高三二輪復(fù)習(xí)專題06平面向量

2024屆高三二輪復(fù)習(xí)第06講：平面向量解析版2023年考情考題示例考點(diǎn)關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第3題向量坐標(biāo)表示、垂直條件無2023年新Ⅱ卷，第13題,向量的模公式無2023年天津卷，第14題向量的加減運(yùn)算、數(shù)量積最值無2023年北京卷，第3題向量的坐標(biāo)運(yùn)算無2023年乙卷文科，第6題數(shù)量積運(yùn)算無2023年乙卷理科，第2題集合的交集、并集、補(bǔ)集無2023年甲卷理科，第12題向量的數(shù)量積圓的切線方程2023年甲卷文科，第3題坐標(biāo)表示、夾角公式無題型一：平面向量的概念【典例例題】例1.（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┫铝姓f法正確的是（

）A．若，則與的方向相同或者相反B．若，為非零向量，且，則與共線C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得D．若，是兩個(gè)單位向量，且．則【答案】B【分析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，表示與方向相同的單位向量，表示與方向相同的單位相同，所以與共線，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于C，當(dāng)，為非零向量時(shí)，不存在，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，計(jì)算得，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與的方向可以既不相同也不相反，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，為非零向量，表示與方向相同的單位向量，表示與方向相同的單位相同，由于，所以與共線，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于C，當(dāng)，為非零向量時(shí)，不存在，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【變式訓(xùn)練】1.（2023·北京大興·校考三模）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，則，所以“”是“”的必要而不充分條件.故選：B2.（2023·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)非零向量，那么“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)關(guān)系以及共線，即可結(jié)合必要不充分條件進(jìn)行判斷.【詳解】若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，故，而，存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分條件，若且，則與方向相同，故此時(shí)，所以“”是“存在，使得”的必要條件，故“”是“存在，使得”的充分必要條件，故選：C3.（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？级＃┮阎橇阆蛄繚M足，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得方向相反，且，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】由得，因此可知方向相反，且，對(duì)于A,，由于與的關(guān)系不確定，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，所以，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故D正確，故選：D4.（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若向量滿足，則向量一定滿足的關(guān)系為（

）A． B．存在實(shí)數(shù)，使得C．存在實(shí)數(shù)，使得 D．【答案】C【分析】對(duì)于A,B,D通過舉反例即可判斷，對(duì)于C需分與是否為討論即可.【詳解】，兩邊同平方得，，對(duì)A，時(shí)，為任一向量，故A錯(cuò)誤，對(duì)B，若，時(shí)，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)，使得，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，?dāng)與至少一個(gè)為零向量時(shí)，此時(shí)一定存在實(shí)數(shù),,使得，具體分析如下：當(dāng)，時(shí)，此時(shí)為任意實(shí)數(shù)，，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)為任意實(shí)數(shù)，，當(dāng)，時(shí)，為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)，時(shí)，因?yàn)?，則有，根據(jù)，則，此時(shí)共線，且同向，則存在實(shí)數(shù)使得（），令，其中同號(hào)，即，即，則存在實(shí)數(shù),,使得，故C正確，對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，故D錯(cuò)誤，故選：C.5.（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對(duì)于任意向量，必有D．若滿足且與同向，則【答案】C【分析】對(duì)于A：根據(jù)單位向量的概念即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)共線向量的定義即可判斷；對(duì)于C：分類討論向量的方向，根據(jù)三角形法則即可判斷；對(duì)于D：根據(jù)向量不能比較大小即可判斷.【詳解】依題意，對(duì)于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若同向共線，，若反向共線，，若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知.綜上可知對(duì)于任意向量，必有，故正確；對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤.故選：C.6.（2020·山東日照·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是非零向量，則是成立的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】利用充分條件和必要條件的定義分析判斷【詳解】因?yàn)椋怨簿€且方向相同，因?yàn)楸硎痉较蛏系膯挝幌蛄浚?，而?dāng)時(shí)，可得共線且方向相同，但不一定是，所以是成立的充分不必要條件，故選：B題型二：平面向量的線性運(yùn)算【典例例題】例1.（2023春·廣東省韶關(guān)市二模）已知是平行四邊形，，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，．故選：C．