波形與頻譜分析(第一章)

2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析現(xiàn)代測試系統(tǒng)

分析、建模與仿真自動化學院測控技術技術系2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析第一章波形、頻譜與隨機過程分析信息產(chǎn)業(yè)的三大支柱：

1.信息獲?。▊鞲衅?、儀器：量值信息）

2.信息傳遞（通訊設備）

3.信息處理（計算機） 本課程主要是研究“信息處理”問題。

波形、頻譜與隨機信號處理是現(xiàn)代信息處理技術的主要內(nèi)容之一2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.1.1觀測數(shù)據(jù)的波形與頻譜

1.波形：時間

橫坐標、物理觀測量（幅值）縱坐標，得到一種變化的圖形，稱之為時域波形；電、磁、光力、位移、速度、加速度（機械量）觀測數(shù)據(jù)時間幅值O1.1波形與頻譜的基本概念2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

2.頻譜：頻率

橫坐標、經(jīng)數(shù)學變換后的物理觀測量（如：幅值、相位、功率）縱坐標，得到一種變化的圖形或譜線，稱之為頻譜。

3.波形分析：一般是指對觀測信號在時間域和幅值域里進行分析，以得到描述觀測信號的各種特征或關系。

例如：①波形的起始時間與持續(xù)時間 ②波形的時間滯后③波形的畸變④波形與波形之間的相似程度

4.頻譜分析：是對觀測信號在頻率域內(nèi)進行分析，得到：①幅值譜/相位譜，②功率譜，③互譜密度等分析結果。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

5.波形與頻譜的關系：波形分析頻譜分析，即式中，X(ω)是x(t)的傅立葉變換，x(t)是X(ω)的傅立葉逆變換。 圖1-1直觀地表示了時間域和在頻率域觀測信號之間的有機聯(lián)系。譜分析的數(shù)學工具

傅立葉級數(shù)傅立葉積分FT2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析t譜線2πf圖1-1波形與頻譜

（a）時域波形；（b）時頻關系；（c）頻域譜線(b)(a)幅值幅值時域觀測頻域觀測(c)2πf幅值2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析 ①絕大多數(shù)觀測中是看不到真實波形的； ②實際觀測到的波形無法與真實波形進行比較。

這樣就可能把已“扭曲”的測試數(shù)據(jù)當作結果加以應用！ 因此，未經(jīng)分析處理、修正反演而簡單地根據(jù)測試波形直接求得的結果，往往會產(chǎn)生很大的誤差，有時甚至會得出錯誤的結果。

波形的分析與處理的目的之一就是要避免出現(xiàn)這種情況。觀測波形失真畸變哈哈鏡2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.1.2 觀測數(shù)據(jù)的類型與描述觀測波形在容差內(nèi)可重復在容差內(nèi)不可重復確定性數(shù)據(jù)隨機性數(shù)據(jù)觀測波形周期性數(shù)據(jù)非周期性數(shù)據(jù)簡諧周期數(shù)據(jù)復雜周期數(shù)據(jù)準周期數(shù)據(jù)瞬變數(shù)據(jù)2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析 1.簡諧周期數(shù)據(jù):

可用下列形式的函數(shù)來描述：（1.1.1）式中：

A——振幅；

f0=1/T——頻率，表示波在單位時間內(nèi)的循環(huán)數(shù)；

T——周期，表示正弦波完成一次循環(huán)所需的時間；

ω0=2πf0

——角頻率；

φ

——相對時間原點的初始相位（弧度）。

例如:交流發(fā)電機的電壓輸出，偏心轉子的振動……

從數(shù)據(jù)分析的角度出發(fā)，簡諧數(shù)據(jù)是觀測數(shù)據(jù)中最簡單的形式。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

2.復雜周期數(shù)據(jù):

可用周期時變函數(shù)表示：（1.1.2） 與簡諧周期波形一樣，一個波經(jīng)歷的時間稱為周期T，單位時間內(nèi)的循環(huán)數(shù)稱為基頻

f1

。顯然，簡諧周期波是復雜周期波的一個特例。

復雜周期波可以展成傅立葉級數(shù)：（1.1.3）2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析式中：復雜周期數(shù)據(jù)還可以用傅立葉級數(shù)的另一種表達形式:

（1.1.4）其中2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

如果只考慮復雜周期數(shù)據(jù)的幅值譜，則可用圖1-2所示的離散譜線來表示式（1.1.4）的幅頻特性。

3.準周期數(shù)據(jù):

準周期數(shù)據(jù)是一種非周期數(shù)據(jù)，可用下式表示為圖1-2復雜周期數(shù)據(jù)的頻譜（幅值譜）X3X2X1X0幅值ff0f1f2f32024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析（1.1.5）式中，fn/fm（n≠m）在任何情況下都不等于有理數(shù)。 當兩個或多個無關聯(lián)的周期性現(xiàn)象混合作用時，常常會出現(xiàn)準周期數(shù)據(jù)。

例如：多機組內(nèi)燃機車在發(fā)動機不同步時的振動響應就是準周期數(shù)據(jù)。準周期數(shù)據(jù)也可用圖1-2所示的離散譜線來表示它的幅值譜，其差別僅僅是各個分量的頻率不再是有理數(shù)的關系。

4.瞬變非周期數(shù)據(jù):

除了準周期以外的所有非周期信號都屬于瞬變數(shù)據(jù)。瞬變數(shù)據(jù)與周期數(shù)據(jù)不同的一個重要特征，就是它不能用離散譜來表示（連續(xù)譜）。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

在多數(shù)情況下，瞬變數(shù)據(jù)可用傅立葉積分表示

（1.1.6）式中，|X(ω)|—幅頻特性，θ(ω)—相頻特性。二者均為連續(xù)譜。1.2隨機過程及其數(shù)學特征

觀測數(shù)據(jù)單個時間歷程樣本函數(shù)某一時間區(qū)間樣本記錄全部時間歷程隨機過程隨機數(shù)據(jù)確定性變化規(guī)律2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.2.1隨機過程的基本數(shù)字特征

隨機過程的分布函數(shù)族能完善地刻畫隨機過程的統(tǒng)計特性，但在實際觀測中，往往只能得到部分樣本，用這些樣本來確定分布函數(shù)是困難的，甚至是不可能的，因而有必要引入基本數(shù)字特征來描述隨機過程的統(tǒng)計特性。

1.一階矩或期望值給定實或復隨機過程{x(t)}，固定t，則x(t)是一隨機變量，其一階矩一般與t

有關，記為（1.2.1）

稱mx(t)為隨機過程{

x(t)}的均值函數(shù)或數(shù)學期望。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析 2.二階矩與相關函數(shù)將實或復隨機變量x(t)的二階原點矩記作

