數(shù)學(xué)-專項(xiàng)18.12中點(diǎn)四邊形大題提升專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）-【】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專題18.12中點(diǎn)四邊形大題提升專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．（2022秋·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期末）如圖，E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形EFGH為平行四邊形．(2)若四邊形ABCD是矩形，且其面積是7cm2，則四邊形EFGH【答案】(1)見解析(2)3.5【分析】（1）連接BD，由三角形中位線定理可得出EF=GH，EF∥GH，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論；（2）由矩形的判定與性質(zhì)得出答案．（1）證明：連接BD，∵E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴EF=12BD，EF∥BD

同理，GH=12BD，GH∥BD∴EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形；（2）如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∵E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，∴DH=AF=CH=BF，∴四邊形AFHD和四邊形HFBC都是矩形，∴AD=HF=BC，DC=EG=AB，∴S四邊形EFGH=12EG?HF＝12AB?∵四邊形ABCD的面積是7cm2，∴AB?BC=7cm2，∴四邊形EFGH的面積是3.5（cm2），故答案為：3.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)四邊形以及矩形的性質(zhì)，解題時(shí)利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河南開封·八年級開封市第十三中學(xué)校聯(lián)考期中）已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．

(1)四邊形EFGH的形狀是________，并證明你的結(jié)論．(2)當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足________條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．(3)在教材課本中你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？________【答案】(1)平行四邊形，證明見解析(2)AC⊥BD(3)矩形【分析】（1）連接BD，然后根據(jù)三角形中位線可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)矩形的判定定理可進(jìn)行求解；（3）由矩形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．（1）解：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，理由如下：如圖1，連結(jié)BD．∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，同理FG∥BD，∴EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）解：當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形；理由如下：連結(jié)AC，如圖所示：

由（1）可知四邊形EFGH是平行四邊形，∴EH//∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是矩形；（3）解：由（1）可知四邊形EFGH是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=EH，∴四邊形EFGH是菱形；故答案為矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)四邊形、三角形中位線、矩形的性質(zhì)與判定及菱形的判定，熟練掌握中點(diǎn)四邊形、三角形中位線、矩形的性質(zhì)與判定及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H得四邊形EFGH．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形．(2)當(dāng)四邊形ABCD分別是菱形、矩形、正方形時(shí)，相應(yīng)的平行四邊形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一種？請將你的結(jié)論填入下表：

四邊形ABCD菱形矩形正方形平行四邊形EFGH【答案】(1)見解析(2)矩形，菱形，正方形【分析】（1）連接BD，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，可得EH和FG為中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求證．（2）由（1），根據(jù)矩形，菱形，正方形的判定即可求解．(1)證明：如圖，連接BD，∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH//BD，EH＝12BD同理FG//BD，F(xiàn)G＝12BD∴EH//FG，且EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．(2)連接AC，BD，如圖所示：當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，∴AC⊥BD，

∵FG//BD，EH//FG，∴EH⊥EF，∴平行四邊形EFGH是矩形，當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，AC=BD，則EH=EF，∴平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，AC=BD且AC⊥BD，則EH=EF且EH⊥EF，∴平行四邊形EFGH是正方形，故答案為：矩形，菱形，正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形、平行四邊形的判定、三角形的中位線的性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定及正方形的判定，熟練掌握其各判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·河南開封·八年級開封市第二十七中學(xué)校聯(lián)考期中）已知：如圖四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH，四邊形EFGH的形狀是什么？并證明結(jié)論．【答案】平行四邊形，證明見解析【分析】連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=12BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=12BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形【詳解】解：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．證明：如圖，連接BD，∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，

∴EH∥BD，EH=12BD同理FG∥BD，F(xiàn)G=12BD∴EH∥FG，EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查對三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造三角形病正確的運(yùn)用中位線定理，難度不大．5．（2021秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是對角線BD，AC的中點(diǎn)，依次連接E，G，F(xiàn)，H，連接EF，GH．（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）當(dāng)AB=CD時(shí)，EF與GH有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由；【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)AB=CD時(shí)，EF⊥GH，理由見解析【分析】（1）利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的一組對邊平行且相等，即可證得；（2）根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，∴FG=12CD，F(xiàn)G∥CD．HE=12CD，HE∥∴FG=EH，F(xiàn)G∥EH，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：當(dāng)AB=CD時(shí)，EF⊥GH，理由：由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，當(dāng)AB=CD時(shí)，EH=12CD，EG=12∴EG=EH，∴四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥GH．

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，平行四邊形和菱形的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半和菱形的對角線互相垂直是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，E、F、G、H為四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，對角線AC⊥BD．求證：四邊形EFGH為矩形．【答案】見解析．【分析】先由三角形的中位線定理推知四邊形EFGH是平行四邊形，然后由AC⊥BD可以證得平行四邊形EFGH是矩形．【詳解】證明：∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝12AC，EF//AC同理，GH＝12AC，GH//AC，F(xiàn)G＝12∴EF＝GH，EF//GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵AC⊥BD，∴∠HEF＝90°，∴平行四邊形EFGH為矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)四邊形以及矩形的判定，解題時(shí)利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·甘肅金昌·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G和H分別是各邊中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH為平行四邊形．

