波形與頻譜分析(第一章)

2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析現(xiàn)代測(cè)試系統(tǒng)

分析、建模與仿真自動(dòng)化學(xué)院測(cè)控技術(shù)技術(shù)系2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析第一章波形、頻譜與隨機(jī)過(guò)程分析信息產(chǎn)業(yè)的三大支柱：

1.信息獲取（傳感器、儀器：量值信息）

2.信息傳遞（通訊設(shè)備）

3.信息處理（計(jì)算機(jī)） 本課程主要是研究“信息處理”問(wèn)題。

波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)處理是現(xiàn)代信息處理技術(shù)的主要內(nèi)容之一2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.1.1觀測(cè)數(shù)據(jù)的波形與頻譜

1.波形：時(shí)間

橫坐標(biāo)、物理觀測(cè)量（幅值）縱坐標(biāo)，得到一種變化的圖形，稱之為時(shí)域波形；電、磁、光力、位移、速度、加速度（機(jī)械量）觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)間幅值O1.1波形與頻譜的基本概念2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

2.頻譜：頻率

橫坐標(biāo)、經(jīng)數(shù)學(xué)變換后的物理觀測(cè)量（如：幅值、相位、功率）縱坐標(biāo)，得到一種變化的圖形或譜線，稱之為頻譜。

3.波形分析：一般是指對(duì)觀測(cè)信號(hào)在時(shí)間域和幅值域里進(jìn)行分析，以得到描述觀測(cè)信號(hào)的各種特征或關(guān)系。

例如：①波形的起始時(shí)間與持續(xù)時(shí)間 ②波形的時(shí)間滯后③波形的畸變④波形與波形之間的相似程度

4.頻譜分析：是對(duì)觀測(cè)信號(hào)在頻率域內(nèi)進(jìn)行分析，得到：①幅值譜/相位譜，②功率譜，③互譜密度等分析結(jié)果。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

5.波形與頻譜的關(guān)系：波形分析頻譜分析，即式中，X(ω)是x(t)的傅立葉變換，x(t)是X(ω)的傅立葉逆變換。 圖1-1直觀地表示了時(shí)間域和在頻率域觀測(cè)信號(hào)之間的有機(jī)聯(lián)系。譜分析的數(shù)學(xué)工具

傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉積分FT2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析t譜線2πf圖1-1波形與頻譜

（a）時(shí)域波形；（b）時(shí)頻關(guān)系；（c）頻域譜線(b)(a)幅值幅值時(shí)域觀測(cè)頻域觀測(cè)(c)2πf幅值2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 ①絕大多數(shù)觀測(cè)中是看不到真實(shí)波形的； ②實(shí)際觀測(cè)到的波形無(wú)法與真實(shí)波形進(jìn)行比較。

這樣就可能把已“扭曲”的測(cè)試數(shù)據(jù)當(dāng)作結(jié)果加以應(yīng)用！ 因此，未經(jīng)分析處理、修正反演而簡(jiǎn)單地根據(jù)測(cè)試波形直接求得的結(jié)果，往往會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，有時(shí)甚至?xí)贸鲥e(cuò)誤的結(jié)果。

波形的分析與處理的目的之一就是要避免出現(xiàn)這種情況。觀測(cè)波形失真畸變哈哈鏡2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.1.2 觀測(cè)數(shù)據(jù)的類型與描述觀測(cè)波形在容差內(nèi)可重復(fù)在容差內(nèi)不可重復(fù)確定性數(shù)據(jù)隨機(jī)性數(shù)據(jù)觀測(cè)波形周期性數(shù)據(jù)非周期性數(shù)據(jù)簡(jiǎn)諧周期數(shù)據(jù)復(fù)雜周期數(shù)據(jù)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)瞬變數(shù)據(jù)2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 1.簡(jiǎn)諧周期數(shù)據(jù):

可用下列形式的函數(shù)來(lái)描述：（1.1.1）式中：

A——振幅；

f0=1/T——頻率，表示波在單位時(shí)間內(nèi)的循環(huán)數(shù)；

T——周期，表示正弦波完成一次循環(huán)所需的時(shí)間；

ω0=2πf0

——角頻率；

φ

——相對(duì)時(shí)間原點(diǎn)的初始相位（弧度）。

例如:交流發(fā)電機(jī)的電壓輸出，偏心轉(zhuǎn)子的振動(dòng)……

從數(shù)據(jù)分析的角度出發(fā)，簡(jiǎn)諧數(shù)據(jù)是觀測(cè)數(shù)據(jù)中最簡(jiǎn)單的形式。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

2.復(fù)雜周期數(shù)據(jù):

可用周期時(shí)變函數(shù)表示：（1.1.2） 與簡(jiǎn)諧周期波形一樣，一個(gè)波經(jīng)歷的時(shí)間稱為周期T，單位時(shí)間內(nèi)的循環(huán)數(shù)稱為基頻

f1

。顯然，簡(jiǎn)諧周期波是復(fù)雜周期波的一個(gè)特例。

復(fù)雜周期波可以展成傅立葉級(jí)數(shù)：（1.1.3）2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析式中：復(fù)雜周期數(shù)據(jù)還可以用傅立葉級(jí)數(shù)的另一種表達(dá)形式:

（1.1.4）其中2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

如果只考慮復(fù)雜周期數(shù)據(jù)的幅值譜，則可用圖1-2所示的離散譜線來(lái)表示式（1.1.4）的幅頻特性。

3.準(zhǔn)周期數(shù)據(jù):

準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)是一種非周期數(shù)據(jù)，可用下式表示為圖1-2復(fù)雜周期數(shù)據(jù)的頻譜（幅值譜）X3X2X1X0幅值ff0f1f2f32024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析（1.1.5）式中，fn/fm（n≠m）在任何情況下都不等于有理數(shù)。 當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)無(wú)關(guān)聯(lián)的周期性現(xiàn)象混合作用時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。

例如：多機(jī)組內(nèi)燃機(jī)車在發(fā)動(dòng)機(jī)不同步時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)就是準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)也可用圖1-2所示的離散譜線來(lái)表示它的幅值譜，其差別僅僅是各個(gè)分量的頻率不再是有理數(shù)的關(guān)系。

4.瞬變非周期數(shù)據(jù):

除了準(zhǔn)周期以外的所有非周期信號(hào)都屬于瞬變數(shù)據(jù)。瞬變數(shù)據(jù)與周期數(shù)據(jù)不同的一個(gè)重要特征，就是它不能用離散譜來(lái)表示（連續(xù)譜）。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

在多數(shù)情況下，瞬變數(shù)據(jù)可用傅立葉積分表示

（1.1.6）式中，|X(ω)|—幅頻特性，θ(ω)—相頻特性。二者均為連續(xù)譜。1.2隨機(jī)過(guò)程及其數(shù)學(xué)特征

觀測(cè)數(shù)據(jù)單個(gè)時(shí)間歷程樣本函數(shù)某一時(shí)間區(qū)間樣本記錄全部時(shí)間歷程隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)數(shù)據(jù)確定性變化規(guī)律2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.2.1隨機(jī)過(guò)程的基本數(shù)字特征

隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)族能完善地刻畫隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，但在實(shí)際觀測(cè)中，往往只能得到部分樣本，用這些樣本來(lái)確定分布函數(shù)是困難的，甚至是不可能的，因而有必要引入基本數(shù)字特征來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。

1.一階矩或期望值給定實(shí)或復(fù)隨機(jī)過(guò)程{x(t)}，固定t，則x(t)是一隨機(jī)變量，其一階矩一般與t

有關(guān)，記為（1.2.1）

稱mx(t)為隨機(jī)過(guò)程{

x(t)}的均值函數(shù)或數(shù)學(xué)期望。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 2.二階矩與相關(guān)函數(shù)將實(shí)或復(fù)隨機(jī)變量x(t)的二階原點(diǎn)矩記作