（1.2.2）

稱它為隨機過程{x(t)}的均方值函數(shù)；而將隨機過程{x(t)}的二階中心矩分別記作

（1.2.3）稱它為隨機過程{x(t)}的方差函數(shù)

；其中，σx稱為均方差或標準差，它表示隨機變量x(t)在t

時刻相對于均值的平均偏離程度。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

對于任意t1，t2∈

，定義隨機變量x(t1)和x(t2)的二階原點混合矩（即自相關函數(shù)，或簡稱相關函數(shù)）為（1.2.4）

式中，x*(t2)是x(t2)的復共軛。類似地，還可定義隨機變量x(t1)和x(t2)的二階中心混合矩：

（1.2.5）通常，稱它為隨機過程{x(t)}的自協(xié)方差函數(shù)，簡稱協(xié)方差函數(shù)。 自相關函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是刻畫隨機過程自身在兩個不同時刻的狀態(tài)變量之間的統(tǒng)計依賴關系。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析自相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間具有如下關系：當t1=t2=t時，上式變?yōu)?類似地，兩個隨機過程{x(t)}和{

y(t)}的互相關函數(shù)定義為（1.2.6）而它們的互協(xié)方差函數(shù)為

（1.2.7）方差均方值均值的平方2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析其中my(t)是隨機過程{

y(t)}的均值函數(shù)。

若兩個隨機過程{x(t)}和{

y(t)}分別是為n×1和m×1的列向量，用上標H表示共軛轉置，則它們的自相關函數(shù)和互相關函數(shù)可表示為式中，Rx(t1，t2)為n×n矩陣，Rxy(t1，t2)為n×m矩陣。 相應的協(xié)方差函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)也是矩陣函數(shù)。

3.不相關，正交，獨立過程考慮兩個隨機過程{x(t)}和{y(t)}：①如果{x(t)}和{y(t)}是不相關的，則互協(xié)方差函數(shù)為0，即：（1.2.8）先乘后取均值與取均值后再相乘2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析 ②如果

{x(t)}和{

y(t)}正交，則相關函數(shù)為0，即（1.2.9） ③如果兩個隨機變量

x(t)和y(t)獨立，則有（1.2.10）其中，p(x),p(y)和p(x，y)分別表示隨機變量x(t)，y(t)的概率密度函數(shù)及二者的聯(lián)合概率密度函數(shù)。 對于零均值隨機過程不相關和正交是等價的。上述關系很容易推廣到n個隨機過程，不贅述。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.2.2平穩(wěn)過程的基本數(shù)字特征

如果隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化。嚴格地說，對于某一實數(shù)域（通常是指時間域

），如果對任意的t1，t2，…，tn∈

和任意實數(shù)h，當t1+h，t2+h，…，tn+h∈

時，n維隨機變量[x(t1)，x(t2)，…，x(tn)]和[x(t1+h)，x(t2+h)，…，x(tn+h)]具有相同的分布函數(shù)，則稱隨機過程{x(t)，t∈

}具有平穩(wěn)性，并稱此過程為平穩(wěn)隨機過程，簡稱平穩(wěn)過程。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

由平穩(wěn)過程的定義，對于任意t，t+τ∈T，一維隨機變量x(t)和x(t+τ)同分布。取τ=-t，則有（1.2.11） 同樣，x(t)的均方值函數(shù)ψx2和方差函數(shù)σx2亦均為常數(shù)。在式（1.2.4）和（1.2.5）中，令t2=t和t1–t2=τ，就有（1.2.12） 這表明平穩(wěn)過程的相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)僅是時間差τ=t1

–t2的函數(shù)。當{x(t)}為零均值平穩(wěn)過程，就有2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

滿足式（1.2.11）和（1.2.12）的隨機過程稱為弱平穩(wěn)過程或廣義平穩(wěn)過程；反之，則為非平穩(wěn)過程。相對地，按分布函數(shù)定義的平穩(wěn)過程稱為嚴格平穩(wěn)過程。 類似地，如果Rxy(t1，t2)只是時間差t1–t2=τ的單變量函數(shù)，記為Rxy(τ)，則稱{x(t)}和{y(t)}是平穩(wěn)相關的。 平穩(wěn)相關過程{x(t)}和{y(t)}的互協(xié)方差函數(shù)可寫成

由上式可見，當{x(t)}和{y(t)}中有一個是零均值的，則互相關函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)相等。 前面討論的平穩(wěn)和非平穩(wěn)性概念，是指隨機過程總體平均特性而言的。如果可用總體中的某個樣本函數(shù)的時間平均2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析來代替總體平均

,即對于任意τ∈T，平穩(wěn)過程{x(t)}中的第k個樣本函數(shù){xk(t)}的均值和自相關函數(shù)可分別表示成

（1.2.13）（1.2.14）則稱此平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性（ergodicity）。 在大多數(shù)情況下，表示平穩(wěn)物理現(xiàn)象的隨機數(shù)據(jù)，一般是近似各態(tài)歷經(jīng)的。因此，如果能夠事先確定某隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)的，則只要驗證單個樣本記錄的平穩(wěn)性，就可有效地判定該記錄所屬的隨機過程能否滿足平穩(wěn)性和遍歷性。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.2.3相關函數(shù)的性質 假設{x(t)}和{y(t)}是平穩(wěn)相關過程，

Rx(τ)，Ry(τ)和Rxy(τ)分別是它們的自相關函數(shù)和互相關函數(shù)，則它們具有以下五個性質:

①Rx(0)=E[x2(t)]=ψx2>0，表示平穩(wěn)過程{x(t)}的“平均功率”。

②

Rx*(-τ)=Rx(τ)；Rxy*(τ)=Ryx(-τ)。這些關系可以從它們的定義直接得到。

③關于相關函數(shù)和互相關函數(shù)有下列不等式： 根據(jù)定義和Cauchy-Chwartz不等式2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析可證得。

相關函數(shù)表示同一過程（或波形）相差時刻τ的相似程度。在相關函數(shù)中還可以定義自相關系數(shù)（或歸一化協(xié)方差），即波形x(t)的協(xié)方差函數(shù)與均方差之比：（1.2.15）

互相關函數(shù)表示兩個過程（或波形）相差時刻τ的相似程度。定義互相關系數(shù)為（1.2.16）2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

顯然,|ρx(τ)|≦1，|ρxy(τ)|≦1。注意，許多教科書將ρxy(τ)定義相關系數(shù)。 如果x(t)和y(t)不相關，根據(jù)定義式（1.2.8），則有ρxy(τ)=0。這表明隨機變量[x(t)-mx

]

和[y(t)-my

]

是正交的，于是即（1.2.17）

④Rx(τ)是半正定的，即對于任意數(shù)組t1,…,tn∈

和任意實或復值函數(shù)g(t)

