2023年福建省泉州市普通高校對口單招數(shù)學(xué)自考模擬考試(含答案)

2023年福建省泉州市普通高校對口單招數(shù)

學(xué)自考模擬考試（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（10題）

Ltan960。的值是O

A.?/?

B.-拈

叵

c.T

D.3

C設(shè)。、b、C均為實(shí)數(shù)，且a<b,下列結(jié)論正確的姑（）.

2.

A.ac<be

B.ac2<be2

C.a-c<b-c

D.a2<b2

a3

x+y

3.已知王+正讓點(diǎn)P到橢圓的一個焦點(diǎn)的距離為3,則它到另一個焦點(diǎn)

的距離為O

A.2B.3C.5D.7

4.''x=-l''是''χ2-l=0''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C充要條件D.既不充分也不必

要條件

5.設(shè)a>b>O,c<O,則下列不等式中成立的是

A.ac>bc

CC

-->-------

a-Ch-c

B.

ab

—>—

----->------

a-cb—c

D.

6.已知i是虛數(shù)單位，則l+2i∕l+i=()

A.3-i∕2B.3+i∕2C.3-iD.3+i

7.由直線h：3x+4y-7=0與直線L：6x+8y+l=0間的距離為()

A.8/5B.3/2C.4D.8

已知正方體的邊長是3,則正方體的體積()

8.

A.lB.8C.27

9.為了得到函數(shù)y=sinl∕3x的圖象，只需把函數(shù)y=sinx圖象上所有的點(diǎn)

的（）

A.橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變

B.橫坐標(biāo)縮小到原來的1/3倍，縱坐標(biāo)不變

C.縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變

D.縱坐標(biāo)縮小到原來的1/3倍，橫坐標(biāo)不變

10.橢圓x2∕4+y2∕2=l的焦距0

A.4

B.2

C.2

D.2

二、填空題（10題）

42/CI

CoSa=--且—<r≤兀則tan2a=

11.已知5π

12.雙曲線χ2∕4-y2∕3=l的離心率為—.

13.某程序框圖如下圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的a的最大值為,

【。:1詞

~?

∕?x?/

14.方程擴(kuò)4x-3×2x-4=0的根為

設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)xC[-l,1)時，f(x)=

——.

16.等差數(shù)列｛a∏｝中，已知34=-4,a8=4,則a12=

17.正方體ABCD-AιB,CιDl中AC與ACi所成角的正弦值為J

]8.若（21+1）3=%+4/+%/+%/，則41+出+%=

2antg-4cosα=a‰ɑ≈

19.已知4anα+coSa

20.五位同學(xué)站成一排，其中甲既不站在排頭也不站在排尾的排法有

_____種.

三、計(jì)算題(5題)

21.有四個數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，公差為10,后三個數(shù)成等比數(shù)

列，公比為3,求這四個數(shù).

22.甲、乙兩人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，己知甲投球命中的概率是1/2,乙投球

命中的概率是3/5,且兩人投球命中與否相互之間沒有影響.

(1)若兩人各投球1次，求恰有1人命中的概率；

(2)若兩人各投球2次，求這4次投球中至少有1次命中的概率.

23.已知函數(shù)y=0cos2x+3sin2x,XWR求：

(1)函數(shù)的值域；

(2)函數(shù)的最小正周期。

24.己知｛all｝為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為S11,若a3=6,S3=12,求公差d.

25.近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為“廚余

垃圾”、“可回收垃圾，，、“有害垃圾，，和“其他垃圾”等四類，并分別垛置

了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾的正確分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)

抽取了該市四類垃圾箱總計(jì)IOO噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：

噸)：

“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾24412

可回收垃圾41923

有害垃圾22141

其他垃圾15313

(1)試估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率;

(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯誤的概率。

四、簡答題(10題)

、打■后貫

/(X)=sm—F√3cos—

26.已知函數(shù).2

(1)求函數(shù)f(X)的最小正周期及最值

g(x)=/(x+-)

(2)令3判斷函數(shù)g(X)的奇偶性，并說明理由

/(x)=bg若(-

27.已知函數(shù)

(1)求f(χ)的定義域;

(2)判斷f(x)的奇偶性，并加以證明;

(3)a>l時?，判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明。

28.在1,2,3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的所有三位數(shù)中，隨機(jī)抽取一

個數(shù)，求：

(1)此三位數(shù)是偶數(shù)的概率；

(2)此三位數(shù)中奇數(shù)相鄰的概率.

