2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第二章 2-1函數(shù)的概念及其表示

第eqfir一-早-?*??函數(shù)

§2.1函數(shù)的概念及其表示

【考試要求】1.了解函數(shù)的含義，會求簡單函數(shù)的定義域和值域.2.在實(shí)際情景中，會根據(jù)不同

的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并會

簡單的應(yīng)用.

?落實(shí)

【知識梳理】

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個數(shù)X,按照某種確定的對

應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱/：A^B為從集合A到集合B

的一個函數(shù)，記作y=7(x),XCA.

2.函數(shù)的三要素

(1)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)相等.

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函

數(shù)稱為分段函數(shù).

【常用結(jié)論】

1.直線x=α與函數(shù)y=Λx)的圖象至多有1個交點(diǎn).

2.在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A,B,A即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)锽的子集.

3.分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的

定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

（1）若兩個函數(shù)的定義域和值域相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).（X）

（2）函數(shù)yfx）的圖象可以是一條封閉曲線.（X）

（3）y=Jt0與y=l是同一個函數(shù).（X）

χ-l,x》0,

(4)函數(shù)兀燈=,的定義域?yàn)镽.(√)

F,x<0

【教材改編題】

1.下列各曲線表示的y與X之間的關(guān)系中，y不是X的函數(shù)的是（）

答案C

2.下列各組函數(shù)相等的是()

A.Λr)=x2-2χ-l(x∈R),g(s)=s2-2s-l(sCZ)

B?KX)=X_1，?W=~ψγ

[x,x20,

5

C?Λ%)=√Λ,g(χ)=Ja

[-χfx<0

D.DX)=g(x)=x?[-x

答案C

3.(2022?長沙質(zhì)檢)已知函數(shù)y(x)=F'x'°'則/(/G))等于()

Liogu,χ>o,、

A.-IB.2C.√3D.∣

答案D

解析?.?f(?)=IOg3；<0,

■探究核心題型

題型一函數(shù)的定義域

例1(1)函數(shù)兀t)=lg(χ-1)+不、的定義域?yàn)?)

A.(1,+∞)

B.(1,2)U(2,+∞)

C.[1,2)U(2,+∞)

D.[1,+∞)

答案B

解析要使函數(shù)有意義，

(x—1>0,

則解得Ql且XW2,

[χ-2≠0,

所以./U)的定義域?yàn)?1,2)U(2,+∞).

(2)若函數(shù)y(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)4X-1)的定義域?yàn)?

答案[1,3]

解析?.V(X)的定義域?yàn)閇0,2],

Λ0≤χ-l≤2,即IWXW3,

.二函數(shù)式x—1)的定義域?yàn)閇1,3].

【教師備選】

1.(2022?西北師大附中月考)函數(shù)>=館(爐-4)+正鎰的定義域是()

A.(—8,—2)U10,+o0)

B.(—8,—6]U(2,+o0)

C.(一8,-2JU[0,+8)

D.(—8,16)U[2,+oo)

答案B

X2—4>0,

解析由題意,得

LX2+6x20,

解得x>2或x≤—6.

因此函數(shù)的定義域?yàn)?-8,—6JU(2,+∞).

2.已知函數(shù)段)=請5，則函數(shù)與汗的定義域?yàn)?)

A.(一8,1)

B.(-8,-1)

C.(一8,-DU(-1,0)

D.(一8,-1)U(-1,1)

答案D

解析令

即2x<l,即x<O.

.?√(x)的定義域?yàn)?一8,0).

.?.函數(shù)空Ul中,X—1<0,

有'

x+lΛ+1≠0,

解得x<1且x≠—1.

故函數(shù)，+；)的定義域?yàn)?-8,—l)u(—1,1).

思維升華(1)求給定函數(shù)的定義域：由函數(shù)解析式列出不等式(組)使解析式有意義.

⑵求復(fù)合函數(shù)的定義域

①若KX)的定義域?yàn)閇〃?，磯則在y?(x))中，由Wwg(X)W〃解得X的范圍即為y(g(x))的定義域.

