2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 6-4 數(shù)列求和 學(xué)案

第四節(jié)數(shù)列求和

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法.

必備知識?夯實雙基

知識梳理

L分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組

成的，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再相加減.

2.裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，

從而求得前”項和.

3.錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積

構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解.

4.倒序相加法：如果一個數(shù)列｛atl｝的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或

等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.

［常用結(jié)論］

I.一些常見的數(shù)列前"項和公式

(l)l+2+3+4+???+n=^^i

(2)12+22H----k“2=n(n+lg2n+l).

2.常見的裂項公式

(1)---=1——L..

v7n(n+l)nn+l'

(2??Z4O+);

(3)____?________________L-Y

'z(2n-l)(2n+l)2?2n-l2n+l√,

《扁kθ而

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)若數(shù)列｛arι｝為等比數(shù)列，且公比不等于1,則其前〃項和S,,=苒2.()

(2)當(dāng)心2時,?=∏?-?)?()

(3)求5"=。+2。2+3/-|------時只要把上式等號兩邊同時乘以“即可根據(jù)錯位相減法

求和.()

(4)若數(shù)列m,a2-ai,-1期一斯T是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,則數(shù)列｛a11｝的

通項公式是斯=三二.()

n

2.(教材改編)已知數(shù)列｛arι｝的通項公式為al,=2+n,前n項和為S,.,則$6=.

3.(教材改編)在數(shù)列｛a11｝中,如=散熱,若｛a。的前n項和為分|，則項數(shù)〃=.

4.(易錯)已知數(shù)列｛a11｝的通項公式為斯=(一1)"層，設(shè)的=小+小+”貝I擻列&｝的前200

項和為()

A.-200B.0

C.200D.10000

￡

5.(易錯)在數(shù)列｛aιq｝中，已知m=(n+$(n+K("N*)，則｛atl｝的前"項和S"="

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一分組轉(zhuǎn)化法求和

例1［2023?江西贛州模擬］已知數(shù)列｛arι｝的前n項和為Sn,且滿足Sπ=2απ-2(n∈N*)

(1)求數(shù)列｛atl｝的通項公式；

(2)已知d=Cos(nπ)log√2‰＞求數(shù)列｛b∏｝的前〃項和力“

［聽課記錄］

題后師說

分組轉(zhuǎn)化法求和的兩種常見類型

若".=4±C",｛?,｝,｛%｝為等差或等比數(shù)列，

則可用分組求和法求和

若通項公式為4=｛然霆*的數(shù)列,其中

數(shù)列｛4｝，｛。｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列，則可

采用分組求和法求和

鞏固訓(xùn)練1

［2023?河南駐馬店模擬］已知等差數(shù)列｛arι｝滿足an+l+an=4n+2.

(1)求數(shù)列｛atl｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛bιq-atl｝是公比為3的等比數(shù)列，且6=3,求數(shù)列｛b11｝的前”項和S“,

題型二裂項相消法求和

例2［2023?河北滄州模擬］已知正項等比數(shù)列｛a11｝的前〃項和為S”且al=l.S3=7.

(1)求｛a11｝的通項公式；

1

(2)記hn=求｛、｝的前〃項和Tn.

log2(l+Sn)?log2(l+Sn+1)

［聽課記錄］

題后師說

使用裂項相消法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏

寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目

的.

鞏固訓(xùn)練2

［2023?安徽卓越聯(lián)盟］已知數(shù)列｛atl｝滿足a2=γan-an+ι-=3anan+i.

(1)求數(shù)列｛a11｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛arιa11+ι｝的前n項和Tn.

題型三錯位相減法求和

例3［2023?廣東肇慶模擬］已知數(shù)列｛aιq｝滿足al=：,2‰+∣=?,+l.

(1)證明：數(shù)列｛atl-l｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛narl｝的前n項和T,,.

［聽課記錄］

題后師說

(1)一般地，如果數(shù)列hn｝是等差數(shù)列，｛bn｝是等比數(shù)列，求數(shù)列hn?b11｝的前〃項和時，

可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以數(shù)列｛b11｝的公比，然后作差求解.

(2)在寫出“SJ與MSj的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出

an

Sn-qSn的表達(dá)式.

鞏固訓(xùn)練3

[2023?山東濟(jì)南一中模擬]已知數(shù)列｛aQ的前n項和為Sn,β∣≈l,且S,=2S,-∣+

n(n≥2,n∈N*)

(1)求數(shù)列｛a。的通項公式；

(2)設(shè)?n=(2n-l)(an+1),求數(shù)列｛brι｝的前n項和Tn.

