BlackScholes期權(quán)定價模型

Black-Scholes期權(quán)定價模型2024/3/51Black-Scholes期權(quán)定價模型的根本思路期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價格波動的來源就是標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化，期權(quán)價格受到標(biāo)的資產(chǎn)價格的影響。標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化過程是一個隨機(jī)過程。因此，期權(quán)價格變化也是一個相應(yīng)的隨機(jī)過程。金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價格的變化可以用Ito過程來描述。而數(shù)學(xué)家Ito發(fā)現(xiàn)的Ito引理可以從股票價格的Ito過程推導(dǎo)出衍生證券價格所遵循的隨機(jī)過程。在股票價格遵循的隨機(jī)過程和衍生證券價格遵循的隨機(jī)過程中，Black-Scholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的組合，可以消除這個不確定性，從而使整個組合只獲得無風(fēng)險利率。從而得到一個重要的方程：Black-Scholes微分方程。求解這一方程，就得到了期權(quán)價格的解析解。2024/3/52為什么要研究證券價格所遵循的隨機(jī)過程?期權(quán)是衍生工具，使用的是相對定價法，即相對于證券價格的價格，因此要為期權(quán)定價首先必須研究證券價格。期權(quán)的價值正是來源于簽訂合約時，未來標(biāo)的資產(chǎn)價格與合約執(zhí)行價格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價格總是隨機(jī)變化的。需要了解其所遵循的隨機(jī)過程。研究變量運(yùn)動的隨機(jī)過程，可以幫助我們了解在特定時刻，變量取值的概率分布情況。2024/3/53隨機(jī)過程隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。隨機(jī)過程的分類離散時間、離散變量離散時間、連續(xù)變量連續(xù)時間、離散變量連續(xù)時間、連續(xù)變量2024/3/54幾種隨機(jī)過程標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動〔維納過程〕起源于物理學(xué)中對完全浸沒于液體或氣體中，處于大量微小分子撞擊下的的小粒子運(yùn)動的描述。設(shè)Δt代表一個小的時間間隔長度，Δz代表變量z在Δt時間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的Δz具有兩種特征：特征1：其中，ε代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布〔即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布〕中取的一個隨機(jī)值。特征2：對于任何兩個不同時間間隔Δt，Δz的值相互獨(dú)立。特征的理解特征1：特征2:馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。2024/3/55標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動〔續(xù)〕考察變量z在一段較長時間T中的變化情形：z〔T〕－z(0)表示變量z在T中的變化量又可被看作是在N個長度為Δt的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/Δt。很顯然，這是n個相互獨(dú)立的正態(tài)分布的和：因此，z〔T〕-z〔0〕也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為NΔt=T，標(biāo)準(zhǔn)差為 。為何定義為：當(dāng)我們需要考察任意時間長度間隔中的變量變化的情況時，獨(dú)立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時間長度成比例，不受時間劃分方法的影響。相應(yīng)的一個結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)檫B續(xù)時間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動：當(dāng)Δt0時，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動2024/3/56普通布朗運(yùn)動變量x遵循普通布朗運(yùn)動：其中，a和b均為常數(shù)，z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。這里的a為漂移率〔DriftRate〕，是指單位時間內(nèi)變量x均值的變化值。這里的b2為方差率〔VarianceRate〕，是指單位時間的方差。這個過程指出變量x關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程。其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機(jī)項，它說明對x的動態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的?？梢园l(fā)現(xiàn)，任意時間長度后，x值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為,方差為b2T.2024/3/57Ito過程和Ito引理伊藤過程〔ItoProcess〕：普通布朗運(yùn)動假定漂移率和方差率為常數(shù)，假設(shè)把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，我們就得到 其中，z遵循一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2都隨時間變化。這就是伊藤過程。Ito引理假設(shè)變量x遵循伊藤過程，那么變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