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省深圳市二模）已知中，，，與相交于點(diǎn)，，則有序數(shù)對(duì)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到，，利用、分別表示出，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得、，再代入計(jì)算可得.【詳解】依題意、、三點(diǎn)共線，故，所以，又、、三點(diǎn)共線，故，則，所以，解得，所以，又，所以，所以有序數(shù)對(duì).故選：D2.（2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校二模）在正六邊形ABCDEF中，F(xiàn)D與CE相交于點(diǎn)G，設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理表示出，即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，連接，因?yàn)闉檎呅危?，，所以，所?故選：C3.（2023秋·河北省邢臺(tái)市四校質(zhì)檢聯(lián)盟模擬）在中，，，E是AB的中點(diǎn)，EF與AD交于點(diǎn)P，若，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算求得，由此求得m，n，進(jìn)而求得.【詳解】因?yàn)?，所以，則.因?yàn)锳，P，D三點(diǎn)共線，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)镋是邊AB的中點(diǎn)，所以.因?yàn)镋，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，則，解得，從而，，故.故選：A題型三：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【典例例題】例1.（2023春·遼寧省丹東市等2地大石橋市第三高級(jí)中學(xué)模擬）對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)與方向相反時(shí)，不成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項(xiàng)C正確；，所以選項(xiàng)D正確．故選B．例2.（2023春·廣西壯族自治區(qū)玉林市模擬）已知的外心為，且，，向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定的形狀，并求出角C，再利用投影向量的意義求解作答.【詳解】在中，由，得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，而為的外心，則，即有，又，則為正三角形，因此，，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A【變式訓(xùn)練】1.（2023春·江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬）在中，，點(diǎn)E滿足，則（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件利用相應(yīng)公式求得結(jié)果.【詳解】中，，所以，，故選：B.2.（2023秋·湖湘名校教育聯(lián)合體模擬）已知四邊形，設(shè)E為的中點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到，利用，求出，從而得到答案.【詳解】在平面（空間同樣）四邊形中，，因?yàn)?，所以．故選：A．3.（2023春·江蘇省南京市六校模擬）已知菱形中，，為中點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用菱形的性質(zhì)，由向量加法、數(shù)乘的幾何意義可得、，再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律列方程求參數(shù).【詳解】菱形中，，因?yàn)?，又，，所以，可?故選：B4.（2023春·河北省秦皇島市青龍滿族自治縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）已知，，，則向量與向量的夾角為__________.【答案】【解析】【分析】通過先求出，再求出，進(jìn)而通過平面向量夾角公式即可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，設(shè)向量與向量的夾角為，所以，所以.故答案為：.5.（2023春·山東省聊城市聊城一中東校中學(xué)模擬）已知、為單位向量，當(dāng)與夾角最大時(shí)，=______.【答案】【解析】【分析】方法一：利用向量夾角公式，結(jié)合換元法及求二次函數(shù)最值分析求解即可得；方法二：畫圖分析即可.【詳解】方法一：設(shè)的夾角為，則，令，則，當(dāng)取最小值時(shí)，兩向量與夾角最大，所以當(dāng)，即時(shí)，兩向量與夾角最大，此時(shí).故答案為：.方法二：由圖所示：可知與夾角最大為，所以，故答案為：.6．（2023春·廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）已知向量，滿足，，則在方向上的投影向量的模為（

）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和向量數(shù)量積的運(yùn)算得出，然后代入公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，則在方向上的投影向量的模為，故選：B．題型四：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例例題】例1.（2023春·黑龍江省牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)模擬）（多選）已知向量，則（）A. B.C.可以作為平面向量的一個(gè)基底 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量的模公式計(jì)算可判斷A；由向量坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B；由向量共線的坐標(biāo)表示可判斷C；先求坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A，，即，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，B正確；選項(xiàng)C，，即不共線，即可以作為平面向量的一個(gè)基底，C正確；選項(xiàng)D，，由，即與不共線，D錯(cuò)誤．故選：BC例2.（2023春·廣東省汕頭市一模）已知向量，，．若，則實(shí)數(shù)（）A. B.－3 C. D.3【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)夾角的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解即可.【詳解】，，,，解得.故選：B．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·遼寧省朝陽(yáng)市模擬）已知向量，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，求出的值，即可得到、的坐標(biāo)，再求出，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，解得，所以，，則，所以.