?°5χ÷l,則/（%）=∕0?05χ+l

c.若"X）=奈則r（%）=皆

D.若/（X）=xlnx,f（x）=Inx+]

（多選）11.（5分）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算術(shù)》就給出了著名的

楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.結(jié)合圖形，以下

關(guān)于楊輝三角的敘述正確的是（）

A.第9行中從左到右第6個數(shù)是126

B.+C；_i=

C.Cn+Cn+?..+Cn=2n

D.廢+或+C∣+...+C?=330

（多選）12.（5分）已知函數(shù)f（x）=-（x+l）/下列說法正確的是（）

A.7（x）在（-8,-2）上單調(diào)遞減，在（-2,+∞）上單調(diào)遞增

B.f（x）在R上僅有一個零點

C.若關(guān)于X的方程f（x）=a（?eR）有兩個實數(shù)解，則α<∕2

D./（?）在R上有最大值/2,無最小值

三、填空題，本題共4小題，每小題5分，共20分

13.（5分）假如女兒的身高y（單位：cTH）關(guān)于父親身高X（單位：cm）的經(jīng)驗回歸方程是

y=0.8%+25,已知父親身高為175a”，估計女兒的身高為cm.

14.（5分）由0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是.

15.（5分）現(xiàn)有8道四選一的單選題，小明同學(xué)對其中6道題有思路，2道題完全沒有思路，

有思路的題做對的概率為0.9,沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率只有

0.25,小明同學(xué)從這8道題這隨機(jī)選擇1題，則小明做對該題的概率為.

16.（5分）盒子中有4張面值為100元的獎券，3張面值10元的獎券，2張面值為5元的

獎券，預(yù)從中任取兩張，記去取出的面值100元的獎券數(shù)為X,則P（X=2）

=,E（X）=.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）已知二項式G+2x）τι（n6N*）的展開式，,給出下列條件：

①第二項與第三項的二項式系數(shù)紙幣是1：4；

②所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為256；

③展開式中第4項的常數(shù)項.

試在上面三個條件中選擇一個補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成下列問題：

（1）求展開式中/3的系數(shù)；

（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項.

18.（12分）某企業(yè)2017年至2021年年銷售量收益y（單位：百萬元）與廣告投入χ（單

位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份20172018201920202021

廣告投入X12345

年銷售收益），23367

表中的數(shù)據(jù)顯示，可用一元線性回歸模型建議X與y之間的經(jīng)驗回歸方程.

（1）求年銷售收益y關(guān)于廣告投入X的經(jīng)驗回歸方程；

（2）求決定系數(shù)W的值.

參考公式：經(jīng)驗回歸方程y=bx+α中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

Σkι(y「y)2

?∑rL1(χi-χ)(y,-y)

2,a=y—bχ92

∑?1(xi-x)∑ILι(y-y)

19?（12分）為「有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素師范對

本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，位次在全校隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中男生

有27人，堅持鍛煉的男生有18人，經(jīng)常鍛煉的女生有8人.

（1）請根據(jù)題意完成下面的2X2列聯(lián)表；

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計

男生

女生

合計

(2)根據(jù)(1)中的2X2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為性別

因素為本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響？

附:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2

參考公式?Y2=-----九(Qd-加)-------

々受5X(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)?

1

20.(12分)設(shè)x>0,/(x)=bιx,g(x)=l-右

(1)求證：直線y=χ-1與曲線y=∕(x)相切；

(2)判斷/(x)與g(X)的大小關(guān)系，并加以證明.

21.甲乙兩名同學(xué)進(jìn)行中國象棋比賽，每局比賽甲獲勝的概率是1,乙獲勝的概率是土規(guī)

定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記。分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束.

(1)求比賽結(jié)束時，恰好進(jìn)行4局的概率；

(2)若家以2：1領(lǐng)先乙時，記X表示比賽結(jié)束是還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及

數(shù)學(xué)期望.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=0r3+?x2+cx+J(a≠0).