都有2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

如果Ru是半正定矩陣函數(shù)，那么，對于t1,…,tk∈

和C1,…,Ck∈Cn,有（1.2.19） （5）如果平穩(wěn)過程{x(t)}的概率分布函數(shù)滿足P{x(t+T0)=x(t)}=1則稱它是周期為T0的平穩(wěn)過程。周期平穩(wěn)過程的相關函數(shù)必是周期為T0的函數(shù)。1.2.4 功率譜及其性質 首先給出傅立葉變換對重要定理，然后將確定性函數(shù)的功率譜密度的定義推廣到隨機過程，建立起相關函數(shù)與功率譜密度之間的關系。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（1）帕塞瓦爾（Parseval）定理假設確定性函數(shù)x(t)的傅立葉變換存在，即（1.2.20）式中，X(ω)稱為x(t)的頻譜，它一般是角頻率的復函數(shù)。 當x(t)為實函數(shù)時，有

其中，X*(ω)

表示X(ω)

的共軛函數(shù)。 在x(t)

和X(ω)

之間存在如下關系，即（Parseval）定理：（1.2.21）2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析等式左邊表示x(t)在時域上的總能量，而右邊的被積函數(shù)|X(ω)|2稱為x(t)的能譜密度。這樣，Parseval定理又可理解為總能量的譜表達式。

（2）功率譜密度很多確定性函數(shù)的總能量是無限的，所以式（1.2.21）是無意義的。為此，選有限時間T，對x(t)

構造限時（截尾）函數(shù)：

（1.2.22）

令T→∞，則由式（1.2.21）可以寫出限時函數(shù)xT(t)在區(qū)間[-T，T]上的總平均功率：2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析式中，XT(ω)

是XT

(t)

在區(qū)間[-T，T]

上的傅立葉變換。

定義如果

（1.2.23）則稱Φx(ω)為x(t)

的功率譜密度函數(shù)，簡稱譜密度；而Φx(ω)dω稱為譜分布函數(shù)。

（3）平穩(wěn)過程的譜密度考慮隨機過程{x(t)}，當然{x2(t)}

也是隨機過程。對于隨機過程直接使用上式是不方便的，但只要對式（1.2.23）兩邊取均值，就可得到適合于平穩(wěn)過程的平均功率表達式：2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析（1.2.24）其中，將隨機變量x(t)

的譜密度定義為（1.2.25） 對于平穩(wěn)隨機過程{x(t)}，均方值函數(shù)E[x2(t)]與時間無關，由式（1.2.24）可知即平穩(wěn)過程的平均功率等于該過程的均方值或Rx(0)。p.472024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

(4）維納-辛欽（Wiener-Khintchine）公式

譜密度的一個重要性質表現(xiàn)在它與相關函數(shù)的關系上。具體地說，對于平穩(wěn)隨機數(shù)據(jù)，這兩者可由傅立葉變換聯(lián)系起來，即

（1.2.26）（1.2.27）

證明考慮式（1.2.25），將Φx(ω,T)中的平方項寫成二重積分，得到

2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析根據(jù)相關函數(shù)的定義，E[x(t1)x*(t2)]=Rx(t1–t2)。故有

令t1-t2=τ，

t1=t，并將它們代入上式進行變量置換，則在圖1-3的陰影區(qū)域，有Rx(τ)=常數(shù)。容易看出，該區(qū)域的面積等于(2T-|τ|)·dτ，而τ的變化范圍為（-2T,2T）。因此于是，由式（1.2.25），可得顯然，上式成立的條件是2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析對所考慮的平穩(wěn)過程，這個條件必須加以檢驗,證畢。圖1-3Φx(ω)的二重積分示意圖02T-|τ|t2

t1

t1

–t2=τ+dτt1

–t2=τdττdτT-T-TT2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析在式（1.2.27）中，令τ=0，則有

因而，對于所有的ω，有Φx(ω)

≥

0。 如果隨機變量x(t)是實的，則Rx(τ)是實的偶函數(shù)，因此Φx(ω)也是偶函數(shù)，即Φx(ω)=

Φx(-ω)。在這種情況下，基本關系式（1.2.26）和（1.2.27）變成

（1.2.28）（1.2.29） 按以上定義的譜密度Φx(ω)對ω的正負值都是有定義的，故稱為“雙邊譜密度”。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

為了適應實際測量，考慮定義在[0，∞]

上的平穩(wěn)過程{x(t)}，定義“單邊譜密度”如下：

（1.2.30）在此，XT(ω)

是x(t)

的單邊傅立葉變換。

功率譜密度Φx(ω)是在頻域上描述隨機過程{x(t)}的統(tǒng)計規(guī)律的最重要數(shù)字特征，它的物理意義表示隨機變量x(t)的平均功率在頻域上的分布。

（5）平穩(wěn)過程的互譜密度互譜密度函數(shù)是在頻域上描述兩個隨機過程之間的相關性的。在實際應用中，常常利用測控系統(tǒng)輸入輸出的互譜密度來確定系統(tǒng)的傳遞特性。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析考慮兩個平穩(wěn)數(shù)據(jù)x(t)

和y(t)，它們的互譜密度定義為（1.2.31）式中，XT(ω)和YT(ω)分別是xT(t)

和yT(t)

的傅立葉變換。容易證明，互相關函數(shù)與互譜密度是一傅立葉變換對，即（1.2.32）（1.2.33）令τ=0，就有 若x(t)是通過一個雙端網(wǎng)絡的電壓，y(t)是產(chǎn)生的輸入電流，則Rxy(0)就等于輸送到該網(wǎng)絡的功率期望值。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析如果x(t)和y(t)正交，則有

（1.2.34）這時就有（1.2.35） 例1-1

如果隨機過程{x(t)}的均值為零，且功率譜密度等于正常數(shù)，即則稱此過程為白噪聲過程，它的功率（或能量）與頻率無關，具有與白色光相同的能量分布性質。反之，功率譜不等于常數(shù)的噪聲稱為有色噪聲。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

白噪聲的相關函數(shù)為 圖1-4表示白噪聲的相關函數(shù)和譜密度?？梢?，白噪聲可定義為均值為零，且相關函數(shù)為δ函數(shù)的隨機過程{x(t)}。這個過程在t1≠t2時，x(t1)和x(t2)是不相關的。圖1-4白噪聲:(a)相關函數(shù)(b)譜密度N0N0δ(τ)Φx(ω)Rx(τ)τ0ω0(a)(b)2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

白噪聲是一種理想化的數(shù)學模型，它的平均功率Rx(0)是無限的。實用上，如果噪聲的頻譜在一個比實際系統(tǒng)頻帶寬得多的范圍內(nèi)具有比較“平坦”的曲線，就可近似地當成白噪聲來處理。通常，把這種噪聲稱為限帶白噪聲，它的譜密度滿足