故答案為：2.（2023秋·湖南省部分校模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，將向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，則___________.【答案】【解析】【分析】求出的模及對(duì)應(yīng)的角，即可得旋轉(zhuǎn)后的角，進(jìn)而算出坐標(biāo).【詳解】設(shè)以軸正半軸為始邊，為終邊對(duì)應(yīng)的角為，根據(jù)題意得，，，則，向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，，從而.故答案為：43.（2023秋·江西省南昌市南昌縣蓮塘第一中學(xué)模擬）已知，向量，，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】首先利用向量平行的坐標(biāo)表示求，再根據(jù)充分，必要條件的定義判斷.【詳解】若向量，則，即解得：或,所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B4.（2023秋·山東省德州市第一中學(xué)模擬）已知向量，，則（）A.30° B.150° C.60° D.120°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示求出向量夾角，進(jìn)而求解幾何角.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，又，所以，所以，所?故選：B.5.（2023春·廣東省潮州市二模）（多選）設(shè)向量，，則下列說法正確的是（）A.B.C. D.在上的投影向量為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，可求得的坐標(biāo)，結(jié)合向量模的計(jì)算，可判斷A；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷B；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷C；根據(jù)向量的投影向量的定義可求出在上的投影向量判斷D.【詳解】由題意可知，，故，A正確；因?yàn)?，故不平行，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故，C正確；由于，，故在上的投影向量為，D正確，故選：ACD6.（2023春·廣東省梅州市二模）（多選）已知向量，，，則下列命題正確的是（）A.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， B.在上的投影向量為C.存在θ，使得 D.存在θ，使得【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標(biāo)表示判斷A；求出投影向量判斷B；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷C；利用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算判斷D作答.【詳解】向量，，，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則在上的投影向量為，B正確；對(duì)于C，，假定存在θ，使得，則有，而，即不成立，因此不存在θ，使得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即，則，因此存在θ，使得，D正確.故選：ABD題型五：建立直角坐標(biāo)系【典例例題】例1.（2023·全國(guó)·高三專題）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)，，分別是邊，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．48【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，（），即可得到、，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，，（），則，所以，所以，即，所以，，所以，又，所以當(dāng)時(shí)取得最小值為.故選：A【變式訓(xùn)練】1.（2023秋·廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級(jí)中學(xué)模擬）兩個(gè)單位向量與滿足，則向量與的夾角為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量夾角公式，以及向量夾角坐標(biāo)公式，或者根據(jù)向量運(yùn)算法則求解畫圖即可.【詳解】法一：，設(shè)與的夾角為，則，又，；法二：根據(jù)，，取，設(shè)，與的夾角為，從而，又，；法三：利用運(yùn)算法則，設(shè)，，，則，如圖，則設(shè)向量與夾角為，則，，，，又，.故選：A2.（2023秋·新疆烏魯木齊市第四十中學(xué)模擬）如圖，在的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量滿足，則（）A.0 B.1 C. D.7【答案】D【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，可得的坐標(biāo)，再由建立方程求解即可．【詳解】解：將向量放入如圖所示的坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，，即，解得，..故選：D.3.（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系則，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立則的最大值為，所以的最大值為，即的最小值為.故選：A.4.（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知定點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形外，且，對(duì)正方形上任意點(diǎn)，都有的面積，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，依題意在線段的垂直平分線上，根據(jù)面積公式及數(shù)量積的定義得到，即可確定的坐標(biāo)，設(shè)，表示出，再由不等式的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)?，所以在線段的垂直平分線上，又，即，所以，則，所以，即，設(shè)，則，，所以，解得或，又定點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形外，所以，設(shè)，則，，所以，若在線段上，則，，此時(shí)，因?yàn)椋瑒t，所以，則，若在線段上，則，，此時(shí)，因?yàn)椋瑒t，所以，則，若在線段上，則，，此時(shí)，因?yàn)椋瑒t，所以，則，若在線段上，則，，此時(shí)，因?yàn)?，則，所以，則，綜上可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)取得最大值.故選：C5.