（1.2.2）

稱它為隨機(jī)過(guò)程{x(t)}的均方值函數(shù)；而將隨機(jī)過(guò)程{x(t)}的二階中心矩分別記作

（1.2.3）稱它為隨機(jī)過(guò)程{x(t)}的方差函數(shù)

；其中，σx稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，它表示隨機(jī)變量x(t)在t

時(shí)刻相對(duì)于均值的平均偏離程度。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

對(duì)于任意t1，t2∈

，定義隨機(jī)變量x(t1)和x(t2)的二階原點(diǎn)混合矩（即自相關(guān)函數(shù)，或簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)）為（1.2.4）

式中，x*(t2)是x(t2)的復(fù)共軛。類似地，還可定義隨機(jī)變量x(t1)和x(t2)的二階中心混合矩：

（1.2.5）通常，稱它為隨機(jī)過(guò)程{x(t)}的自協(xié)方差函數(shù)，簡(jiǎn)稱協(xié)方差函數(shù)。 自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是刻畫隨機(jī)過(guò)程自身在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)變量之間的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間具有如下關(guān)系：當(dāng)t1=t2=t時(shí)，上式變?yōu)?類似地，兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程{x(t)}和{

y(t)}的互相關(guān)函數(shù)定義為（1.2.6）而它們的互協(xié)方差函數(shù)為

（1.2.7）方差均方值均值的平方2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析其中my(t)是隨機(jī)過(guò)程{

y(t)}的均值函數(shù)。

若兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程{x(t)}和{

y(t)}分別是為n×1和m×1的列向量，用上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置，則它們的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)可表示為式中，Rx(t1，t2)為n×n矩陣，Rxy(t1，t2)為n×m矩陣。 相應(yīng)的協(xié)方差函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)也是矩陣函數(shù)。

3.不相關(guān)，正交，獨(dú)立過(guò)程考慮兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程{x(t)}和{y(t)}：①如果{x(t)}和{y(t)}是不相關(guān)的，則互協(xié)方差函數(shù)為0，即：（1.2.8）先乘后取均值與取均值后再相乘2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 ②如果

{x(t)}和{

y(t)}正交，則相關(guān)函數(shù)為0，即（1.2.9） ③如果兩個(gè)隨機(jī)變量

x(t)和y(t)獨(dú)立，則有（1.2.10）其中，p(x),p(y)和p(x，y)分別表示隨機(jī)變量x(t)，y(t)的概率密度函數(shù)及二者的聯(lián)合概率密度函數(shù)。 對(duì)于零均值隨機(jī)過(guò)程不相關(guān)和正交是等價(jià)的。上述關(guān)系很容易推廣到n個(gè)隨機(jī)過(guò)程，不贅述。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.2.2平穩(wěn)過(guò)程的基本數(shù)字特征

如果隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。嚴(yán)格地說(shuō)，對(duì)于某一實(shí)數(shù)域（通常是指時(shí)間域

），如果對(duì)任意的t1，t2，…，tn∈

和任意實(shí)數(shù)h，當(dāng)t1+h，t2+h，…，tn+h∈

時(shí)，n維隨機(jī)變量[x(t1)，x(t2)，…，x(tn)]和[x(t1+h)，x(t2+h)，…，x(tn+h)]具有相同的分布函數(shù)，則稱隨機(jī)過(guò)程{x(t)，t∈

}具有平穩(wěn)性，并稱此過(guò)程為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

由平穩(wěn)過(guò)程的定義，對(duì)于任意t，t+τ∈T，一維隨機(jī)變量x(t)和x(t+τ)同分布。取τ=-t，則有（1.2.11） 同樣，x(t)的均方值函數(shù)ψx2和方差函數(shù)σx2亦均為常數(shù)。在式（1.2.4）和（1.2.5）中，令t2=t和t1–t2=τ，就有（1.2.12） 這表明平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)僅是時(shí)間差τ=t1

–t2的函數(shù)。當(dāng){x(t)}為零均值平穩(wěn)過(guò)程，就有2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

滿足式（1.2.11）和（1.2.12）的隨機(jī)過(guò)程稱為弱平穩(wěn)過(guò)程或廣義平穩(wěn)過(guò)程；反之，則為非平穩(wěn)過(guò)程。相對(duì)地，按分布函數(shù)定義的平穩(wěn)過(guò)程稱為嚴(yán)格平穩(wěn)過(guò)程。 類似地，如果Rxy(t1，t2)只是時(shí)間差t1–t2=τ的單變量函數(shù)，記為Rxy(τ)，則稱{x(t)}和{y(t)}是平穩(wěn)相關(guān)的。 平穩(wěn)相關(guān)過(guò)程{x(t)}和{y(t)}的互協(xié)方差函數(shù)可寫成

由上式可見(jiàn)，當(dāng){x(t)}和{y(t)}中有一個(gè)是零均值的，則互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)相等。 前面討論的平穩(wěn)和非平穩(wěn)性概念，是指隨機(jī)過(guò)程總體平均特性而言的。如果可用總體中的某個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析來(lái)代替總體平均

,即對(duì)于任意τ∈T，平穩(wěn)過(guò)程{x(t)}中的第k個(gè)樣本函數(shù){xk(t)}的均值和自相關(guān)函數(shù)可分別表示成

（1.2.13）（1.2.14）則稱此平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性（ergodicity）。 在大多數(shù)情況下，表示平穩(wěn)物理現(xiàn)象的隨機(jī)數(shù)據(jù)，一般是近似各態(tài)歷經(jīng)的。因此，如果能夠事先確定某隨機(jī)過(guò)程是各態(tài)歷經(jīng)的，則只要驗(yàn)證單個(gè)樣本記錄的平穩(wěn)性，就可有效地判定該記錄所屬的隨機(jī)過(guò)程能否滿足平穩(wěn)性和遍歷性。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.2.3相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 假設(shè){x(t)}和{y(t)}是平穩(wěn)相關(guān)過(guò)程，

Rx(τ)，Ry(τ)和Rxy(τ)分別是它們的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)，則它們具有以下五個(gè)性質(zhì):

①Rx(0)=E[x2(t)]=ψx2>0，表示平穩(wěn)過(guò)程{x(t)}的“平均功率”。

②

Rx*(-τ)=Rx(τ)；Rxy*(τ)=Ryx(-τ)。這些關(guān)系可以從它們的定義直接得到。

③關(guān)于相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)有下列不等式： 根據(jù)定義和Cauchy-Chwartz不等式2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析可證得。

相關(guān)函數(shù)表示同一過(guò)程（或波形）相差時(shí)刻τ的相似程度。在相關(guān)函數(shù)中還可以定義自相關(guān)系數(shù)（或歸一化協(xié)方差），即波形x(t)的協(xié)方差函數(shù)與均方差之比：（1.2.15）

互相關(guān)函數(shù)表示兩個(gè)過(guò)程（或波形）相差時(shí)刻τ的相似程度。定義互相關(guān)系數(shù)為（1.2.16）2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

顯然,|ρx(τ)|≦1，|ρxy(τ)|≦1。注意，許多教科書將ρxy(τ)定義相關(guān)系數(shù)。 如果x(t)和y(t)不相關(guān)，根據(jù)定義式（1.2.8），則有ρxy(τ)=0。這表明隨機(jī)變量[x(t)-mx

]

和[y(t)-my

]

是正交的，于是即（1.2.17）

④Rx(τ)是半正定的，即對(duì)于任意數(shù)組t1,…,tn∈

和任意實(shí)或復(fù)值函數(shù)g(t)