【答案】見解析【分析】連接AC，由點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)、點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，可得出EF為△ABC的中線，進(jìn)而可得出EF∥AC、EF=12AC，同理，可得出HG∥AC、HG=1【詳解】解：證明：連接AC，如圖所示．∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=12同理，可得出：HG∥AC，HG=12∴EF∥HG，EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形、中線以及平行四邊形的判定，根據(jù)三角形中線定義找出EF∥HG、EF=HG是解題的關(guān)鍵．8．（2019秋·遼寧沈陽·八年級?？计谀┤鐖D，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點(diǎn)．(1)求證：四邊形EFGH為平行四邊形；(2)當(dāng)AC、BD滿足______時(shí)，四邊形EFGH為矩形．【答案】（1）見解析；（2）AC⊥BD【分析】（1）連接BD，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得EH∥BD，EH=12BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=

（2）當(dāng)AC⊥BD時(shí)，連接AC，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得EF∥AC，從而得出EF⊥BD，然后由（1）的結(jié)論可證出EF⊥EH，最后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可證出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接BD∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)∴EH是△ABD的中位線，F(xiàn)G是△CBD的中位線∴EH∥BD，EH=12BD∴EH∥FG，EH=FG∴四邊形EFGH為平行四邊形；（2）當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形，理由如下連接AC，∵E、F為BA和BC的中點(diǎn)∴EF為△BAC的中位線∴EF∥AC∵AC⊥BD∴EF⊥BD∵EH∥BD∴EF⊥EH∴∠FEH=90°∵四邊形EFGH為平行四邊形∴四邊形EFGH為矩形故答案為：AC⊥BD．

【點(diǎn)睛】此題考查的是中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和矩形的判定，掌握中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理和矩形的定義是解決此題的關(guān)鍵．9．（2019秋·八年級單元測試）如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)．（1）判斷四邊形EFGH是何種特殊的四邊形，并說明你的理由；（2）要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是．【答案】（1）詳見解析；（2）AD=BC【詳解】試題分析：（1）利用三角形的中位線定理可證得EF∥GH，EF=GH后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定即可；（2）由（1）中的結(jié)論，再根據(jù)菱形的判定定理即可得到條件．試題解析：（1）四邊形EFGH是平行四邊形；理由如下：在△ACD中∵G、H分別是CD、AC的中點(diǎn)，∴GH∥AD，GH=AD，在△ABC中∵E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，EF=AD，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2）要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是AD=BC．理由如下：∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，∴EF=12同理可得：FG=12

∵AD=BC，即EF=FG，又∵四邊形EFGH是平行四邊形．∴?EFGH是菱形．考點(diǎn)：1．菱形的判定；2．平行四邊形的判定；3．三角形的中位線定理10．（2022秋·廣東惠州·八年級期末）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別為矩形ABCD四條邊的中點(diǎn)，證明：四邊形EFGH是菱形．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理求證EF=FG=GH=EH，然后利用四條邊都相等的平行四邊形是菱形即可判定．【詳解】解：連接BD，AC．∵矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴AC=BD，∴EF=12AC，GH=1同理，F(xiàn)G=12BD，EH=1∴EF=FG=GH=EH，∴四邊形EFGH是菱形．11．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．

(1)若點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFCH是平行四邊形；(2)在（1）的條件下，四邊形ABCD的對角線AC和BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形，請說明理由；(3)在（2）的條件下，請直接寫出四邊形ABCD的對角線AC和BD再滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形．【答案】(1)見解析(2)AC=BD，理由見解析(3)AC⊥BD且AC=BD，理由見解析【分析】（1）由三角形中位線定理得到相應(yīng)條件，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；（3）根據(jù)正方形的判定進(jìn)行判斷即可．（1）解：證明：連接BD、AC交于點(diǎn)O，如圖1所示：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，F(xiàn)G是△BCD的中位線，EF是△ABC的中位線，GH是△ACD的中位線，∴EH∥BD，EH=12BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=12BD，EF∥AC，GH∥∴EH∥FG，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當(dāng)AC=BD時(shí)，由（1）得：HG=12AC，EH=12∴EH=GH，∴四邊形EFGH是菱形；（3）當(dāng)AC⊥BD且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH既是矩形又是菱形，∴四邊形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期中）四邊形ABCD，點(diǎn)M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)．(1)如圖1，順次連結(jié)M、N、P、Q得到四邊形ANPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；(2)如圖2，若∠B＝∠C，AB＝CD，順次連結(jié)M、N、P、Q得到四邊形MNPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；(3)如圖3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，設(shè)線段CQ的長度為m，則m的取值范圍是______．

【答案】(1)四邊形MNPQ為平行四邊形，理由見解析(2)四邊形MNPQ為菱形，理由見解析(3)72≤m≤【分析】（1）連結(jié)BD，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得MQ∥BD，MQ＝12BD，PN∥BD，PN＝12BD，進(jìn)而可得MQ∥PN，MQ＝（2）連結(jié)BD、AC，同理可得四邊形MNPQ為平行四邊形證明△ABC≌△DCB（SAS）得出AC＝BD，根據(jù)中位線的性質(zhì)，即可得出MQ＝MN，根據(jù)平菱形的判定定理即可求解；（3）連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)P，連接QP、CP，得出PQ是△ABD的中位線，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解．（1）解：四邊形MNPQ為平行四邊形，連結(jié)BD∵點(diǎn)M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn).∴MQ∥BD，MQ＝12BD，PN∥BD，PN＝1∴MQ∥PN，MQ＝PN∴四邊形MNPQ為平行四邊形．（2）四邊形MNPQ為菱形，連結(jié)BD、AC