（2023秋·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）已知，，均為單位向量，滿足，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】首先確定向量的夾角，從而構(gòu)建單位圓，確定向量的坐標(biāo)，并利用三角函數(shù)表示，并利用三角函數(shù)求最小值.【詳解】，所以，根據(jù)，，則,,如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，由，可知，，得，，，由，可知，所以的最小值是.故選：B6.（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）正八邊形上存在一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），已知正八邊形邊長(zhǎng)為2，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由平面向量數(shù)量積的幾何意義分析可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，取得最大值，然后建立平面直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算即可.【詳解】，由平面向量數(shù)量積的幾何意義可知，當(dāng)最大，即在方向上投影最大時(shí)，最大，由圖可知當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，在方向上投影取得最大.如圖：建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，.所以的最大值為故選：D題型六：平面向量的新定義【典例例題】例1.（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)向量與的夾角為，定義.已知向量為單位向量，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出向量與的夾角，代入新定義求解即可.【詳解】由題意得，解得，又，所以，所以.故選：C【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）定義為兩個(gè)向量，間的“距離”，若向量，滿足下列條件：(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)對(duì)于任意的，恒有，現(xiàn)給出下面結(jié)論的編號(hào)，①.②.③.④.⑤.則以上正確的編號(hào)為（

）A．①③ B．②④ C．③④ D．①⑤【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的恒成立，即，整理得，再利用向量的數(shù)量積逐一判斷即可.【詳解】由于，又對(duì)于，恒有，顯然有，即，則對(duì)于任意的恒成立，顯然有成立，即，則，故序號(hào)①錯(cuò)誤，進(jìn)而，∵，于是，得，即序號(hào)④正確.再由得，得，∴，顯然序號(hào)②正確.從而序號(hào)③錯(cuò)誤，再由②，故序號(hào)⑤錯(cuò)誤.綜上知本題正確的序號(hào)為②④.故選：B.2.（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．如圖，在斜坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P作兩坐標(biāo)軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點(diǎn)P的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，記，則在x軸正方向和y軸正方向的夾角為的斜坐標(biāo)系中，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)與距離為B．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C．向量與平行的充要條件是D．點(diǎn)到直線的距離為【答案】D【分析】根據(jù)“斜坐標(biāo)系”的定義，結(jié)合向量運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)軸正方向的單位向量為，軸正方向的單位向量為，對(duì)于A選項(xiàng)：由已知得，所以.由及斜坐標(biāo)的定義可知，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)“斜坐標(biāo)系”的定義可知：點(diǎn)，則，設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，由于不共線，所以，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：，若是零向量，則成立，同時(shí)，所以成立，此時(shí)；若是非零向量，則存在非零常數(shù)，使，所以.故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為,，因?yàn)?，所以，設(shè)，則點(diǎn)在直線上，所以直線過點(diǎn)，因?yàn)?，則，，由于，所以.所以，所以，所以點(diǎn)A到直線的距離為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D3.（2023·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義空間兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中：①；②；③；④若，則．其中恒成立的有A．①④ B．①③ C．②③ D．②④【答案】A【分析】由新定義逐一判斷即可求解【詳解】因?yàn)椋裕食闪?，所以①正確；，，故當(dāng)時(shí)，不成立，所以②錯(cuò)；，，顯然當(dāng)不共面時(shí)不成立，例如為兩兩垂直的單位向量，則，所以③錯(cuò)；由，可知，所以，，故④正確故選：A1.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）1．已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．2.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）2．已知向量，滿足，，則______．【答案】【詳解】法一：因?yàn)?，即，則，整理得，又因?yàn)?，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.3.（全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文））3．正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.4.（全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理））4．已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，則當(dāng)時(shí)，有最大值.當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，則當(dāng)時(shí)，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.6.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））5．已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選：B.7.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））6．向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.8.（新高考天津卷）7．在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．【答案】【詳解】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因?yàn)?，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，則時(shí)，有最大值.故答案為：；.1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）以下說法正確的是（

