山東省淄博市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末摸底質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期高三摸底質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)（）A.2 B.4 C.8 D.163.設(shè)隨機(jī)變量，且，則（）A.0.75 B.0.5 C.0.3 D.0.254.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2和4，若側(cè)棱與底面ABCD所成的角為，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.5.已知等邊的邊長為，P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“對(duì)，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù)，的定義域都為，為的導(dǎo)函數(shù)，的定義域也為，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的個(gè)數(shù)為（）①②③④A.1 B.2 C.3 D.48.已知函數(shù)，則直線與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)，，且為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.圖象的對(duì)稱中心為，C.圖象的對(duì)稱軸為，D.的單調(diào)遞減區(qū)間為，10.已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的28個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為;去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為﹔原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若=，則下列說法正確的是（

）A.B.C.剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)D.剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)11.如圖，多面體，底面為正方形，底面，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則下列說法正確的是（）A.多面體的外接球的表面積為B.的周長的最小值為C.線段長度的取值范圍為D.與平面所成的角的正弦值最大為12.已知函數(shù)，，則下列說法正確是（）A.函數(shù)與函數(shù)有相同的極小值B.若方程有唯一實(shí)根，則a的取值范圍為C.若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則D.當(dāng)時(shí)，若，則成立三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.將序號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的六張參觀券全部分給甲、乙等5人，每人至少一張，如果分給甲的兩張參觀券是連號(hào)，則不同分法共有________種．14.已知圓，則直線與圓的位置關(guān)系是__________.15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，A，B分別為圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，過A，B作x軸的垂線分別交x軸于點(diǎn)，．將畫有該圖象的紙片沿著x軸折成120°的二面角，此時(shí)________．16.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則最小值為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)函數(shù)，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.18.如圖，AB是半球O的直徑，，依次是底面上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，P是半球面上一點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）若點(diǎn)在底面圓上射影為中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正弦值．19.設(shè)銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求證：；（2）求的取值范圍；（3）若，求面積的取值范圍.20.已知和均為等差數(shù)列，，，，記，，…，（n=1，2，3，…），其中，，，表示，，，這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（1）計(jì)算，，，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求偶數(shù)m的值．21.已知函數(shù)．（1）若時(shí)，恒有，求a的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．22.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，增強(qiáng)鍛煉身體意識(shí)，某學(xué)校舉辦一場(chǎng)羽毛球比賽．已知羽毛球比賽單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．現(xiàn)甲、乙二人進(jìn)行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員對(duì)陣的比賽數(shù)據(jù)可知，若甲發(fā)球，甲得分的概率為，乙得分的概率為；若乙發(fā)球，乙得分的概率為，甲得分的概率為．規(guī)定第1回合是甲先發(fā)球．（1）求第3回合由甲發(fā)球的概率；（2）①設(shè)第i回合是甲發(fā)球的概率為，證明：是等比數(shù)列；②已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，2，…，n，則．若第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進(jìn)行n個(gè)回合比賽后，甲的總得分的期望．2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期高三摸底質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出集合、后，結(jié)合集合的運(yùn)算即可得.【詳解】，即，則，解得，所以，，所以，從而.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)（）A2 B.4 C.8 D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，得到，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】設(shè)，則，所以，所以.故選：A3.設(shè)隨機(jī)變量，且，則（）A.0.75 B.0.5 C.0.3 D.0.25【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)立事件的意義，結(jié)合正態(tài)分布列式計(jì)算即得.【詳解】隨機(jī)變量，顯然，而，所以.故選：D4.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2和4，若側(cè)棱與底面ABCD所成的角為，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出輔助線，根據(jù)條件求出棱臺(tái)的高，利用棱臺(tái)體積公式求出答案.【詳解】如圖，分別為上底面和下底面的中心，連接，則⊥底面，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則⊥底面，因?yàn)樯稀⑾碌酌孢呴L分別為2和4，所以，故，，，由于，故，故該正四棱臺(tái)的體積為.故選：B5.已知等邊的邊長為，P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系且，，，進(jìn)而確定的軌跡圓，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示并結(jié)合所得表達(dá)式的幾何意義求范圍即可.【詳解】如下圖構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，且，，，所以在以為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為，而，故，綜上，只需求出定點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離平方的范圍即可，而圓心與的距離，故定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離范圍為，所以.故選：B6.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“對(duì)，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意判斷兩個(gè)條件都等價(jià)于，進(jìn)而判斷答案即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，若對(duì)，，即，若，則，即為單調(diào)遞增數(shù)列，又因?yàn)椋?，所以，即，所以“?duì)，”是“”的充要條件.故選：C7.