2.3 直線的交點(diǎn)及距離公式（精講）（解析版）

2.3直線的交點(diǎn)及距離公式（精講）考點(diǎn)一相交直線的交點(diǎn)【例1-1】（2023·江蘇）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【解析】解方程組得，即直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)．故選：C.【例1-2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線相交且交點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若直線與直線平行或重合，則，解得，若直線與直線相交，可得且，則有：聯(lián)立方程，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得：，解得；綜上所述：k的取值范圍為.故選：C.【例1-3】（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）若三條直線，與共有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【答案】C【解析】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，∵直線和直線不平行，∴直線和直線平行或直線和直線平行，∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，∴或.故選：C.【一隅三反】1．（2023·天津·高二校聯(lián)考期末）過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立方程，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，由點(diǎn)斜式直線方程得：所求直線方程為，即；故選：B.2．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？级＃┤糁本€與直線的交點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【解析】解方程組，得直線與直線的交點(diǎn)，依題意，，解得，所以實(shí)數(shù).故選：A3．（2023春·江西·高二江西省清江中學(xué)?？计谀┤糁本€與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立方程組，解得，因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)在第一象限，所以，解得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A考點(diǎn)二距離【例2-1】1（2023春·新疆塔城）已知兩點(diǎn)，，則（

）A．3 B．5 C．9 D．25【答案】B【解析】因?yàn)?，，則.故選：B【例2-2】（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）點(diǎn)(1,1)到直線的距離是（

）A．1 B．2 C．【答案】A【解析】，故選：A【例2-3】（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）．A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，所以直線，即，即，所以兩平行線之間的距離.故選：B【一隅三反】1．（2023廣東）直線l：4x﹣y﹣4＝0與l1：x﹣2y﹣2＝0及l(fā)2：4x+3y﹣12＝0所得兩交點(diǎn)的距離為（）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】由得，即，由得，即，則|AB|.故選：D2．（2023春·甘肅白銀）（多選）下列直線與直線平行，且與它的距離為的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】設(shè)所求直線的方程為，由題意可得，解得或0．故所求直線的方程為或．故選：AD3．（2023廣東）與點(diǎn)之間的距離為2，且在軸上的截距為4的直線是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】與的距離為2，在軸上的截距為4，故符合要求；對于直線，有且時(shí)，故也符合要求；與的距離為3且軸無交點(diǎn)，不符合要求.∴、都是與點(diǎn)距離為2且在軸上的截距為4的直線.故選：C考點(diǎn)三直線系過定點(diǎn)【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將化為，聯(lián)立，得，即直線過定點(diǎn)．故選：C【一隅三反】1．（2023春·上海長寧·高二上海市第三女子中學(xué)?？计谥校┲本€（）必過點(diǎn).【答案】【解析】直線方程（）可化為，（），∴由，解得，∴直線（）必過定點(diǎn).故答案為：.2．（2023·安徽省）已知直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)也在直線上，其中，均為正數(shù)，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．6【答案】B【解析】已知直線整理得：，直線恒過定點(diǎn)，即.點(diǎn)也在直線上，所以，整理得：，由于，均為正數(shù)，則,取等號時(shí)，即，故選：B.考點(diǎn)四對稱問題【例4-1】（2023·云南）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得．所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：A【例4-2】（2023春·上海楊浦）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立，得，取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A【例4-3】（2023北京市平谷區(qū)）直線y＝4x﹣5關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對稱的直線方程是（）A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9【答案】C【解析】設(shè)直線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，所以，，將其代入直線中，得到，化簡得，故選：C．【一隅三反】1．（2023春·江西宜春）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn).由已知直線的斜率為1，所以，解得，所以點(diǎn).故答案為：.2．（2022秋·江蘇淮安）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則的值為．【答案】【解析】因?yàn)椤?，所以的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以的中點(diǎn)在此直線上，所以，即，故答案為：3．（2023·黑龍江）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為____________.【答案】【解析】設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為，在上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知點(diǎn)在直線上，故，整理可得.故答案為：4．（2023·湖南郴州）已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)，被直線：反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為.【答案】【解析】由題意可知，反射光線經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，如圖所示：直線的方程即為反射光線所在的直線方程，又，可得，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可得，反射光線所在直線方程為，整理得，即反射光線所在直線的方程為.故答案為：.5．（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)校考期中）直線關(guān)于直線對稱的直線方程為【答案】【解析】設(shè)所求直線方程為，且，直線與直線間的距離為，則直線與直線間的距離為，又，得，所以所求直線方程為，故答案為：.6．（2022秋·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）直線恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)N坐標(biāo)為．【答案】【解析】直線，即，當(dāng)，即時(shí)，，故直線恒過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)N坐標(biāo)為，，，即，故答案為：.考點(diǎn)五綜合運(yùn)用【例5-1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）使三條直線不能圍成三角形的實(shí)數(shù)m的值最多有幾個(gè)（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【解析】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，若平行，則，即；若平行，則，即無解；若平行，則，即；若三條直線交于一點(diǎn)，，可得或；經(jīng)檢驗(yàn)知：均滿足三條直線不能圍成三角形，故m最多有4個(gè).故選：B【例5-2】（2022秋·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．【答案】A【解析】，則其幾何意義為點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和，點(diǎn)表示為橫坐標(biāo)上的點(diǎn)，作出如圖所示：根據(jù)將軍飲馬模型，作出點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，則，此時(shí)直線的直線方程為令，則，故當(dāng)時(shí)，.故選：A.【例5-3】．（2023北京）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A． B．5 C． D．【答案】A【解析】先找出B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，在直線上取點(diǎn)P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．【一隅三反】1．（2023·遼寧大連）代數(shù)式的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由兩點(diǎn)之間距離公式可以得到表示點(diǎn)到的距離，表示點(diǎn)到的距離，所以代數(shù)式表示，由圖像可知在在運(yùn)動，所以易得關(guān)于對稱點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小，最小值為.故選：B.2．（2023·天津）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．5 C． D．【答案】D【解析】由關(guān)于的對稱點(diǎn)為，所以，可得，即對稱點(diǎn)為，又所以“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：D3．（2022秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）（多選）若直線，，不能構(gòu)成三角形，則m的取值可能為（

）．A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)橹本€，，不能構(gòu)成三角形，所以存在，，過與的交點(diǎn)三種情況.顯然，.則直線的斜率分別為，，.當(dāng)時(shí)，有，即，解得；當(dāng)時(shí)，有，即，解得；當(dāng)過與的交點(diǎn)時(shí).先聯(lián)立，解得，則與的交點(diǎn)為，代入，得，解得．綜上：或或．故選：ABD．4．（2023·黑龍江哈爾濱）直線過點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱.(1)求直