∵點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn).∴MN＝12在△ABC與△DCB中AB=CD∠ABC=∠DCB∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC＝BD∵點(diǎn)M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn).∴MQ∥BD，MQ＝12BD，PN∥BD，PN＝1∴MQ∥MN，MQ＝PN∵四邊形MNPQ為平行四邊形

∴平行四邊形MNPQ是菱形．（3）解：如圖，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)P，連接QP、CP，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，∴BD＝10，∵點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，∴CP＝BP＝CP＝12BD∵點(diǎn)Q是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，∴PQ是△ABD的中位線，∴PQ＝12AB＝3在△CPQ中，CP﹣PQ＜CQ＜CP+PQ，∴72＜m＜13

∵點(diǎn)C、點(diǎn)Q是定點(diǎn)，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線，且點(diǎn)Q在線段CP上時(shí)，m取得最小值72當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線，且點(diǎn)Q在射線CP上時(shí)，m取得最大值132綜上，m的取值范圍為：72≤m≤13【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，三角形中位線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·云南昭通·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG，GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．(1)四邊形EFGH的形狀是______，當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足______（填入位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系）時(shí)，四邊形EFGH是矩形．(2)當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH的形狀是______．(3)若AC⊥BD且AC＝BD，求證：四邊形EFGH為正方形．【答案】(1)平行四邊形，AC⊥BD(2)菱形(3)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理和平行四邊形判定定理可得EFGH是平行四邊形，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，由三角形的中位線定理易知EF⊥EH，結(jié)合EFGH是平行四邊形即可解答；（2）當(dāng)AC=BD時(shí)，由三角形的中位線定理易知EF=EH，結(jié)合EFGH是平行四邊形即可得到四邊形EFGH是菱形；（3）當(dāng)AC=BD時(shí)，由（2）可得四邊形EFGH是菱形，由EF⊥EH和EFGH是平行四邊形即可得到四邊形EFGH是矩形即可證明結(jié)論；（1）解：∵四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，

∴線段EH，F(xiàn)G分別是?ADC，?ABC的中位線，∴EH//AC，EH=12AC，F(xiàn)G//AC，F(xiàn)G=12∴EH//FG，EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；∵四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，∴線段EF是?ABD的中位線，∴EF//BD，∵EH//AC，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是矩形；故答案是：平行四邊形，AC⊥BD．（2）∵四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，∴線段EF是?ABD的中位線，∴EF=12BD，EH=1∵AC=BD，∴EF=EH∵四邊形EFGH是平行四邊形；∴四邊形EFGH是菱形．故答案：菱形．（3）解：由（2）可得當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形∵EH//AC，EF∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH∵四邊形EFGH是平行四邊形∴四邊形EFGH是矩形∴四邊形EFGH是正方形．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形的有關(guān)問題，熟練掌握好三角形的中位線定理和平行四邊形，矩形，菱形，正方形的轉(zhuǎn)化關(guān)系及判定方法是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）【猜想結(jié)論】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，可以根據(jù)度量或目測猜想結(jié)論：DE∥BC，且DE=12(1)【驗(yàn)證結(jié)論】如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，延長DE至F，使得EF＝DE，連接FC．求證：DE∥BC，DE=12(2)【應(yīng)用結(jié)論】如圖3，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到新四邊形EFGH，稱為四邊形ABCD中點(diǎn)四邊形．應(yīng)用上述驗(yàn)證結(jié)論，求解下列問題：①證明：四邊形EFGH是平行四邊形；②當(dāng)AC、BD滿足時(shí)，四邊形EFGH是矩形；③當(dāng)AC、BD滿足時(shí)，四邊形EFGH是正方形．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②垂直；③垂直且相等【分析】（1）先根據(jù)“SAS”證明△AED≌△CEF，得出∠A=∠ECF，AD=CF，根據(jù)平行線的判定得出AD∥CF，得出BD=CF，證明四邊形BCFD為平行四邊形，得出DE∥BC，DF=BC，即可證明結(jié)論；（2）①連接AC、BD，根據(jù)中位線性質(zhì)得出EF∥GH，EH∥GF，即可得證明四邊形EFGH為平行四邊形；②根據(jù)矩形的判定方法，得出結(jié)論即可；③根據(jù)正方形的判定方法，得出結(jié)論即可．（1）證明：∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，

∵在△AED和△CEF中AE=CE∠AED=∠CEF∴△AED≌△CEF，∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴AD∥CF，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∴BD=CF，∴四邊形BCFD為平行四邊形，∴DE∥BC，DF=BC，∵DE=1∴DE=1即DE∥BC，DE=12（2）①連接AC、BD，如圖所示：∵點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，GF∥BD，∴EF∥GH，EH∥GF，

∴四邊形EFGH為平行四邊形；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形；根據(jù)解析①可知，GH∥AC，EH∥BD，四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∵GH∥AC，∴∠HMO=90°，∵EH∥GF，∴∠EHM+∠HMO=180°，∴∠EHM=180°?90°=90°，∴四邊形EFGH是矩形；故答案為：垂直；③當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形；根據(jù)解析②可知，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形，根據(jù)解析①可知，GH=12AC∵AC=BD，∴GH=EH，∴四邊形EFGH是正方形．故答案為：垂直且相等【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握特殊四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·江西南昌·八年級校考期中）如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC

的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)當(dāng)AD=BC時(shí)，□EFGH是；（填空即可）(3)當(dāng)AD⊥BC時(shí)，□EFGH是．（填空即可）【答案】(1)證明見解析(2)菱形，理由見解析(3)矩形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到EF=12AD，EF∥AD，GH=12AD，（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答；（3）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形解答．（1）證明：∵E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，∴EF是△BAD的中位線，∴EF=12AD∵G、H分別是CD、AC的中點(diǎn)，∴GH是△CAD的中位線，∴GH=12AD∴EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2）平行四邊形EFGH是菱形．理由如下：

∵F、G分別是BD、CD的中點(diǎn)，∴FG是△DBC的中位線，∴FG=12BC同理：EF=1∵AD=BC，∴EF=FG，∴平行四邊形EFGH是菱形．（3）平行四邊形EFGH是矩形．理由如下：∵EF∥AD，∴∠FEB=∠DAB，∵EH∥BC，∴∠HEA=∠ABC，∵AD⊥BC，∴∠DAB+∠ABC=90°，∴∠HEF=180°?=180°?=180°?90°=90°，∴平行四邊形EFGH是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，矩形的判定，菱形的判定和平行四邊形的判定等知識．理解和掌握菱形、矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．16．（2021秋·云南普洱·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖1，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．

(1)四邊形EFGH的形狀是．(2)如圖2，請連接四邊形ABCD的對角線AC與BD，當(dāng)AC與BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；證明你的結(jié)論．(3)你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？說明理由．【答案】(1)平行四邊形(2)AC⊥BD，證明見解析(3)菱形，見解析【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EH//BD，EH=12BD，F(xiàn)G//BD，F(xiàn)G=12BD，推出EH//FG，EH=（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形，根據(jù)三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半可得EH∥FG，EH＝FG，進(jìn)而得出四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)證明EH⊥HG，可得平行四邊形EFGH是矩形．(1)解：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：如圖1，連結(jié)BD．∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH＝12BD同理FG∥BD，F(xiàn)G＝12BD∴EH∥FG，EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，

故答案為：平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．理由如下：如圖2，連結(jié)AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是矩形，故答案為：AC⊥BD．(3)菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．理由如下：如圖3，連結(jié)AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，∴EH∥BD，HG∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH＝12BD，F(xiàn)G＝12∴EH∥FG，EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四邊形EFGH是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．17．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）定義：對于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_____________．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論；問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．

【答案】概念理解：D；性質(zhì)探究：①AC=BD，②AC⊥CD；問題解決：見解析；拓展應(yīng)用：（1）MN=22【分析】概念理解：根據(jù)定義“中方四邊形”，即可得出答案；性質(zhì)探究：由四邊形ABCD是“中方四邊形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理即可得出答案；問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為P、Q、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，利用三角形中位線定理可證得四邊形MNRL是平行四邊形，再證得△EAC≌△BAG（SAS），推出?MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可證得結(jié)論；拓展應(yīng)用：（1）如圖3，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，可得四邊形ENFM是正方形，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）如圖4，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，連接BD交AC于O，連接OM、ON，當(dāng)點(diǎn)O在MN上（即M、O、N共線）時(shí)，OM+ON最小，最小值為MN的長，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可求得答案．【詳解】解：概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四邊形”，理由如下：因?yàn)檎叫蔚膶蔷€相等且互相垂直，故選：D；性質(zhì)探究：①AC=BD，②AC⊥BD；理由如下：如圖1，

∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，∴EFGH是正方形且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴∠FEH=90°，EF=EH，EH∥BD，EH=12BD，EF∥AC，EF=12∴AC⊥BD，AC=BD，故答案為：AC⊥BD，AC=BD；問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，∵四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L，∴MN、NR、RL、LM分別是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位線，∴MN∥BG，MN=12BGRL∥BG，RL=12BGRN∥CE，RN=12CEML∥CE，ML=12CE∴MN∥RL，MN=RL，RN∥ML∥CE，RN=ML，∴四邊形MNRL是平行四邊形，∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，

又∵∠BAC=∠BAC，∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAG，在△EAC和△BAG中，AE=AB∠EAC=∠BAG∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，又∵RL=12BG，RN=12∴RL=RN，∴?MNRL是菱形，∵∠EAB=90°，∴∠AEP+∠APE=90°．又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，∴∠ABG+∠BPK=90°，∴∠BKP=90°，又∵M(jìn)N∥BG，ML∥CE，∴∠LMN=90°，∴菱形MNRL是正方形，即原四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：（1）MN=22AC如圖3，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴四邊形ENFM是正方形，∴FM=FN，∠MFN=90°，∴MN=FM2+FN2=

∵M(jìn)，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴FM=12AC∴MN=22AC（2）如圖4，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，連接BD交AC于O，連接OM、ON，當(dāng)點(diǎn)O在MN上（即M、O、N共線）時(shí)，OM+ON最小，最小值為MN的長，∴2（OM+ON）≥2MN，由性質(zhì)探究②知：AC⊥BD，又∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2OM，CD=2ON，∴2（OM+ON）=AB+CD，∴AB+CD≥2MN，由拓展應(yīng)用（1）知：MN=22AC又∵AC=2，∴MN=2，∴AB+CD的最小值為22．

