第8講 抽象函數(shù)7種導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造（解析版）-2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型

第8講抽象函數(shù)7種導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造【題型目錄】題型一：具體函數(shù)抽象化解不等式題型二：構(gòu)造冪函數(shù)型解不等式題型三：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)型解不等式題型四：構(gòu)造對數(shù)函數(shù)型解不等式題型五：構(gòu)造三角函數(shù)型解不等式題型六：構(gòu)造型函數(shù)解不等式題型七：復(fù)雜型：二次構(gòu)造【典例例題】題型一：具體函數(shù)抽象化解不等式【例1】（2022·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，若成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由奇偶性的定義得出函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式變形為，利用單調(diào)性得出，從而可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，由得，由偶函數(shù)的性質(zhì)得，由于函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，整理得，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【題型專練】1．（2022·貴州遵義·高二期末（理））已知函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)解析式求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)大于零恒成立，故確定函數(shù)單調(diào)性，比較自變量大小確定函數(shù)值a，b，c的大小即可.【詳解】解：因為，則，所以又時，，所以恒成立所以在上單調(diào)遞增；又，，所以，則.故選：A.2．（2022·上?！?fù)旦附中高二期末）設(shè)，若，則x的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】奇偶性定義判斷奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，再應(yīng)用奇偶、單調(diào)性求x的范圍.【詳解】由且，易知：為奇函數(shù)，所以，又，故在上遞增，所以，可得.故答案為：題型二：構(gòu)造冪函數(shù)型解不等式【例1】（2022·黑龍江·哈師大附中高二期末）已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023）【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，使得，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由題設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，又，即，又函數(shù)的定義域為，所以，綜上可得：.故選：D.【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））設(shè)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，當(dāng)時，，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在為單調(diào)遞減函數(shù)，進(jìn)而得到函數(shù)為奇函數(shù)，且在為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】設(shè)，可得，因為當(dāng)時，，可得，所以在為單調(diào)遞減函數(shù)，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，且，可得，則滿足，所以函數(shù)也為奇函數(shù)，所以在為單調(diào)遞減函數(shù)，且，當(dāng)時，由，即，即，可得；當(dāng)時，由，即，即，可得；所以不等式的解集為.故答案為：.【例3】（2022·河南信陽·高二期中（理））已知定義域為的函數(shù)滿足（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由題意可知在上單調(diào)遞增，再對分情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出不等式的解集.【詳解】由，（1）當(dāng)時，可得，即，即，構(gòu)造函數(shù)，所以函數(shù)單調(diào)遞增，則，此時，即滿足；（2）當(dāng)時，可得，由函數(shù)遞增，則，此時或，即滿足；（3）當(dāng)時，，即滿足.綜上，.故選：A.【例4】已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，恒有．則不等式的解集為（

）．A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】先通過得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時為增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開口向上的偶函數(shù)所以，解得或故選：D【點睛】此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識點，屬于較難題目.【例5】函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算和題設(shè)條件，求得函數(shù)在上為增函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為，即，利用單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)函數(shù)，則，因為是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，所以，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，又由，即，即，所以，解得，即不等式的解集為.故選：D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系及應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計算能力.【題型專練】1．（2021·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時，.則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)可得函數(shù)在(0，+∞)上為減函數(shù)，且為偶函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】設(shè)，則，又當(dāng)時，，∴，則函數(shù)在(0，+∞)上為減函數(shù)，∵是定義在上的偶函數(shù)，∴，即g(x)為偶函數(shù)，所以，即，故A錯誤；，即，故B錯誤；，即因為為偶函數(shù)，所以，所以，故C錯誤，D正確.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合條件可判斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，即得.2．