對上式求傅立葉逆變換，可得

例1-2

二進制偽隨機（Pseudo-noise）序列或PN序列是由1和0組成的序列，它的相關函數(shù)與白噪聲很相似，它近似為一個脈沖，但有一個重復周期T。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

最常用的PN序列就是M序列，可用圖1-5帶有線性反饋的M階線性移位寄存器產(chǎn)生，其長度為N=2M-1比特，周期T=15·?t（M=4），其中?t

為時鐘脈沖的周期。在每個周期T產(chǎn)生2M-1個1，2M-1個0，具有良好的平衡性。 將由{0，1}組成的二進制序列變換為一個由{-1，1}組成的二進制序列。這個由{-1，1}組成的等價序列

{cn}稱之為雙極性序列。圖1-5用于產(chǎn)生偽隨機序列的4階移位寄存器時鐘（移位脈沖）?t輸出偽隨機碼0，1，0，0，…01T201T301T401T12024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析周期T=N·?t，幅度A=±1的M序列的自相關函數(shù)可用下式表示： 因為序列{cn}是周期性函數(shù)，故其自相關函數(shù)RM(τ)也具有周期性，如圖1-6所示。參數(shù)N和?t決定了M序列的特性。顯然，當N→∞，RM(τ)→δ(τ)。由于RM(τ)是實的偶函數(shù)，故可根據(jù)式（1.2.29）來計算它的譜密度，即可見，M序列的功率譜密度函數(shù)是離散譜，且有一個sinc形包絡曲線，如圖1-7所示。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析L?t(N-1)?t1/N0?t?tRM(τ)1圖1-6M序列的自相關函數(shù)2π/Δtω2π/（3·Δt）OΦM(ω)?t3dB圖1-7M序列的功率譜密度函數(shù)3dB帶寬截止頻率2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（6）限時限帶函數(shù)及采樣定理

考慮實的周期函數(shù)或限時函數(shù)x(t)。若時間函數(shù)x(t)

僅在一段有限時間（0，T）內(nèi)有非零值，則稱為限時函數(shù)。限時函數(shù)x(t)

經(jīng)周期延拓之后，可化為周期函數(shù)，因此可表示為傅立葉級數(shù)：（1.2.36）其中X(n)稱為x(t)

在頻率為ωn=2πn/T

處的傅立葉系數(shù)，且滿足X(-n)=

X*(n)。如果X(n)僅僅在以下頻率范圍內(nèi)才有非零值，則稱x(t)

為限時限帶函數(shù)。這里，W表示頻帶寬度（譜寬），[TW]表示不超過T·W的最大整數(shù)。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

為方便起見，下面用TW代替[TW]。將式（1.2.36）中的第一式可寫成

（1.2.37）式中，X(n)=a(n)+jb(n)，通常X(0)=0。 式（1.2.37）表明：完整地描述一個持續(xù)時間為T，譜寬為W的限時限帶實值函數(shù)，需要也僅需要2TW個實數(shù)a(n)和b(n)

或TW個復數(shù)X(n)。這個結論實際上是采樣定理的另一種敘述方式。在工程上，采樣頻率一般取為信號上限頻率的3~5倍。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（7）周期函數(shù)的帕塞瓦爾公式

周期函數(shù)或限時限帶函數(shù)的帕塞瓦爾公式可表示為（1.2.38） 證明由式（1.2.36），并利用零均值條件、實函數(shù)傅立葉變換的共軛對稱性和三角函數(shù)的正交性，可得

式中，Re[·]表示取實部。如果x(t)是在（t-T，t）內(nèi)被觀測，則式（1.2.24）中的積分區(qū)間（0，T）可改為（t-T，t）。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.3線性系統(tǒng)的時頻分析

假設施加于圖1-8所示系統(tǒng)的輸入信號為x(t)，則系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出y(t)為（1.3.1)線性系統(tǒng)物理可實現(xiàn)穩(wěn)定的頻率響應函數(shù)H(jω)脈沖響應函數(shù)

h(t)傅立葉變換傳遞函數(shù)

H(s)s=σ

+jω|σ=0拉普拉斯變換y(t)x(t)h(t)H(jω)圖1-8線性系統(tǒng)的輸入-輸出2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

對于物理可實現(xiàn)的因果系統(tǒng)，其脈沖響應函數(shù)

h(t)是實數(shù)，且對于負的t

取零值。但在下面的討論中不一定要作這樣的假設。1.3.1線性系統(tǒng)的相關分析

相關分析和最小二乘法是系統(tǒng)分析和參數(shù)估計最常用的兩種方法。這此僅介紹相關分析法。

（1）均值

假設線性系統(tǒng)的輸入信號{x(t)}是一平穩(wěn)過程，對式（1.3.1）的兩邊取均值，則有顯然，y(t)的期望值是常數(shù)，由下式給出2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（1.3.2)

（2）相關分析在式（1.3.1）的兩邊同乘以x*(t-τ)，得到（1.3.3)由于所以，在式（1.3.3）兩邊取期望值，就有2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

上式右邊積分顯然與t無關，且等于Rx(τ)與h(τ)的卷積。因而上式左邊也與t無關。于是，根據(jù)互相關的定義，得到（1.3.4）將式（1.3.1）兩邊的復共軛乘以y(t+τ)，有再取期望值，又有（1.3.5）上式是令λ=-σ的結果。同樣的推理，可類似地證明（1.3.6）2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析合并以上二式，可得

（1.3.7）

（3）功率譜利用卷積定理，式（1.3.6）可寫成

（1.3.8）其中H*(jω)是h*(-τ)的傅立葉變換。于是有（1.3.9）上述關系可用圖1-9來表示。

（4）傳遞函數(shù)

H(jω)在平穩(wěn)輸入信號x(t)作用下，產(chǎn)生的輸出y(t)。當用功率譜表示時，由式（1.3.9）可得到增益因子的估計：2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（1.3.10）上式只含有系統(tǒng)的幅頻特性。 為了求出系統(tǒng)的相頻特性θ(ω)，還需要互譜分析。由（1.3.8）的第一式，可知θ(ω)可用下式估計：（1.3.11）圖1-9平穩(wěn)過程的線性濾波Φx(ω)|H(jω)|2Φx(ω)H*(jω)Ry(τ)Φx(ω)Rx(τ)h*(-τ)H*(jω)h(τ)H(jω)Rxy(τ)2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

此外，還定義兩個平穩(wěn)隨機過程{x(t)}和{y(t)}的相干函數(shù)(Coherencefunction)為（1.3.12） 它表示兩個平穩(wěn)過程在頻域上的“互相關”程度，故也稱為譜相關函數(shù)。顯然，0≤γxy2(ω)