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，理解“中方四邊形”的定義并運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．18．（2021秋·北京·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AC＝m，BD＝n，且AC丄BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2…，如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBnCnDn．(1)四邊形A1B1C1D1是形；(2)四邊形A2B2C2D2是形；(3)四邊形A5B5C5D5的周長是；(4)四邊形AnBnCnDn的面積是．【答案】(1)矩(2)菱(3)m+n(4)mn【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理解答；（2）根據(jù)菱形的判定定理解答；（3）、（4）根據(jù)矩形、菱形的面積公式計(jì)算，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答．（1）解∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形，

∵AC⊥BD，∴A1B1⊥A1D1，∴平行多邊形A1B1C1D1是矩形，故答案為：矩；（2）連接A1C1，B1D1，∵四邊形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1=A1C1，∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2，∴四邊形A2B2C2D2是菱形；故答案為：菱；（3）根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，根據(jù)中位線的性質(zhì)可知，A5B5=12A3B3=14A1B1=18AC，B5C5=12B3C3=14B1C∴四邊形A5B5C5D5的周長是2×18（m+n）=m+n故答案為m+n4（4）∵四邊形ABCD中，AC=m，BD=n，且AC⊥BD，∴S四邊形ABCD=ab÷2；由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话?，四邊形AnBnCnDn的面積是mn2故答案為：mn2

【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的判定定理、矩形的判定定理、三角形中位線定理，掌握菱形和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFGH是．（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）．【答案】（1）平行四邊形；（2）菱形，見解析；（3）正方形【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理證明EH∥FG，EH=FG，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；（2）證明△APC≌△BPD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD，再證明EF=FG，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；（3）證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠EHG=90°，根據(jù)正方形的判定定理證明即可．【詳解】解：（1）如圖1，連接BD，

∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=12BD∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD，F(xiàn)G=12BD∴EH∥FG，EH=GF，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2）結(jié)論：四邊形EFGH是菱形，理由：如圖2，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，AP=BP∠APC=∠BPD∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC=BD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點(diǎn)，

∴EF=12AC，F(xiàn)G=12∴EF=FG，由（1）知中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是菱形；（3）結(jié)論：四邊形EFGH是正方形，理由：如圖2，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O．AC與PD交于點(diǎn)M，∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠DOC=90°，由（2）知中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，學(xué)會(huì)添加常用輔助線．20．（2021秋·浙江寧波·八年級浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，順次連接E、G、F、H．（1）求證：四邊形EGFH是菱形．（2）當(dāng)∠ABC與∠DCB滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形EGFH為正方形，并說明理由．（3）猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三個(gè)角之間的關(guān)系，并證明你的猜想是成立的．【答案】（1）見解析（2）當(dāng)∠ABC＋∠DCB＝90°時(shí)，四邊形EGFH為正方形（3）∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°【分析】（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EG＝12AB，EH＝12CD，HF＝12AB，EG//AB，

，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根據(jù)平角的定義得到∠GFH＝90°，于是得到結(jié)論；（3）由平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，∴EG＝12AB，EH＝12CD，HF＝12AB，EG//AB，HF∴四邊形EGFH是平行四邊形，EG＝EH，∴四邊形EGFH是菱形；（2）當(dāng)∠ABC＋∠DCB＝90°時(shí)，四邊形EGFH為正方形，理由：∵GF//CD，HF//AB，∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，∵∠ABC＋∠DCB＝90°，∴∠GFH＝90°，∴菱形EGFH是正方形；（3）∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°，理由：∵GF//CD，HF//AB，∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，∵∠BFG＋∠GFH＋∠HFC＝180°，∴∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2021秋·河南安陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC，點(diǎn)O是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，B，C重合的任意一點(diǎn)，連接OA，OB，OC，并順次連接AB，OB，OC，AC的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G得四邊形DEFG．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；（2）若使四邊形DEFG為矩形，則OA與BC的位置關(guān)系是；若使四邊形DEFG為菱形，則OA與BC的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）見解析；（2）OA⊥BC，OA＝BC【分析】（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DG//BC，DG＝12BC，EF//BC，EF＝12BC，進(jìn)而可得DG//EF，DG＝（2）由矩形的判定和菱形的判定可得出答案．【詳解】（1）證明：∵D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DG//BC，DG＝12BC∵E、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，∴EF//BC，EF＝12BC∴DG＝EF，DG//EF，∴四邊形DEFG是平行四邊形；（2）解：當(dāng)四邊形DEFG是矩形，OA⊥BC．由三角形中位線性質(zhì)得∠EDG＝90°，所以平行四邊形DEFG是矩形．當(dāng)OA＝BC時(shí)，四邊形DEFG是菱形．由三角形中位線性質(zhì)得DE＝EF，所以平行四邊形DEFG是菱形．故答案為：OA⊥BC，OA＝BC．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線，矩形的判定，菱形的判定，解本題的關(guān)鍵是判定四邊形DEFG是平行四邊形．22．（2022秋·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期中）綜合與探究：如圖1，四邊形ABDC中，E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H．

