數(shù)學(xué)-專項(xiàng)7.5三角形的內(nèi)角和與外角和專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-【】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【蘇科版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題7.5三角形的內(nèi)角和與外角和專項(xiàng)提升訓(xùn)練班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2021秋?楚雄州期末）在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝35°，則△ABC是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形【分析】在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出∠C的度數(shù)，由該值大于90°，可得出△ABC為鈍角三角形．【解答】解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝35°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣35°＝105°．又∵105°＞90°，∴△ABC為鈍角三角形．故選：B．2．（2022?天津模擬）直角三角形的一銳角是50°，那么另一銳角是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可求解．【解答】解：∵直角三角形的一銳角是50°，∴另一銳角是90°﹣50°＝40°．故選：A．3．（2021秋?綏德縣期末）如圖，∠BCD是△ABC的一個(gè)外角，E是邊AB上一點(diǎn)，連接CE，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠BCD＞∠A B．∠BCD＞∠1 C．∠2＞∠3 D．∠BCD＝∠A+∠B【分析】三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角，根據(jù)以上知識(shí)點(diǎn)逐個(gè)判斷即可．

【解答】解：A、∠BCD是△ABC的一個(gè)外角，則∠BCD＞∠A，不符合題意．B、∠BCD是△ABC的一個(gè)外角，則∠1是△BEC的一個(gè)外角，∠BCD與∠1無(wú)法比較大小，符合題意．C、∠2是△AEC的一個(gè)外角，則∠2＞∠3，不符合題意．D、∠BCD是△ABC的一個(gè)外角，則∠BCD＝∠A+∠B，不符合題意．故選：B．4．（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知AD和AE分別是△ABC的高線和角平分線，若∠B＝56°，∠EAD＝10°，則∠C的度數(shù)為（）A．80° B．76° C．74° D．66°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BAD＝18°，再利用角平分線得出∠BAC＝68°，利用三角形內(nèi)角和解答即可．【解答】解：∵AD是高，∠B＝56°，∴∠BAD＝90°﹣56°＝34°，∵∠DAE＝10°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝34°﹣10°＝24°，∵AE是角平分線，∴∠BAC＝2∠BAE＝48°，∵∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝24°﹣10°＝14°∴∠C＝180°﹣90°﹣14°＝76°．故選：B．5．（2022秋?江漢區(qū)期中）如圖，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分線交于點(diǎn)P，已知∠P＝70°，則∠B的度數(shù)為（）

A．42° B．40° C．38° D．35°【分析】根據(jù)AP、CP分別是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分線，得出，，根據(jù)∠P＝70°，得出∠PAC+∠PCA＝110°，根據(jù)∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°，得出∠BAC+∠BCA＝140°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和，得出∠B＝40°．【解答】解：∵AP、CP分別是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分線，∴，，∵∠P＝70°，∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣70°＝110°，∴∠CAF+∠ACE＝2（∠PAC+∠PCA）＝220°，∵∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCA＝180°+180°﹣（∠FAC+∠ECA）＝140°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝40°，故B正確．故選：B．6．（2022秋?延平區(qū)校級(jí)月考）將△ABC紙片沿DE按如圖的方式折疊．若∠C＝50°，∠1＝85°，則∠2的度數(shù)等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵∠C＝50°，∴∠3+∠4＝∠A+∠B＝∠A′+∠B′＝180°﹣∠C＝130°，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A′+∠B′＝360°，∠1＝85°，∴∠2＝360°﹣85°﹣2×130°＝15°，故選：B．

7．（2022秋?阜陽(yáng)期中）如圖，E，F(xiàn)是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，D是點(diǎn)A上方的一點(diǎn)，若∠B+∠C＝64°，∠D＝70°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．44° B．46° C．48° D．50°【分析】連接EF，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝64°，∠D+∠1+∠2+∠AEF+∠AFE＝180°，進(jìn)而即可求解．【解答】解：如圖，連接EF，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，∴∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝64°，∵∠D+∠DEF+∠DFE＝180°，即∠D+∠1+∠2+∠AEF+∠AFE＝180°，∵∠D＝70°，∴∠1+∠2＝180°﹣64°﹣70°＝46°，故選：B．8．（2022秋?新洲區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，已知∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，連接DE，則∠DEC的度數(shù)為（）