29.求k為何值時，二次函數(shù)〃X)=X1-(2?-1)X+(ΛΓ-DJ的圖像與X軸

(1)有2個不同的交點(diǎn)

(2)只有1個交點(diǎn)

(3)沒有交點(diǎn)

30.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是W=-2/-附求：

(1)通項(xiàng)公式4

(2)a1+a3+a5+...+a25的值

31.如圖：在長方體從,5CO-CNI中，AD=A^≈3,AB≈^E,F分

別為和AB和40中點(diǎn)。

(1)求證：AF//平面4次\

(2)求4。與底面ABCD所成角的正切值。

I)

32.設(shè)等差數(shù)列&:的前n項(xiàng)數(shù)和為Sn,已知

瓦=［且。向=LSl+52=2】.求色)

M2的通項(xiàng)公式及它的前n項(xiàng)和Tn.

X321

33.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為橢圓5"的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)M(-

1,-1)引拋物線的弦使M為弦的中點(diǎn)，求弦長

34.點(diǎn)A是BCD所在平面外的一點(diǎn)，?AB=AC,BAC=BCD=90。,

BDC=60o,平面ABCL平面BCD。

(1)求證平面ABD_L平面ACD；

(2)求二面角A-BD-C的正切值。

D

35.在拋物線y2=12x上有一弦(兩端點(diǎn)在拋物線上的線段)被點(diǎn)M

(1,2)平分.

(1)求這條弦所在的直線方程；

(2)求這條弦的長度.

五、解答題(10題)

已知向量α=(2sin?2sin.v)>6=(COSA,-SinA)>函數(shù)

/(.v)≡b+1

(I)如果∕r(-v>=1>求Sin4.1的值；

36.2

(II)如果y(θ(),求/G)的取值范圍.

37.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD，平面ABCD,AB=AD,

NBAD=60。，E,F分別是AP,AD的中點(diǎn).連接BD求證:

⑴直線EF//平面PCD;

(2)平面BEF_L平面PAD.

38.已知函數(shù)f(x)=aχ2-61nx在點(diǎn)(1,f(l))處的切線方程為y=l;

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;

⑵求f(x)的最小值.

39.

已知圓C的方程是1+/-2尸"=0.

(I)如果圓C與直線N=O沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍；

(II)如果圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/過點(diǎn)P(O,)(0WaW2),且與圓C交于A,B兩點(diǎn)、，對于每一

個確定的。，當(dāng)AABC的面積最大時，記直線/的斜率的平方為"，試用含，，的代數(shù)式表示"，

試求"的最大值.

40.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=(3a-c)cosB.

(1)求cosB的值；

若BA,BC=2,b=2亞■求a和C的值.

??^/

41.已知函數(shù)/Sin?十△CoAr-V3

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在區(qū)間［0,2兀/3］上的最小值.

42.已知數(shù)列｛a11｝是的通項(xiàng)公式為an=e∣∣(e為自然對數(shù)的底數(shù))；

⑴證明數(shù)列｛aj為等比數(shù)列；

⑵若bn=Inan,求數(shù)列｛l∕bnbn+ι｝的前n項(xiàng)和T11.

43.

設(shè)車置長為56?3JC滿足急件：

,f√5

①猊yH所得球長為6；②田心展第一宴限.并■利直線/：x+2F=O的題商為一歹.

CI)求這個囪的方程；

fIIJ求經(jīng)ItPf-l,OJ??C相切的為,愛方程.

44.

,數(shù)列卜”｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，S”為其前〃項(xiàng)和，對于任意〃wN*,總有4,S”,4

加溥差數(shù)列.

(I)求數(shù)列W的通項(xiàng)公式(H)求數(shù)列4?α1的前〃項(xiàng)和。

45.如圖，ABCD-AlBlClDl為長方體.

(1)求證:BQi//平面BCID;

⑵若BC=CCI,,求直線BCi與平面ABCD所成角的大小.

