北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三 專題2.2 不等式的基本性質(zhì)-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題2.2不等式的基本性質(zhì)-重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)不等式的基本性質(zhì)】性質(zhì)1：若a＜b，b＜c，則a＜c.這個(gè)性質(zhì)叫做不等式的傳遞性.性質(zhì)2：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變。若a＞b，則a±c＞b±c.性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。若a＞b，c＞0，則ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，則ac＜bc，ac＜【題型1利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】【例1】(2023?江干區(qū)三模）若a＜b，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．a(chǎn)3＜b3 D．a(chǎn)【變式1-1】(2023春?南海區(qū)期末）下列不等式變形正確的是（）A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3得x＞15 C．由﹣2x＜4得x＜﹣2 D．由y2＞0得【變式1-2】(2023春?睢寧縣校級(jí)月考）若x+y＞x﹣y，y﹣x＞y，那么（1）x+y＞0，（2）y﹣x＜0，（3）xy≤0，（4）yx＜0中，正確結(jié)論的序號(hào)為【變式1-3】(2023?常州）已知a、b、c、d都是正實(shí)數(shù)，且ab①aa+b＜cc+d；②cc+d＜其中不等式正確的是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③【題型2利用不等式性質(zhì)比較大小】【例2】(2023春?朝陽區(qū)期末）閱讀材料：小明對(duì)不等式的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行了自主學(xué)習(xí)，他發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b比較大小，有如下規(guī)律：若a﹣b＞0，則a＞b；若a﹣b＝0，則a＝b；若a﹣b＜0，則a＜b．上面的律反過來也成立．課上，通過與老師和其他同學(xué)的交流，驗(yàn)證了上面的規(guī)律是正確的．參考小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決問題：（1）比較大?。?+510（2）已知x+2y﹣2＝0，且x≥0，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，試比較A和B的大小．【變式2-1】(2023?利州區(qū)模擬）若x＞y，比較3?25x【變式2-2】(2023春?武侯區(qū)期末）已知﹣x﹣1＞﹣y+1，試比較3x﹣4與3y﹣4的大?。咀兪?-3】(2023?佛山）小雨的爸爸從市場(chǎng)買回來四個(gè)大西瓜，爸爸為了考一考小雨，讓小雨把四個(gè)大西瓜依次邊上①，②，③，④號(hào)后，按質(zhì)量由小到大的順序排列出來（不準(zhǔn)用稱），小雨用一個(gè)簡(jiǎn)易天平操作，操作如下：（操作過程中，天平自身損壞忽略不計(jì)）根據(jù)實(shí)驗(yàn)，小雨很快就把四個(gè)編好號(hào)的大西瓜的質(zhì)量由小到大排列起來了．你認(rèn)為小雨的實(shí)驗(yàn)于結(jié)果都是真實(shí)的嗎？（即通過上述實(shí)驗(yàn)?zāi)苷页鏊鼈冑|(zhì)量的大小嗎？）請(qǐng)說明你的理由，并與同學(xué)交流．【題型3利用不等式性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式】【例3】(2023春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）根據(jù)不等式的性質(zhì)把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9（2）6x＜5x﹣3（3）15【變式3-1】(2023秋?郴州校級(jí)月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【變式3-2】(2023秋?濱江區(qū)期末）不等式（a﹣2）x＞b的解集是x＜ba?2，求【變式3-3】(2023春?九江期中）用“＞”或“＜”填空：（1）如果x﹣2＜3，那么x5；（2）如果?23x＜﹣1，那么x（3）如果15x＞﹣2，那么x﹣10；（4）如果﹣x＞1，那么x（5）若ax＞b，ac2＜0，則xba【題型4利用不等式性質(zhì)證明（不）等式】【例4】(2023春?濉溪縣期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求證：（1）a＞c；（2）﹣2＜b【變式4-1】(2023秋?濱江區(qū)期末）求證：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．【變式4-2】(2023?利州區(qū)模擬）(2023春?泗水縣期末）請(qǐng)類比不等式性質(zhì)：不等式的兩邊加（或減）同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變．