A． B． C．30°﹣ D．45°﹣α【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如圖，先計(jì)算出∠EAM，則AE平分∠MAD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得EM＝EN，再由CE平分∠ACB得到EM＝EH，則EN＝EH，于是根據(jù)角平分線定理的逆定理可判斷DE平分∠ADB，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)解答即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如圖，∵∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，∴∠EAM＝90°﹣，∴AE平分∠MAD，∴EM＝EN，∵CE平分∠ACB，∴EM＝EH，∴EN＝EH，∴DE平分∠ADB，∴∠1＝∠ADB，由三角形外角可得：∠1＝∠DEC+∠2，∵∠2＝∠ACB，∴∠1＝∠DEC+∠ACB，而∠ADB＝∠DAC+∠ACB，∴∠DEC＝∠DAC＝α，故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上9．（2022秋?阜康市校級(jí)月考）在△ABC中，已知∠A＝∠B+∠C，那么△ABC的形狀直角三角形．【分析】在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出∠A＝90°，進(jìn)而可得出△ABC是直角三角形．【解答】解：在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形．故答案為：直角三角形．10．（2022秋?衢江區(qū)期中）一副三角板，按如圖所示疊放在一起（其中一塊三角板的一條直角邊與另一塊三角板的斜邊擺放在一直線上），那么圖中∠α＝75度．【分析】由題意可得∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACB＝90°，由三角形的外角性質(zhì)可求得∠BDA＝120°，再次利用三角形的外角性質(zhì)即可求∠α的度數(shù)．【解答】解：如圖，由題意得：∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACB＝90°，∴∠BDA＝∠A+∠ACB＝120°，∴∠α＝∠BDA﹣∠B＝75°．故答案為：75．11．（2022?永豐縣模擬）如圖，△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，AD∥BC，則∠D的度數(shù)為25°．【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝50°，再由角平分線的定義可求得∠BCD＝25°，利用平行線的性質(zhì)即可求得∠D＝∠BCD＝25°．【解答】解：∵∠B＝40°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝50°，

∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝25°，∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝25°．故答案為：25°．12．（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，F(xiàn)在射線AD上，F(xiàn)E⊥BC于E，∠C＝80°，∠B＝36°，則∠F＝22度．【分析】在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出∠BAC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義，可求出∠CAD的度數(shù)，由FE⊥BC于E，可得出∠DEF＝90°，再利用三角形的外角性質(zhì)，可求出∠F的度數(shù)．【解答】解：在△ABC中，∠B＝36°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣36°﹣80°＝64°，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×64°＝32°．∵FE⊥BC于E，∴∠DEF＝90°．∵∠ADB是△ACD的外角，∠ADB是△DEF的外角，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠F+∠DEF，∴32°+80°＝∠F+90°，∴∠F＝22°．故答案為：22．13．（2022秋?武昌區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠B，∠C的平分線相交于點(diǎn)O，∠BOC＝150°，則∠A的度數(shù)為120°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易得∠OBC+∠OCB＝30°，利用角平分線定義可得∠ABC+∠ACB

＝2（∠OBC+∠OCB）＝60°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A的的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠BOC＝150°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣150°＝30°，∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于O點(diǎn)，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝60°，∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．故答案為：120°．14．（2022秋?新田縣期中）如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，則∠A1＝，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，∠A2021BC的平分線與∠A2021CD的平分線交于點(diǎn)A2022，得∠A2022，則∠A2022＝．【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到，，再由三角形外角的性質(zhì)證明，同理可證，，…據(jù)此求解即可．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴，，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∴，∴，同理可得，，…

∴，故答案為：，．15．（2022?尋烏縣二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，將△ABC沿PD折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的A′處，若A′P∥AC，則∠PDA′的度數(shù)為60°．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠A＝∠PA′D，再由A′P∥AC可知∠A′DC＝∠PA′D，∠A′PD＝∠PDA，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°．∵△A′PD由△APD翻折而成，∴∠A＝∠PA′D＝60°，∠PDA＝∠PDA′．∵A′P∥AC，∴∠A′DC＝∠PA′D＝60°，∴2∠PDA′+∠A′DC＝180°，即2∠PDA′+60°＝180°，解得∠PDA′＝60°．故答案為：60°．16．（2021秋?昭陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BO，CO交于點(diǎn)O，CE為△ABC的外角∠ACD的平分線，BO的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)E，∠1＝α，則∠2＝，∠BOC＝90°+．（用含α的式子表示）【分析】由三角形的內(nèi)角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，再由角平分線的定義可得∠CBE＝∠