≤1。

①如果在某些頻率點上γxy2(ω)=1，則表示x(t)和y(t)是完全相干的； ②如果在某些頻率點上γxy2(ω)=0，則表示x(t)和y(t)在這些頻率點上不相干（不凝聚），這也是不相關的另一種提法。 ③如果x(t)和y(t)是統(tǒng)計獨立，則恒有γxy2(ω)=0。

2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

在上述相干函數(shù)計算中，譜密度和互譜密度的估計必須是經(jīng)過總體平均的，否則，不論兩個過程是否相干，直接計算譜密度和互譜密度所得到的相干函數(shù)值將恒等于1。 在作系統(tǒng)的相關分析時，輸入信號

x(t)的譜寬應大于線性系統(tǒng)

H(jω)的譜寬，這樣才能把線性系統(tǒng)H(jω)的所有振型激勵出來，使分析結果能反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。

（5）系統(tǒng)簡化考慮圖2-10中的兩個系統(tǒng)。設x1(t)，x2(t)

分別是它們的輸入，而y1(t)，y2(t)是對應的輸出，即（1.3.13）y1(t)x1(t)h1(t)H1(jω)y2(t)x2(t)h2(t)H2(jω)圖2-10兩個單輸入-輸出系統(tǒng)2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析將第一式乘以y2*(t-τ)，第二式的復共軛乘以x1(t+τ),則有對這兩式取期望值，得到（1.3.14）上式的傅立葉變換為2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析故有（1.3.15） 這相當于兩個系統(tǒng)h2*(-τ)和h1(τ)串聯(lián)成一個系統(tǒng)，并用Rx1x2(τ)作為系統(tǒng)的輸入。

（6）分離系統(tǒng)若兩個系統(tǒng)的幅頻特性（或頻帶）不重疊，如圖1-10所示，則有那么，式（1.3.15）表明，對于任意的x1(t)

和x2(t)，通過分離系統(tǒng)得到的輸出y1(t)和y2(t)是正交的。

0ω|H1(jω)||H2(jω)|圖2-10分離系統(tǒng)2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

利用該結論，只須把單個過程{x(t)}作為兩個分離系統(tǒng)的公共輸入，就可以產(chǎn)生兩個正交過程{y1(t)}和{y2(t)}。若E[x(t)]=0,則兩個輸出的期望值也是零，且不相關的。1.3.2線性系統(tǒng)的隨機激勵 在系統(tǒng)的輸入端施加統(tǒng)計特性已知的噪聲擾動，然后觀測系統(tǒng)的輸出。從這些受到隨機干擾的局部觀測數(shù)據(jù)出發(fā)，應用適當?shù)臄?shù)學工具可以分析系統(tǒng)的動態(tài)特性，或建立數(shù)學模型。常用的噪聲序列有白噪聲和偽隨機信號，因為二者都有明確的統(tǒng)計特性，而且易于用儀器或數(shù)字計算機產(chǎn)生。

（1）輸入信號為白噪聲

設線性因果系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)為h(t)，輸入信號x(t)

為白噪聲，不妨設Rx(τ)=δ(τ)，2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析則由式（1.3.6）可知系統(tǒng)輸出y(t)與輸入x(t)之間的互相關函數(shù)為可見，只須對τ>0，計算出Ryx(τ)，就能知道系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)h(t)。該算法可用Matlab/Simulink圖示化方塊圖（見圖1-11）進行仿真。y(t)x(t)白噪聲信號源線性系統(tǒng)H(s)延遲τ乘法器積分器1/(T·s)示波器圖1-11輸入信號為白噪聲的系統(tǒng)辨識框圖（Simulink）干擾n(t)2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

如果干擾n(t)

與激勵x(t)

互不相關，即Rnx(τ)=0，則仿真“示波器”顯示的曲線就是系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)h(t)。該結論證明如下：如果過程具有遍歷性，那么對充分大的T，積分器的輸出z(τ)

為

①在多數(shù)情況下，可以把白噪聲信號疊加在正常輸入信號上，對測控系統(tǒng)進行在線辨識； ②白噪聲的自相關函數(shù)是脈沖函數(shù)，因而它與其它噪聲幾乎都互不相關。因此,用白噪聲作為輸入信號能夠排除其它干擾信號的影響。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

③為了取得精確的估計值，必須延長積分時間T，計算互相關函數(shù)就要耗費大量的時間，從而影響在線辨識的實時性。

（2）輸入信號為偽隨機序列

為了保持白噪聲作為輸入信號時的優(yōu)點，克服其缺點，可采用偽隨機噪聲信號（簡稱偽隨機信號）作為激勵信號。在例1-2中給出的M序列的相關函數(shù)與白噪聲信號很相似，可視為脈沖信號，但它有一個重復周期T。 如果M序列的幅值是{-a,a}，且序列的長度N足夠大，那么它自相關函數(shù)Rx(τ)

在τ=…，-2T,-T,0,T,

2T,…

各點取值為序列的均方值a2，而其余各處均接近于零，故Rx(τ)是一個脈沖序列2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

可將M序列看作出現(xiàn)在每一周期內(nèi)T的白噪聲信號。

①在選擇M

序列x(t)的周期T時，應事先估計系統(tǒng)的調(diào)整時間ts，使得T>ts。這樣，在T時間內(nèi)，系統(tǒng)的單位脈沖響應h(t)已經(jīng)衰減到幾乎為零。于是，可在0~T之間按圖1-11來計算Ryx(τ),從而得到完整的h(t)。

②要適當選取M序列的時鐘脈沖的周期?t時（參見圖1-7），確保它的譜寬（1/3?t)大于系統(tǒng)的譜寬。 這樣，采用偽隨機信號作為激勵信號進行系統(tǒng)辨識的結果與采用白噪聲作為激勵信號的結果才能基本相同。 由于偽隨機信號是物理可實現(xiàn)的，而白噪聲是理想化的數(shù)學模型，因此，偽隨機信號在測控技術領域中的應用更為廣泛。ts2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.4平穩(wěn)高斯隨機過程

高斯（正態(tài)）隨機過程，簡稱高斯過程，是非常重要的隨機過程，在測控系統(tǒng)中的隨機信號大多服從高斯分布。1.4.1高斯過程的定義和性質 考慮實的隨機過程{x(t)}，如果它的密度函數(shù)的形式為（1.4.1）則稱為高斯隨機過程。在本節(jié)中各參數(shù)符號的意義與1.2節(jié)中所定義的相同，以下不再贅述。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

考慮兩個實的隨機過程{x(t)}和{y(t)}，如果它的密度函數(shù)的形式為（1.4.2）則稱為二維高斯隨機過程。其中，ρxy是隨機變量x(t)