真題展臺

l.[2021?新高考I卷]某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對

稱軸把紙對折，規(guī)格為20dmX12dm的長方形紙，對折1次共可以得到IOdmXI2dm,20

dm×6dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和5∣=240dm2,對折2次共可以得到5dm×12dm,

10dm×6dm,20dmX3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=I8Odn?.以此類推，則

對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折〃次，那么設(shè)=ISk=

___________dm2.

2.[2022?新高考I卷]記￡為數(shù)列｛aj的前〃項和，己知α∣=l,倒是公差為抽等差

數(shù)列.

(1)求｛a11｝的通項公式；

(2)證明：-+-+-+-<2.

aιa2an

an+l,n為奇數(shù),

3.［2021?新高考1卷］已知數(shù)列｛斯｝滿足G=1,an+ι=

.an+2,n為偶數(shù).

(1)記兒=。2"，寫出歷，h2,并求數(shù)列｛兒｝的通項公式;

⑵求｛斯｝的前20項和.

4.［2020?全國卷I］設(shè)｛斯｝是公比不為1的等比數(shù)列，0為%的的等差中項.

(1)求｛斯｝的公比；

(2)若α∣=l,求數(shù)歹∣J｛"4"｝的前〃項和.

專題突破?由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

微專題1累加法

例1(1)已知數(shù)列｛”“｝滿足αι=l,對任意的"∈N*都有出+1=。“+〃+1,則?0=()

A.36B.45C.55D.66

(2)［2023?河北唐山模擬］已知正項數(shù)列｛斯｝滿足ai=l,a^+1-(2n+l)α,,+ι=a?+(2w+

1)?,,.求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

［聽課記錄］

題后師說

形如斯+i—斯=式〃)的數(shù)列，利用累加法，即用公式an=(an-an-?)+(all-?-all-2)H-----F

(S—"ι)+ɑ∣("22),可求數(shù)列｛〃”｝的通項公式.

微專題2累乘法

例2(1)已知數(shù)列｛斯｝滿足“∣=2,即="(斯+|一斯)("∈N*),則數(shù)列｛斯｝的通項公式為小

=()

A.2nB?O

C.H2+1D.〃+1

⑵［2023?山東肥城模擬］已知數(shù)列｛小｝的前n項和為Sn,若πSn+ι=(n+2)Sn,且ai=l,

求｛〃”｝的通項公式.

［聽課記錄］

題后師說

形如。"+1=斯貝〃)或包*_A〃)的數(shù)列,常令〃分別為1,2,3,…，n-l,代入皿=大〃)，

anan

再把所得的(〃一1)個等式相乘，利用α,,=α∣?生”?…?工(〃22)可求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

ala2an-l

微專題3構(gòu)造法

例3(1)設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足“1=1,且&=34-1+4(心2),則數(shù)列｛m｝的通項公式為a”=

(2)在數(shù)列｛arι｝中，0=-1,α"+ι=24,,+4?3"^^∣,求通項公式a”.

［聽課記錄］

題后師說

形如a“+i=pq“+q(pWO且p≠l,q≠0)的遞推式可用構(gòu)造法求通項，構(gòu)造法的基本原理

是在遞推關(guān)系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項都加上相同的數(shù)或相

同性質(zhì)的量，使之成為等差或等比數(shù)列.

第四節(jié)數(shù)列求和

必備知識?夯實雙基

夯實雙基

1.答案：(I)J(2)√(3)×(4)√

2.解析：$6=(2]+22+23+24+2$+26)+(1+2+3+4+5+6)=當(dāng)?shù)?也羅=

27—2+21=27+19=147.

答案：147

3.解析：記數(shù)列｛a11｝的前〃項和為S,,

則Sn-a?------Ha”

=(IW)+09+&-；)+…+(/馬

112022

=1———=------,

n+12023

解得〃=2022.

答案:2022

4.解析：記數(shù)列｛%｝的前200項和為4,

Tn=C?-?-C2^?--------l^C200

=61|+。2+42+43+~+。199+。200+4200+。201

-

=2[(a1+a2)+(a3+a4)+-+(a199+a2θo)l?1+^201

=2[(4-1)+(16-9)+???+(2002-1992)]+1-2012

=2×[3+7+lH------I-399J+1-2012

^2χ100(3+39?)+1_201，

=40200-40401+1=-200.??A.

答案：A

4(?^?)'am*)

.?.｛〃〃｝的前n項和

處案.工但____L)

U2?6n+2n+3√

題型突破夯實“四能”

例1解析：(1)當(dāng)〃=1時，Sι=2αι-2,即0=2,

當(dāng)時，Sn-ι=2αn-∣-2,

所以CIn=Sn—SnT=2%—2〃ZlT得4Zπ=2οπ-](∏≥2),

即｛a11｝是以0=2為首項，公比為2的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛arl｝的通項公式為斯=2".