②若7(g(x))的定義域?yàn)閇m,n],則由WlWXW〃得到g(x)的范圍，即為y(x)的定義域.

⑴函數(shù)段)=J?

跟蹤訓(xùn)練1Zn(3χ-1)的定義域?yàn)?

c(^2'

D.昌,?

答案B

1

解析要使函數(shù)兀V)=?Hn(3χ-l)有意義,

y∕l~4x2

l-4x2>0,11

則今鏟年?

3χ-l>0

(2)已知函數(shù)犬X)的定義域?yàn)閇-2,2],則函數(shù)g(x)=∕(2x)+Ml—為的定義域?yàn)?/p>

答案[-1,0]

解析由條件可知，函數(shù)的定義域需滿足|[-一2冷≤2°x≤,2,

解得一1≤x≤0,

所以函數(shù)g(x)的定義域是

題型二函數(shù)的解析式

例2(1)(2022.哈爾濱三中月考)已知店+l)=lgx,則於)的解析式為

2

答案yw=iguγ(χ>i)

2

解析令1+1=Q>1),

.2

則rlL=T'

2

所以/W=Ig]彳(/>1)，

2

所以yu)=ig=γα>1)?

⑵已知y=Ax)是二次函數(shù)，若方程Ar)=O有兩個相等實(shí)根，且，(x)=2x+2,則TU)=

答案x1+2x+l

解析設(shè)J(x)=OX2+bx+c(α≠0),

則/(x)=2<a+仇

.*.20x+b=2x+2,

則α=l,b=2.

β2

??J(x)=x+2x+ci

又yU)=o,

即/+2x+c=0有兩個相等實(shí)根.

.?.∕=4-4c=0,則C=L

故7(x)=x2+2x+1.

【教師備選】

已知/(x)滿足y(x)—2∕g)=2r,則7(x)=.

套案一空一W

口本33X

解析?.?χx)-2∕Q=2x,①

以:代替①中的X,

得了(%2加)[,②

4

①+②義2得一說x)=2x+?

2x4

思維升華函數(shù)解析式的求法

(1)配湊法；(2)待定系數(shù)法；(3)換元法；(4)解方程組法.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知-SinX)=COs2χ,則式》)=.

答案一χ2+2χ,X∈[O,2]

解析令，=I-SinX,

Λ∕∈[0,2],sinx=l-r,

?'?fit)=1—sin2x=1-(I-O2

=-r2+2r,r∈[0,2],

.?.,∕(x)=-χ2+2x,x∈[0,2].

(2)(2022.黃岡質(zhì)檢)已知/Q2+/)=Λ4+JJ,則以)=.

答案x2-2,x∈[2,+∞)

解析,?v(x2+?)=^2+?)2-2.

.?√(x)=χ2-2,x∈[2,+∞).

題型三分段函數(shù)

IcosTUCfx≤1>則“)+/(—D的值為()

例3⑴已知危)=”,??,

IXX—1)+1,Λ>

A.5B.一；C.—1D.1

答案D

解析Kt)=X∣-O+ι=Xi)+1

flθg2X,x≥l,

(2)已知函數(shù)yw=

1―x+l，x<L

若氏a)=2,則α的值為；

若火〃)<2,則a的取值范圍是.

答案4或一1(一1,4)

α≥l,[α<l,

解析若/(α)=2,則或

[og24=2L"十1

解得a=4或a=~?,

Ja21,κ[a<?9

若?AG<2,則或

Llog2Λ<2I—。十1<2,

解得IWaV4或一1<。<1,即一l<α<4.

【教師備選】

則歡2022))等于()

A.-當(dāng)B當(dāng)C坐D.√2

答案B

解析fi.2022)=Sin(2022π+*)=sin*=g,

1K√2

.?.歡2022))=/

2)2?