(1)當(dāng)x=2時，/(x)取得極小值-10；當(dāng)X=-2時，/(x)取得極大值22,求a+h+c-^d

的值；

(2)討論/(x)的單調(diào)性.

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共有8小題。每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項符合題目要求：

1.（5分）在一次高臺跳水運(yùn)動中，某運(yùn)動員在運(yùn)動過程中的中心相對于水面的高度〃（單

位：m）與起跳后的時間f（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系∕z（f）--4.9r2+4.8f+ll,則運(yùn)動員

在f=Is時瞬時速度為（）

A.5m∕sB.-↑0.9m∕sC.10.9∕n?D.-5mls

【解答】解:-；h（Z）=-4.9?+4.8z+ll,

：.h'（Z）=-9.8/+4.8,

則運(yùn)動員在f=ls時瞬時速度為-9.8+4.8=-5（〃?/s）,

故選：D.

2.（5分）3名同學(xué)報名參加足球隊、籃球隊，每名同學(xué)限報其中的一個運(yùn)動隊，則不同的

報名方法的種數(shù)是（）

A.8B.6C.5D.9

【解答】解：每一名同學(xué)有2種選法，則不同的報名方法的種數(shù)是23=8,

故選:A.

3.（5分）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為「（X=O）=0.2,P（X=I）=0.6,P（X=2）

=0.2,則E（2X-3）=（）

A.2B.1C.-1D.-2

【解答】解：由題意可得，E（X）=OXo.2+lX0.6+2X0.2=l,

則E（2X-3）=2E（X）-3=2×1-3=-1.

故選：C.

4.（5分）在10件產(chǎn)品中，有8件合格品，2件次品，從這10件中任意抽出3件，抽出的

3件中恰有1件是次品，則不同抽法的種數(shù)是（）

A.56B.28C.120D.16

【解答】解：從2件次品中抽出1件次品的抽法有G種，從8件合格品中抽出2件合格

品的抽法有或，

故共有6或=56（種）.

故選：A.

5.(5分)已知函數(shù)y=∕(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象

如圖所示，則該函數(shù)的圖象是()

【解答】解：由導(dǎo)數(shù)的圖象可得，導(dǎo)函數(shù)(x)的值在Ll,0］上的逐漸增大,

故函數(shù)f(x)在LI,0］上增長速度逐漸變大，故函數(shù)/(x)的圖象是下凹型的.

導(dǎo)函數(shù)/(X)的值在［0,1］上的逐漸減小，

故函數(shù)/(x)在［0,1］上增長速度逐漸變小，圖象是上凸型的，

故選:B.

6.(5分)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表(其中α為常數(shù))

X0123

P0.20.30.4a

則下列計算結(jié)果正確的是()

A.a=0.2B.P(X22)=0.7C.E(X)=1.4D.D(X)=6.3

【解答】解：由分布列的性質(zhì)可得，0?2+0.3+0.4+α=l,解得“=0.1,故A錯誤，

P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=04+0.1=0.5,故B錯誤，

E(X)≈0×0.5+1×0.3+2×0.4+3×0.1=1.4,故C正確，

D(X)=(0-1.4)2×0.2+(1-1.4)2X0.3+(2-1.4)2X0.4+(3-1.4)2×0.1=0.84,

故。錯誤?

故選：C.

7.(5分)小明上學(xué)有時做公交車，有時騎自行車，他記錄多次數(shù)據(jù)，分析得到：坐公交車

平均用時30疝〃，樣本方差為36；騎自行車平均用時24加〃，樣本方差為4,假設(shè)做公交

車用時X-N(30,62),騎自行車用時V-N(34,22),則()

A.P(X≤38)>P(y≤38)

B.P(X≤34)>P(r≤34)

C.如果有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇坐公交車

D.如果有34分鐘可用，小明應(yīng)選擇自行車

【解答】解：因為X?N(30,62),Y?N(34,22).