完成下列填空：已知用“＜”或“＞”填空5＞32＞15+23+1?3＞?5?1＞?2﹣3﹣1﹣5﹣21＜4?2＜11﹣24+1一般地，如果a＞bc＞d，那么a+cb+d你能應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明上述關(guān)系式嗎？【變式4-3】(2023?余姚市校級(jí)自主招生）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求證：a+b+c＝0．【題型5利用不等式性質(zhì)求取值范圍或最值】【例5】(2023春?海淀區(qū)校級(jí)期末）閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍．解：∵x﹣y＝2．∴x＝y(tǒng)+2，又∵x＞1，∴y+2＞1．∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．①∴﹣1+2＜y+2＜0+2．即1＜x＜2．②①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2．∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．請(qǐng)按照上述方法，完成下列問題：（1）已知x﹣y＝3，且x＞﹣1，y＜0，則x的取值范圍是；x+y的取值范圍是；（2）已知x﹣y＝a，且x＜﹣b，y＞2b，若根據(jù)上述做法得到3x﹣y的取值范圍是﹣5＜3x﹣y＜5，求a、b的值．【變式5-1】(2023?杭州）若a+b＝﹣2，且a≥2b，則（）A．ba有最小值12 B．bC．a(chǎn)b有最大值2 D．a(chǎn)b【變式5-2】(2023?利州區(qū)模擬）(2023春?十堰期末）已知a，b，c為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足a+b+c=302a+3b+4c=100，令W＝3a+2b+5c，則WA．90 B．130 C．150 D．180【變式5-3】(2023春?唐河縣期中）【提出問題】已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍．【分析問題】先根據(jù)已知條件用一個(gè)量如y取表示另一個(gè)量如x，然后根據(jù)題中已知量x的取值范圍，構(gòu)建另一量y的不等式，從而確定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍，最后利用不等式性質(zhì)即可獲解．【解決問題】解：∵x﹣y＝2，∴x＝y(tǒng)+2．又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．【嘗試應(yīng)用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范圍．【題型6不等關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用】【例6】(2023春?博野縣期末）5名學(xué)生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設(shè)前三名的平均身高為a米，后兩名的平均身高為b米．又前兩名的平均身高為c米，后三名的平均身高為d米，則（）A．a(chǎn)+b2＞c+d2 B．c+d2【變式6-1】(2023春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期中）有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，如果把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到的兩位數(shù)大于原來的兩位數(shù)，那么a與b哪個(gè)大？【變式6-2】(2023?雨花區(qū)校級(jí)開學(xué)）江南三大名樓指的是：滕王閣、黃鶴樓、岳陽樓．其中岳陽樓位于湖南省岳陽市的西門城頭、緊靠洞庭湖畔，始建于三國東吳時(shí)期．自古有“庭天下水，岳陽天下樓”之譽(yù)，因北宋范仲淹膾炙人口的《岳陽樓記》而著稱于世．某興趣小組參觀過江南三大名樓的人數(shù)，同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（1）參觀過滕王閣的人數(shù)多于參觀過岳陽樓的人數(shù)；（2）參觀過岳陽樓的人數(shù)多于參觀過黃鶴樓的人數(shù)；（3）參觀過黃鶴樓的人數(shù)的2倍多于參觀過滕王閣的人數(shù)．若參觀過黃鶴樓的人數(shù)為4，則參觀過岳陽樓的人數(shù)的最大值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式6-3】(2023春?自貢期末）如圖，某班進(jìn)行拔河比賽，一共有兩個(gè)老師，一個(gè)男老師，一個(gè)女老師，六個(gè)學(xué)生，三個(gè)男學(xué)生，三個(gè)女學(xué)生．其中每個(gè)男學(xué)生的力量相同，每個(gè)女學(xué)生的力量相同．如果有三場(chǎng)比賽的結(jié)果是：第一場(chǎng)：一個(gè)男老師為一方，五個(gè)同學(xué)（兩男三女）為另一方進(jìn)行比賽，男老師輸了；第二場(chǎng)：女老師為一方，五個(gè)同學(xué)（一男四女）為另一方進(jìn)行比賽，女老師贏了；第三場(chǎng)：男老師加一個(gè)男同學(xué)為一方，女老師與三個(gè)女同學(xué)為另一方進(jìn)行比賽，男老師一方贏了．問：女老師加兩個(gè)男同學(xué)與男老師加上三個(gè)女同學(xué)進(jìn)行比賽，結(jié)果將會(huì)怎么樣？