都有2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

如果Ru是半正定矩陣函數(shù)，那么，對(duì)于t1,…,tk∈

和C1,…,Ck∈Cn,有（1.2.19） （5）如果平穩(wěn)過(guò)程{x(t)}的概率分布函數(shù)滿足P{x(t+T0)=x(t)}=1則稱它是周期為T0的平穩(wěn)過(guò)程。周期平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)必是周期為T0的函數(shù)。1.2.4 功率譜及其性質(zhì) 首先給出傅立葉變換對(duì)重要定理，然后將確定性函數(shù)的功率譜密度的定義推廣到隨機(jī)過(guò)程，建立起相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間的關(guān)系。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（1）帕塞瓦爾（Parseval）定理假設(shè)確定性函數(shù)x(t)的傅立葉變換存在，即（1.2.20）式中，X(ω)稱為x(t)的頻譜，它一般是角頻率的復(fù)函數(shù)。 當(dāng)x(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)，有

其中，X*(ω)

表示X(ω)

的共軛函數(shù)。 在x(t)

和X(ω)

之間存在如下關(guān)系，即（Parseval）定理：（1.2.21）2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析等式左邊表示x(t)在時(shí)域上的總能量，而右邊的被積函數(shù)|X(ω)|2稱為x(t)的能譜密度。這樣，Parseval定理又可理解為總能量的譜表達(dá)式。

（2）功率譜密度很多確定性函數(shù)的總能量是無(wú)限的，所以式（1.2.21）是無(wú)意義的。為此，選有限時(shí)間T，對(duì)x(t)

構(gòu)造限時(shí)（截尾）函數(shù)：

（1.2.22）

令T→∞，則由式（1.2.21）可以寫出限時(shí)函數(shù)xT(t)在區(qū)間[-T，T]上的總平均功率：2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析式中，XT(ω)

是XT

(t)

在區(qū)間[-T，T]

上的傅立葉變換。

定義如果

（1.2.23）則稱Φx(ω)為x(t)

的功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱譜密度；而Φx(ω)dω稱為譜分布函數(shù)。

（3）平穩(wěn)過(guò)程的譜密度考慮隨機(jī)過(guò)程{x(t)}，當(dāng)然{x2(t)}

也是隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于隨機(jī)過(guò)程直接使用上式是不方便的，但只要對(duì)式（1.2.23）兩邊取均值，就可得到適合于平穩(wěn)過(guò)程的平均功率表達(dá)式：2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析（1.2.24）其中，將隨機(jī)變量x(t)

的譜密度定義為（1.2.25） 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程{x(t)}，均方值函數(shù)E[x2(t)]與時(shí)間無(wú)關(guān)，由式（1.2.24）可知即平穩(wěn)過(guò)程的平均功率等于該過(guò)程的均方值或Rx(0)。p.472024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

(4）維納-辛欽（Wiener-Khintchine）公式

譜密度的一個(gè)重要性質(zhì)表現(xiàn)在它與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系上。具體地說(shuō)，對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)數(shù)據(jù)，這兩者可由傅立葉變換聯(lián)系起來(lái)，即

（1.2.26）（1.2.27）

證明考慮式（1.2.25），將Φx(ω,T)中的平方項(xiàng)寫成二重積分，得到

2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，E[x(t1)x*(t2)]=Rx(t1–t2)。故有

令t1-t2=τ，

t1=t，并將它們代入上式進(jìn)行變量置換，則在圖1-3的陰影區(qū)域，有Rx(τ)=常數(shù)。容易看出，該區(qū)域的面積等于(2T-|τ|)·dτ，而τ的變化范圍為（-2T,2T）。因此于是，由式（1.2.25），可得顯然，上式成立的條件是2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析對(duì)所考慮的平穩(wěn)過(guò)程，這個(gè)條件必須加以檢驗(yàn),證畢。圖1-3Φx(ω)的二重積分示意圖02T-|τ|t2

t1

t1

–t2=τ+dτt1

–t2=τdττdτT-T-TT2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析在式（1.2.27）中，令τ=0，則有

因而，對(duì)于所有的ω，有Φx(ω)

≥

0。 如果隨機(jī)變量x(t)是實(shí)的，則Rx(τ)是實(shí)的偶函數(shù)，因此Φx(ω)也是偶函數(shù)，即Φx(ω)=

Φx(-ω)。在這種情況下，基本關(guān)系式（1.2.26）和（1.2.27）變成

（1.2.28）（1.2.29） 按以上定義的譜密度Φx(ω)對(duì)ω的正負(fù)值都是有定義的，故稱為“雙邊譜密度”。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

為了適應(yīng)實(shí)際測(cè)量，考慮定義在[0，∞]

上的平穩(wěn)過(guò)程{x(t)}，定義“單邊譜密度”如下：

（1.2.30）在此，XT(ω)

是x(t)

的單邊傅立葉變換。

功率譜密度Φx(ω)是在頻域上描述隨機(jī)過(guò)程{x(t)}的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的最重要數(shù)字特征，它的物理意義表示隨機(jī)變量x(t)的平均功率在頻域上的分布。

（5）平穩(wěn)過(guò)程的互譜密度互譜密度函數(shù)是在頻域上描述兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的相關(guān)性的。在實(shí)際應(yīng)用中，常常利用測(cè)控系統(tǒng)輸入輸出的互譜密度來(lái)確定系統(tǒng)的傳遞特性。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析考慮兩個(gè)平穩(wěn)數(shù)據(jù)x(t)

和y(t)，它們的互譜密度定義為（1.2.31）式中，XT(ω)和YT(ω)分別是xT(t)

和yT(t)

的傅立葉變換。容易證明，互相關(guān)函數(shù)與互譜密度是一傅立葉變換對(duì)，即（1.2.32）（1.2.33）令τ=0，就有 若x(t)是通過(guò)一個(gè)雙端網(wǎng)絡(luò)的電壓，y(t)是產(chǎn)生的輸入電流，則Rxy(0)就等于輸送到該網(wǎng)絡(luò)的功率期望值。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析如果x(t)和y(t)正交，則有

（1.2.34）這時(shí)就有（1.2.35） 例1-1

如果隨機(jī)過(guò)程{x(t)}的均值為零，且功率譜密度等于正常數(shù)，即則稱此過(guò)程為白噪聲過(guò)程，它的功率（或能量）與頻率無(wú)關(guān)，具有與白色光相同的能量分布性質(zhì)。反之，功率譜不等于常數(shù)的噪聲稱為有色噪聲。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

白噪聲的相關(guān)函數(shù)為 圖1-4表示白噪聲的相關(guān)函數(shù)和譜密度?？梢?jiàn)，白噪聲可定義為均值為零，且相關(guān)函數(shù)為δ函數(shù)的隨機(jī)過(guò)程{x(t)}。這個(gè)過(guò)程在t1≠t2時(shí)，x(t1)和x(t2)是不相關(guān)的。圖1-4白噪聲:(a)相關(guān)函數(shù)(b)譜密度N0N0δ(τ)Φx(ω)Rx(τ)τ0ω0(a)(b)2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型，它的平均功率Rx(0)是無(wú)限的。實(shí)用上，如果噪聲的頻譜在一個(gè)比實(shí)際系統(tǒng)頻帶寬得多的范圍內(nèi)具有比較“平坦”的曲線，就可近似地當(dāng)成白噪聲來(lái)處理。通常，把這種噪聲稱為限帶白噪聲，它的譜密度滿足

對(duì)上式求傅立葉逆變換，可得

例1-2

二進(jìn)制偽隨機(jī)（Pseudo-noise）序列或PN序列是由1和0組成的序列，它的相關(guān)函數(shù)與白噪聲很相似，它近似為一個(gè)脈沖，但有一個(gè)重復(fù)周期T。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

最常用的PN序列就是M序列，可用圖1-5帶有線性反饋的M階線性移位寄存器產(chǎn)生，其長(zhǎng)度為N=2M-1比特，周期T=15·?t（M=4），其中?t