X-30Y-34

將X,丫化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則------N(0,1),---------N(0,1).

62

38—3038—34

因為------<-------,所以P(XW38)<P(XW38),故A錯誤.

62

11

又P(X≤34)>∣,P(K≤34)=*,故B正確.

因為P(XW38)<P(YW38),所以如果有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇自行車，故C錯

誤.

因為P(X≤34)>P(K≤34),所以如果有34分鐘可用，小明應(yīng)選擇坐公交車，故D

錯誤.

故選：B.

8.(5分)已知函數(shù)f(x)=er+1-In(x+∕n),x=-I為/(x)的極值點，則()

A.f(x)在(-8,-|)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增

B./(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,+8)上單調(diào)遞減

C.7(x)在(-8,-D上單調(diào)遞增，在(-1,+∞)上單調(diào)遞減

D.7(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)上單調(diào)遞增

【解答】解：因為/(x)-ex+^-InCx+m),

所以/(X)=,∣-島Q

因為X=-I為/(x)的極值點，所以/(-1)=e°-二白石=0,解得〃2=2,

所以f(X)=ev+∣-/〃(x+2),f(X)-ex+^----??>定義域為(-2,+°o)>

又函數(shù)y=ev+∣和函數(shù)y=-占在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，所以/(x)在(-2,+∞)上

單調(diào)遞增，

因為/(-1)=0,

所以當(dāng)-2Vχ<-1時，/(x)V0,即f(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>-1時，/(X)>0,即/(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增.

故選：D.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對5分，部分選對得2分，有錯項不得分)

(多選)9.(5分)下列有關(guān)一元線性回歸方程模型的結(jié)論中，正確的有()

A.在經(jīng)驗回歸方程丫=-0.4乂+3中，當(dāng)解釋變量尤每增加1個單位時，相應(yīng)變量y增加

0.4個單位

B.若樣本相關(guān)系數(shù)「的絕對值越接近于1,則車隊樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

C.若決定系數(shù)解的值越接近于0,則表示回歸模型的擬合效果越好

D.在回歸模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好

【解答】解：對于A,在經(jīng)驗回歸方程y=-0.4x+3中，當(dāng)解釋變量X每增加1個單位

時，相應(yīng)變量y減小0?4個單位，故A錯誤，

對于B,樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,則車隊樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故

8正確，

對于C,決定系數(shù)R2的值越接近于1,則表示回歸模型的擬合效果越好，故C錯誤，

對于力，在回歸模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好，故。正確.

故選：BD.

(多選)10.(5分)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.若/(x)=Sin(2x-1),則/(x)=2cos(2Λ-1)

B.若［(x)=^^005a^+i,則/(x)=∕°05χ+i

C.若f(%)=奈則，(X)=皆

D.若/(X)=XbVc,f(x)=∕zιr+l

【解答】解：A,V/(x)=Sin(2x-1),則，(X)=2cos(2χ-l),正確，

B9V/(x)=∕°?°5叫則/(?)=-0.05e°?°5χ+ι,.?.5錯誤,

C,?.?∕(x)=?,則F(X)=幺器=g,.?.c錯誤，

D,''f(x)=xlnx,則，(X)=lnx+?,，。正確，

故選：AD.

(多選)11.(5分)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算術(shù)》就給出了著名的

楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.結(jié)合圖形，以下

關(guān)于楊輝三角的敘述正確的是()

A.第9行中從左到右第6個數(shù)是126

B.C仁；+C∏-ι=Cn

C.喋+鬣+...+俏=2"

D.e?+e?+e?+...+Cjo=330

【解答】解：對于4,第9行中從左到右第6個數(shù)是瑤=56,故A不正確；

對于8,CE+CJ=湍哉j+鬲方=品看=G故B正確;

對于C,由二項式系數(shù)的性質(zhì)知篇+&+鬣+…+嘲=2",故C錯誤；

對于D,C1+Cl+Cl+...+Cf0=《+盤+C升…+Cf0=e?=330,故D正確.