ABC，∠BCO＝，∠ACE＝∠ACD，從而可求得∠CBE+∠BCO＝90°﹣α，∠OCE＝90°，即可求∠BOC，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求∠2．【解答】解：∵∠1＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵∠ABC，∠ACB的平分線BO，CO交于點(diǎn)O，∴∠CBE＝∠ABC，∠BCO＝，∴∠CBE+∠BCO＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBE+∠BCO）＝90°+，∵CE為△ABC的外角∠ACD的平分線，∴∠ACE＝∠ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD），∵∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠OCE＝90°，∴∠2＝∠BOC﹣∠OCE＝．故答案為：，90°+．三、解答題（本大題共8小題，共68分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（2022春?渝中區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADE的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義和已知得到∠BAD＝∠DAC，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的銳角互余求出∠ADE即可．【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝58°，∴∠BAC＝180°﹣42°﹣58°＝80°，∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC＝40°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAC＝50°．18．（2022秋?中江縣校級(jí)月考）已知△ABC中，∠B＝5∠A，∠C﹣∠B＝15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù)．【分析】根據(jù)各角之間的關(guān)系，可得出∠C＝5∠A+15°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可求出∠A的度數(shù)，再分別將其代入∠B＝5∠A及∠C＝5∠A+15°中，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵∠B＝5∠A，∠C﹣∠B＝15°，∴∠C＝5∠A+15°．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+5∠A+5∠A+15°＝180°，∴∠A＝15°，∴∠B＝5∠A＝5×15°＝75°，∠C＝5∠A+15°＝5×15°+15°＝90°．答：∠A的度數(shù)為15°，∠B的度數(shù)為75°，∠C的度數(shù)為90°．19．（2022秋?江漢區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠C＝70°．（1）∠AOB的度數(shù)為125°；（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠DAC，∠BAC，根據(jù)AE是∠BAC的角平分線，得出∠CAE＝∠CAB＝25°，根據(jù)∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求解．【解答】（1）解：∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分線，

∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），在△ABC中，∠C＝70°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝125°．故答案為：125°；（2）解：∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50°∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠CAE＝∠CAB＝25°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，∴∠DAE＝5°．20．（2022秋?阜陽(yáng)期中）如圖，在△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D．（1）求證：∠ABC＝∠AFE；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD交BC于點(diǎn)G，EH⊥BE交BC于點(diǎn)H，求∠HEG的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出∠AFE＝∠ABE+∠BAD，結(jié)合已知條件即可得證；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行分析解答即可．【解答】（1）證明：∵∠AFE＝∠ABE+∠BAD，∠BAD＝∠EBC，∴∠AFE＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC，即∠ABC＝∠AFE；（2）解：∵∠BFD＝∠ABC＝35°，∵EG∥AD，∴∠BEG＝∠BFD＝35°，∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°．

21．（2021秋?長(zhǎng)樂(lè)區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE∥AC交AB，BC于點(diǎn)D，E，EF平分∠DEB交AB于點(diǎn)F，且∠B＝42°，∠DFE＝73°，求∠A的度數(shù)．【分析】由∠DFE＝∠B+∠BEF，可求∠BEF，由EF平分∠DEB求出∠DEB，再由DE∥AC得到∠C，最后由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A．【解答】解：∵∠DFE＝∠B+∠BEF，∠B＝42°，∠DFE＝73°，∴∠BEF＝73°﹣42°＝31°，∵EF平分∠DEB，∴∠DEB＝2∠FEB＝62°，∵DE∥AC，∴∠C＝∠DEB＝62°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣42°﹣62°＝76°．22．（2021秋?興慶區(qū)校級(jí)期末）（1）如圖1，已知任意△ABC，過(guò)點(diǎn)C作DE∥AB，求證：△ABC的三個(gè)內(nèi)角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°；（2）如圖2，求證：∠AGF＝∠AEF+∠F；（3）如圖3，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分線于點(diǎn)F，∠AGF＝150°，求∠F的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEB＝119°，∠AED＝61°，由角平分線的性質(zhì)得到∠DEF＝59.5°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