為時(shí)鐘脈沖的周期。在每個(gè)周期T產(chǎn)生2M-1個(gè)1，2M-1個(gè)0，具有良好的平衡性。 將由{0，1}組成的二進(jìn)制序列變換為一個(gè)由{-1，1}組成的二進(jìn)制序列。這個(gè)由{-1，1}組成的等價(jià)序列

{cn}稱之為雙極性序列。圖1-5用于產(chǎn)生偽隨機(jī)序列的4階移位寄存器時(shí)鐘（移位脈沖）?t輸出偽隨機(jī)碼0，1，0，0，…01T201T301T401T12024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析周期T=N·?t，幅度A=±1的M序列的自相關(guān)函數(shù)可用下式表示： 因?yàn)樾蛄衶cn}是周期性函數(shù)，故其自相關(guān)函數(shù)RM(τ)也具有周期性，如圖1-6所示。參數(shù)N和?t決定了M序列的特性。顯然，當(dāng)N→∞，RM(τ)→δ(τ)。由于RM(τ)是實(shí)的偶函數(shù)，故可根據(jù)式（1.2.29）來(lái)計(jì)算它的譜密度，即可見(jiàn)，M序列的功率譜密度函數(shù)是離散譜，且有一個(gè)sinc形包絡(luò)曲線，如圖1-7所示。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析L?t(N-1)?t1/N0?t?tRM(τ)1圖1-6M序列的自相關(guān)函數(shù)2π/Δtω2π/（3·Δt）OΦM(ω)?t3dB圖1-7M序列的功率譜密度函數(shù)3dB帶寬截止頻率2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（6）限時(shí)限帶函數(shù)及采樣定理

考慮實(shí)的周期函數(shù)或限時(shí)函數(shù)x(t)。若時(shí)間函數(shù)x(t)

僅在一段有限時(shí)間（0，T）內(nèi)有非零值，則稱為限時(shí)函數(shù)。限時(shí)函數(shù)x(t)

經(jīng)周期延拓之后，可化為周期函數(shù)，因此可表示為傅立葉級(jí)數(shù)：（1.2.36）其中X(n)稱為x(t)

在頻率為ωn=2πn/T

處的傅立葉系數(shù)，且滿足X(-n)=

X*(n)。如果X(n)僅僅在以下頻率范圍內(nèi)才有非零值，則稱x(t)

為限時(shí)限帶函數(shù)。這里，W表示頻帶寬度（譜寬），[TW]表示不超過(guò)T·W的最大整數(shù)。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

為方便起見(jiàn)，下面用TW代替[TW]。將式（1.2.36）中的第一式可寫成

（1.2.37）式中，X(n)=a(n)+jb(n)，通常X(0)=0。 式（1.2.37）表明：完整地描述一個(gè)持續(xù)時(shí)間為T，譜寬為W的限時(shí)限帶實(shí)值函數(shù)，需要也僅需要2TW個(gè)實(shí)數(shù)a(n)和b(n)

或TW個(gè)復(fù)數(shù)X(n)。這個(gè)結(jié)論實(shí)際上是采樣定理的另一種敘述方式。在工程上，采樣頻率一般取為信號(hào)上限頻率的3~5倍。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（7）周期函數(shù)的帕塞瓦爾公式

周期函數(shù)或限時(shí)限帶函數(shù)的帕塞瓦爾公式可表示為（1.2.38） 證明由式（1.2.36），并利用零均值條件、實(shí)函數(shù)傅立葉變換的共軛對(duì)稱性和三角函數(shù)的正交性，可得

式中，Re[·]表示取實(shí)部。如果x(t)是在（t-T，t）內(nèi)被觀測(cè)，則式（1.2.24）中的積分區(qū)間（0，T）可改為（t-T，t）。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.3線性系統(tǒng)的時(shí)頻分析

假設(shè)施加于圖1-8所示系統(tǒng)的輸入信號(hào)為x(t)，則系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出y(t)為（1.3.1)線性系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的頻率響應(yīng)函數(shù)H(jω)脈沖響應(yīng)函數(shù)

h(t)傅立葉變換傳遞函數(shù)

H(s)s=σ

+jω|σ=0拉普拉斯變換y(t)x(t)h(t)H(jω)圖1-8線性系統(tǒng)的輸入-輸出2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)的因果系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)函數(shù)

h(t)是實(shí)數(shù)，且對(duì)于負(fù)的t

取零值。但在下面的討論中不一定要作這樣的假設(shè)。1.3.1線性系統(tǒng)的相關(guān)分析

相關(guān)分析和最小二乘法是系統(tǒng)分析和參數(shù)估計(jì)最常用的兩種方法。這此僅介紹相關(guān)分析法。

（1）均值

假設(shè)線性系統(tǒng)的輸入信號(hào){x(t)}是一平穩(wěn)過(guò)程，對(duì)式（1.3.1）的兩邊取均值，則有顯然，y(t)的期望值是常數(shù)，由下式給出2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（1.3.2)

（2）相關(guān)分析在式（1.3.1）的兩邊同乘以x*(t-τ)，得到（1.3.3)由于所以，在式（1.3.3）兩邊取期望值，就有2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

上式右邊積分顯然與t無(wú)關(guān)，且等于Rx(τ)與h(τ)的卷積。因而上式左邊也與t無(wú)關(guān)。于是，根據(jù)互相關(guān)的定義，得到（1.3.4）將式（1.3.1）兩邊的復(fù)共軛乘以y(t+τ)，有再取期望值，又有（1.3.5）上式是令λ=-σ的結(jié)果。同樣的推理，可類似地證明（1.3.6）2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析合并以上二式，可得

（1.3.7）

（3）功率譜利用卷積定理，式（1.3.6）可寫成

（1.3.8）其中H*(jω)是h*(-τ)的傅立葉變換。于是有（1.3.9）上述關(guān)系可用圖1-9來(lái)表示。

（4）傳遞函數(shù)

H(jω)在平穩(wěn)輸入信號(hào)x(t)作用下，產(chǎn)生的輸出y(t)。當(dāng)用功率譜表示時(shí)，由式（1.3.9）可得到增益因子的估計(jì)：2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（1.3.10）上式只含有系統(tǒng)的幅頻特性。 為了求出系統(tǒng)的相頻特性θ(ω)，還需要互譜分析。由（1.3.8）的第一式，可知θ(ω)可用下式估計(jì)：（1.3.11）圖1-9平穩(wěn)過(guò)程的線性濾波Φx(ω)|H(jω)|2Φx(ω)H*(jω)Ry(τ)Φx(ω)Rx(τ)h*(-τ)H*(jω)h(τ)H(jω)Rxy(τ)2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

此外，還定義兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程{x(t)}和{y(t)}的相干函數(shù)(Coherencefunction)為（1.3.12） 它表示兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程在頻域上的“互相關(guān)”程度，故也稱為譜相關(guān)函數(shù)。顯然，0≤γxy2(ω)

≤1。

①如果在某些頻率點(diǎn)上γxy2(ω)=1，則表示x(t)和y(t)是完全相干的； ②如果在某些頻率點(diǎn)上γxy2(ω)=0，則表示x(t)和y(t)在這些頻率點(diǎn)上不相干（不凝聚），這也是不相關(guān)的另一種提法。 ③如果x(t)和y(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則恒有γxy2(ω)=0。

2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

在上述相干函數(shù)計(jì)算中，譜密度和互譜密度的估計(jì)必須是經(jīng)過(guò)總體平均的，否則，不論兩個(gè)過(guò)程是否相干，直接計(jì)算譜密度和互譜密度所得到的相干函數(shù)值將恒等于1。 在作系統(tǒng)的相關(guān)分析時(shí)，輸入信號(hào)

x(t)的譜寬應(yīng)大于線性系統(tǒng)