（2022·黑龍江·哈爾濱市阿城區(qū)第一中學(xué)校高二期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，且，則不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)并得出函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可以即可求解.【詳解】設(shè)，則因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減．因為，所以，所以．對于不等式，當(dāng)時，，即，解得；當(dāng)時，，即，解得，所以不等式的解集是．故答案為：【點睛】解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而討論新函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解不等式的解集.3.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】令，確定在上是減函數(shù)，不等式等價為，根據(jù)單調(diào)性解得答案.【詳解】由，得，即，令，則當(dāng)時，得，即在上是減函數(shù)，，，即不等式等價為，在是減函數(shù)，由得，即，又，解得，故.故選:：.【點睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.4.已知是定義在上的奇函數(shù)，且時，，又，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】令，則，由題設(shè)易知上，且在上是奇函數(shù)，即在、都單調(diào)遞減，同時可知，利用單調(diào)性求的解集，即為的解集.【詳解】令，則，由時，知：，∴在上，，單調(diào)遞減，又上為奇函數(shù)，∴，故也是奇函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減，又，即有，∴的解集，即的解集為.故選：C5.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)，求其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出單調(diào)性，再結(jié)合的奇偶性，得出的函數(shù)值的符號情況，從而得出答案.【詳解】設(shè)，則，∵當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.由于是奇函數(shù)，所以,是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)或時，；當(dāng)或時，.所以當(dāng)或時，.故選：B.題型三：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)型解不等式【例1】（2022·四川省資陽中學(xué)高二期末（理））已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，則原不等式等價于，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；【詳解】解：令，，則，因為，即，所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，所以不等式，即，即，即，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)函數(shù)，根據(jù)題意可判斷在上單調(diào)遞減，再求出，不等式整理得，所以，利用單調(diào)性解抽象不等式即可.【詳解】設(shè)函數(shù)，所以，因為，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，因為，整理得，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以.故選：C.【點睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先證明出為周期為8的周期函數(shù)，把轉(zhuǎn)化為.記，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在R上單調(diào)遞減，把原不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，.所以，，所以.令，則.令上式中t取t-4，則，所以.令t取t+4，則，所以.所以為周期為8的周期函數(shù).因為為奇函數(shù)，所以，令，得：，所以，所以，即為，所以.記，所以.因為，所以，所以在R上單調(diào)遞減.不等式可化為，即為.所以.故選：C【點睛】解不等式的常見類型：(1)一元二次不等式用因式分解法或圖像法；(2)指對數(shù)型不等式化為同底的結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性解不等式；(3)解抽象函數(shù)型不等式利用函數(shù)的單調(diào)性.【例4】（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高二期末）已知可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為，f（0）=2022，若對任意的，都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性求解即可.【詳解】令對任意的，都有，在上單調(diào)遞增，又，不等式的解集，故選：D.【例5】（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知奇函數(shù)的定義域為，當(dāng)討，，且，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)判斷出當(dāng)x>0時,單調(diào)遞增，得到當(dāng)x>2時，從而；當(dāng)時，，從而.由為奇函數(shù)得到不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則當(dāng)時，，所以當(dāng)x>0時單調(diào)遞增.因為f(2)=0，所以，所以當(dāng)x>2時，從而.當(dāng)時，，從而.又奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱，所以的解集為.故答案為:.【題型專練】1.（2022·陜西榆林·三模（理））已知是定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可得，進(jìn)而可得答案.【詳解】令，則，則是增函數(shù)，故，即，可得.故選：D2.（2022·江西·萍鄉(xiāng)市上栗中學(xué)高二階段練習(xí)（理））定義在上的函數(shù)滿足（為自然對數(shù)的底數(shù)），其中為的導(dǎo)函數(shù)，若，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，并利用函數(shù)單調(diào)性把抽象不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.【詳解】設(shè)，則，所以等價于，由，可得則，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得．故選：D3.（2022·安徽省蚌埠第三中學(xué)高二開學(xué)考試）已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，因為，所以恒成立，故單調(diào)遞減，變形為，又，所以，所以，解得：，故答案為：.故選：A4.若在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則的解集是_________________【答案】【解析】【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)遞減，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】設(shè)，則，因為，所以在上恒成立，所以單調(diào)遞減，又得，由等價于，所以，即的解集是.故答案為：5.若定義在上的函數(shù)滿足，，則不等式為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】把不等式化為，構(gòu)造函數(shù)令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意，不等式，即，令，可得，因為且，可知，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以的解集為.故選：A.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的四則運算的逆用，其中解答中結(jié)合題意構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查構(gòu)造思想，以及推理與運算能力.題型四：構(gòu)造對數(shù)函數(shù)型解不等式【例1】（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)（文））定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足，，則不等式的解集為（