其中，z遵循一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。由于a和b都是x和t的函數(shù)，因此函數(shù)G也遵循伊藤過程，它的漂移率為方差率為2024/3/58證券價格的變化過程目的：找到一個適宜的隨機(jī)過程表達(dá)式，來盡量準(zhǔn)確地描述證券價格的變動過程，同時盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡單性。根本假設(shè)：證券價格所遵循的隨機(jī)過程：其中，S表示證券價格，μ表示證券在單位時間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率〔又稱預(yù)期收益率〕，σ2表示證券收益率單位時間的方差，σ表示證券收益率單位時間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱證券價格的波動率〔Volatility〕，z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。一般μ和σ的單位都是年。很顯然，這是一個漂移率為μS、方差率為σ2S2的伊藤過程。也被稱為幾何布朗運(yùn)動2024/3/59為什么證券價格可以用幾何布朗運(yùn)動表示？一般認(rèn)同的“弱式效率市場假說〞：證券價格的變動歷史不包含任何對預(yù)測證券價格未來變動有用的信息。馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。幾何布朗運(yùn)動的隨機(jī)項來源于維納過程dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式假說。投資者感興趣的不是股票價格S，而是獨(dú)立于價格的收益率。投資者不是期望股票價格以一定的絕對價格增長，而是期望股票價格以一定的增長率在增長。因此需要用百分比收益率代替絕對的股票價格。幾何布朗運(yùn)動最終隱含的是：股票價格的連續(xù)復(fù)利收益率〔而不是百分比收益率〕為正態(tài)分布；股票價格為對數(shù)正態(tài)分布。這比較符合現(xiàn)實(shí)。2024/3/510百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率百分比收益率：連續(xù)復(fù)利收益率:百分比收益率的缺陷與連續(xù)復(fù)利收益率的優(yōu)點(diǎn)：有限責(zé)任原那么：金融學(xué)中常常存在對實(shí)際收益率〔近似〕服從正態(tài)分布的隱含假定，但是在有限責(zé)任〔投資者頂多賠償全部的投資，不會損失更多〕原那么下，百分比收益率只在－1和＋∞之間變化，不符合正態(tài)分布假定。對數(shù)收益率〔－∞，＋∞〕：更適合于建立正態(tài)分布的金融資產(chǎn)行為模型。多期收益率問題：即使假設(shè)單期的百分比收益率服從正態(tài)分布，多期的百分比收益率是單期百分比收益率的乘積，n個正態(tài)分布變量的乘積并非正態(tài)分布變量。從而產(chǎn)生悖論。多期的對數(shù)收益率是單期的對數(shù)收益率之和，仍然服從正態(tài)分布。交叉匯率問題：如果用百分比表示，例如美元對日元匯率變化收益率、日元對美元匯率變化收益率，兩者絕對值不會相等；而且其中一個服從正態(tài)分布，另一個就無法服從正態(tài)分布；交叉匯率的收益率難以直接計算。如果用對數(shù)收益率表示，兩個相互的匯率收益率絕對值正好相等而符號相反；可以滿足同時服從正態(tài)分布的假設(shè)；交叉匯率收益率可以直接相加計算。連續(xù)復(fù)利收益率的問題：盡管時間序列的收益率加總可以很容易的實(shí)現(xiàn)；但是橫截面的收益率加總那么不是單個資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因為對數(shù)之和不是和的對數(shù)。但是在很短時間內(nèi)幾乎可以認(rèn)為是近似。JP摩根銀行的RiskMetrics方法就假定組合的收益率是單個資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的加權(quán)平均。2024/3/511幾何布朗運(yùn)動的深入分析在很短的時間Δt后，證券價格比率的變化值為：可見，在短時間內(nèi)，具有正態(tài)分布特征其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。2024/3/512幾何布朗運(yùn)動的深入分析〔2〕但是，在一個較長的時間T后，不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)：多期收益率的乘積問題因此，盡管σ是短期內(nèi)股票價格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是在任意時間長度T后，這個收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是。股票價格的年波動率并不是一年內(nèi)股票價格百分比收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差。