六、單選題(0題)

巴,s.--4—+--1-

?1+X

s

4“6.''一’.叱

A.llB.99C.120D.121

參考答案

tan960o=tan(900o+60o)=tan(5*180°+60°)=tan60°=

2.C

3.D

22

根據(jù)題意，橢圓的方程為：2+3=1，

25Io

則有Q=，/=5,即2α=10,

橢圓上任一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之和為10,

若尸到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為3,則尸到另一

焦點(diǎn)的距離為10—3=7；

4.A

命題的條件.若x=-l則x2=l,若x2=l則x=±l,

5.B

6.B

復(fù)數(shù)的運(yùn)算.=1+2i∕l+i=(1+2i)(1-i)f(l+i)(l-i)=l-i+2i-2i2∕l-i2=3+i∕2

7.B

點(diǎn)到直線的距離公式.因?yàn)橹本€I2的方程可化為3x+4y+l∕2=0所以直線

∣1+7∣

h與直線12的距離為:一=3/2

8.C

9.A

三角函數(shù)圖像的性質(zhì).y=sinx橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍,縱坐標(biāo)不變

y=sinl∕3x.

10.D

橢圓的定義由a2=b2+c2,c2=4-2=2,所以c=J2,橢圓焦距長度為2c=2

√2

11.

24

T

α,=4.62=3,Λc,=a2+61=7,Λc=√7,e=-

yβ

H.=T7

12.e=2雙曲線的定義.因?yàn)橐籘?

13.45

程序框圖的運(yùn)算.當(dāng)n=l時,a=15;當(dāng)時，a=30;當(dāng)n=3,a=45;當(dāng)n=4不

滿足循環(huán)條件，退出循環(huán)，輸出a=45.

14.2解方程.原方程即為(2x)-3.2x-4=θ,解得2x=4或2x=-l(舍去)，解得

x=2.

15.

Vf(χ)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，

fφ=f(-?=-4×(-?)2+2=l?

故答案為:1

848

16.12.等差數(shù)列的性質(zhì).根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有2a=a+a12,a12=2a-

a4=12.

17.

√3√1

了，由于CCI=1,ACI=冉，所以角AClC的正弦值為亍。

18.27

19.-1,

2siτιa-Icosa

已知=2,

?sina-?-cosa

i

所以有Isina-Icosa=2(4.szna÷cosa)i

得出—sincy=cos(y,

sina

貝I」tana=

cosa

綜上所述，答案：-1

20.72,

假設(shè)5個人分別對應(yīng)5個空位，甲不排在排頭

也不排在排尾，有3個位置可選；

則其他4人對應(yīng)其他4個位置，有4：=24種

情況，

則不同排列方法種數(shù)3X24=72種；

故答案為72.

21.

解：設(shè)前三個數(shù)分別為b-10,b,b+10,因?yàn)閎,b+10成等比數(shù)列且公比為3

HlOC

.?.-------=3

b

Λb+10=3b,b=5

所以四個數(shù)為-5,5,15,45.

22.

解：記甲投球命中為事件A,甲投球未命中為事件；J:乙投球命中為事件B.乙投球未命中為事件后。則：

1—13—2

PJ)="；PS)=?；P(B)=-；P(B)=-

(1)記兩人各投球1次，恰有1人命中為事件C則

--12131

P(C)=P(A)?P(B)+P(A)?P(B)≈-×→-×-≈-

(2)記兩人各投球2次4次投球中至少有1次命中為宗件D?則.兩人各投球2次，4次投球中全未命中為事

件萬

-----.1122.124

P(D)≈l-P(D)≈?-P(A)?P(A)?P(B)?P(B)≈?--×-×-×-≈?--≈-

23.

:解：y=yβcos2x÷3sin2x

=2百(；COS2x+

sin2x)

=2百(Sincos2x+cos^sin2x)

=2>∕3sin(2x÷-)

(1)函數(shù)的值域?yàn)閇-2百,20].

(2)函數(shù)的最小正周期為丁=幺=/

2

24.

解：因?yàn)閍3=6,S3=i2,所以S3』2=3(q+%)=3(q+6)

22

解得aι=2,a3=6=aι+2d=2+2d,解得d=2

25.

解：⑴依題意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28(噸)

其中投放正確的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19噸

19_19

所以，可估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率為：19+4+2+3—28

(2)據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，總共抽取了IOO噸生活垃圾，其中“廚余垃圾”,“可回收垃圾”，“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正確的數(shù)量分別為24噸，19噸，14噸，13噸。故生活垃圾投放正

確的數(shù)量為24+19+14+13=70噸，所以，生活拉圾投放錯誤的總量為IOO-70=30噸，

IoO-(I外24+14+13)_3

所以生活垃圾投放錯誤的概率：------ioδ-------=Io

/(x)=sin-+cos-=2(-sin-÷—cos-)=2sm(-+—)

26.(1)22222223

T=4=4”/(x)最小值=?2/(x)最大值=2

2

/(x)=2sm(-^+-)