和y(t)的互相關系數(shù)，即 考慮nx×1和ny

×1向量隨機過程{x(t)}和{y(t)}，如果它們的聯(lián)合密度函數(shù)的形式為

2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析（1.4.3）則稱{x(t)}和{y(t)}為聯(lián)合高斯向量隨機過程。其中，det(·)表示矩陣的行列式。C是x(t)

和y(t)

的聯(lián)合協(xié)方差函數(shù)： 對于平穩(wěn)高斯過程，是指過程同時具有平穩(wěn)過程和高斯過程的所有特性，其均值是常數(shù)，協(xié)方差函數(shù)僅是時間差的函數(shù)。 高斯過程具有如下性質：2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

性質1:

高斯過程完全由均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)所決定。

性質2:

高斯變量之間的不相關性與獨立性是等價的。

證明：在式（1.4.2）令互相關系數(shù)ρxy=0，就有：p(x,y)=p(x)·p(y)

性質3:

一組隨機變量若具有聯(lián)合高斯分布，則它的任何部分集合也是聯(lián)合高斯的。

性質4:

對于零均值聯(lián)合高斯的實隨機變量x1，x2，x3和x4，其四階原點混合矩為（1.4.4）

性質5:

高斯向量x經(jīng)過任意線性變換A所得到的隨機向量A·x也是高斯的；N個隨機變量，若其任意加權和是一高斯變量，則它們是聯(lián)合高斯的。

2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

性質6:

高斯過程{x(t)}通過線性濾波器，其輸出也是高斯過程。故x(t)的任意線性泛函，也是高斯過程。

性質7:

單個和多個限時限帶（時間長度為T，頻帶為W）高斯過程的傅立葉系數(shù)構成復高斯向量，并可用復高斯密度函數(shù)來表示。

證明：考慮單個限時限帶、零均值和實的高斯過程{x(t)}的傅立葉系數(shù)a(n)和b(n)視為隨機變量x(t)的線性泛函，由性質6知，它們是高斯變量。a(n)和b(n)的任意加權和也是高斯變量。由性質5知，a(n)和b(n)具有聯(lián)合高斯分布。因此，實值高斯變2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析量x(t)的一組傅立葉系數(shù)X(1)，X(2)，…，X(TW)構成一個TW維的復高斯向量X。下面要證明，只要Xn=an+jbn滿足一定條件，其概率密度函數(shù)為（1.4.5）這里用an

代替a(n)，用bn代替b(n)。 首先證明當T足夠長高斯過程x(t)的傅立葉系數(shù)an和bn是不相關（獨立等價，性質2）的，即（1.4.6）2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析式中，δmn

是克羅內(nèi)克（Kroneckerdelta）符號。當m=n，δmn=1；否則，δmn=0。

由零均值條件mx=0推知，E[Xn]=E[an]=E[bn]=0，即傅立葉系數(shù)也是零均值。下面計算零均值條件下，隨機過程任意兩頻率ωm和ωn上的協(xié)方差（1）作變量替換則積分區(qū)域的變化如圖1-12所示。在上述變量替換下，式（1）可改寫為2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析（2）利用余弦函數(shù)的和角公式展開cos[ωn(u+Tv)]，注意到ωn·T=2π×n，ωm·T=2π×m可得圖1-12變量替換前后積分區(qū)域的變化t=0t=TtTτT0-TvuT01u=-T·vu=T-T·v2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析（3） 當觀測時間T足夠長時，式（3）右側的兩個內(nèi)部積分可作如下近似：上式推導中利用了實值隨機過程相關函數(shù)Rx(u)為偶函數(shù)這一性質。將這個近似結果代入式（3），并利用三角函數(shù)的正交性質，得2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

用同樣的方法，可以證明式（1.4.6）中其它結果。這里，復傅立葉系數(shù)Xn

和Xm的協(xié)方差是按下式計算的，即

下面證明式（1.4.5）。對于高斯分布而言，不相關就意味著獨立，故有（4）在零均值條件下，有E[r]=0。因此，根據(jù)式（1.4.3），二維高斯密度函數(shù)p(rn)

可表示為2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（5）其中由式（1.4.6）可知2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析此外，由于故又有將上述結果帶入式（5）和（4），最后可得到傅立葉復系數(shù)為自變量的復高斯密度函數(shù):

證畢。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.4.2 條件概率密度

假定對所考慮的觀測數(shù)據(jù)y，有p(y)≠

0，并且把假定y={y}下x的條件分布密度定義為（1.4.7）將式（1.4.2）代入上式，經(jīng)過簡單的運算，得到（1.4.8） 上述條件密度也是高斯（正態(tài)）的，其條件均值及條件方差為2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（1.4.9）當mx=my=0時，有（1.4.10） 將上述關系推廣到式（1.4.3）所表示的聯(lián)合高斯密度函數(shù)，就可以得到條件均值mx

|

y和條件協(xié)方差Cx

|y的表達式（1.4.11）（1.4.12）這些關系式在參數(shù)估計中是經(jīng)常要用到的。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.5平穩(wěn)隨機數(shù)據(jù)的數(shù)字處理方法

數(shù)字信號處理是建立在離散時間信號的基礎上。數(shù)字化有兩個主要步驟：其一是采樣，確定需要觀測的數(shù)據(jù)瞬時點；其二是量化，即把采樣點上的數(shù)據(jù)值轉化成數(shù)字量。1.5.1采樣與量化

采樣的主要問題是確定適當?shù)牟蓸娱g隔Ts，采樣點靠得太近，會產(chǎn)生相關重疊，致使產(chǎn)生虛假波形，并產(chǎn)生大量的多余數(shù)據(jù)，從而增加不必要的計算和成本；而采樣點間距太大，會產(chǎn)生低頻和高頻分量的混疊。采樣間距Ts的選取，一般由連續(xù)信號的上限頻率fc來控制，并使之滿足采樣定理：2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（1.5.1）這里，頻率fc稱為奈奎斯特頻率或折疊頻率。通常，fc

應等于被觀測系統(tǒng)最高頻率的1.5~2倍。 對于帶通信號，假設帶寬為BW，采樣間距Ts可由帶寬BW來確定，即（1.5.2） 采樣后的數(shù)據(jù)，必須表示為指定位數(shù)的數(shù)字，這就是所謂的量化，這個功能一般由A/D

轉換器來實現(xiàn)。對于理想轉換，量化誤差具有均勻概率分布，其標準差≈0.289Δx（Δx為量化增量）。

2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

通常，量化誤差的峰值為0.5Δx。下面，我們來估計量化器的性能指標。例如，對于具有255個電平單位的8位A/D轉換器，其峰值信號xmax與峰值誤差emax之比為其最大舍入誤差為±0.5Δx；最大量化誤差（滿刻度）在