已知函數(shù)，的定義域都為，為的導(dǎo)函數(shù)，的定義域也為，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的個(gè)數(shù)為（）①②③④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由已知可得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，判斷②；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，可推得為奇函數(shù)，進(jìn)而得出的周期為，可判斷①；由已知得出，，可判斷③；結(jié)合的性質(zhì)可判斷④.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，②成立；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以為奇函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱，即，因?yàn)?，，所以，所以的周期為，因?yàn)?，所以，①成立；因?yàn)椋?，又，所以，因?yàn)椴荒艽_定，③不一定成立；因?yàn)橹芷跒?，所以，④成立；綜上，一定成立的有個(gè).故選：.8.已知函數(shù)，則直線與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，令，，分析可知，函數(shù)、的圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】由可得，令，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，其最小正周期為，，所以，函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的，，所以，函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上也為增函數(shù)，如下圖所示：由圖可知，函數(shù)、的圖象共有六個(gè)交點(diǎn)，其中這六個(gè)點(diǎn)滿足三對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此，直線與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，解題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合對(duì)稱性求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)，，且為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.圖象的對(duì)稱中心為，C.圖象的對(duì)稱軸為，D.的單調(diào)遞減區(qū)間為，【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)奇偶性求出，結(jié)合余弦函數(shù)相關(guān)性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)，且為偶函數(shù)，所以，即，又因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，，令，則，所以圖象的對(duì)稱中心為，，故B正確；對(duì)于C，令，得圖象的對(duì)稱軸為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，為單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的28個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為;去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為﹔原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若=，則下列說法正確的是（

）A.B.C.剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)D.剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，求出剩下的28個(gè)樣本數(shù)據(jù)的和、去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)和、原樣本數(shù)據(jù)和，列出方程即可；對(duì)于B選項(xiàng)，寫出和的表達(dá)式即可；對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)中位數(shù)定義判斷即可；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)分位數(shù)定義判斷即可.【詳解】A.剩下的28個(gè)樣本數(shù)據(jù)的和為，去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)和為，原樣本數(shù)據(jù)和為，所以，因?yàn)?，所以，故A選項(xiàng)正確；B.設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，故B選項(xiàng)正確；C.剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.，所以原數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為從小到大的第7個(gè)；，所以剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為從小到大的第7個(gè)；因?yàn)槿サ袅俗钚≈?，則剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)，故D正確.故選：ABD.11.如圖，多面體，底面為正方形，底面，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則下列說法正確的是（）A.多面體的外接球的表面積為B.的周長的最小值為C.線段長度的取值范圍為D.與平面所成的角的正弦值最大為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意將多面體放入正方體中，根據(jù)正方體外接球相關(guān)知識(shí)直接判斷A，根據(jù)圖形展開以及余弦定理判斷B，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線段長度和線面角公式判斷C和D.【詳解】對(duì)于A，由題意可知，多面體可以放在如圖所示的正方體當(dāng)中，設(shè)中點(diǎn)為，則為多面體的外接球球心，所以多面體的外接球半徑為，則多面體的外接球的表面積為，故A正確.對(duì)于B，的周長為，將如下圖所示展開，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，由，則，所以，所以，在中，由余弦定理得，，所以，則的周長最小為，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，故C正確.對(duì)于D，由，所以，設(shè)平面法向量，由，令，則，則與平面所成角的正弦值為，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得與平面所成角的正弦值的最大值，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用.解決立體幾何問題的常見方法有：（1）定義法，通過相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；（2）空間向量法，運(yùn)用空間向量進(jìn)行基底轉(zhuǎn)化或者運(yùn)用坐標(biāo)法結(jié)合公式求解；（3）轉(zhuǎn)化法，通過轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長度或角度轉(zhuǎn)化求解.12.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)與函數(shù)有相同的極小值B.若方程有唯一實(shí)根，則a的取值范圍為C.若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則D.當(dāng)時(shí)，若，則成立【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)題目直接對(duì)兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)判斷極值即可；對(duì)于B，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和最值判斷函數(shù)變化趨勢(shì)，進(jìn)而求出參數(shù)范圍；對(duì)于C，利用對(duì)數(shù)均值不等式直接判斷即可；對(duì)于D，利用同構(gòu)方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.【詳解】對(duì)于A，定義域，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，定義域，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故A正確；對(duì)于B，若方程有唯一實(shí)根，由于當(dāng)時(shí)，，且，結(jié)合已求的單調(diào)性和最值可知，或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的實(shí)根，假設(shè)，則，則，即，兩式相減得，即，由對(duì)數(shù)均值不等式，則，即得證，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，若，則，即，顯然，則，則成立，故D正確.