??,χ20,

2.(2022?百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)T(X)==’若對于任意的XGR,?f{x)?^ax,則4

—X2,x<0,

答案0

解析當(dāng)x20時(shí),叭功=》3》以，即x(/—a)2o恒成立，則有aW0;

當(dāng)x<0時(shí)，∣∕(X)∣=Λ2?Or,即a三X恒成立，

則有420,所以α=0.

思維升華分段函數(shù)求值問題的解題思路

(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)火?ɑ))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值,

切記要代入檢臉.

.?—∣———3?

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022?河北冀州一中模擬)設(shè)|x)=fX-—，則歡-1))=,

.X2+1,Λ<l.

於)的最小值是.

答案02也一3

解析?.?y(-i)=2,

；.膽一1))=犬2)=2+|-3=0,

7

當(dāng)x21時(shí)，y(%)=x+~—3≥2*?∕2—3,

當(dāng)且僅當(dāng)x=g時(shí)取等號，Λx)min=2√2-3,

當(dāng)x<l時(shí)，∕Λ)=X2+1>1,X=O時(shí)取等號，

??JU)min=l,綜上有《X)的最小值為26一3.

lθg2X,x>l,

(2)(2022?重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)危)=,1則危)勺U+1)的解集為_________

.*—1,XW1,

答案(T+8)

解析當(dāng)XWO時(shí)，x+l≤l,HX)勺(X+1),

等價(jià)于X2—l<(x÷I)2—1,

解得一g<xW0;

當(dāng)0<x≤l時(shí)，x+l>l,

此時(shí)式X)=X2—1<0,

Λx+l)≈log2(x+l)>0,

.,.當(dāng)o<χ≤1時(shí)，恒有y(x)勺(χ+1)；

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)勺(x+l)臺Iog2x<k>g2(x+1)恒成立.

綜上知，不等式Kr)勺(x+l)的解集為(一宗+8)

課時(shí)精練

過基礎(chǔ)保分練

1.(2022.重慶模擬)函數(shù)40=Wfm的定義域是()

Ig?

A.(0,3)B.(0,l)U(l,3)

C.(0,3JD.(0,l)U(l,3]

答案D

___3—x≥0,

解析/√lgx≠0,

.x>0,

解得0<x<l或l<x≤3,

故函數(shù)的定義域?yàn)?0,l)U(l,3].

2.若函數(shù)y=∕(x)的定義域?yàn)镸={x∣-2WxW2},值域?yàn)镹={y∣0WyW2},則函數(shù)y=於)的

圖象可能是()

答案B

解析A中函數(shù)定義域不是［-2,2］；C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是［0,2］.

3.(2022?安徽江淮十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)式x)=<八2,若/匕&))=8,則〃等于()

d,Xe1,

13

A，2B'C.1D.2

答案D

解析XD=4×8-2=3?

則/(/(J))=Λ3)="3,

得蘇=8,解得α=2.

4.下列函數(shù)中，與y=x是相等函數(shù)的是()

A.y-(y［x)2B.y-y∣j?

C.y=lg10'D.y=10?,t

答案C

解析y=x的定義域?yàn)棣諻R,值域?yàn)閥WR,

對于A選項(xiàng)，函數(shù)y=(?p)2=x的定義域?yàn)椋?,+∞),故不是相等函數(shù)；

對于B選項(xiàng)，函數(shù)y=dM=∣x∣?0,與y=x的解析式、值域均不同，故不是相等函數(shù)；

對于C選項(xiàng)，函數(shù)y=lgl(Γ=x,且定義域?yàn)镽,故是相等函數(shù)；

對于D選項(xiàng)，y=10∣g*=x的定義域?yàn)?0,+∞),與函數(shù)y=x的定義域不相同，故不是相等

函數(shù).

5.設(shè)函數(shù)ytr-2)=x2+2r-2,則<x)的表達(dá)式為()

A.x2~2x~2B.X2—6x+6

C.x2+6x~2D.x2÷6x÷6

答案D

解析令t=χ-2,/.x=t+2,

?*?Λ0=G+2)2+2(r+2)-2=∕2+6r+6,

??AX)=<+6x+6.