H(jω)的譜寬，這樣才能把線性系統(tǒng)H(jω)的所有振型激勵(lì)出來(lái)，使分析結(jié)果能反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

（5）系統(tǒng)簡(jiǎn)化考慮圖2-10中的兩個(gè)系統(tǒng)。設(shè)x1(t)，x2(t)

分別是它們的輸入，而y1(t)，y2(t)是對(duì)應(yīng)的輸出，即（1.3.13）y1(t)x1(t)h1(t)H1(jω)y2(t)x2(t)h2(t)H2(jω)圖2-10兩個(gè)單輸入-輸出系統(tǒng)2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析將第一式乘以y2*(t-τ)，第二式的復(fù)共軛乘以x1(t+τ),則有對(duì)這兩式取期望值，得到（1.3.14）上式的傅立葉變換為2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析故有（1.3.15） 這相當(dāng)于兩個(gè)系統(tǒng)h2*(-τ)和h1(τ)串聯(lián)成一個(gè)系統(tǒng)，并用Rx1x2(τ)作為系統(tǒng)的輸入。

（6）分離系統(tǒng)若兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性（或頻帶）不重疊，如圖1-10所示，則有那么，式（1.3.15）表明，對(duì)于任意的x1(t)

和x2(t)，通過(guò)分離系統(tǒng)得到的輸出y1(t)和y2(t)是正交的。

0ω|H1(jω)||H2(jω)|圖2-10分離系統(tǒng)2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

利用該結(jié)論，只須把單個(gè)過(guò)程{x(t)}作為兩個(gè)分離系統(tǒng)的公共輸入，就可以產(chǎn)生兩個(gè)正交過(guò)程{y1(t)}和{y2(t)}。若E[x(t)]=0,則兩個(gè)輸出的期望值也是零，且不相關(guān)的。1.3.2線性系統(tǒng)的隨機(jī)激勵(lì) 在系統(tǒng)的輸入端施加統(tǒng)計(jì)特性已知的噪聲擾動(dòng)，然后觀測(cè)系統(tǒng)的輸出。從這些受到隨機(jī)干擾的局部觀測(cè)數(shù)據(jù)出發(fā)，應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具可以分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，或建立數(shù)學(xué)模型。常用的噪聲序列有白噪聲和偽隨機(jī)信號(hào)，因?yàn)槎叨加忻鞔_的統(tǒng)計(jì)特性，而且易于用儀器或數(shù)字計(jì)算機(jī)產(chǎn)生。

（1）輸入信號(hào)為白噪聲

設(shè)線性因果系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為h(t)，輸入信號(hào)x(t)

為白噪聲，不妨設(shè)Rx(τ)=δ(τ)，2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析則由式（1.3.6）可知系統(tǒng)輸出y(t)與輸入x(t)之間的互相關(guān)函數(shù)為可見(jiàn)，只須對(duì)τ>0，計(jì)算出Ryx(τ)，就能知道系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)。該算法可用Matlab/Simulink圖示化方塊圖（見(jiàn)圖1-11）進(jìn)行仿真。y(t)x(t)白噪聲信號(hào)源線性系統(tǒng)H(s)延遲τ乘法器積分器1/(T·s)示波器圖1-11輸入信號(hào)為白噪聲的系統(tǒng)辨識(shí)框圖（Simulink）干擾n(t)2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

如果干擾n(t)

與激勵(lì)x(t)

互不相關(guān)，即Rnx(τ)=0，則仿真“示波器”顯示的曲線就是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)。該結(jié)論證明如下：如果過(guò)程具有遍歷性，那么對(duì)充分大的T，積分器的輸出z(τ)

為

①在多數(shù)情況下，可以把白噪聲信號(hào)疊加在正常輸入信號(hào)上，對(duì)測(cè)控系統(tǒng)進(jìn)行在線辨識(shí)； ②白噪聲的自相關(guān)函數(shù)是脈沖函數(shù)，因而它與其它噪聲幾乎都互不相關(guān)。因此,用白噪聲作為輸入信號(hào)能夠排除其它干擾信號(hào)的影響。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

③為了取得精確的估計(jì)值，必須延長(zhǎng)積分時(shí)間T，計(jì)算互相關(guān)函數(shù)就要耗費(fèi)大量的時(shí)間，從而影響在線辨識(shí)的實(shí)時(shí)性。

（2）輸入信號(hào)為偽隨機(jī)序列

為了保持白噪聲作為輸入信號(hào)時(shí)的優(yōu)點(diǎn)，克服其缺點(diǎn)，可采用偽隨機(jī)噪聲信號(hào)（簡(jiǎn)稱偽隨機(jī)信號(hào)）作為激勵(lì)信號(hào)。在例1-2中給出的M序列的相關(guān)函數(shù)與白噪聲信號(hào)很相似，可視為脈沖信號(hào)，但它有一個(gè)重復(fù)周期T。 如果M序列的幅值是{-a,a}，且序列的長(zhǎng)度N足夠大，那么它自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)

在τ=…，-2T,-T,0,T,

2T,…

各點(diǎn)取值為序列的均方值a2，而其余各處均接近于零，故Rx(τ)是一個(gè)脈沖序列2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

可將M序列看作出現(xiàn)在每一周期內(nèi)T的白噪聲信號(hào)。

①在選擇M

序列x(t)的周期T時(shí)，應(yīng)事先估計(jì)系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間ts，使得T>ts。這樣，在T時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(t)已經(jīng)衰減到幾乎為零。于是，可在0~T之間按圖1-11來(lái)計(jì)算Ryx(τ),從而得到完整的h(t)。

②要適當(dāng)選取M序列的時(shí)鐘脈沖的周期?t時(shí)（參見(jiàn)圖1-7），確保它的譜寬（1/3?t)大于系統(tǒng)的譜寬。 這樣，采用偽隨機(jī)信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)的結(jié)果與采用白噪聲作為激勵(lì)信號(hào)的結(jié)果才能基本相同。 由于偽隨機(jī)信號(hào)是物理可實(shí)現(xiàn)的，而白噪聲是理想化的數(shù)學(xué)模型，因此，偽隨機(jī)信號(hào)在測(cè)控技術(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用更為廣泛。ts2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.4平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程

高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱高斯過(guò)程，是非常重要的隨機(jī)過(guò)程，在測(cè)控系統(tǒng)中的隨機(jī)信號(hào)大多服從高斯分布。1.4.1高斯過(guò)程的定義和性質(zhì) 考慮實(shí)的隨機(jī)過(guò)程{x(t)}，如果它的密度函數(shù)的形式為（1.4.1）則稱為高斯隨機(jī)過(guò)程。在本節(jié)中各參數(shù)符號(hào)的意義與1.2節(jié)中所定義的相同，以下不再贅述。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

考慮兩個(gè)實(shí)的隨機(jī)過(guò)程{x(t)}和{y(t)}，如果它的密度函數(shù)的形式為（1.4.2）則稱為二維高斯隨機(jī)過(guò)程。其中，ρxy是隨機(jī)變量x(t)

和y(t)的互相關(guān)系數(shù)，即 考慮nx×1和ny

×1向量隨機(jī)過(guò)程{x(t)}和{y(t)}，如果它們的聯(lián)合密度函數(shù)的形式為

2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析（1.4.3）則稱{x(t)}和{y(t)}為聯(lián)合高斯向量隨機(jī)過(guò)程。其中，det(·)表示矩陣的行列式。C是x(t)

和y(t)

的聯(lián)合協(xié)方差函數(shù)： 對(duì)于平穩(wěn)高斯過(guò)程，是指過(guò)程同時(shí)具有平穩(wěn)過(guò)程和高斯過(guò)程的所有特性，其均值是常數(shù)，協(xié)方差函數(shù)僅是時(shí)間差的函數(shù)。 高斯過(guò)程具有如下性質(zhì)：2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