2024/3/513幾何布朗運(yùn)動的深入分析〔3〕如果股票價格服從幾何布朗運(yùn)動，那么可以利用Ito引理來推導(dǎo)證券價格自然對數(shù)lnS所遵循的隨機(jī)過程：這個隨機(jī)過程的特征：普通布朗運(yùn)動：恒定的漂移率和恒定的方差率。在任意時間長度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為，方差為。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為，和時間長度平方根成正比。從自然對數(shù)lnS所遵循的這個隨機(jī)過程可以得到兩個結(jié)論:2024/3/514〔1〕幾何布朗運(yùn)動意味著股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。令t時刻G的值為lnS，T時刻G的值為lnST，其中S表示t時刻〔當(dāng)前時刻〕的證券價格，ST表示T時刻〔將來時刻〕的證券價格，那么在T－t期間G的變化為：這意味著：進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到也就是說，證券價格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，那么稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。這說明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。這正好與μ作為預(yù)期收益率的定義相符。2024/3/515〔2〕股票價格對數(shù)收益率服從正態(tài)分布由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對數(shù)收益率。因此幾何布朗運(yùn)動實(shí)際上意味著對數(shù)收益率遵循普通布朗運(yùn)動，對數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時間的平方根成比例。將t與T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為η，那么2024/3/516結(jié)論幾何布朗運(yùn)動較好地描繪了股票價格的運(yùn)動過程。2024/3/517參數(shù)的理解μ：幾何布朗運(yùn)動中的期望收益率，短時期內(nèi)的期望值。根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，μ取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險、無風(fēng)險利率水平、以及市場的風(fēng)險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此的決定本身就較復(fù)雜。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率μ是無關(guān)的。較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于，這是因為較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時間內(nèi)的收益率那么是算術(shù)平均的結(jié)果。σ：是證券價格的年波動率，又是股票價格對數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差因此一般從歷史的價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對時間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動率的估計值。一般來說，時間越近越好；時間窗口太長也不好；采用交易天數(shù)而不采用日歷天數(shù)。2024/3/518小結(jié)我們可以用幾何布朗運(yùn)動來描述股票價格的運(yùn)動：符合弱式有效、對數(shù)正態(tài)分布的市場現(xiàn)實(shí)，以及投資者對收益率而非價格的關(guān)注。根據(jù)Ito引理，可以得到衍生證券所遵循的隨機(jī)過程。股票價格遵循幾何布朗運(yùn)動，可以得到未來的某個時刻股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論2024/3/519Black-Scholes微分方程：根本思路思路：由于衍生證券價格和標(biāo)的證券價格都受同一種不確定性〔dz〕影響，假設(shè)匹配適當(dāng)?shù)脑?，這種不確定性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立起一個包括一單位衍生證券空頭和假設(shè)干單位標(biāo)的證券多頭的投資組合。假設(shè)數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利〔或虧損〕總是會與衍生證券空頭的虧損〔或盈利〕相抵消，因此在短時間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險的。那么，在無套利時機(jī)的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的收益率一定等于無風(fēng)險利率。

