6.2.16.2.2平面向量的加減法運(yùn)算（原卷版）

6.2平面向量的加減法運(yùn)算知識點(diǎn)一向量的加法運(yùn)算1、向量加法的定義：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．2、向量求和的法則求和法則三角形法則平行四邊形法則前提已知非零向量，已知兩個不共線向量，作法在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)，作，連接在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA＝，OB＝，以O(shè)A,OB為鄰邊作?OACB，結(jié)論向量AC叫做與的和，記作＋，即＋＝AB＋BC＝AC以O(shè)為起點(diǎn)的向量就是向量與的和圖形微點(diǎn)撥：(1)三角形法則與平行四邊形法則的記憶口訣①三角形法則：作平移，首尾連，由起點(diǎn)，指終點(diǎn)；②平行四邊形法則：作平移，共起點(diǎn)，四邊形，對角線．(2)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系三角形法則(1)首尾相接(2)適用于任何兩個非零向量求和當(dāng)兩個向量不共線時，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半平行四邊形法則(1)共起點(diǎn)(2)僅適用于不共線的兩個向量求和(3)求作三個或三個以上的向量的和時，用三角形法則更簡單．3、向量加法中的常見結(jié)論特殊規(guī)定對于零向量與任意向量，規(guī)定特殊結(jié)論一般地，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)，方向相同或者至少有一個為零向量時等號成立兩個物理模型(1)位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型；(2)力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型4、向量加法的運(yùn)算律交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)微點(diǎn)撥：①應(yīng)用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序．②當(dāng)兩個向量共線時，向量加法的交換律和結(jié)合律也成立．③多個向量的加法運(yùn)算可按照任意的次序與任意的組合進(jìn)行，如知識點(diǎn)二相反向量定義與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作性質(zhì)(1)零向量的相反向量仍是零向量；(2)對于相反向量有：；(3)若互為相反向量，則微點(diǎn)撥：①相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進(jìn)行定義，相反向量必為平行向量．.②避免一個誤區(qū)：即將相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量．知識點(diǎn)三向量的減法運(yùn)算及其幾何意義定義向量加上的相反向量，叫做與的差，即，因此減去一個向量，相當(dāng)于加上這個向量的相反向量．求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作結(jié)論向量圖形幾何意義如果把兩個向量,的起點(diǎn)放在一起，則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量微點(diǎn)撥：①向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算．利用相反向量的定義，，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法．②兩個向量作差的前提是將兩個向量移到共同的起點(diǎn)．③向量減法滿足三角形法則，在用三角形法則作向量減法時，要注意“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減”．解題時要結(jié)合圖形，準(zhǔn)確判斷，防止混淆．知識點(diǎn)四向量加法和減法幾何意義的聯(lián)系1、如圖，在平行四邊形ABCD中，若，則．微點(diǎn)撥：①若，則平行四邊形ABCD為菱形．②若，則平行四邊形ABCD為矩形．③若，且，則平行四邊形ABCD為正方形．2、類比，可知，其中的幾何意義分別是以AB,AD為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長．微點(diǎn)撥：①在公式中，當(dāng)與方向相反且時，；當(dāng)與方向相同時，．②在公式中，當(dāng)與方向相同且時，；當(dāng)與方向相反時，．考點(diǎn)一向量的加法題型一已知向量作和向量易錯提醒向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接，平行四邊形法則要注意把向量移到共同起點(diǎn)．1．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．(1)

(2)

2．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．3．（2022·高一課時練習(xí)）如圖所示，求：(1)；(2)；(3)；(4).題型二向量加法的運(yùn)算律及應(yīng)用提分筆記解決向量加法運(yùn)算問題時應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)(1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進(jìn)行化簡或計算．(2)要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算律，注意各向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)及向量起點(diǎn)、終點(diǎn)字母的排列順序，特別注意勿將寫成0.1．（2023下·天津紅橋·高一統(tǒng)考期末）化簡：（

）A． B． C． D．2．（2023下·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）四邊形是梯形，，則等于（

）A． B． C． D．3．（2022下·廣東梅州·高一興寧市第一中學(xué)?？计谥校┑扔冢?/p>

）A． B． C． D．4．（2023下·廣西·高一統(tǒng)考期末）在矩形中，，，則等于（

）A． B． C．3 D．45．（2016·高一課時練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)分別為的三邊的中點(diǎn).求證：(1)；(2).題型三向量加法的應(yīng)用問題提分筆記利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個步驟1．（2023下·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）若向量表示“向東航行”，向量表示“向北航行”，則向量表示（

）A．向東北方向航行B．向北偏東方向航行C．向正北方向航行D．向正東方向航行2．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，無彈性的細(xì)繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同樣的細(xì)繩OC下端系著一個稱盤，且使得，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，并判斷哪根繩受力最大.考點(diǎn)二向量的減法運(yùn)算易錯提醒忽視只有向量共起點(diǎn)時才可用減法法則.題型一用已知向量求解向量的差提分筆記作兩個向量的差的兩種方法(1)用向量減法的三角形法則①步驟：②口訣：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減．(2)用向量減法的定義根據(jù)轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算，再作圖．1．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量、，求作．(1)

(2)

(3)

(4)

2．（2024上·北京西城·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正六邊形中，（

）A． B． C． D．3．（2022上·浙江麗水·高三?？计谥校┤鐖D所示，單位圓上有動點(diǎn)A，B，當(dāng)取得最大值時，等于（

）A．0 B． C．1 D．2題型二向量的加減法混合運(yùn)算提分筆記1．向量減法運(yùn)算的常用方法2．向量加減法化簡的兩種形式(1)首尾相連且為和；(2)起點(diǎn)相同且為差．解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應(yīng)用．1．（2023下·新疆·高一?？计谥校┗喯铝懈飨蛄康谋磉_(dá)式：(1)；(2)；(3)；2．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡：（1）；

（2）；（3）；

（4）．3．（2022下·高一校考課時練習(xí)）如圖所示，在矩形中，，，設(shè)，，，求.題型三向量加減法幾何意義的應(yīng)用提分筆記利用已知向量表示其他向量的一個關(guān)鍵及三點(diǎn)注意(1)一個關(guān)鍵：一個關(guān)鍵是確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道．(2)三點(diǎn)注意：①注意相等向量、相反向量、共線向量與構(gòu)成三角形三向量之間的關(guān)系；②注意應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運(yùn)算律；③注意在封閉圖形中利用多邊形法則．1．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，點(diǎn)B是平行四邊形ACDE內(nèi)一點(diǎn)，且，，，試用向量表示向量，，.2．（2021·高一課時練習(xí)）如圖所示，，，.(1)用表示；(2)用表示.3．（2023·高一課時練習(xí)）已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（

）A． B．2 C． D．1考點(diǎn)三向量加減法在幾何中的應(yīng)用題型一向量模長的三角不等式1．（2021下·高一課時練習(xí)）若向量滿足，則的最小值為，的最大值為．2．（2022·高一課時練習(xí)）若，則的取值范圍為.題型二利用向量加減法判斷幾何形狀1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．（2023下·云南西雙版納·高一校考期中）在四邊形中，若，且，則（

）A．在四邊形是矩形B．在四邊形是菱形C．在四邊形是正方形D．在四邊形是平行四邊形3．（2020下·高一課時