為什么？專題2.2不等式的基本性質(zhì)-重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)不等式的基本性質(zhì)】性質(zhì)1：若a＜b，b＜c，則a＜c.這個(gè)性質(zhì)叫做不等式的傳遞性.性質(zhì)2：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變。若a＞b，則a±c＞b±c.性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。若a＞b，c＞0，則ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，則ac＜bc，ac＜【題型1利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】【例1】(2023?江干區(qū)三模）若a＜b，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．a(chǎn)3＜b3 D．a(chǎn)【解題思路】通過不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷求解．【解答過程】解：A，∵a＜b，∴a﹣1＜b﹣1正確，A不符合題意．B，∵a＜b，∴2a＜2b正確，B不符合題意．C，∵a＜b，∴a3＜bD，當(dāng)a＜b＜0時(shí)，a2＞b2，故D選項(xiàng)不正確，符合題意．故選：D．【變式1-1】(2023春?南海區(qū)期末）下列不等式變形正確的是（）A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3得x＞15 C．由﹣2x＜4得x＜﹣2 D．由y2＞0得【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可得到答案．【解答過程】解：A、由4x﹣1≥0得4x≥1，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B、由5x＞3得x＞3C、由﹣2x＜4得x＞﹣2，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D、由y2＞0得故選：D．【變式1-2】(2023春?睢寧縣校級(jí)月考）若x+y＞x﹣y，y﹣x＞y，那么（1）x+y＞0，（2）y﹣x＜0，（3）xy≤0，（4）yx＜0中，正確結(jié)論的序號(hào)為【解題思路】判斷出x，y的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)判斷即可．【解答過程】解：∵x+y＞x﹣y，y﹣x＞y∴y＞﹣y，﹣x＞0∴y＞0，x＜0（1）兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不確定，符號(hào)也不確定，錯(cuò)誤；（2）y﹣x屬于大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果應(yīng)大于0，錯(cuò)誤；（3）xy不會(huì)出現(xiàn)等于0的情況，錯(cuò)誤；（4）異號(hào)兩數(shù)相除，結(jié)果為負(fù)，正確；∴正確結(jié)論的序號(hào)為（4）．【變式1-3】(2023?常州）已知a、b、c、d都是正實(shí)數(shù)，且ab①aa+b＜cc+d；②cc+d＜其中不等式正確的是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③【解題思路】由ab＜cd，a、b、c、d都是正實(shí)數(shù)，根據(jù)不等式不等式的性質(zhì)不等式都乘以bd得到ad＜bc，然后兩邊都加上ac得到ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），然后兩邊都除以（c+d）（a+b）得到aa+b＜cc+d，得到①正確，【解答過程】解：∵ab＜cd，a、b、∴ad＜bc，∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），∴aa+b＜cc+d，所以∵ab＜cd，a、b、∴ad＜bc，∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c），∴dd+c＜ba+b，所以故選：A．【題型2利用不等式性質(zhì)比較大小】【例2】(2023春?朝陽區(qū)期末）閱讀材料：小明對(duì)不等式的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行了自主學(xué)習(xí)，他發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b比較大小，有如下規(guī)律：若a﹣b＞0，則a＞b；若a﹣b＝0，則a＝b；若a﹣b＜0，則a＜b．上面的律反過來也成立．課上，通過與老師和其他同學(xué)的交流，驗(yàn)證了上面的規(guī)律是正確的．參考小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決問題：（1）比較大?。?+5＜10（2）已知x+2y﹣2＝0，且x≥0，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，試比較A和B的大?。窘忸}思路】（1）兩數(shù)作差，根據(jù)3＜10（2）根據(jù)x+2y﹣2＝0，且x≥0求得y≤1，兩式作差進(jìn)而求解，【解答過程】解：（1）∵3＜10∴（3+5）﹣（10+5∴3+5或∵3＜10∴3+5故答案為：＜．（2）∵x+2y﹣2＝0，∴x＝2﹣2y，∵x≥0，∴2﹣2y≥0，∴y≤1，∴﹣y+1≥0，∴A﹣B＝（5xy+y+1）﹣（5xy+2y）＝﹣y+1≥0，∴A≥B．