故選：ACD下面補(bǔ)證C選項(xiàng)對(duì)數(shù)均值不等式：要證，即證，設(shè)，即證，即證，令，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.將序號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的六張參觀券全部分給甲、乙等5人，每人至少一張，如果分給甲的兩張參觀券是連號(hào)，則不同分法共有________種．【答案】120【解析】【分析】先分給甲，再分給剩余四個(gè)人，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理得到答案.【詳解】由題意得，如果分給甲的兩張參觀券是連號(hào)，則有種分法，再將剩余的4張分給剩余4個(gè)人，有種分法，所以一共有種分法.故答案為：12014.已知圓，則直線與圓的位置關(guān)系是__________.【答案】相交【解析】【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，結(jié)合圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系可得.【詳解】因?yàn)楸硎緢A的方程，所以，即.因?yàn)閳A的圓心到直線的距離，所以直線與圓相交.故答案為：相交15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，A，B分別為圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，過A，B作x軸的垂線分別交x軸于點(diǎn)，．將畫有該圖象的紙片沿著x軸折成120°的二面角，此時(shí)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，作，且，找出二面角的平面角，根據(jù)余弦定理求得，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到是直角三角形，根據(jù)勾股定理求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，如圖所示，在平面內(nèi)，作，且，連接，顯然，四邊形是矩形，為二面角的平面角，即，所以在中，由余弦定理得，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，面，，所以面，因?yàn)槊?，，在直角中，故答案為?6.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】將題意轉(zhuǎn)化為求曲線上一點(diǎn)到距離最小值，通過求導(dǎo)求出點(diǎn)符合題意，進(jìn)而求出答案.【詳解】由題意得，，即求曲線上一點(diǎn)到距離最小值，又因?yàn)樵谥本€上，所以當(dāng)曲線與直線平行時(shí)，距離取得最小值，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離為，即所求曲線上一點(diǎn)到距離最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.關(guān)鍵點(diǎn)在于將所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為距離問題，通過導(dǎo)數(shù)研究曲線即可.本題考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、計(jì)算能力，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)函數(shù)，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)得到由題設(shè)知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得從而.根據(jù)得到，進(jìn)一步求最小值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)椋杂深}設(shè)知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，取得最小值.【名師點(diǎn)睛】此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題易錯(cuò)點(diǎn)在于一是圖象的變換與解析式的對(duì)應(yīng)，二是忽視設(shè)定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.18.如圖，AB是半球O的直徑，，依次是底面上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，P是半球面上一點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）若點(diǎn)在底面圓上的射影為中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證明面，得到，再結(jié)合線面垂直的判定定理得證；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的空間向量計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】連接，因?yàn)橐来问堑酌嫔系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn)，所以四邊形是菱形，設(shè)，則為中點(diǎn)，且，又因?yàn)?，故是等邊三角形，連接，則，又因?yàn)槊?，，所以面，因?yàn)槊?，所以，因?yàn)橐来问堑酌嫔系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)锳B是半球O的直徑，P是半球面上一點(diǎn)，所以，因?yàn)槊?，，所以面，又因?yàn)槊?，所以【小?詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面圓上的射影為中點(diǎn)，所以面，因?yàn)槊?，所以，又因?yàn)?，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為19.設(shè)銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求證：；（2）求的取值范圍；（3）若，求面積的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理和兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合為銳角三角形，得到，即可求解；（2）由（1）求得，得到，結(jié)合正弦定理，即可求解；（3）由正弦定理和面積公式，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，又因?yàn)闉殇J角三角形，可得，所以，可得，即.【小問2詳解】解：因?yàn)?，且為銳角三角形，且，可得，所以又因?yàn)?，即，可得，所以，則，即的取值范圍是.【小問3詳解】解：由正弦定理得，所以，又由，可得，設(shè)在為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，所以，故的取值范圍是.20.已知和均為等差數(shù)列，，，，記，，…，（n=1，2，3，…），其中，，，表示，，，這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（1）計(jì)算，，，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求偶數(shù)m的值．【答案】（1），，，，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列，的公差分別為，，利用，，，利用通項(xiàng)公式可得，，可得，．根據(jù)，，．猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，證明數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，即可得出結(jié)論．（2），利用裂項(xiàng)求和方法即可得出，根據(jù)對(duì)任意恒成立即可得出的取值范圍．小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列和的公差為、，那么，解得，∴，，那么，，，，猜想的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列關(guān)于單調(diào)遞減，所以；【小問2詳解】解：，所以，因?qū)θ我夂愠闪?，所有，解得，所以?1.已知函數(shù)．（1）若時(shí)，恒有，求a的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，分類討論和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系以及零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)求解即可；（2）將原題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時(shí)，，通過構(gòu)造函數(shù)和二次求導(dǎo)的方法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系即可得證.【小問1詳解】由若時(shí)，恒有，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，則令，則，顯然在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以存在，使得，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，則單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍為【小問2詳解】要證當(dāng)時(shí)，，即證，設(shè)，則，令，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，