2023-2024學(xué)年桂林市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)聯(lián)考試卷附答案解析

-2024學(xué)年桂林市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)聯(lián)考試卷2024.02注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．甲同學(xué)計(jì)劃分別從3份不同的語文試卷、5份不同的數(shù)學(xué)試卷中各任選1份試卷練習(xí)，則不同的選法共有（

）A．8種 B．15種 C．種 D．種2．雙曲線：的漸近線方程為（

）A． B． C． D．3．下列四對(duì)向量中，垂直的是（

）A．， B．，C．， D．，4．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．672 C． D．1445．對(duì)兩個(gè)變量的三組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下散點(diǎn)圖，關(guān)于兩個(gè)變量相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）

A． B． C． D．6．在四面體中，，則（

）A． B．C． D．7．從甲、乙等12人中任選5人，則甲、乙至多有1人被選中的選法共有（

）A．252種 B．420種 C．672種 D．10080種8．已知直線：與直線：交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B．8 C．32 D．64二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知隨機(jī)變量，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則10．已知直線：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．直線的傾斜角為B．若到直線的距離為，則c＝2C．過且與直線平行的直線方程為D．過且與直線垂直的直線方程為11．若曲線與曲線有6個(gè)公共點(diǎn)，則的值可能是（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．直線：，：，若，則.13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且，則．14．被9除的余數(shù)為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，且AB為直徑．(1)求圓C的方程；(2)已知P，求過點(diǎn)P且與圓C相切的直線方程．16．下表是某社區(qū)男、女居民對(duì)附近商場(chǎng)體驗(yàn)感評(píng)價(jià)的調(diào)查結(jié)果（單位：人）.評(píng)價(jià)居民評(píng)價(jià)高評(píng)價(jià)一般總計(jì)男居民30女居民35總計(jì)45100(1)完善上述表格數(shù)據(jù)，試問是否有的把握判斷體驗(yàn)感評(píng)價(jià)與性別有關(guān)？(2)從評(píng)價(jià)高的居民中按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法選取6人，再?gòu)倪@6人中任選3人進(jìn)行深度調(diào)查，記進(jìn)行深度調(diào)查的男居民的人數(shù)為，求的分布列與期望.附：，.當(dāng)時(shí)，沒有充分的證據(jù)判斷變量，有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量，是沒有關(guān)聯(lián)的；當(dāng)時(shí)，有的把握判斷變量，有關(guān)聯(lián)；當(dāng)時(shí)，有的把握判斷變量，有關(guān)聯(lián)；當(dāng)時(shí)，有的把握判斷變量，有關(guān)聯(lián).17．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面為棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)求直線與平面所成角的正弦值．18．已知橢圓的離心率為，且橢圓的短軸長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程．(2)設(shè)是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)．記的面積為，的面積為．證明：為定值．19．某學(xué)校食堂每天中午為師生提供了冰糖雪梨湯和蘋果百合湯，其均有止咳潤(rùn)肺的功效．某同學(xué)每天中午都會(huì)在兩種湯中選擇一種，已知他第一天選擇冰糖雪梨湯的概率為，若前一天選擇冰糖雪梨湯，則后一天繼續(xù)選擇冰糖雪梨湯的概率為，而前一天選擇蘋果百合湯，后一天繼續(xù)選擇蘋果百合湯的概率為，如此往復(fù)．(1)求該同學(xué)第二天中午選擇冰糖雪梨湯的概率．(2)記該同學(xué)第天中午選擇冰糖雪梨湯的概率為，證明：為等比數(shù)列．(3)求從第1天到第10天中，該同學(xué)中午選擇冰糖雪梨湯的概率大于蘋果百合湯概率的天數(shù)．1．B【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有種.故選：B.2．A【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程即可計(jì)算.【詳解】由題意得，，則其漸近線方程為，即，故選：A.3．B【分析】根據(jù)兩向量垂直的判定方法計(jì)算即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，故兩向量不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，故兩向量垂直，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，故兩向量不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)椋蕛上蛄坎淮怪?，故D錯(cuò)誤；故選：B.4．A【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于0，即可求得答案.【詳解】展開式的通項(xiàng)是，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為,故選：A．5．C【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布的特征，確定3個(gè)圖對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)的正負(fù)以及大小關(guān)系，可得答案.