）A．零向量與任意非零向量平行 B．若，，則C．若(為實(shí)數(shù))，則必為零 D．和都是單位向量，則【答案】A【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)和定義即可逐一判斷.【詳解】解：對(duì)于A,零向量與任意向量平行，故A正確；對(duì)于B，時(shí)，滿足，，但不一定成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于C,時(shí)，或，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，和都是單位向量，則，但不一定成立，故錯(cuò)誤．故選：A．2.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）有關(guān)平面向量的說法，下列錯(cuò)誤的是（

）A．若，，則B．若與共線且模長(zhǎng)相等，則C．若且與方向相同，則D．恒成立【答案】ABC【分析】取，可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的概念可判斷B選項(xiàng)；利用向量不能比大小可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，滿足，，但、不一定共線，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若與共線且模長(zhǎng)相等，則或，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，任何兩個(gè)向量不能比大小，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，恒成立，D對(duì).故選：ABC.3．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列命題中正確的有（

）A．若，則存在實(shí)數(shù)使得B．若，則C．若，則在方向上的投影向量為D．若存在實(shí)數(shù)使得，則【答案】ABC【分析】根據(jù)平面向量的模、及線性運(yùn)算的概念即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，的方向相反且，則存在負(fù)實(shí)數(shù)，使得，故A正確D錯(cuò)誤；若，則以為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，所以，故B正確；若則的方向相同．在方向上的投影向量為，故C正確．故選：ABC.4.（2023春·廣東省佛山市一模）在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過的（）A.垂心 B.內(nèi)心 C.重心 D.外心【答案】D【解析】【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，推導(dǎo)出，結(jié)合外心的定義可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，則、互為相反向量，所以，，因?yàn)?，即，所以，，即，即，即，所以，垂直且平分線段，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.故選：D.5.（2023春·黑龍江省雞西市密山市第四中學(xué)模擬）已知向量，的夾角為，且，，則（）A.10 B. C.14 D.【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算出，從而得到.【詳解】，故.故選：B6.（2023春·黑龍江省綏化市海倫市第一中學(xué)模擬）已知平面向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.與的夾角為鈍角 D.與垂直【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算判斷；對(duì)于B利用向量模的公式來計(jì)算判斷；對(duì)于C通過計(jì)算的正負(fù)來判斷；對(duì)于D通過計(jì)算的值來判斷.【詳解】對(duì)于A：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則，故與的夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，D正確；故選：D.7.（2023春·黑龍江省雞西市雞東縣第二中學(xué)模擬）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為1 D.的最大值為2【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)向量的幾何意義判斷點(diǎn)的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合，以及向量數(shù)量積的幾何意義，判斷選項(xiàng).【詳解】由，可得點(diǎn)A的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，根據(jù)向量減法的幾何意義，由，可得點(diǎn)B的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓，如圖所示．當(dāng)點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)位置時(shí)，取最小值0，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)B在直線與圓A的交點(diǎn)位置且不是原點(diǎn)時(shí)，取最大值2，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當(dāng)點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)位置時(shí)，在方向上的投影取最小值0，此時(shí)取最小值0，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)點(diǎn)B在直線與圓A的交點(diǎn)位置且不是原點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影取最大值2，此時(shí)取最大值2，D選項(xiàng)正確．故選:D8.（2023春·河北省唐山市邯鄲市等2地模擬）已知向量，，則等于（）A.52 B. C. D.76【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】，所以，故選：B9.