性質(zhì)1:

高斯過(guò)程完全由均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)所決定。

性質(zhì)2:

高斯變量之間的不相關(guān)性與獨(dú)立性是等價(jià)的。

證明：在式（1.4.2）令互相關(guān)系數(shù)ρxy=0，就有：p(x,y)=p(x)·p(y)

性質(zhì)3:

一組隨機(jī)變量若具有聯(lián)合高斯分布，則它的任何部分集合也是聯(lián)合高斯的。

性質(zhì)4:

對(duì)于零均值聯(lián)合高斯的實(shí)隨機(jī)變量x1，x2，x3和x4，其四階原點(diǎn)混合矩為（1.4.4）

性質(zhì)5:

高斯向量x經(jīng)過(guò)任意線性變換A所得到的隨機(jī)向量A·x也是高斯的；N個(gè)隨機(jī)變量，若其任意加權(quán)和是一高斯變量，則它們是聯(lián)合高斯的。

2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

性質(zhì)6:

高斯過(guò)程{x(t)}通過(guò)線性濾波器，其輸出也是高斯過(guò)程。故x(t)的任意線性泛函，也是高斯過(guò)程。

性質(zhì)7:

單個(gè)和多個(gè)限時(shí)限帶（時(shí)間長(zhǎng)度為T，頻帶為W）高斯過(guò)程的傅立葉系數(shù)構(gòu)成復(fù)高斯向量，并可用復(fù)高斯密度函數(shù)來(lái)表示。

證明：考慮單個(gè)限時(shí)限帶、零均值和實(shí)的高斯過(guò)程{x(t)}的傅立葉系數(shù)a(n)和b(n)視為隨機(jī)變量x(t)的線性泛函，由性質(zhì)6知，它們是高斯變量。a(n)和b(n)的任意加權(quán)和也是高斯變量。由性質(zhì)5知，a(n)和b(n)具有聯(lián)合高斯分布。因此，實(shí)值高斯變2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析量x(t)的一組傅立葉系數(shù)X(1)，X(2)，…，X(TW)構(gòu)成一個(gè)TW維的復(fù)高斯向量X。下面要證明，只要Xn=an+jbn滿足一定條件，其概率密度函數(shù)為（1.4.5）這里用an

代替a(n)，用bn代替b(n)。 首先證明當(dāng)T足夠長(zhǎng)高斯過(guò)程x(t)的傅立葉系數(shù)an和bn是不相關(guān)（獨(dú)立等價(jià)，性質(zhì)2）的，即（1.4.6）2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析式中，δmn

是克羅內(nèi)克（Kroneckerdelta）符號(hào)。當(dāng)m=n，δmn=1；否則，δmn=0。

由零均值條件mx=0推知，E[Xn]=E[an]=E[bn]=0，即傅立葉系數(shù)也是零均值。下面計(jì)算零均值條件下，隨機(jī)過(guò)程任意兩頻率ωm和ωn上的協(xié)方差（1）作變量替換則積分區(qū)域的變化如圖1-12所示。在上述變量替換下，式（1）可改寫為2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析（2）利用余弦函數(shù)的和角公式展開(kāi)cos[ωn(u+Tv)]，注意到ωn·T=2π×n，ωm·T=2π×m可得圖1-12變量替換前后積分區(qū)域的變化t=0t=TtTτT0-TvuT01u=-T·vu=T-T·v2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析（3） 當(dāng)觀測(cè)時(shí)間T足夠長(zhǎng)時(shí)，式（3）右側(cè)的兩個(gè)內(nèi)部積分可作如下近似：上式推導(dǎo)中利用了實(shí)值隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)Rx(u)為偶函數(shù)這一性質(zhì)。將這個(gè)近似結(jié)果代入式（3），并利用三角函數(shù)的正交性質(zhì)，得2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

用同樣的方法，可以證明式（1.4.6）中其它結(jié)果。這里，復(fù)傅立葉系數(shù)Xn

和Xm的協(xié)方差是按下式計(jì)算的，即

下面證明式（1.4.5）。對(duì)于高斯分布而言，不相關(guān)就意味著獨(dú)立，故有（4）在零均值條件下，有E[r]=0。因此，根據(jù)式（1.4.3），二維高斯密度函數(shù)p(rn)

可表示為2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（5）其中由式（1.4.6）可知2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析此外，由于故又有將上述結(jié)果帶入式（5）和（4），最后可得到傅立葉復(fù)系數(shù)為自變量的復(fù)高斯密度函數(shù):

證畢。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.4.2 條件概率密度

假定對(duì)所考慮的觀測(cè)數(shù)據(jù)y，有p(y)≠

0，并且把假定y={y}下x的條件分布密度定義為（1.4.7）將式（1.4.2）代入上式，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，得到（1.4.8） 上述條件密度也是高斯（正態(tài)）的，其條件均值及條件方差為2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（1.4.9）當(dāng)mx=my=0時(shí)，有（1.4.10） 將上述關(guān)系推廣到式（1.4.3）所表示的聯(lián)合高斯密度函數(shù)，就可以得到條件均值mx

|

y和條件協(xié)方差Cx

|y的表達(dá)式（1.4.11）（1.4.12）這些關(guān)系式在參數(shù)估計(jì)中是經(jīng)常要用到的。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.5平穩(wěn)隨機(jī)數(shù)據(jù)的數(shù)字處理方法

數(shù)字信號(hào)處理是建立在離散時(shí)間信號(hào)的基礎(chǔ)上。數(shù)字化有兩個(gè)主要步驟：其一是采樣，確定需要觀測(cè)的數(shù)據(jù)瞬時(shí)點(diǎn)；其二是量化，即把采樣點(diǎn)上的數(shù)據(jù)值轉(zhuǎn)化成數(shù)字量。1.5.1采樣與量化

采樣的主要問(wèn)題是確定適當(dāng)?shù)牟蓸娱g隔Ts，采樣點(diǎn)靠得太近，會(huì)產(chǎn)生相關(guān)重疊，致使產(chǎn)生虛假波形，并產(chǎn)生大量的多余數(shù)據(jù)，從而增加不必要的計(jì)算和成本；而采樣點(diǎn)間距太大，會(huì)產(chǎn)生低頻和高頻分量的混疊。采樣間距Ts的選取，一般由連續(xù)信號(hào)的上限頻率fc來(lái)控制，并使之滿足采樣定理：2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（1.5.1）這里，頻率fc稱為奈奎斯特頻率或折疊頻率。通常，fc

應(yīng)等于被觀測(cè)系統(tǒng)最高頻率的1.5~2倍。 對(duì)于帶通信號(hào)，假設(shè)帶寬為BW，采樣間距Ts可由帶寬BW來(lái)確定，即（1.5.2） 采樣后的數(shù)據(jù)，必須表示為指定位數(shù)的數(shù)字，這就是所謂的量化，這個(gè)功能一般由A/D

轉(zhuǎn)換器來(lái)實(shí)現(xiàn)。對(duì)于理想轉(zhuǎn)換，量化誤差具有均勻概率分布，其標(biāo)準(zhǔn)差≈0.289Δx（Δx為量化增量）。

2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

通常，量化誤差的峰值為0.5Δx。下面，我們來(lái)估計(jì)量化器的性能指標(biāo)。例如，對(duì)于具有255個(gè)電平單位的8位A/D轉(zhuǎn)換器，其峰值信號(hào)xmax與峰值誤差emax之比為其最大舍入誤差為±0.5Δx；最大量化誤差（滿刻度）在

±(0.5/255)×100%=±0.2%

之內(nèi)。當(dāng)量化誤差具有均勻概率分布時(shí)，其峰值信號(hào)xmax與均方差σx之比為其均方根舍入誤差為±0.289Δx；最大量化誤差（滿刻度）在±(0.289/255)×100%=±0.11%