故選：BD.

(多選)12.(5分)已知函數(shù)f(x)=-(x+l)/下列說法正確的是()

A.f(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,+∞)上單調(diào)遞增

B.f(x)在R上僅有一個零點

C.若關(guān)于X的方程/(x)=a(aGR)有兩個實數(shù)解，則a<—2

D.f(x)在R上有最大值-2,無最小值

【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，(%)=-(X+1)ex=-(X+2)ex,

由f(X)=0得，X=-2,

由，(x)>0得xV-2,此時函數(shù)為增函數(shù)，

由/(%)<0得x>-2,此時函數(shù)為減函數(shù)，故A錯誤，

即當(dāng)X=-2時,函數(shù)/(x)取得極大值/(-2)=屋2,

當(dāng)XV-I時，f(x)>0恒成立，當(dāng)x>-1時，/(x)<0恒成立，

即/(x)在R上僅有一個零點X=-I,故B正確，

若關(guān)于X的方程/(x)=α(Λ∈R)有兩個實數(shù)解，則0Vα<∕2,故C錯誤,

則/(x)在R上有最大值-2,無最小值，故。正確，

三、填空題，本題共4小題，每小題5分，共20分

13.(5分)假如女兒的身高y(單位：c∕n)關(guān)于父親身高X(單位：Cfn)的經(jīng)驗回歸方程是

y=0.8x+25,已知父親身高為175cm,估計女兒的身高為165cm.

【解答】解：女兒的身高y(單位：cm)關(guān)于父親身高X(單位：“〃)的經(jīng)驗回歸方程是

y=0.8x+25,

則當(dāng)X=I75時，y=0.8×175+25=165.

故答案為：165.

14.(5分)由0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是48.

【解答】解：由0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，

則共有盤心=48個，

故答案為：48.

15.(5分)現(xiàn)有8道四選一的單選題，小明同學(xué)對其中6道題有思路，2道題完全沒有思路，

有思路的題做對的概率為0.9,沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率只有

0.25,小明同學(xué)從這8道題這隨機(jī)選擇1題，則小明做對該題的概率為0.7375.

【解答】解：設(shè)事件A表示“考生答對”，事件8表示“考生選到有思路的題”.

則該考生從這8道題中隨機(jī)選1題，則他答對該題的概率為：

P(A)=P(B)P(AIB)+P(F)P(A∣B).

=0.75X0.9+0.25X0.25

=0.7375.

故答案為：0.7375.

16.(5分)盒子中有4張面值為100元的獎券，3張面值10元的獎券，2張面值為5元的

獎券，預(yù)從中任取兩張，記去取出的面值100元的獎券數(shù)為X,則P(X=2)=-

-6-

8

E(X)=-.

-9-

【解答】解：由題意可得，X所有可能取值為0,1,2,

P(X=O)=,盜,P(X=I)=等其,p(x=2)=q=:,

C96

故E(X)=0×1+l×^+2×^=^.

18

故答案為：--

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知二項式G+2x)7l(n6N*)的展開式，,給出下列條件:

①第二項與第三項的二項式系數(shù)紙幣是1：4；

②所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為256；

③展開式中第4項的常數(shù)項.

試在上面三個條件中選擇一個補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成下列問題:

(1)求展開式中/3的系數(shù)；

(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.

Cl?

【解答】解：選擇①：由題意可得言=：,解得〃=；

c9

n4

選擇②：由題意可得2"∣=256,解得〃=9；

-19—nQ-Zi

選擇③：展開式的第4項為74=C≡(?n-3(2x)3=8髭-萬工為常數(shù)項，則F-=0,解

V?幺

得〃=9,

1?13r—9

（1）則二項式為（歪+2%）?展開式的通項公式為Tr+1=Cg（^=）9-r（2x）r=Cg?2rX2,

r=0,1,…，9,

3r—Q

令-2一=一3,解得r=l,所以/3的系數(shù)為盤.2=18；

33

（2）因為n=9,所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為75=Cl-2。2=2016χ2,T6=C^-

25x3=4032xs.