(2)?zj=cos(nπ)?log魚Q〃=2〃COS(nπ)=(-l)"?2∕t,

①當(dāng)n為偶數(shù)時，Q=81+岳+歷+…+力=-2+4—6+8—10+…+2〃

=52=〃，

②當(dāng)〃為奇數(shù)時，Tn=b↑+b2+b3+-+bn=Tn-ι+bn

=-y-?2+(-2n)=—n-1,

n,n為偶數(shù)；

綜上：Tn=

n-1,n為奇數(shù).

鞏固訓(xùn)練1解析：(1)設(shè)等差數(shù)列｛arJ的公差為4

由斯+1+斯=4/1+2,可得+∕ιd+q∣+(〃-l)d=2∕ιd+(2aι—d)=4〃+2,

即2d=4,2ai-d=2t解得d=2,0=2.

所以處=2幾

(2)若數(shù)列｛brι-arι｝是公比為3的等比數(shù)列，且仇一勾=3—2=1,

n

則hn—an=3?.

由⑴可得力=%+3”亡=2〃+3廣|,

“11—?nCanl

.,.S=(2+4+???+2n)+(l+3+9+???+3tl-1')=-n(2+2n)+-=n+n2+--

n21—322

例2解析：(1)由題意知0=1,6?+α3=6.

設(shè)等比數(shù)列｛atl｝的公比為小則q+q2=6,

解得q=2或q=-3(舍去)，

所以％="qr=2"-∣.

(2)由(1)可得S,=沖里2=*=2"—1,

1-q1—2

所以力=________J_______?,1??,?

,

'〃log2(l+Sn)?log2(l+Sn+1)n(n+l)nn+l

所以加+歷+加+…+與=-…+：—^=1一.

即｛bn｝的前八項和3備

鞏固訓(xùn)練2解析：(1)因為如一%+|=3%%+|,“2=；,

4

令”=1,則0—〃2=3.42,即41一；=9|,解得0=1,

44

r=

由題知〃〃≠0,由〃〃-an+1=3anan+1,兩邊同除以斯如+ι,得二-----3,

an+lan

所以數(shù)列是首項為工=1,公差為3的等差數(shù)列，

IanJ31

所以工=工+3(幾一1)=3九一2,即斯=/一.

3∩a13∏-2

(2)由(1)及條件可得anan+1=2%n+ι)=T(^^^2-Si)，

(3n—2j(,3n+l;3?3n-23n+l∕

所以刀產(chǎn)總一？+Hm+…+★急一就)

=l(-ll-l...^——LJ)=打_，)=」.

3\14+47++3n-23n+l∕3、3n+lz3n+l

例3解析：(1)證明：由2斯+1=斯+1,得2〃〃+]—2=斯-1,

又0-1=一；，所以4"-lW0,故酗?=；，

2an-l2

故hn—1｝是以一:為首項，以《為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)得如一I=一(∣)n,得知=1一(∣)n,

n

所以nall=n-n(^,設(shè)｛nC)｝的前〃項和為Pn,

則尸”=1義：+2*(斤+?“+〃6)",①

汜=1*(f+2X(/+…+碓尸,②

由①-②，得護(hù)"三+似+(,+…尸

尸=L尸，則P,=2—(n+2)(∣y,

故。=1+2+3+…+"―匕=?—P,,+等.

鞏固訓(xùn)練3解析：⑴由S,=2S,L∣+Mn≥2,n∈N*)得:

5n+1=25,,+?+1,作差得α,,+ι=2α,,+l,即知+ι+l=2(an+l)(n≥2,n€N*),

又α∣=l,由52=。|+他=241+2,得他=3,

所以672+l=4=2(a1+1),

所以數(shù)列｛an+1｝為以2為公比和首項的等比數(shù)列，

所以%+l=4X2"-2=2",所以%=2"—1,

故數(shù)列｛a11｝的通項公式為斯=2"-1.

(2)由(1)知兒=(2n-l)X2",

所以7j,≈l×2+3×22+5×23H------F(2n-l)×2π.

2^,=l×22+3×23+5×24H-----F(2n-l)×2,,+l,

作差得一t,=1X2+2X2?+2X23∏-----F2×2π-(2n-1)×2,'1

≈2+2×-(^-1)-(2n-l)×2a+1≈(3-2n)×2π+'-6.