之內(nèi)。顯然，量化誤差與A/D的轉(zhuǎn)換位數(shù)成反比關(guān)系。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.5.2單個(gè)樣本記錄

在以下各種統(tǒng)計(jì)特性的估計(jì)中均假設(shè)xk(k=1，2，…，N)是對(duì)均值為零的、實(shí)的平穩(wěn)過(guò)程{x(t)}進(jìn)行等間隔Δt采樣所得到的數(shù)據(jù)。

（1）概率密度函數(shù)隨機(jī)變量x(t)的概率密度函數(shù)可由下式估計(jì)

（1.5.3）式中，Δx

是以x為中心的窄區(qū)間，Nx

是數(shù)據(jù)落在x±0.5Δx中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，N是采樣容量。注意，p(x)的估計(jì)不是唯一的，它取決于分組區(qū)間的選擇。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（2）均值計(jì)算

平穩(wěn)過(guò)程子樣xk(k=1，2，…，N)

的均值，可由下式確定：

（1.5.4）

（3）相關(guān)函數(shù)

相關(guān)函數(shù)的估計(jì)有兩種方法。一種是直接計(jì)算法，另一種是用傅立葉變換計(jì)算功率譜密度函數(shù)，然后計(jì)算它的傅立葉逆變換。下面介紹直接法。 子樣xk(k=1，2，…，N)在時(shí)間位移m·Δt處的自相關(guān)函數(shù)，可由下式估計(jì)

（1.5.5）式中，m是滯后數(shù)，M是最大滯后數(shù)，對(duì)應(yīng)的最大時(shí)間位移τmax

是M·Δt。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

當(dāng)N很大時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為 （1.5.6）由此得到自相關(guān)函數(shù)的有偏估計(jì)。但因m相對(duì)于N來(lái)說(shuō)是很小的數(shù)，故有偏估計(jì)與無(wú)偏估計(jì)（式1.5.5）的差別很小。對(duì)于協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)，可先去均值，再作相關(guān)估計(jì)。 如果用相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換來(lái)計(jì)算功率譜，則譜密度估計(jì)的頻率分辨力Δf

與最大時(shí)間位移τmax的關(guān)系是

（1.5.7）

（4）功率譜估計(jì)對(duì)0≤ω≤ωc（或0≤f≤fc）范圍內(nèi)的任意ω，單邊功率譜密度函數(shù)Gx(ω)

可用下式估計(jì)：2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析（1.5.8）其中，?t

為采樣間隔，ωc=π/?t

為截止頻率。通常稱上式定義的函數(shù)Gx(ω)為周期圖。

單邊功率譜密度函數(shù)Gx(ω)也可用下式估計(jì)：

（1.5.9）式中，X(n)與xk

(n，k=0，1，2，…，N-1

)的構(gòu)成離散傅立葉變換對(duì)，即2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

單邊譜Gx(ω)與雙邊譜Φx(ω)的關(guān)系可用圖1-12

來(lái)表示。二者存在如下的關(guān)系： 上述推導(dǎo)的結(jié)果也適用于互密度函數(shù)的值。圖1-12單邊譜與雙邊譜參數(shù)之間的關(guān)系（a）雙邊譜（b）單邊譜(b)(a)Gx(ω)ωΦx(ω)0-ω-ω-dωω+dωω0ω+dωωω2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（5）用DFT做譜分析的參數(shù)選擇

采樣間隔

?t應(yīng)滿足采樣定理采樣點(diǎn)數(shù)

N

與采樣間隔

?t及信號(hào)持續(xù)時(shí)間T的關(guān)系應(yīng)滿足式中，Δf

為譜分析的頻率分辨力。

例1-3

用快速傅立葉變換（FFT）進(jìn)行頻譜分析，N必須是2

的整次冪?，F(xiàn)假設(shè)信號(hào)的上限頻率fc=1250Hz,要求譜分析的頻率分辨力Δf≤5

Hz。

解（1）由頻率分辨力確定采集信號(hào)的最小持續(xù)時(shí)間:2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（2）由上限頻率確定最大采樣周期:

（3）DFT點(diǎn)數(shù)應(yīng)滿足選擇滿足2的整次冪的DFT點(diǎn)數(shù)，即 如果x(k)是實(shí)序列，則有X(k)=X*(N-k),(k=0,1,…,N/2

)利用該特性可減少DFT的計(jì)算量。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.5.3兩個(gè)樣本記錄的數(shù)字處理 設(shè)有兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程{x(t)}和{y(t)}的時(shí)間歷程記錄x(t)和y(t)，若它們只在t0≤t≤t0+T上存在（t0是任意常數(shù)）。假定采樣間隔是?t，它對(duì)應(yīng)的截止頻率是fc=1/(2·?t)，則x(t)

和y(t)的采樣值分別為 下面介紹的內(nèi)容均按上述假設(shè)作為前提。

（1）聯(lián)合概率密度函數(shù)與式（1.5.3）類似，兩個(gè)平穩(wěn)記錄x(t)和y(t)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（1.5.10）

2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

式中，Δx和Δy是中心分別為x和y的兩個(gè)窄區(qū)間，Nxy

是x和y同時(shí)落在這兩個(gè)窄區(qū)間的數(shù)目，N為采樣容量。 （2）均值

首先需要計(jì)算的量是子樣均值

然后計(jì)算去均值后的數(shù)據(jù)值（1.5.11）它們對(duì)應(yīng)于新的不含有直流分量的時(shí)間記錄為x(t)=x(t)-mx和y(t)=y(t)-my

（3）互相關(guān)函數(shù)

有兩種估計(jì)方法，直接法和間接法。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

子樣的互相關(guān)函數(shù)在滯后數(shù)m=0,1,2,…,M處的直接無(wú)偏估計(jì)為 （1.5.12）此外，根據(jù)式（1.2.16），可計(jì)算出互相關(guān)系數(shù)ρxy(m)。

（4）互譜密度函數(shù)設(shè)有xk

和yk

(k=0,1，2，…，N-1)用DFT方法計(jì)算互相關(guān)函數(shù)可采用如下步驟：①先按下式計(jì)算互譜密度函數(shù)，即（1.5.13）②計(jì)算互譜密度Gxy(n)的逆DFT，就可估計(jì)出互相關(guān)函數(shù)Rxy(m)。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（5）頻率響應(yīng)函數(shù)根據(jù)式（1.3.8），估計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)H(jω)可采用下式，即（1.5.14）或者，寫成幅頻特性和相頻特性的形式： （1.5.15）因此，按前面介紹的譜密度和互譜密度DFT估計(jì)算法，即可估計(jì)出系統(tǒng)的頻率特性。

（6）相干函數(shù)采用FFT方法計(jì)算ωn=2πn/(N·?t)，（n=0，1，2，…，N-1）處的相干函數(shù)可由下式估計(jì)：2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.6觀測(cè)數(shù)據(jù)準(zhǔn)備、檢驗(yàn)與修正

測(cè)控系統(tǒng)是受隨機(jī)噪聲污染的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)的觀測(cè)量是隨機(jī)變量。在一般情況下，被測(cè)對(duì)象的真實(shí)波形往往是不知道的，故波形的畸變是不容易被發(fā)現(xiàn)。因此，簡(jiǎn)單地根據(jù)測(cè)試波形直接求得結(jié)果，往往會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，乃至得出錯(cuò)誤的結(jié)論。本節(jié)將介紹隨機(jī)數(shù)據(jù)分析處理的若干問(wèn)題和畸變波形的反演修正方法。1.6.1隨機(jī)數(shù)據(jù)預(yù)處理的基本內(nèi)容 數(shù)據(jù)處理都包含以下基本內(nèi)容：其一、數(shù)據(jù)獲??；其二、數(shù)據(jù)準(zhǔn)備；其三、數(shù)據(jù)檢驗(yàn)與分析。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