(1)猜想四邊形EFGH的形狀是________（直接回答，不必說明理由）．(2)如圖2，P在四邊形ABDC內(nèi)一點(diǎn)，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，其他條件不變，試探究四邊形EFGH的形狀，并說明理由．(3)在（2）的條件下，PA=6，PB=23，∠APC=∠BPD=60°，∠CPD=90°，求四邊形EFGH【答案】(1)平行四邊形(2)菱形，見解析(3)21【分析】(1)連接AD，利用三角形中位線定理，證明EH=FG，且EH∥FG即可得證．(2)連接AD，BC，證明△APD?△CPBSAS，得到AD=CB，結(jié)合三角形中位線定理，得到四邊形EFGH的四邊相等，即可得到菱形EFGH(3)連接AD，BC，交點(diǎn)為M，設(shè)BC與EH的交點(diǎn)為Q，AD與EF的交點(diǎn)為O，證明△APD?△CPBSAS，判定四邊形EOMQ是平行四邊形，證明∠HEF=60°，連接PG，過點(diǎn)H作HN⊥EF，垂足為N，求得EH，HN（1）平行四邊形．理由如下：如圖1，連接AD，∵E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點(diǎn)，∴EH∥AD，EH=12AD，F(xiàn)G∥AD，F(xiàn)G=∴EH=FG，且EH∥FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形．（2）菱形.理由：如圖2，連接AD，BC.∵∠APC=∠BPD，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB.又∵PA=PC，PD=PB，∴△APD?△CPBSAS∴AD=CB.∵E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點(diǎn)，∴EF、FG、GH、EH分別是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線，∴EF=12BC，F(xiàn)G=12∴EF=FG=GH=EH，∴四邊形EFGH是菱形.（3）連接AD，BC，交點(diǎn)為M，設(shè)BC與EH的交點(diǎn)為Q，AD與EF的交點(diǎn)為O，∵PD=PB，∠DPB=60°，∴△DPB是等邊三角形.∵G是DB中點(diǎn)，∴PG平分∠DPB，∠DPG=30°，∴∠APG=60°+90°+30°=180°，點(diǎn)A、P、G共線.在Rt△DPG中，PG=

在Rt△AGD中，AD=∴EF=EH=1∵△APD?△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∴∠CMA=∠CPA=60°.∵EH//AD，∴四邊形EOMQ是平行四邊形，∴∠HEF=60°.在Rt△EHN中，EN=12∴菱形EFGH的面積=EF×HN=21【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）定義：對角線相等且所夾銳角為60°的四邊形叫“60°等角線四邊形”．如圖1，四邊形ABCD為“60°等角線四邊形”，即AC＝BD，∠AOB＝60°．

判定探究：(1)下列語句能判斷四邊形是“60°等角線四邊形”的是．（填序號）①對角線所夾銳角為60°的平行四邊形；②對角線所夾銳角為60°的矩形；③對角線所夾銳角為60°，且順次連接各邊中點(diǎn)所形成的四邊形是菱形的四邊形．(2)性質(zhì)探究：以AC為邊，向下構(gòu)造等邊三角形△ACE，連接BE，如圖2，請直接寫出AB＋CD與AC的大小關(guān)系；(3)請判斷AD＋BC與3AC的大小關(guān)系，并說明理由；(4)學(xué)習(xí)應(yīng)用：若“60°等角線四邊形”的對角線長為4，則該四邊形周長的最小值為．【答案】(1)②③(2)AB+CD≥AC(3)AD+BD>(4)4【分析】（1）根據(jù)定義即可求解．（2）證明四邊形DBEC是平行四邊形，根據(jù)AB+BE≥AE即可求解；（3）過C作CF⊥AC交AE的延長線于點(diǎn)F，求得中間量AF，根據(jù)AD+BD>AF>3（4）根據(jù)（2）（3）的結(jié)論代入數(shù)據(jù)即可求解．(1)∵對角線所夾銳角為60°的平行四邊形的對角線不一定相等，則不能判①是“60°等角線四邊形”；②對角線所夾銳角為60°的矩形，對角線相等，且所夾銳角為60°，故②是“60°等角線四邊形”；③對角線所夾銳角為60°，且順次連接各邊中點(diǎn)所形成的四邊形是菱形的四邊形，則四邊形的對角線相等，故③是“60°等角線四邊形”．故答案為：②③；(2)∵△ACE是等邊三角形∴AE=EC=AC，∠ACE=60，

∵∠AOB=∠ACE=60∴DB∥∵DB=AC∴DB=EC∴四邊形DBEC是平行四邊形∴BE=DC∵△ABE中，AB+BE≥AE即AB+CD≥AC；(3)如圖，過C作CF⊥AC交AE的延長線于點(diǎn)F，∵∠EAC=60°,∠ACF=90°∴∠F=30°∴AF=2AC=AC+BD∴CF=∴AF>∵AD>AO+OD,BC>BO+OC∴AD+BD>AC+BD∵AC+BD=AF>∴AD+BD>3(4)若“60°等角線四邊形”的對角線長為4，則AC=4

