重難點(diǎn)02求數(shù)列前n項(xiàng)和常用10種解題策略-（原卷版）

重難點(diǎn)02：求數(shù)列前n項(xiàng)和常用10種解題策略考點(diǎn)01：等差數(shù)列公式法①1．兩個(gè)等差數(shù)列和，其前項(xiàng)和分別為，且，則等于（

）A． B． C． D．2．已知在等差數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)為何值時(shí)取得最大，并求出此最大值．考點(diǎn)02：等比數(shù)列公式法②3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則（

）A． B． C． D．4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若是等比數(shù)列，且，，求的前n項(xiàng)和.考點(diǎn)03：裂項(xiàng)求和：裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的通項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項(xiàng)和消項(xiàng)．(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)在利用裂項(xiàng)相消求和時(shí)應(yīng)注意：善于識(shí)別裂項(xiàng)類(lèi)型（1）在把通項(xiàng)裂開(kāi)后，是否恰好能利用相應(yīng)的兩項(xiàng)之差，相應(yīng)的項(xiàng)抵消后是否只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或者只剩下前邊兩項(xiàng)和后邊兩項(xiàng)，有時(shí)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面剩兩項(xiàng),或者前面剩幾項(xiàng),后面也剩幾項(xiàng);（2）對(duì)于不能由等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求和問(wèn)題，一般需要將數(shù)列的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，將通項(xiàng)裂項(xiàng)后,有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差或系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.轉(zhuǎn)化成某個(gè)新的等差或者等比數(shù)列進(jìn)行求和。應(yīng)用公式時(shí)，要保證公式的準(zhǔn)確性，區(qū)分是等差還是等比數(shù)列的通項(xiàng)還是前n項(xiàng)和公式。（3）使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)末被消去的項(xiàng)，末被消去的項(xiàng)前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，漏掉的系數(shù)裂項(xiàng)過(guò)程中易出現(xiàn)丟項(xiàng)或者多項(xiàng)的錯(cuò)誤，造成計(jì)算結(jié)果上的錯(cuò)誤，實(shí)質(zhì)上也是造成正負(fù)相消是此法的根源目的。(4)常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧①等差型（1）（2）（3）（4）②根式型（1）（2）（3）③指數(shù)型（1）（2）（3）（4）④對(duì)數(shù)型⑤冪型（1）（2）（3）5．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為，其中a為常數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且．(1)求和；(2)設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和．7．在已知數(shù)列中，，．（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求常數(shù)和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．8．已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前1012項(xiàng)和．考點(diǎn)04：錯(cuò)位相減法：通項(xiàng)公式特點(diǎn)：等差等比，比如，其中代表一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的一次函數(shù)），代表一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)），那么便可以使用錯(cuò)位相減法9．已知數(shù)列的首項(xiàng)，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且有．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)05：倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法).11．已知函數(shù)，則．12．求的值.考點(diǎn)06：分組求和法：有一類(lèi)數(shù)列SKIPIF1<0，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見(jiàn)特殊數(shù)列，則可以將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項(xiàng)和．注：①形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減②形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減③形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減(2)通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．注：（1）分奇偶各自新數(shù)列求和（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項(xiàng)”求和(3)正負(fù)相間求和：①奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。②如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時(shí)候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)。注：在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.13．等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.考點(diǎn)07：分段求和法：如果一個(gè)數(shù)列是由各自具有不同特點(diǎn)的兩段構(gòu)成，則可考慮利用分段求和法求和．15.在數(shù)列中，，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)08：奇偶分析求和法17.已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．351 B．353 C．531 D．53318.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前15項(xiàng)的和.考點(diǎn)09：其它求和法19．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，則等于()A．171 B．21 C．10 D．16120．已知數(shù)列滿足，，則其前6項(xiàng)之和是（）A．16 B．20 C．33 D．12021．設(shè)數(shù)列有，則.22．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，則＝.23．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，．若，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．24．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．走進(jìn)高考1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折次，那么.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．6．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．7．（2019·全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.8．（2018·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求，并求的最小值．9．（2018·全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列滿足，，設(shè)．（1）求；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）求的通項(xiàng)公