^2χ—5,Λ≤2

6.函數(shù)yω=L.、'：'則yu)的值域?yàn)?)

3sιnχfx>2,

A.[-3,-?]B.（一8,3]

C.（-5,3]D.（-5,1]

答案C

解析當(dāng)xW2時(shí)，,∕U）=2'-5,

.?.0<2v≤4,Λy（χ）∈（-5,-1],

當(dāng)x>2時(shí)，y（x）=3sinx,

ΛΛΛ）∈[-3,3],

；.段）的值域?yàn)椋?5,3].

7.如圖，點(diǎn)P在邊長為1的正方形的邊上運(yùn)動，M是C。的中點(diǎn)，當(dāng)P沿A-B-C—M運(yùn)

動時(shí)，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程為X,ZkAPM的面積為y,則函數(shù)y=∕（x）的圖象大致是（）

答案A

解析由題意可得

「1

*O≤x<l,

3X

y=Jlχ)=?彳一幣1Wχ<2,

［沁,2≤x≤∣

畫出函數(shù)式x）的大致圖象，故選A.

8.具有性質(zhì)：/（?=一%）的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)滿足“倒

負(fù)”變換的函數(shù)的是（）

(T)∕(x)=χ-p②Λx)=ln∣τp?

",O<x<l,

(W(X)=e*；刨χ)=<°'x1,

——，x>l.

IX

A.②③B.①?@

C.②③④D.①④

答案D

解析對于①，yω=χ-

/A)=∕-X=-∕(x),滿足題意；

一1-X

對于②，T(X)=InRp

Y-1

=In不滿足；

?-i

_X

對于③，/(￡)=e*=ex~',

—/U)=-e*≠∕^G),不滿足；

C1

7OK

對于④，?=<。/=1，

、一左丁1,

χ>ι,

即於）

O,x=l,

—X,O<x<l,

則/(9=一式的，滿足“倒負(fù)"變換.

9.已知Kr5)=lgx,則HIoO)=.

答案I2

解析令X5=100,

!2

則X=10()5=10"

-2

.?.χiθθ)=lglθ5=亍

10.函數(shù)只X)=In(X—D+44+3χ-χ2的定義域?yàn)?/p>

答案(1,4]

X—1>0,

解析依題意

4÷3χ-x2>0,

解得l<x≤4,

??√U)的定義域?yàn)?1,4].

(1—2π)x÷3π,x<l,

11.已知函數(shù)兀、的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是________

Inχ9Xel

答案[τ,I)

解析???當(dāng)時(shí)，∕x)=lnx≥ln1=0,

又7U)的值域?yàn)镽,

故當(dāng)XVl時(shí)，yu)的值域包含(一8,0).

1-2a>0,

故.

2α+3α20,

解得一1W"<∣.

[χ9x<0,

12.設(shè)函數(shù)凡0=則不等式μM+xW2的解集是_________

U，A>0,

答案[-2,0)U(0,1]

解析當(dāng)x<0時(shí)，4X)=X,

代入狀x)+xW2得x2÷χ-2≤0,

解得一2Wx<0;

當(dāng)Λ->0時(shí)，Xx)=1,

代入研x)+xW2,解得OaWL

綜上有一2Wx<0或0<rWl.

口技能提升練

2~χχW0,

13?(2018?全國I)設(shè)函數(shù)40='’則滿足yu+l)勺(2x)的X的取值范圍是()

Lx>0,

A.(—8,—1]B.(0,+o0)

C.(-1,0)D.(一8,0)

答案D

解析當(dāng)XWO時(shí)，函數(shù)次X)=2=是減函數(shù)，則4t)2y(0)=l.

x+1<0,

作出y(x)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象知，要使yu+1)勺(2%),當(dāng)且僅當(dāng)“2χ<o,或