由（2）（3）可得AB+CD≥AC，AD+BD>∴AB+CD+AD+BC≥3∴該四邊形周長的最小值為43【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合問題，新定義問題，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊的性質(zhì)與判定，中點(diǎn)四邊形性質(zhì)，掌握特殊四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋·陜西西安·八年級陜西師大附中?？计谀﹩栴}背景：△ABC和△CDE均為等邊三角形，且邊長分別為a，b，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，點(diǎn)F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點(diǎn)，連接FG，GH，HI，IF猜想證明：(1)如圖①，判斷四邊形FGHI是什么特殊四邊形，并說明理由．(2)當(dāng)a＝6，b＝2時(shí)，求四邊形FGHI的周長．拓展延伸：(3)如圖②，當(dāng)四邊形FGHI是正方形時(shí)，連接AE，BD相交于點(diǎn)N，點(diǎn)N，H恰好在FC上．求證：△ABN和△DEN均為等腰直角三角形．【答案】(1)四邊形FGHI是菱形．理由見解析(2)四邊形FGHI的周長為4(3)見解析【分析】（1）根據(jù)△ABC和△CDE為等邊三角形，可得四邊形ABED是等腰梯形，再根據(jù)點(diǎn)F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點(diǎn)，即可得出FG=IH=FI=GH，進(jìn)而得到四邊形FGHI是菱形；（2）過A作AM⊥BC于M，連接AE，再根據(jù)勾股定理，求得Rt△ACM中，AM=33，Rt△AEM中，AE=27，由（1）可得，四邊形FGHI是菱形，且AE=2FG，即可得出四邊形FGHI的周長=4FG=2AE；（3）由點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，△ABC和△CDE均為等邊三角形，所以直線CF為△ABC和△CDE

的對稱軸，則有AN＝BN，DN＝EN，再利用三角形中位線得FG∥AEIH，F(xiàn)I∥BD∥GH，則FG∥AEIH，F(xiàn)I∥BD∥GH，又由四邊形FGHI是正方形，得∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45°，即可得∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°，即可得出結(jié)論．（1）解：四邊形FGHI是菱形.理由：如圖①，連接AE,BD，∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，∴AC＝BC,EC＝DC，在△AEC和△BDC中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△AEC≌△BDC(SAS)，∴AE＝BD，∵點(diǎn)F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝12AE＝IH.FI＝12BD＝∴FG＝GH＝IH＝FI.∴四邊形FGHI是菱形；（2）解：如圖②，過點(diǎn)D作DM⊥EC于點(diǎn)M，∵△CDE為等邊三角形，∴MC＝12EC＝12×2＝1，∠∴BM＝BC－MC＝6－1＝5，在Rt△DMC中，DM＝DC

在Rt△BDM中，BD＝BM∴GH＝12BD＝7由(1)知四邊形FGHI是菱形，∴.四邊形FGHI的周長為4GH＝47.（3）解：∵點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，△ABC和△CDE均為等邊三角形，∴直線CF為△ABC和△CDE的對稱軸.∴AN＝BN，DN＝EN，∵點(diǎn)F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點(diǎn)，∴FG∥AE，IH∥AE，F(xiàn)I∥BD，GH∥BD.∴.FG∥AEIH，F(xiàn)I∥BD∥GH，∵四邊形FGHI是正方形，∴∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45°∴.∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°.∴△ABN和△DEN均為等腰直角三角形.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了菱形的判定，正方形的性質(zhì)，中點(diǎn)四邊形，三角形中位線定理，勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)三角形中位線定理．25．（2021秋·浙江·八年級期中）在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、M；（1）如圖1，試判斷四邊形PQMN怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）若在AB上取一點(diǎn)E，連結(jié)DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形（如圖2）：①判斷此時(shí)四邊形PQMN的形狀，并證明你的結(jié)論；②當(dāng)AE=6，EB=3，求此時(shí)四邊形PQMN的周長（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）平行四邊形，理由見解析；（2）①菱形，證明見解析；②6【分析】（1）連接AC、BD．利用三角形中位線定理判定四邊形PQMN

的對邊平行且相等，易證該四邊形是平行四邊形；（2）①設(shè)ΔADE的邊長是x，ΔBCE的邊長是y，由于DB2=(12x+y)②如圖2，過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，則通過解三角形求得DF=33，由勾股定理得到DB=(33)2【詳解】解：（1）如圖1，連接AC、BD．∵PQ為ΔABC的中位線，∴PQ=12AC同理MN=12AC∴MN=PQ且MN//PQ，∴四邊形PQMN為平行四邊形；（2）①四邊形PQMN是菱形，如圖2，連接AC，BD，∵△ADE和△BCE都是等邊三角形，∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC=60°，∴∠AEC=∠DEB，∴△AEC≌△DEB，∴AC=BD，∵點(diǎn)M，N是AD，CD的中點(diǎn)，∴MN是△ADC的中位線，∴MN=12AC

同理：PN=12BD∴MN=PN，由（1）知，四邊形PQMN是平行四邊形，∴平行四邊形PQMN是菱形；②過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，則DF=33又∵DF∴DB=(3∴由①知四邊形PQMN是菱形，可計(jì)算得周長是12【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形以及菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題時(shí)，利用了三角形中位線的性質(zhì)定理．26．（2021秋·福建福州·八年級福州華倫中學(xué)?？计谥校┮阎涸诰匦蜛BCD中，AB=6，AD=4．（1）如圖1，E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)、求證：四邊形EFGH是菱形；（2）如圖2，若菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、H分別在AD，AB，CD上，DE=1①連接BG，若BG=5，求AF②設(shè)AF=m，△GFB的面積為S，且S滿足函數(shù)關(guān)系式S=3?12m．在自變量m的取值范圍內(nèi)，是否存在m，使菱形EPGH【答案】（1）見解析；（2）①72；②存在m=27，菱形EFGH