）A．（－∞，0） B．（－∞，1）C．（0，+∞） D．（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題干條件構(gòu)造函數(shù)，，得到其單調(diào)遞減，從而求解不等式.【詳解】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，且，所以由得：結(jié)合單調(diào)性可得：，解得：，故選：C【例2】已知函數(shù)的定義域為R，圖象關(guān)于原點對稱，其導(dǎo)函數(shù)為，若當(dāng)時，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性把抽象不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式去求解即可.【詳解】當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，易知，故當(dāng)時，，，當(dāng)時，，；而，而為奇函數(shù)，則當(dāng)時，當(dāng)?shù)慕鉃?，故?dāng)時，的解為或，故不等式的解集為．故答案為：【例3】已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且滿足:則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定含導(dǎo)數(shù)的不等式構(gòu)造函數(shù)，由此探求出在上恒負(fù)，在上恒正，再解給定不等式即可.【詳解】令，，則，在上單調(diào)遞減，而，因此，由得，而，則，由得，而，則，又，于是得在上，，而是上的奇函數(shù)，則在上，，由得：或，即或，解得或，所以不等式的解集為.故選：D【題型專練】1.（2022·陜西漢中·高二期末（文））定義在上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】令，根據(jù)題意得到函數(shù)在上為單調(diào)遞增，把不等式，可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)滿足，令，可得所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增，且，又由不等式，可得，所以，解得，即不等式的解集為.故答案為：.2.（2022·河北·石家莊二中高二期末）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由條件得出關(guān)于成中心對稱，進(jìn)一步得出函數(shù)的單調(diào)性，然后再根據(jù)題意可得，或，從而可得出答案.【詳解】由得關(guān)于成中心對稱．令，可得當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增.由關(guān)于成中心對稱且，故在上單調(diào)遞增由，則，或解得，或，故故選：A3.（多選）已知函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)是，且滿足，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造，由題意，得到單調(diào)遞增，進(jìn)而利用的單調(diào)性，得到，再整理即可求解【詳解】設(shè)，可得，單調(diào)遞增，又因為，，，且，，得，，整理得，AC正確；故選：AC題型五：構(gòu)造三角函數(shù)型解不等式【例1】已知偶函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，再把不等式，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，當(dāng)時，因為，則有，所以在上單調(diào)遞減，又因為在上是偶函數(shù)，可得，所以是偶函數(shù)，由，可得，即，即又由為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)，且定義域為，則有，解得或，即不等式的解集為，故選：B.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中構(gòu)造新函數(shù)，求得函數(shù)的奇偶性和利用題設(shè)條件和導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查構(gòu)造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.【例2】已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)是.有，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令，根據(jù)題設(shè)條件，求得，得到函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，再把不等式化為，結(jié)合單調(diào)性和定義域，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)滿足，令，則函數(shù)是定義域內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，由于，關(guān)于的不等式可化為，即，所以且，解得，不等式的解集為.故選：B【點睛】方法點睛：構(gòu)造法求解與共存問題的求解策略：對于不給出具體函數(shù)的解析式，只給出函數(shù)和滿足的條件，需要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造抽象函數(shù)，再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問題，常見類型：（1）型；（2）型；（3）為常數(shù)型.【題型專練】1.已知可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，并依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去求解不等式的解集.【詳解】當(dāng)時，，則則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)則是上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，由，可得，則，則時，不等式可化為又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，則有，解之得故選：D2.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則經(jīng)變形后得，進(jìn)而得到在時單增，結(jié)合單調(diào)性證出是定義在上的偶函數(shù)，再去“f”，即可求解【詳解】令，，當(dāng)時，，，即函數(shù)單調(diào)遞增．