【詳解】由散點(diǎn)圖可知第1個(gè)圖表示的正相關(guān)，故；第2，3圖表示的負(fù)相關(guān)，且第2個(gè)圖中的點(diǎn)比第3個(gè)圖中的點(diǎn)分布更為集中，故，且，故，綜合可得，即，故選：C6．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】如圖所示，四面體中，滿足，可得．故選：C.7．C【分析】分甲和乙其中一人被選中和甲乙均未被選中兩種情況討論即可.【詳解】當(dāng)甲和乙其中一人被選中的情況數(shù)共有種當(dāng)甲或乙兩人均未被選中的情況數(shù)共有種不同挑選方法；則甲、乙至多有1人被選中的選法共有種不同挑選方法，故選：C．8．D【分析】首先根據(jù)已知條件得到直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，且，根據(jù)交點(diǎn)得到點(diǎn)在以為直徑的圓上，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得到最值.【詳解】由題知：直線恒過定點(diǎn).直線化簡(jiǎn)為：，當(dāng)時(shí)，，直線恒過點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，直線的斜率，則.當(dāng)時(shí)，，，，則.綜上：直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，且.因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，則其軌跡方程為（除點(diǎn)外），圓的半徑，因?yàn)楸硎緢A上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，設(shè)，則，所以的最大值為64.故選：D.9．ABD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可判斷AB，根據(jù)正態(tài)分布的均值與方差的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對(duì)A，由題意得，故A正確；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，，因?yàn)?，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，則，故D正確；故選：ABD.10．CD【分析】根據(jù)直線方程，得直線的傾斜角，可判斷；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可判斷，根據(jù)與知直線平行或垂直的直線方程求法可判斷.【詳解】直線可化為：，所以斜率，得傾斜角為，故錯(cuò)誤；由點(diǎn)到直線的距離公式得，得，所以，故錯(cuò)誤；設(shè)與直線平行的直線方程為，因?yàn)槠叫兄本€方程經(jīng)過原點(diǎn)，所以，即平行直線方程為，故正確；設(shè)與直線垂直的直線方程為,因?yàn)榇怪敝本€方程經(jīng)過原點(diǎn)，所以，即垂直直線方程為，故正確.故選：.11．ACD【分析】首先根據(jù)，確定是由橢圓的上半部分與雙曲線的下半部分組合而成的，然后根據(jù)直線與曲線有6個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是由橢圓的上半部分與雙曲線的下半部分組合而成的．過定點(diǎn)．如圖，由得，由，得．由得，由，得．因?yàn)榕c有6個(gè)公共點(diǎn)，所以，由圖可知，的取值范圍為．故選：ACD.12．2【分析】根據(jù)兩直線平行，列式計(jì)算.【詳解】因?yàn)椋?，解得或（舍）?故答案為：2.13．6【分析】根據(jù)拋物線的定義及焦半徑公式計(jì)算即可.【詳解】由題可知．故答案為：614．4【分析】整理變形得，再根據(jù)的展開式通項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，，故被9除的余數(shù)為4.故答案為：4.15．(1)(2)【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，即可得到圓的方程；（2）先判斷點(diǎn)在圓上，再求得直線的斜率，從而得到切線的斜率，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閳AC的直徑為AB，故其圓心為C，其半徑為，故圓C的方程為：．（2）因?yàn)?，故P在圓C上，連接PC，而直線的斜率：，故圓C在P處的切線的斜率為，故所求切線的方程為：．16．(1)有關(guān)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想需要計(jì)算的值并與6.635比較得出結(jié)論；（2）由分層抽樣可知6名居民中男的有4人，女的有2人，分別計(jì)算，列出分布列并求均值.【詳解】（1）評(píng)價(jià)居民評(píng)價(jià)高評(píng)價(jià)一般總計(jì)男居民302050女居民153550總計(jì)4555100，的把握判斷體驗(yàn)感評(píng)價(jià)與性別有關(guān)；（2）評(píng)價(jià)高的居民男女比例為，則6人中，男居民4人，女居民2人，則的可能取值為1,2,3，，，，故隨機(jī)變量的分布列為：X123P．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理，結(jié)合勾股定理的逆定理、面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），，即．平面平面，平面平面，平面，平面．（2）如圖，分別取的中點(diǎn)，連接．平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)是平面的法向量，則，令，得，則．故直線與平面所成角的正弦值為．18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出，然后結(jié)合橢圓的方程，代入計(jì)算，即可證明.【詳解】（1）由題可知，，解得，故橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)，則直線的方程為，令，得．直線的方程為，令，得．，，．由，得，則．故為定值．19．(1)；(2)證明見解析；(3)同學(xué)只有1天中午選擇冰糖雪梨湯的概率大于蘋果百合湯的概率.【分析】（1）利用條件概率公式計(jì)算即得.（2）利用全概率公式列式，再利用構(gòu)造法證明即得.（3）由（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分奇偶解不等式得解.【詳解】（1）設(shè)表示第一天中午選擇冰糖雪梨湯，表示第二天中午選擇冰糖雪梨湯，則表示第一天中午選擇蘋果百合湯.根據(jù)題意得，.（2）設(shè)表示第天中午選擇冰糖雪梨湯，則，根據(jù)題意