±(0.5/255)×100%=±0.2%

之內(nèi)。當量化誤差具有均勻概率分布時，其峰值信號xmax與均方差σx之比為其均方根舍入誤差為±0.289Δx；最大量化誤差（滿刻度）在±(0.289/255)×100%=±0.11%

之內(nèi)。顯然，量化誤差與A/D的轉換位數(shù)成反比關系。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.5.2單個樣本記錄

在以下各種統(tǒng)計特性的估計中均假設xk(k=1，2，…，N)是對均值為零的、實的平穩(wěn)過程{x(t)}進行等間隔Δt采樣所得到的數(shù)據(jù)。

（1）概率密度函數(shù)隨機變量x(t)的概率密度函數(shù)可由下式估計

（1.5.3）式中，Δx

是以x為中心的窄區(qū)間，Nx

是數(shù)據(jù)落在x±0.5Δx中的數(shù)據(jù)個數(shù)，N是采樣容量。注意，p(x)的估計不是唯一的，它取決于分組區(qū)間的選擇。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（2）均值計算

平穩(wěn)過程子樣xk(k=1，2，…，N)

的均值，可由下式確定：

（1.5.4）

（3）相關函數(shù)

相關函數(shù)的估計有兩種方法。一種是直接計算法，另一種是用傅立葉變換計算功率譜密度函數(shù)，然后計算它的傅立葉逆變換。下面介紹直接法。 子樣xk(k=1，2，…，N)在時間位移m·Δt處的自相關函數(shù)，可由下式估計

（1.5.5）式中，m是滯后數(shù)，M是最大滯后數(shù)，對應的最大時間位移τmax

是M·Δt。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

當N很大時，上式可簡化為 （1.5.6）由此得到自相關函數(shù)的有偏估計。但因m相對于N來說是很小的數(shù)，故有偏估計與無偏估計（式1.5.5）的差別很小。對于協(xié)方差函數(shù)的估計，可先去均值，再作相關估計。 如果用相關函數(shù)的傅立葉變換來計算功率譜，則譜密度估計的頻率分辨力Δf

與最大時間位移τmax的關系是

（1.5.7）

（4）功率譜估計對0≤ω≤ωc（或0≤f≤fc）范圍內(nèi)的任意ω，單邊功率譜密度函數(shù)Gx(ω)

可用下式估計：2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析（1.5.8）其中，?t

為采樣間隔，ωc=π/?t

為截止頻率。通常稱上式定義的函數(shù)Gx(ω)為周期圖。

單邊功率譜密度函數(shù)Gx(ω)也可用下式估計：

（1.5.9）式中，X(n)與xk

(n，k=0，1，2，…，N-1

)的構成離散傅立葉變換對，即2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

單邊譜Gx(ω)與雙邊譜Φx(ω)的關系可用圖1-12

來表示。二者存在如下的關系： 上述推導的結果也適用于互密度函數(shù)的值。圖1-12單邊譜與雙邊譜參數(shù)之間的關系（a）雙邊譜（b）單邊譜(b)(a)Gx(ω)ωΦx(ω)0-ω-ω-dωω+dωω0ω+dωωω2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（5）用DFT做譜分析的參數(shù)選擇

采樣間隔

?t應滿足采樣定理采樣點數(shù)

N

與采樣間隔

?t及信號持續(xù)時間T的關系應滿足式中，Δf

為譜分析的頻率分辨力。

例1-3

用快速傅立葉變換（FFT）進行頻譜分析，N必須是2

的整次冪?，F(xiàn)假設信號的上限頻率fc=1250Hz,要求譜分析的頻率分辨力Δf≤5

Hz。

解（1）由頻率分辨力確定采集信號的最小持續(xù)時間:2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（2）由上限頻率確定最大采樣周期:

（3）DFT點數(shù)應滿足選擇滿足2的整次冪的DFT點數(shù)，即 如果x(k)是實序列，則有X(k)=X*(N-k),(k=0,1,…,N/2

)利用該特性可減少DFT的計算量。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.5.3兩個樣本記錄的數(shù)字處理 設有兩個平穩(wěn)過程{x(t)}和{y(t)}的時間歷程記錄x(t)和y(t)，若它們只在t0≤t≤t0+T上存在（t0是任意常數(shù)）。假定采樣間隔是?t，它對應的截止頻率是fc=1/(2·?t)，則x(t)

和y(t)的采樣值分別為 下面介紹的內(nèi)容均按上述假設作為前提。

（1）聯(lián)合概率密度函數(shù)與式（1.5.3）類似，兩個平穩(wěn)記錄x(t)和y(t)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（1.5.10）

2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

式中，Δx和Δy是中心分別為x和y的兩個窄區(qū)間，Nxy

是x和y同時落在這兩個窄區(qū)間的數(shù)目，N為采樣容量。 （2）均值

首先需要計算的量是子樣均值

然后計算去均值后的數(shù)據(jù)值（1.5.11）它們對應于新的不含有直流分量的時間記錄為x(t)=x(t)-mx和y(t)=y(t)-my

（3）互相關函數(shù)

有兩種估計方法，直接法和間接法。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

子樣的互相關函數(shù)在滯后數(shù)m=0,1,2,…,M處的直接無偏估計為 （1.5.12）此外，根據(jù)式（1.2.16），可計算出互相關系數(shù)ρxy(m)。

（4）互譜密度函數(shù)設有xk

和yk

(k=0,1，2，…，N-1)用DFT方法計算互相關函數(shù)可采用如下步驟：①先按下式計算互譜密度函數(shù)，即（1.5.13）②計算互譜密度Gxy(n)的逆DFT，就可估計出互相關函數(shù)Rxy(m)。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（5）頻率響應函數(shù)根據(jù)式（1.3.8），估計頻率響應函數(shù)H(jω)可采用下式，即（1.5.14）或者，寫成幅頻特性和相頻特性的形式： （1.5.15）因此，按前面介紹的譜密度和互譜密度DFT估計算法，即可估計出系統(tǒng)的頻率特性。

（6）相干函數(shù)采用FFT方法計算ωn=2πn/(N·?t)，（n=0，1，2，…，N-1）處的相干函數(shù)可由下式估計：2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析1.6觀測數(shù)據(jù)準備、檢驗與修正

測控系統(tǒng)是受隨機噪聲污染的動態(tài)系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)的觀測量是隨機變量。在一般情況下，被測對象的真實波形往往是不知道的，故波形的畸變是不容易被發(fā)現(xiàn)。因此，簡單地根據(jù)測試波形直接求得結果，往往會產(chǎn)生很大的誤差，乃至得出錯誤的結論。本節(jié)將介紹隨機數(shù)據(jù)分析處理的若干問題和畸變波形的反演修正方法。1.6.1隨機數(shù)據(jù)預處理的基本內(nèi)容 數(shù)據(jù)處理都包含以下基本內(nèi)容：其一、數(shù)據(jù)獲??；其二、數(shù)據(jù)準備；其三、數(shù)據(jù)檢驗與分析。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