【分析】（1）連接AC，BD，由E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)可得，EF=GH=12BD，EH=FG=12（2）①過點(diǎn)G作GI⊥AB延長線于I，根據(jù)AAS證ΔGIF?ΔEDH，得出GI=DE=1，根據(jù)勾股定理求出BI，設(shè)AF=x，則BF=6?x，再利用勾股定理求出x即可；②延長IG交DC延長線于M，由①知ΔGIF?ΔEDH，同理可證ΔAEF?ΔMGH，則菱形的面積=矩形ADMI的面積?ΔGIF的面積?ΔEDH的面積?ΔAEF的面積?ΔMGH的面積，得出關(guān)于m的關(guān)系式即可得出m最大時(shí)菱形面積最大，當(dāng)H與C重合時(shí)m有最大值，求出此時(shí)的m值即可．【詳解】解：（1）連接AC，BD，∵E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EF=GH=12BD∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=GH=EH=FG，∴四邊形EFGH是菱形；（2）①如圖2，過點(diǎn)G作GI⊥AB延長線于I，∵EH//FG，CD//FI，

∴∠DHE=∠GFI，又∵∠I=∠D=90°，F(xiàn)G=EH，∴ΔGIF?ΔEDH(AAS)，∴GI=DE=1∴BI=B設(shè)AF=x，則BF=6?x，∵EF=FG，∴AF即x2解得x=7故AF=7②如圖2，延長IG交DC延長線于M，∴由已知可得，四邊形ADMI是矩形，由①知ΔGIF?ΔEDH，同理可證ΔAEF?ΔMGH，∴菱形的面積=矩形ADMI的面積?ΔGIF的面積?ΔEDH的面積?ΔAEF的面積?ΔMGH的面積，∵S即12∴GI=1，∵AF=m，AB=6，AD=4，DE=1∴FI=G∴S∴當(dāng)m取最大值時(shí)菱形EFGH面積最大，∵當(dāng)H與C重合時(shí)EH有最大值，即m取到最大值，此時(shí)AF=ES菱形EFGH

∴當(dāng)AF=27時(shí)，菱形EFGH面積最大為18+2【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級儀征市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點(diǎn)稱為和美四邊形中心．（1）寫出一種你學(xué)過的和美四邊形________；（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是________A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．無法確定（3）如圖1，點(diǎn)O是和美四邊形ABCD的中心，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、?DA的中點(diǎn)，連接OE、OF、OG、OH，記四邊形AEOH、BEOF、CGOF、DHOG的面積為S1（4）如圖2，四邊形ABCD是和美四邊形，若AB=3,BC=2,CD=4，求AD的長．【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3＝S2+S4；（4）21【分析】（1）根據(jù)正方形的對角線互相垂直解答；（2）根據(jù)矩形的判定定理解答；（3）根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答；（4）根據(jù)和美四邊形的定義、勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）正方形是學(xué)過的和美四邊形，故答案為：正方形；（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，故選：A．（3）由和美四邊形的定義可知，AC⊥BD，則∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，又E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，

∴△AOE的面積＝△BOE的面積，△BOF的面積＝△COF的面積，△COG的面積＝△DOG的面積，△DOH的面積＝△AOH的面積，∴S1+S3＝△AOE的面積+△COF的面積+△COG的面積+△AOH的面積＝S2+S4；（4）如圖2，連接AC、BD交于點(diǎn)O，則AC⊥BD，∵在Rt△AOB中，AO2＝AB2-BO2，Rt△DOC中，DO2＝DC2-CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2-BO2+DC2-CO2＝AB2+DC2-BC2＝32+42-22＝21，即可得AD=21．【點(diǎn)睛】本題考查的是和美四邊形的定義、矩形的判定、勾股定理的應(yīng)用，正確理解和美四邊形的定義、掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．28．（2020秋·浙江杭州·八年級階段練習(xí)）定義，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點(diǎn)作為和美四邊形的中心．（1）寫出一種你學(xué)過的和美四邊形______；

（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是（

）A．矩形

B，菱形

C．正方形

D．無法確定（3）如圖1，點(diǎn)O是和美四邊形ABCD的中心，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、?DA的中點(diǎn)，連接OE、OF、OG、OH，記四邊形AEOH、BEOF、CGOF、DHOG的面積為S1（4）如圖2，四邊形ABCD是和美四邊形，若AB=4,BC=2,CD=5,求AD的長．【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3=S2+S4；（4）37【分析】（1）根據(jù)正方形的對角線互相垂直解答；（2）根據(jù)矩形的判定定理解答；（3）根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答；（4）根據(jù)和美四邊形的定義、勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）正方形是學(xué)過的和美四邊形，故答案為：正方形；（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，如圖，四邊形ACBD中，對角線AB⊥CD，即為“和美四邊形”，點(diǎn)E、F、G、H分別是AC、AD、BD、BC的中點(diǎn)，∴EF∥CD∥HG，且EF=HG=12EH∥FG∥AB，且EH=FG=12∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵AB⊥CD，∴EF⊥EH，∴平行四邊形EFGH是矩形；故選：A．（3）連接AC和BD，由和美四邊形的定義可知，AC⊥BD，

則∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，又E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴△AOE的面積=△BOE的面積，△BOF的面積=△C