（1）數(shù)據(jù)獲取數(shù)據(jù)的采集、記錄與傳遞。在某些應(yīng)用中，也可以直接用傳感器的輸出信號(hào)作實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理；而在多數(shù)場(chǎng)合，需要將采集數(shù)據(jù)存儲(chǔ)起來(lái)。

（2）數(shù)據(jù)準(zhǔn)備目的是要檢測(cè)和剔除野點(diǎn)和奇異項(xiàng)（過(guò)高和過(guò)低的觀測(cè)數(shù)據(jù)）；校正、計(jì)算數(shù)據(jù)使之與實(shí)際物理單位相聯(lián)系；最后預(yù)驗(yàn)數(shù)據(jù)，包括：消除電平漂移和趨勢(shì)項(xiàng)。一般用一階差分法檢測(cè)奇異項(xiàng)；用采樣平均估計(jì)檢測(cè)電平漂移；用最小二乘法和均斜率法消除趨勢(shì)項(xiàng)。

（3）數(shù)據(jù)檢驗(yàn)與分析隨機(jī)數(shù)據(jù)處理的結(jié)果是否正確，取決于數(shù)據(jù)的一些基本特性：①數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性；②周期性；③正態(tài)性。

非平穩(wěn)數(shù)據(jù)與平穩(wěn)數(shù)據(jù)的處理方法是不同；2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

周期性的正確判別可以避免在結(jié)果的解釋中出現(xiàn)錯(cuò)誤；

正態(tài)性的判定對(duì)數(shù)據(jù)計(jì)算精度有直接的影響，比如，最小二乘法就是建立在數(shù)據(jù)正態(tài)分布的前提下的。

①平穩(wěn)性檢驗(yàn)

其重要特征是時(shí)間波形的平均值波動(dòng)小，波形的峰谷變化比較均勻，頻率結(jié)構(gòu)比較一致。例如，對(duì)于單個(gè)記錄樣本x(t)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)，可用如下方法： 第一步，把樣本記錄分為N個(gè)等間隔的獨(dú)立區(qū)間；

第二步，對(duì)每個(gè)區(qū)間計(jì)算均方值，并列成時(shí)間序列：

第三步，檢驗(yàn)該均方值序列，看是否有因采樣變化以外的其它因素而引起的變化（或變化趨勢(shì)）？如果沒(méi)有，則可判為平穩(wěn)隨機(jī)數(shù)據(jù)。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

②周期性和準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)分析主要是檢驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)中是否含有周期或準(zhǔn)周期的正弦成分。通常進(jìn)行功率譜分析。這是因?yàn)樵谡曳至康念l率上，各譜值出現(xiàn)一個(gè)尖峰，它對(duì)應(yīng)于正弦分量的均方值（頻率分辨力×譜密度的最大峰值）。盡管這種尖峰有時(shí)會(huì)與窄帶隨機(jī)分量混淆，但如果數(shù)據(jù)中的周期分量很強(qiáng)時(shí)，則它們的存在往往是易于分辨的，采用適當(dāng)?shù)臑V波器，就可以從數(shù)據(jù)中分離出這些正弦分量。 在高分辨力的功率譜中，即使周期分量很弱，也會(huì)顯示出尖峰形狀，但是譜的尖峰也可能表示窄帶隨機(jī)數(shù)據(jù)。所以，必須用更高分辨力的帶通濾波器重復(fù)測(cè)量、計(jì)算功率譜函數(shù)，才能區(qū)別出這兩者尖峰。

在相關(guān)函數(shù)圖中，周期分量總是一條連續(xù)振蕩的曲線。

2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

③正態(tài)性檢驗(yàn)簡(jiǎn)明的方法是估計(jì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)，然后與理想的正態(tài)分布曲線比較；還可以采用作圖表的方式，即把一組數(shù)據(jù)序列標(biāo)在專用的正態(tài)概率分布圖上，若樣本記錄的各點(diǎn)近似地落在一條直線上，則說(shuō)明樣本符合正態(tài)分布。

與上述數(shù)據(jù)檢驗(yàn)與分析方法對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理方法有：

均值和均方差是數(shù)據(jù)分布中心趨勢(shì)和散布的基本測(cè)量，直接估計(jì)的均值和均方差，可用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。

相關(guān)估計(jì)可用于檢測(cè)隨機(jī)數(shù)據(jù)中的周期分量；互相關(guān)估計(jì)可以用來(lái)檢驗(yàn)兩個(gè)記錄波形的相似性。

功率譜密度是描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性的最有力數(shù)學(xué)工具之一，它確定了平穩(wěn)過(guò)程的頻率結(jié)構(gòu)。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

功率倒頻譜（Cepstrum）定義為對(duì)數(shù)功率譜的功率譜，即

式中，τ稱為倒頻率，具有時(shí)間因次，F(xiàn)表示傅立葉變換。 注意到自相關(guān)函數(shù)可表示為可見(jiàn)倒頻率與自相關(guān)函數(shù)的時(shí)間因次τ是一樣的。

高的倒頻率表示譜中的快速變化分量；低的倒頻率表示譜中的緩慢波動(dòng)分量。倒譜在功率譜的對(duì)數(shù)計(jì)算時(shí)給低幅值分量予以較高的加權(quán)，其作用既可突出譜的周期性，又能精確地測(cè)出頻率間隔。而相關(guān)函數(shù)與頻譜形狀的關(guān)系十分密切，經(jīng)濾波后實(shí)際上不能檢測(cè)出相關(guān)函數(shù)的峰值；而功率譜的對(duì)數(shù)對(duì)濾波器帶寬的變化是不敏感的。因此，在自相關(guān)函數(shù)無(wú)法分辨的場(chǎng)合，功率倒頻譜還能顯示出延時(shí)峰值。2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析

概率密度的估計(jì)常常被忽略，因?yàn)槿藗円话憧偸钦J(rèn)為隨機(jī)現(xiàn)象是服從正態(tài)分布的。然而，在一些場(chǎng)合下，隨機(jī)數(shù)據(jù)可能會(huì)嚴(yán)重偏離正態(tài)分布。若在正態(tài)性檢驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)確實(shí)有這種偏離，則必須估計(jì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)，以獲得數(shù)據(jù)的實(shí)際概率分布。 對(duì)于非平穩(wěn)和瞬變數(shù)據(jù)，或用于特殊目的的隨機(jī)數(shù)據(jù)處理，有時(shí)也可以按上述方法進(jìn)行預(yù)處理，但這種分析結(jié)果的解釋，必須特別慎重。除此之外，還有卷積分析、細(xì)化FFT分析、最大熵譜分析、時(shí)頻分析和小波分析等，在今后的章節(jié)中還將介紹這些內(nèi)容，在此暫不贅述。1.6.2畸變波形的反演修正 畸變波形的反演就是對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)（或波形）進(jìn)行修正來(lái)獲得真實(shí)波形的過(guò)程。

①幅值和相位進(jìn)行修正； ②波形的基線修正，消除因漂移或基線移動(dòng)所引起的畸 變和趨勢(shì)項(xiàng)；

2024/3/6波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 ③濾波。 下面重點(diǎn)介紹波形的基線修正。1.波形基線修正的意義

①數(shù)值積分，微小波動(dòng)，積分后的影響很大； ②進(jìn)行參量變換（提供一些無(wú)法測(cè)量的參數(shù)）、相互校核計(jì)算，必須有統(tǒng)一基準(zhǔn)；

③補(bǔ)償傳感器性能特性所引起的偏差（如殘余位移和殘余應(yīng)力等）；

④系統(tǒng)的飄溢、干擾、非線性輸出、充放電作用、傳感器安裝等，都可能造成基線的移