（1）數(shù)據(jù)獲取數(shù)據(jù)的采集、記錄與傳遞。在某些應用中，也可以直接用傳感器的輸出信號作實時數(shù)據(jù)處理；而在多數(shù)場合，需要將采集數(shù)據(jù)存儲起來。

（2）數(shù)據(jù)準備目的是要檢測和剔除野點和奇異項（過高和過低的觀測數(shù)據(jù)）；校正、計算數(shù)據(jù)使之與實際物理單位相聯(lián)系；最后預驗數(shù)據(jù)，包括：消除電平漂移和趨勢項。一般用一階差分法檢測奇異項；用采樣平均估計檢測電平漂移；用最小二乘法和均斜率法消除趨勢項。

（3）數(shù)據(jù)檢驗與分析隨機數(shù)據(jù)處理的結果是否正確，取決于數(shù)據(jù)的一些基本特性：①數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性；②周期性；③正態(tài)性。

非平穩(wěn)數(shù)據(jù)與平穩(wěn)數(shù)據(jù)的處理方法是不同；2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

周期性的正確判別可以避免在結果的解釋中出現(xiàn)錯誤；

正態(tài)性的判定對數(shù)據(jù)計算精度有直接的影響，比如，最小二乘法就是建立在數(shù)據(jù)正態(tài)分布的前提下的。

①平穩(wěn)性檢驗

其重要特征是時間波形的平均值波動小，波形的峰谷變化比較均勻，頻率結構比較一致。例如，對于單個記錄樣本x(t)的平穩(wěn)性檢驗，可用如下方法： 第一步，把樣本記錄分為N個等間隔的獨立區(qū)間；

第二步，對每個區(qū)間計算均方值，并列成時間序列：

第三步，檢驗該均方值序列，看是否有因采樣變化以外的其它因素而引起的變化（或變化趨勢）？如果沒有，則可判為平穩(wěn)隨機數(shù)據(jù)。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

②周期性和準周期數(shù)據(jù)分析主要是檢驗觀測數(shù)據(jù)中是否含有周期或準周期的正弦成分。通常進行功率譜分析。這是因為在正弦分量的頻率上，各譜值出現(xiàn)一個尖峰，它對應于正弦分量的均方值（頻率分辨力×譜密度的最大峰值）。盡管這種尖峰有時會與窄帶隨機分量混淆，但如果數(shù)據(jù)中的周期分量很強時，則它們的存在往往是易于分辨的，采用適當?shù)臑V波器，就可以從數(shù)據(jù)中分離出這些正弦分量。 在高分辨力的功率譜中，即使周期分量很弱，也會顯示出尖峰形狀，但是譜的尖峰也可能表示窄帶隨機數(shù)據(jù)。所以，必須用更高分辨力的帶通濾波器重復測量、計算功率譜函數(shù)，才能區(qū)別出這兩者尖峰。

在相關函數(shù)圖中，周期分量總是一條連續(xù)振蕩的曲線。

2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

③正態(tài)性檢驗簡明的方法是估計觀測數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)，然后與理想的正態(tài)分布曲線比較；還可以采用作圖表的方式，即把一組數(shù)據(jù)序列標在專用的正態(tài)概率分布圖上，若樣本記錄的各點近似地落在一條直線上，則說明樣本符合正態(tài)分布。

與上述數(shù)據(jù)檢驗與分析方法對應的統(tǒng)計信號處理方法有：

均值和均方差是數(shù)據(jù)分布中心趨勢和散布的基本測量，直接估計的均值和均方差，可用于檢驗數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。

相關估計可用于檢測隨機數(shù)據(jù)中的周期分量；互相關估計可以用來檢驗兩個記錄波形的相似性。

功率譜密度是描述平穩(wěn)隨機過程統(tǒng)計特性的最有力數(shù)學工具之一，它確定了平穩(wěn)過程的頻率結構。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

功率倒頻譜（Cepstrum）定義為對數(shù)功率譜的功率譜，即

式中，τ稱為倒頻率，具有時間因次，F(xiàn)表示傅立葉變換。 注意到自相關函數(shù)可表示為可見倒頻率與自相關函數(shù)的時間因次τ是一樣的。

高的倒頻率表示譜中的快速變化分量；低的倒頻率表示譜中的緩慢波動分量。倒譜在功率譜的對數(shù)計算時給低幅值分量予以較高的加權，其作用既可突出譜的周期性，又能精確地測出頻率間隔。而相關函數(shù)與頻譜形狀的關系十分密切，經(jīng)濾波后實際上不能檢測出相關函數(shù)的峰值；而功率譜的對數(shù)對濾波器帶寬的變化是不敏感的。因此，在自相關函數(shù)無法分辨的場合，功率倒頻譜還能顯示出延時峰值。2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析

概率密度的估計常常被忽略，因為人們一般總是認為隨機現(xiàn)象是服從正態(tài)分布的。然而，在一些場合下，隨機數(shù)據(jù)可能會嚴重偏離正態(tài)分布。若在正態(tài)性檢驗時發(fā)現(xiàn)確實有這種偏離，則必須估計觀測數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)，以獲得數(shù)據(jù)的實際概率分布。 對于非平穩(wěn)和瞬變數(shù)據(jù)，或用于特殊目的的隨機數(shù)據(jù)處理，有時也可以按上述方法進行預處理，但這種分析結果的解釋，必須特別慎重。除此之外，還有卷積分析、細化FFT分析、最大熵譜分析、時頻分析和小波分析等，在今后的章節(jié)中還將介紹這些內(nèi)容，在此暫不贅述。1.6.2畸變波形的反演修正 畸變波形的反演就是對觀測數(shù)據(jù)（或波形）進行修正來獲得真實波形的過程。

①幅值和相位進行修正； ②波形的基線修正，消除因漂移或基線移動所引起的畸 變和趨勢項；

2024/3/6波形、頻譜與隨機信號分析 ③濾波。 下面重點介紹波形的基線修正。1.波形基線修正的意義

①數(shù)值積分，微小波動，積分后的影響很大； ②進行參量變換（提供一些無法測量的參數(shù)）、相互校核計算，必須有統(tǒng)一基準；

③補償傳感器性能特性所引起的偏差（如殘余位移和殘余應力等）；

④系統(tǒng)的飄溢、干擾、非線性輸出、充放電作用、傳感器安裝等，都可能造成基線的移