所以7L=(2n-3)×2π+,+6.

真題展臺——知道高考考什么？

1.解析：⑴由對折2次共可以得到5dmX12dm,10dmX6dm,2OdmX3dm三種規(guī)

格的圖形，所以對折三次的結(jié)果有：^X12,5X6,10×3,20×∣,共4種不同規(guī)格(單位dn?)；

故對折4次可得到如下規(guī)格：5×12,∣×6,5X3,IOX9,20X?,共5種不同規(guī)格；

4224

(2)由于每次對折后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對折后的圖形，不論規(guī)

格如何，其面積成公比為；的等比數(shù)列，首項為120(dm2),第n次對折后的圖形面積為

120×(∣),l^l,對于第n次對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)(1)的過程和結(jié)論，猬想為n

+1種(證明從略)，故得猜想S,,=有用

120×2120×3120×4120(n+l)

設(shè)S=∑kιSk=

2°+21+222∏一ι

120×2120×3120n120(n+l)

21222∏一ι+2n

兩式作差得:

120(n+l)

?=240+120(i+?+???+

2n

=240+小回120(n+l)

2n

120120(n+l)

=360=36。勺

2∏-ι2n

因此,S=720—^22=720—磐.

2∏2門一4

答案:5720—當(dāng)詈

2n~4

2'解析：(I)M=Y=L

又Y超是公差為抽等差數(shù)列,

.*>=≤i+i(n-l),

ana13

即S,=('+∣)斯=3"+2)α,,,

.?.當(dāng)"22時，SLl=1("+l)α,Li,

.?an=Sn-Sn-?=-(n+2)an--(n+l)atl-?,∕z≥2,即(〃-1)小=(〃+1)?！?1,幾22,

?an_n+l

**a∏-ιn-1n≥2,

?n?n-i...^3^2n+1n43n(n+l)n(n+l)

???當(dāng)π≥2時,斯二---

an-ιan-2a2aιn-?n-2212

當(dāng)〃=1時，a?=?滿足上式，.,?4=?（竺1）.

（2）證明：由（1）知斯=的曾,

湛產(chǎn)（一言,

1-1-|-----pl—缶)=2(Lw).

三+■+曰-+23

?.?"∈N*,ΛO

<?≤Γn+1

Λ2(l一--)<2,+------?--<2.

n+1a1a2an

3.解析：(1)由題設(shè)可得從=。2=〃1+1=2,

O2=α4=α3+1=a2+2+1=5,

又。2&+2=。2&+1+1,。2&+1=。2A+2,(fc∈N*)

故。2&+2=。2a+3,即b"+i=bn+3,即〃〃+]—b"=3.

所以｛bn｝為等差數(shù)列，故小=2+(n-l)X3=3"-l.

(2)設(shè)｛arJ的前20項和為S20>則S20=α1+他+侑+…+。20,

因為0=。2—1,〃3=〃4-1,…，。19=〃2。—1,

-

所以‰=2(a2÷a4÷???÷a18+a2o)10

=2(b1+b2+???+b9+b10)-10=2×(10×2+^×3)-10=300.

4.解析：(1)設(shè)｛?。墓葹閝,由題設(shè)得2a∣=α2+α3,即2"ι=04+0/.

所以q?+q—2—0,解得q∣=l(舍去)，伙=—2.

故｛斯｝的公比為一2.

π,

(2)記區(qū)為｛"如｝的前〃項和.由(1)及題設(shè)可得,an=(-2)~.

所以N=I+2X(-2)+…+〃X(-2)"T,

-25,,=-2+2×(-2)2+???+(n-l)×(-2),,^l+n×(-2)n.

可得35〃=1+(—2)+(—2)2+3+(-2)"-1一"'(一2)”

=i2?空fXJ2)"?

所以SI=F一如苧絲.

專題突破?由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

例1解析：(1)由斯+ι=如+〃+1得：an+↑-atl=n+?9

〃，

Λat-a∏-?=n,an-?~an-z=n-?.斯-2一%-3=-2,…a2-a↑=29

各式作和得：=2+3+…+幾=(nlj(n+2)

+(n-l)(n+2)

?%=.??mo=l+節(jié)=55.故選C.

2

(2)由已知W+1—(2n÷l)(απ+ι÷απ)=0,

即(%+1÷an)(an+1一%—2〃-1)=0.

=

又an>0,故?！?1—an-2n-?-1,即an—an-\2n—1(〃22且H∈N*).

)

所以，當(dāng)"22時，斯=0+(。2—。。+(的一〃2H-------F(αw-ΛM-I)

=l+3+5H-----F(2n-1)

=M2,