【變式2-1】(2023?利州區(qū)模擬）若x＞y，比較3?25x【解題思路】先在x＞y的兩邊同乘以?2【解答過程】解：∵x＞y，∴不等式兩邊同時(shí)乘以?得：?2∴不等式兩邊同時(shí)加上3，得?2【變式2-2】(2023春?武侯區(qū)期末）已知﹣x﹣1＞﹣y+1，試比較3x﹣4與3y﹣4的大?。窘忸}思路】直接利用已知得出x﹣y的取值范圍，進(jìn)而得出兩式的大小關(guān)系．【解答過程】解：∵﹣x﹣1＞﹣y+1，∴x+1＜y﹣1∴x﹣y＜﹣2，∴3x﹣4﹣（3y﹣4）＝3（x﹣y）＜﹣6，∴3x﹣4＜3y﹣4．【變式2-3】(2023?佛山）小雨的爸爸從市場(chǎng)買回來四個(gè)大西瓜，爸爸為了考一考小雨，讓小雨把四個(gè)大西瓜依次邊上①，②，③，④號(hào)后，按質(zhì)量由小到大的順序排列出來（不準(zhǔn)用稱），小雨用一個(gè)簡(jiǎn)易天平操作，操作如下：（操作過程中，天平自身損壞忽略不計(jì)）根據(jù)實(shí)驗(yàn)，小雨很快就把四個(gè)編好號(hào)的大西瓜的質(zhì)量由小到大排列起來了．你認(rèn)為小雨的實(shí)驗(yàn)于結(jié)果都是真實(shí)的嗎？（即通過上述實(shí)驗(yàn)?zāi)苷页鏊鼈冑|(zhì)量的大小嗎？）請(qǐng)說明你的理由，并與同學(xué)交流．【解題思路】利用已知天平得出：①＞②，②+③＞①+④，①+②＝③+④，進(jìn)而比較得出即可．【解答過程】解：由題意可得：①＞②，②+③＞①+④，①+②＝③+④，因?yàn)棰伲劲?，?③＞①+④，所以②+③＞①+④＞②+④，所以③＞④；因?yàn)棰?②＝③+④，所以①﹣③＝④﹣②，又②+③＞①+④，所以②﹣④＞①﹣③＞④﹣②，所以②＞④，所以①＞②＞④；因?yàn)棰?②＝③+④，所以①﹣④＝③﹣②＞0，所以③＞②；④﹣②＜0，所以①﹣③＜0，所以③＞①；綜上，③＞①＞②＞④．【題型3利用不等式性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式】【例3】(2023春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）根據(jù)不等式的性質(zhì)把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9（2）6x＜5x﹣3（3）15【解題思路】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)對(duì)各不等式進(jìn)行逐一分析解答即可．【解答過程】解：（1）根據(jù)不等式性質(zhì)1，不等式兩邊都減7，不等號(hào)的方向不變，得x+7﹣7＞9﹣7，即x＞2；（2）根據(jù)不等式性質(zhì)1，不等式兩邊都減去5x，不等號(hào)的方向不變，得6x﹣5x＜5x﹣5x﹣3，即x＜﹣3；（3）根據(jù)不等式性質(zhì)2，不等式兩邊同乘以5，不等號(hào)的方向不變，得x＜2.【變式3-1】(2023秋?郴州校級(jí)月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【解題思路】（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可得答案．【解答過程】解：（1）2x＞3﹣5，2x＞﹣2，x＞﹣1；（2）﹣6x+6＜0，﹣6x＜﹣6，x＞1．【變式3-2】(2023秋?濱江區(qū)期末）不等式（a﹣2）x＞b的解集是x＜ba?2，求【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)3，可得答案．【解答過程】解：由不等式（a﹣2）x＞b的解集是x＜ba﹣2＜0．解得a＜2．【變式3-3】(2023春?九江期中）用“＞”或“＜”填空：（1）如果x﹣2＜3，那么x＜5；（2）如果?23x＜﹣1，那么x＞（3）如果15x＞﹣2，那么x＞﹣10；（4）如果﹣x＞1，那么x＜（5）若ax＞b，ac2＜0，則x＜ba【解題思路】不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．（1）不等式的兩邊同時(shí)加上2，得到：x＜5；（2）兩邊同時(shí)除以?23，得到：x＞23；（3）兩邊同時(shí)乘以5得：x＞﹣10；（4）兩邊同時(shí)乘以﹣1得：x＜﹣1；（5）因?yàn)閍c2＜0，c2＞0一定成立，因而有a＜0；根據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，所得到的不等式仍成立；不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，必須把不等號(hào)的方向改變．a(chǎn)x＞b的左右兩邊同時(shí)除以負(fù)數(shù)a【解答過程】解：（1）如果x﹣2＜3，那么x＜5；（2）如果?23x＜﹣1，那么x（3）如果15x＞﹣2，那么x（4）如果﹣x＞1，那么x＜﹣1；（5）若ax＞b，ac2＜0，則x＜b【題型4利用不等式性質(zhì)證明（不）等式】【例4】(2023春?濉溪縣期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求證：（1）a＞c；（2）﹣2＜b【解題思路】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)可得3a+2b+c＝（a+b+c）2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；（2）由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性質(zhì)可得b＜﹣a，再根據(jù)2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，結(jié)合不等式的性質(zhì)解答即可．