18.（12分）某企業(yè)2017年至2021年年銷售量收益y（單位：百萬元）與廣告投入x（單

位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表:

年份20172018201920202021

廣告投入X12345

年銷售收益y23367

表中的數(shù)據(jù)顯示，可用一元線性回歸模型建議X與y之間的經(jīng)驗回歸方程.

（1）求年銷售收益y關(guān)于廣告投入X的經(jīng)驗回歸方程；

（2）求決定系數(shù)d的值.

參考公式：經(jīng)驗回歸方程y^bx+α中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

∑以1(%-y)2

獷），R22

珞1(yi-y)

1+2+3+4+5?—2+3+3+6+7.C

【解答】解：（1）由題意可得：%=--------5--------=3,y=--------F--------=4.2

NMi(X；-x)(yi-y)=(1-3)(2-4.2)+(2-3)(3-4.2)+(3-3)(3-4.2)+(4

-3)(6-4.2)+(5-3)(7-4.2)=13,

EMl(Xi-元A=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,

所以b=W軍5=L3,α=i=°3

所以回歸方程為y=1.3x+O.3；

(2)由(1)得:%=1.6,為=2.9,乃=4.2,%=5.5,%=6.8,

∑乙(y；-y)2=(2-1.6)2+(3-2.9)2+(3-4.2)2+(6-5.5)2+(7-6.8)2=1.9,

∑L(yι-y)2=<2-4.2)2+(3-4.2)2+(3-4.2)2+(6-4.2)2+(7-4.2)2=18.8,

?R2_[?=I(%-y)71?9_169

??R~1∑之ι(%——T18^^188?

19.(12分)為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素師范對

本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，位次在全校隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中男生

有27人，堅持鍛煉的男生有18人，經(jīng)常鍛煉的女生有8人.

(1)請根據(jù)題意完成下面的2X2列聯(lián)表；

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計

男生

女生

合計

(2)根據(jù)(1)中的2X2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為性別

因素為本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響？

附：

α0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2

參考公式?/=_____Mad-be)______

々有z,A,.X(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)?

【解答】解：(1)根據(jù)題意完成下面的2X2列聯(lián)表；

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計

男生18927

女生81523

合計262450

2

(2)根據(jù)2義2列聯(lián)表，計算χ2=5≈5.059>3.841,

喘Z/裳XZa泮XZθ［X萼Z4？?

依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗知,能認(rèn)為性別因素為本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有

影響.

1

20.(12分)設(shè)x>0,f(?)=Inx,g(x)=1—

(1)求證：直線y=x-1與曲線y=/(%)相切；

(2)判斷/(x)與g(x)的大小關(guān)系，并加以證明.

【解答】(1)證明：因為直線y=χ-1過點(1,0),/(x)=/加過點(1,0),

設(shè)過點(1,0)與/(x)=/心相切的直線為y=H+A,

因為f'(*)=],

設(shè)切點為：(xo,Inxo),

所以切線方程為y-hr”=3(x-Xo),代入(1,0),得XO=1,

xO

所以切線方程為y=ι-1,

即y=x-1與曲線y=/(x)相切；

(2)f(X)2g(X).

證明：令力(%)=f(x)—g(%)=Inx+?—l(x>0),

所以％z(χ)=?-?=

所以當(dāng)x∈(0,1)時，h,(X)<0,h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)％∈(1,+o°)時，〃(κ)>0,

h(x)單調(diào)遞增；

所以(X)tnin=h(1)=0,即〃(X)20,

所以/(x)-gQX)≥0,即有f(x)2g(x),得證.

21.甲乙兩名同學(xué)進(jìn)行中國象棋比賽，每局比賽甲獲勝的概率是馬乙獲勝的概率是》規(guī)

33

定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記O分，先得3分者獲勝，