(2)22

.g(x)=∕(?+y)=2sm(→^)=2cof

-XX

g(-x)=2cos—≡2cos-≡g(x)

又22

.?.函數(shù)是偶函數(shù)

27.(1)-l<x<l

(2)奇函數(shù)

(3)單調(diào)遞增函數(shù)

28.1,2,3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的所有三位數(shù)共有4=6個

尸=2」

(1)其中偶數(shù)有名=2個，故所求概率為“63

(2)其中奇數(shù)相鄰的三位數(shù)有2用=4個

=4=2

故所求概率為羽=石=彳

29.丁△=卜(*一Df-4(上一Ip=4好-4*+]—4必+%—4=4上一3

(1)當(dāng)△>()時一，又兩個不同交點(diǎn)

(2)當(dāng)A=O時，只有一個交點(diǎn)

(3)當(dāng)△<()時，沒有交點(diǎn)

30.

解：(1)lkSft=-2"?=S∣=-3

a“=S.κ-S1n(-IlI=I-4〃(JI?2)

.?.an=l-4n(neI)

(2){aj是5=-3,d=-4,三位等注數(shù)列

?.數(shù)列是首項(xiàng)-3,d—-8項(xiàng)數(shù)居13項(xiàng)的等差數(shù)列

則數(shù)列=13X(-3)+—2X<-8)=-663

31.

證明（1）取AC的中點(diǎn)0,連接OF,OE

在AACDW,F?O分別為AQ”AC的中點(diǎn)

ΛΓO∕∕DC.且Fo=LDC

2

則，F(xiàn)O//AE：.FO=AE,得四邊形AEOf是步行四邊形

AE/∕OΓ.

則AF〃平面A.EC

<2）連接AuAA-L平面ABeD

AA3∕15

在Rt△AAC中，IanNqCA產(chǎn)亍言?=為=—Λ^—

因此角的正切值為

32.(1)V??2Si+Ss≈2?.?,Λ1=rf=1

又丁等差數(shù)列&:

T2

/-=—"

(2)?+1

33.

√∏9

~2~

34.分析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法。

(1)推導(dǎo)出CD_LAB,AB±AC,由此能證明平面ABD_L平面

ACDo

(2)取BC中點(diǎn)0,以0為原點(diǎn)，過0作CD的平行線為X軸，OC

為y軸，OA為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角

A-BD-C的正切值。

解答：

證明：(I)Y面ABC，底面BCD,NBCD=90°,面ABC∩面

，CDJ_平面ABC,ΛCDlAB,

VZBAC=90o,ΛAB±AC,

VAC∩CD=C,

5

，平面ABDlFffiACD0

解：(II)取BC中點(diǎn)0,：面ABCJ_底面BCD,ZBAC=90o,

AB=AC,

ΛAOlBC,，AO_L平面BDC,

以O(shè)為原點(diǎn)，過O作CD的平行線為X軸，OC為y軸，OA為Z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

2√3a-小

A(O,O,√2α),B(O,-√2a,O),D(—-—,?∕r2a,0),

O

AB=(O,-√2a,-√2a),AD=,?∕2fl?,-?∕2tι),

O

設(shè)平面ABD的法向量/=(x,y,z),

?AB=—?∕2ay—?∕2az=O

則,取y=ι,得玄=(-√6,1,-1),

~n?AD—^^v∕n+χ∕2aτ/—?∕2az=O

J

平面BDC的法向量益=(00,1),

設(shè)二面角A-BD-C的平面角為仇

八∣m?^n|1II2Vz7CL

貝。=

kos?--------=——,sinθ=./1—(——)=——,tanθ=λ∕7.

∣m∣?∣n∣2y∕2V2√^2√2

???二面角A-BD-C的正切值為，7.

35.V(1)這條弦與拋物線兩交點(diǎn)4電升》(-M).?.M=l2xι*=12x?

Λ(y,-y2)(j,+j2)=12(x1-x2);弦的中點(diǎn)為M(l,2)

.必八

：?=----1-2---=12=-6=y-2?=2(X-1)

X1-X2必+為2及2

.?.弦所在的直線方程為3χ-y-l=0

(2)：.\y2=X1X得Gx-D2-12x=0Λ9X2-18X+1=0

3x-?-1=O

二弦長/=Jl+9,4-4χg=VlOX??=

36.