【解答】（1）證明：如圖1所示，∵DE∥AB，∴∠B＝∠BCE，∠A＝∠ACD（內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝180°，即三角形的內(nèi)角和為180°；（2）證明：∵∠AGF+∠FGE＝180°，由（1）知，∠GEF+∠EFG+∠FGE＝180°，∴∠AGF＝∠AEF+∠F；（3）解：∵AB∥CD，∠CDE＝119°，∴∠DEB＝119°，∠AED＝61°，∵GF交∠DEB的平分線EF于點(diǎn)F，∴∠DEF＝59.5°，∴∠AEF＝120.5°，∵∠AGF＝150°，∵∠AGF＝∠AEF+∠F，∴∠F＝150°﹣120.5°＝29.5°．23．（2022秋?阜陽(yáng)期中）如圖，△AOB與△COD中的∠AOB與∠COD是對(duì)頂角．（1）如圖1，證明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖2，AP，DP分別是∠BAO，∠CDO的平分線，探索∠P，∠B和∠C之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）如圖3，∠BAO與∠CDO的相鄰補(bǔ)角平分線交于點(diǎn)P，探索∠P，∠B和∠C之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，根據(jù)對(duì)頂角相等∠AOB＝∠CDO，即可得證；

（2）根據(jù)角平分線的定義得出∠BAP＝∠PAC＝∠BAO，∠BDP＝∠PDC＝∠CDO，由（1）可知，∠BAO+∠B＝∠DOC+∠C，兩式相加即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意得出∠PAB＝（180°﹣∠BAO），∠PDB＝（180°﹣∠BDC），即2∠P﹣∠BAO＝2∠B﹣∠BDC①，根據(jù)（1）的結(jié)論得出∠BAO+∠B＝∠C+∠BDC②，兩式相加即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠CDO，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）解：結(jié)論：∠B+∠C＝2∠P，理由如下，∵AP，DP分別是∠BAO，∠CDO的平分線，∴∠BAP＝∠PAC＝∠BAO，∠BDP＝∠PDC＝∠CDO，由（1）可知，∠BAO+∠B＝∠DOC+∠C，∠B+∠BAP＝∠BDP+∠P，∠PDC+∠C＝∠PAO+∠P，即∠B+∠BAO＝∠ODC+∠P，∠C+∠CDO＝∠BAO+∠P，∴∠B+∠C＝2∠P；（3）解：結(jié)論：2∠P＝∠B+∠C．理由如下，∵∠BAO與∠CDO的相鄰補(bǔ)角平分線交于點(diǎn)P，∴∠PAB＝（180°﹣∠BAO），∠PDB＝（180°﹣∠BDC），∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∴∠P+（180°﹣∠BAO）＝∠B+（180°﹣∠BDC），即2∠P﹣∠BAO＝2∠B﹣∠BDC①，又∵∠BAO+∠B＝∠C+∠BDC②，①+②得2∠P＝∠B+∠C．24．（2022春?泰州月考）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與β滿足2a+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙互余三角形”．（1）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分線，求證：△ABD是“奇妙互余三角形”．（2）關(guān)于“奇妙互余三角形”，有下列結(jié)論：①在△ABC中，若∠A＝130°，∠B＝40°，∠C＝10°，則△ABC是“奇妙互余三角形”；

②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝20°；③“奇妙互余三角形”一定是鈍角三角形．其中，結(jié)論正確的有①③．（填寫(xiě)序號(hào)）（3）在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝52°，點(diǎn)P是射線CB上的一點(diǎn)，且△ABP是“奇妙互余三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得∠ABC+∠A＝90°，而∠ABC＝2∠ABD，所以2∠ABD+∠A＝90°，所以△ABD是“奇妙互余三角形”；（2）①由∠A＝130°，∠C+∠B＝50°，而∠B＝40°，∠C＝10°，2∠B+∠C＝90°，則△ABC是“奇妙互余三角形”，可判斷①正確；②若△ABC是“奇妙互余三角形”，且∠C＞90°，則2∠A+∠B＝90°或2∠B+∠A＝90°，而∠A＝60°，∠B＝20°，所以2∠A+∠B＝140°≠90°，2∠B+∠A＝100°≠90°，顯然與△ABC是“奇妙互余三角形”相矛盾，可判斷②錯(cuò)誤；③三角形為“奇妙互余三角形”的條件是它的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，則α+β＝90°﹣α＜90°，則它的第三個(gè)內(nèi)角一定大于90°，即“奇妙互余三角形”一定是鈍角三角形，可判斷③正確；（3）分為三種情況，當(dāng)P在線段BC上時(shí)，2∠PAB+52°＝90°，有∠PAB＝19°，可得