又，時，，是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)．不等式，即，即，，①，又，故②，由①②得不等式的解集是．故選：C【點睛】本題考查利用構(gòu)造函數(shù)法解不等式，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性的應(yīng)用，一般形如的式子，先構(gòu)造函數(shù)，再設(shè)法證明的奇偶性與增減性，進(jìn)而去“f”解不等式3.奇函數(shù)定義域為，其導(dǎo)函數(shù)是，當(dāng)時，有，則關(guān)于的不等式的解集為A． B．C． D．【答案】D【解析】【詳解】根據(jù)題意，可構(gòu)造函數(shù)其導(dǎo)數(shù)當(dāng)時，有，其導(dǎo)數(shù)在上為增函數(shù)，又由為奇函數(shù)，即，則，即函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，不等式又由函數(shù)為偶函數(shù)且在上激增，則解得此時的取值范圍為；當(dāng)時，，不等式同理解得此時的取值范圍為；綜合可得：不等式的解集為故選D．【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性．題型六：構(gòu)造型函數(shù)解不等式【例1】設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對任意的實數(shù)都有，當(dāng)時，.若，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】構(gòu)造函數(shù)法令，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，因為，即，故為奇函數(shù)，于是在上為減函數(shù)，而不等式可化為，則，即.選A.【例2】設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對任意的，有，且在上有，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，由已知得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性解抽象不等式，可得選項.【詳解】設(shè)，∵，即，即，故是奇函數(shù)，由于函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，所以，函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù).∵在上有，∴，故在單調(diào)遞增，又∵是奇函數(shù)，且在上連續(xù)，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴，即，∴，故，故選：B．【點睛】本題考查運用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而求解抽象不等式的問題，構(gòu)造合適的函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬于較難題.【例3】（2022·重慶八中高二期末）已知函數(shù)滿足：，，且．若角滿足不等式，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，并判斷函數(shù)為上的奇函數(shù)，再根據(jù)，可得在上單調(diào)遞減，最后進(jìn)行求解得的取值范圍.【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，，由化為：，，函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，在上單調(diào)遞減．若角滿足不等式，則，即，，解得：．故選：A.【題型專練】1.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對任意實數(shù)，都有，當(dāng)時，，若，則實數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)等式可得出函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得知函數(shù)在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出該函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得出，利用函數(shù)的單調(diào)性和偶函數(shù)的性質(zhì)解出該不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，對任意實數(shù)，都有，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，.當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，即，則有，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，解得，因此，實數(shù)的最小值為，故選A.【點睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，同時也涉及函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷，難點在于根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，并利用定義判斷奇偶性以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.2.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對于任意的實數(shù)，有，當(dāng)時，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造，由，可得為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】，令，且，則在上單調(diào)遞減.又為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減.，且代入得，轉(zhuǎn)化為，即由于在上遞減，則，解得：故選：C.【點睛】方法點睛：利用進(jìn)行抽象函數(shù)構(gòu)造，常見類型：（1）利用與的構(gòu)造，常用構(gòu)造形式有：出現(xiàn)“”用，出現(xiàn)“”用；（2）利用與的構(gòu)造，常用構(gòu)造形式有：出現(xiàn)，構(gòu)造函數(shù)；出現(xiàn)，構(gòu)造函數(shù)；3.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，，有，在上有，若，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而研究其單調(diào)性和奇偶性，將變形為，再利用的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，，有，．所以為R上的偶函數(shù)，又在上有，所以，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以，即，，解之得，.故選B.【點睛】本題主要考查構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性和奇偶性、利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，屬難題.題型七：復(fù)雜型：二次構(gòu)造【例1】已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若，，則在上（

）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．有極大值 D．有極小值【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，可得出的符號，由此可