（2023春·山西省運(yùn)城市稷山縣稷王中學(xué)模擬）已知，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由數(shù)量積的性質(zhì)求得，再代夾角公式即可求解【詳解】所以所以向量與的夾角為故選：C10.（2023春·廣東省深圳市2023屆高三下學(xué)期4月高考沖刺卷）如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF是以B為圓心，3為半徑的圓的直徑，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知條件，把用基底表示，再利用向量數(shù)量積公式可得，再根據(jù)的范圍便可求出的取值范圍.【詳解】如圖可知,，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，即，所以，由條件可得，，，因?yàn)镻為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)P為AC中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，當(dāng)P為A或C時(shí)，最大，，所以，所以，又因?yàn)?，所?故選：C.11.（2023春·山東省青島萊西市模擬）（多選）已知向量，則下列結(jié)論正確的為（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】先求出，由平行向量的坐標(biāo)表示可判斷A；由垂直向量的坐標(biāo)表示可判斷B；由數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算可判斷C；由數(shù)量積的定義結(jié)合基本不等式可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因，則，若，，由可得：，解得：，故A不正確；對(duì)于B，若，，由可得：，解得：，故B正確；對(duì)于C，，，即，解得：，故C正確；對(duì)于D，，，由可得：，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD.12.（2023春·廣東省汕頭市潮陽(yáng)區(qū)七校聯(lián)合體模擬）已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由垂直關(guān)系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由兩式得出，進(jìn)而得出夾角.【詳解】因?yàn)椋?，即?因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较虻耐队跋蛄渴牵?所以②，將①代入②得，，又，所以.故選：B13.（2023春·廣東省江門市一模）設(shè)非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量模的性質(zhì)由已知可求得，則按照在方向上的投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.14.（2023春·廣東省揭陽(yáng)市二模）已知向量，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求出，然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，得，所?故選：B.15.（2023春·廣東省廣州市二模）已知兩個(gè)非零向量，滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律和夾角公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，，故選:D.16.（2023春·廣東省高州市二模）已知向量，，若與平行，則實(shí)數(shù)值為（）A. B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】先求與的坐標(biāo)，然后由向量平行的坐標(biāo)表示可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，又與平行，所以，解得.故選：D17.（2023春·廣東省佛山市二模）已知的頂點(diǎn)，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平行四邊形可得進(jìn)而即得．【詳解】因?yàn)椋?，，由平行四邊形可得，設(shè)，則，所以，即的坐標(biāo)為.故選：B.18.（2023春·廣東省大灣區(qū)二模）已知平面向量，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，，再根據(jù)在上的投影向量為計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以在上的投影向量為，故選：D.19.（2023春·廣東省二模）已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)易知且、，進(jìn)而判斷最大時(shí)的關(guān)系即可得答案.【詳解】由圓O是△ABC的外接圓，且，故，所以，則，所以，故反向共線時(shí)最大，所以.故選：C20.（2023春·廣東省深圳市一模）已知，為單位向量，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)與夾角為，利用求出，在利用夾角公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，為單位向量，由，所以，即，設(shè)與夾角為，則，又，所以，故選：C.21.（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中?？家荒＃ǘ噙x）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點(diǎn)，對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)．若點(diǎn)A，B的廣義坐標(biāo)分別為，，關(guān)于下列命題正確的是（

）A．線段A，B的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為B．A，B兩點(diǎn)間的距離為C．若向量平行于向量，則D．若向量垂直于向量，則【答案】AC【分析】由題目給的定義結(jié)合向量的線性運(yùn)算、向量的模長(zhǎng)、向量的平行及垂直依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)題意得，設(shè)A，B的中點(diǎn)為，則，故線段A，B的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為，A正確；，故，當(dāng)向量，是相互垂直的單位向量時(shí)，A，B兩點(diǎn)間的距離為，否則距離不為，B錯(cuò)誤；與平行，當(dāng)與存在時(shí)，結(jié)論顯然成立，當(dāng)與都不為時(shí)，設(shè)，則，即，，，所以，故C正確；，當(dāng)與為相互垂直的單位向量時(shí)，與垂直的充要條件是，故D不正確.故選：AC．22．（2021·江蘇南京·二模）（多選）引入平面向量之間的一種新運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的向