⑴解:'∕α=(2sinx,2sin.v),ft=(cos.v,-sinΛ,),

∕0)F?b-1=2sm-Vcos?-2sin*v→l=sin2.v÷cos2Λ.

'/f(Λ)=?)/.m2.v+cos2.v=->I÷2sin2.vcos2.v=?^..?sιn4.v=?^.

(H)解：由Q)知∕α>≡)2Λ2+-V=72(—sm2-v-^cos2-v)=>^12gA-X≡22)

224

=VΞsin(2?+;).

?.?Λ€(0,Ξ).?.Ξ<2X+Ξ<^.?.y<sin(2ι-≡)≤l.

??(?)的取值范圍為(-1J∑]?

37.(1)如圖，在APAD中，因?yàn)镋,F分別為AP,AD的中點(diǎn)，所以

EF//PD又因?yàn)镋F不包含于平面PCD,PD包含于平面PCD,所以直

線EF//平面PCD.

(2)因?yàn)锳B=AD,NBAD=60。，所以AABD為正三角形.因?yàn)镕是AD

的中點(diǎn)，所以BF_LAD因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD,所以BF包含于

平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,所以BFL平面PAD又因

為BF包含于平面BEF,所以平面BEFL平面PAD.

A

38.

UM?>O∣r(x)--Cl)依?

?

Ir⑴?o■產(chǎn)—▲τ?

(2)∣tl(l)tt./(?)-J-2hkx?rCr>?lr-

?trfl/(Jr)≡2τ-*'-2?-------??±

???

M負(fù)值畬左).?,W(0?1)時./。)<0.—

?**■?當(dāng)*wα?+8)N.∕x*>>o?∕G>

*■ii*???/(，)_-/(I)7?

39.

(I)解：?x2+v2-2y+m=Qn??：.v2-(V-1)2=1-∕H.VΛ2+(y-l/=1-∕M表示圖,

.?l-∕n>O,即〃Yl.又：圓C與直線.v=0沒有公共點(diǎn)，二1一"Y1,即〃>0.

綜上，實(shí)數(shù)川的取值范圍是00〃VI.

(Il)解：圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，

.?.,"=o?，圓C的方程為.5+(>_Iy=I,圓心C(o,ι),半徑為1.

當(dāng)。=1時,直線/經(jīng)過圓心C,AABC不存在,故。e[0,l)U(12].

由題意可設(shè)直線/的方程為.Y=4F,?ABC的面積為S.

則S=：ICAl?∣CB∣?SinZACB=?SinNACB.二當(dāng)SinNACB最大時，S取得最大值.

要使SinNACB=?,只需點(diǎn)C到直線/的距離等于三.即占n=Y?.

22TrTi2

整理得U=2("-a-l≥0.解得“≤l-f或*1-當(dāng).

①當(dāng)α∈[0]-f]U[1+qZ時，5inNACB最大值是I.此時爐=z∕-皿-i,即〃寺：-ki

②

③當(dāng)。W(IW,DU(U-當(dāng)時，NACBe(口㈤.

2.Z2.

?.?.V=SI∏A是(二")上的減函數(shù)，,當(dāng)NACB最小時，SinNACB最大.

2

過C作CDlAB于D,則NACDwNACB?..?當(dāng)/ACD最大時,NACB最小.

?.,sinZCAD=θ=ICDl,且NCAD€(0,?

二.當(dāng)ICDl最大時，SinNACD取得最大值，即NCAD最大.

?.?∣CD∣W∣CP∣,.?.當(dāng)CP1∕時，∣CD∣取得最大值ICPl.

.?.當(dāng)AABC的面積最大時,直線/的斜率4=O?，〃=0.

2

2a-4a÷↑,a∈[0sl--]∪口-專,2]

綜上所述,2.2

o.ae(l-',l)U(U邛)

i)4∈[0J〃=2『一44T=2(4-以一1,當(dāng)a=2或4=O時，〃取得最大值1.

22

ii)4e(1-WJ)U(LkW)，U=O.

由i),ii)得U的最大值是1.

40.

解：

（1）在AABC中設(shè)一—-----------------2R

SinNsinBsinC

則：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

?.’bcosC=(3a-c)cosB

Λ2RsinBcosC=(3?2RsinA-2RsinC)ψsB

即：SinBcosC=3sinAcosB-SinCcosB

SinBcosC+CosBsinC=3sinAcosB

sin(B+C)=3sinAcosB

sin(180o-A)=3sinAcosB

sinA=3sinAcos