2024/3/520Black-Scholes微分方程：假設(shè)假設(shè)：證券價格遵循幾何布朗運(yùn)動，即μ和σ為常數(shù)；允許賣空；沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；不存在無風(fēng)險套利時機(jī)；證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率r為常數(shù)。歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán)2024/3/521股票價格和期權(quán)價格服從的隨機(jī)過程2024/3/522Black-Scholes微分方程推導(dǎo)過程根據(jù)〔1〕和〔2〕，在一個很小的時間間隔里S和f的變化值分別為為了消除，我們可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價值，那么：2024/3/523在時間后：

將代入，可得：

在沒有套利時機(jī)的條件下：從而得到：這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它事實(shí)上適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。值得強(qiáng)調(diào)的是：上述投資組合只是在極短的時間內(nèi)才是無風(fēng)險的。會不斷地發(fā)生變化。2024/3/524BS公式的一個重要結(jié)論

——風(fēng)險中性定價原理

從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價〔S〕、時間〔t〕、證券價格的波動率〔σ〕和無風(fēng)險利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀變量——風(fēng)險收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。由此我們可以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個可以大大簡化我們的工作的風(fēng)險中性假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。2024/3/525風(fēng)險中性定價原理所謂風(fēng)險中性，即無論實(shí)際風(fēng)險如何，投資者都只要求無風(fēng)險利率回報。風(fēng)險中性假設(shè)的結(jié)果：我們進(jìn)入了一個風(fēng)險中性世界所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。盡管風(fēng)險中性假定僅僅是為了求解布萊克——舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。也就是說，我們在風(fēng)險中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實(shí)世界。2024/3/526AnExample假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。假設(shè)3個月后該股票價格等于11元，那么該期權(quán)價值為0.5元；假設(shè)3個月后該股票價格等于9元，那么該期權(quán)價值為0。為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。假設(shè)3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于〔11Δ－0.5〕元；假設(shè)3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9元。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹?，?個月后該組合的價值不變，這意味著：11Δ－0.5=9Δ=0.25因此，一個無風(fēng)險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無論3個月后股票價格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。2024/3/527在沒有套利時機(jī)情況下，無風(fēng)險組合只能獲得無風(fēng)險利率。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%，那么該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：2.25e-0.1×0.25=2.19由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場價格為10元，因此：10×0.25-f＝2.19;f＝0.31這就是說，該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為0.31元，否那么就會存在無風(fēng)險套利時機(jī)。2024/3/528從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險中性世界中，無風(fēng)險利率為10%，那么股票上升的概率P可以通過下式來求：10=e-0.1×0.25×[11p+9(1-p)]P=62.66%。又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，那么股票的上升概率可以通過下式來求：10=e-0.15×0.25×[11p+9(1-p)]P=69.11%?？梢?，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于0.31元。2024/3/529前文的兩個重要結(jié)論股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布風(fēng)險中性定價原理2024/3/530black－Scholes期權(quán)定價公式金融產(chǎn)品今天的價值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)：〔3〕其中，由于風(fēng)險中性定價，E是風(fēng)險中性世界中的期望值。所有的利率都使用無風(fēng)險利率：包括期望值的貼現(xiàn)率和對數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率μ。要求解這個方程，關(guān)鍵在于到期的股票價格ST，我們知道它服從對數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應(yīng)用無風(fēng)險利率，因此，2024/3/531對式〔3〕的右邊求值是一個積分過程，求得：N〔x〕為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)〔即這個變量小于x的概率〕。這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式2024/3/532 首先，N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。 因此，這個公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。BS公式的理解2024/3/533其次，是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量〔求導(dǎo)〕，SN〔d1)就是股票的市值,-e-r(T-t)XN(d2)那么是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價值。數(shù)學(xué)等式的金融工程含義看漲期權(quán)空頭的套期保值結(jié)果2024/3/534最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)〔Asset-or-notingcalloption〕多頭和現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)〔cash-or-nothingoption〕空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)的價值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)空頭的價值。資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，那么該期權(quán)支付一個等于資產(chǎn)價格本身的金額，因此該期權(quán)的價值為e-r(T-t)STN(d1)=SN(d1)〔標(biāo)準(zhǔn)〕現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán):如果標(biāo)的資產(chǎn)價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，那么該期權(quán)支付1元，由于期權(quán)到期時價格超過執(zhí)行價格的概率為1份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為-e-r(T-t)N(d2)。2024/3/535在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此式也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價值。根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式

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由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)無法得到精確的解析公式，而只能運(yùn)用數(shù)值方法和近似方法得到。BS定價模型的根本推廣2024/3/536有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價公式根本理解：在收益情況下，我們可以把標(biāo)的證券價格分解成兩局部：期權(quán)有效期內(nèi)現(xiàn)金收益的現(xiàn)值局部和一個有風(fēng)險局部。當(dāng)期權(quán)到期時，這局部現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險局部的證券價格。σ表示風(fēng)險局部遵循隨機(jī)過程的波動率，就可直接套用前面公式分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。因此，當(dāng)標(biāo)的證券收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用〔S－I〕代替前面公式的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q〔單位為年〕時，我們只要將Se－q〔T-t〕代替前面公式中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。2024/3/537歐式股指期權(quán)、歐式外匯期權(quán)都可以看成支付連續(xù)復(fù)利紅利率的資產(chǎn)期權(quán)歐式期貨期權(quán)定價公式為：

其中：2024/3/538例1假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運(yùn)動，其波動率為10%，求6個月期協(xié)議價格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權(quán)價格。

3.05美分。外匯買賣計算的訣竅2024/3/539