【解答過程】證明：（1）∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，又∵b＝﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0，∴a＞c；（2）∵b＝﹣a﹣c，c＞0，∴b＜﹣a，又∵2a+b＞0，∴﹣2a＜b，∴﹣2a＜b＜﹣a，又∵a＞c＞0，∴﹣2＜b【變式4-1】(2023秋?濱江區(qū)期末）求證：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．【解題思路】根據(jù)不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，不等式的兩邊都加同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，可得答案．【解答過程】證明：∵a＞b，c＞0，∴﹣ac＜﹣bc．f﹣ac＜f﹣bc．∵e＞f，∴e﹣bc＞f﹣bc．∴f﹣ac＜e﹣bc．【變式4-2】(2023?利州區(qū)模擬）(2023春?泗水縣期末）請(qǐng)類比不等式性質(zhì)：不等式的兩邊加（或減）同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變．完成下列填空：已知用“＜”或“＞”填空5＞32＞15+2＞3+1?3＞?5?1＞?2﹣3﹣1＞﹣5﹣21＜4?2＜11﹣2＜4+1一般地，如果a＞bc＞d，那么a+c＞b+d你能應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明上述關(guān)系式嗎？【解題思路】根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則完成表格的填寫；根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明．【解答過程】解：∵7＞4，﹣4＞﹣7，﹣1＜5，∴5+2＞3+1；﹣3﹣1＞﹣5﹣2，1﹣2＜4+1，故答案是：＞；＞；＜；證明：∵a＞b，∴a+c＞b+c，又∵c＞d，∴b+c＞b+d，∴a+c＞b+d．【變式4-3】(2023?余姚市校級(jí)自主招生）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求證：a+b+c＝0．【解題思路】此題可以根據(jù)絕對(duì)值的意義結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行分析．【解答過程】證明：∵|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|∴a2≥（b+c）2，b2≥（c+a）2，c2≥（a+b）2∴a2+b2+c2≥（b+c）2+（c+a）2+（a+b）2＝2（a2+b2+c2）+2ab+2bc+2ca∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0∴（a+b+c）2≤0，而（a+b+c）2≥0∴a+b+c＝0．【題型5利用不等式性質(zhì)求取值范圍或最值】【例5】(2023春?海淀區(qū)校級(jí)期末）閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍．解：∵x﹣y＝2．∴x＝y(tǒng)+2，又∵x＞1，∴y+2＞1．∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．①∴﹣1+2＜y+2＜0+2．即1＜x＜2．②①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2．∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．請(qǐng)按照上述方法，完成下列問題：（1）已知x﹣y＝3，且x＞﹣1，y＜0，則x的取值范圍是﹣1＜x＜3；x+y的取值范圍是﹣5＜x+y＜3；（2）已知x﹣y＝a，且x＜﹣b，y＞2b，若根據(jù)上述做法得到3x﹣y的取值范圍是﹣5＜3x﹣y＜5，求a、b的值．【解題思路】（1）根據(jù)閱讀材料所給的解題過程，直接套用解答即可；（2）根據(jù)題意求得a+b＜﹣y＜﹣2b，a+2b＜x＜﹣b，然后利用不等式的性質(zhì)求解3x﹣y的取值范圍，從而得到關(guān)于a，b的方程求解．【解答過程】解：（1）∵x﹣y＝3，∴x＝y(tǒng)+3，又∵x＞﹣1，∴y+3＞﹣1，∴y＞﹣4．又∵y＜0，∴﹣4＜y＜0，①∴﹣1＜y+3＜3即﹣1＜x＜3，②由①+②得﹣1﹣4＜y+x＜0+3∴x+y的取值范圍是﹣5＜x+y＜3；故答案為：﹣1＜x＜3，﹣5＜x+y＜3；（2）∵x﹣y＝a，∴x＝y(tǒng)+a，又∵x＜﹣b，∴y+a＜﹣b，∴y＜﹣a﹣b，又∵y＞2b，當(dāng)﹣a﹣b＞2b，即a＜﹣3b時(shí)，∴2b＜y＜﹣a﹣b，∴a+b＜﹣y＜﹣2b，①a+2b＜y+a＜﹣b，即a+2b＜x＜﹣b，②由3×②+①得3a+6b+a+b＜3x﹣y＜﹣3b﹣2b，即4a+7b＜3x﹣y＜﹣5b，∵3x﹣y的取值范圍是﹣5＜3x﹣y＜5，∴?5b=54a+7b=?5∴a=1【變式5-1】(2023?杭州）若a+b＝﹣2，且a≥2b，則（）A．ba有最小值12 B．bC．a(chǎn)b有最大值2 D．a(chǎn)b【解題思路】由已知條件，根據(jù)不等式的性質(zhì)求得b≤?23＜0和a≥?43；然后根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求得ab≤2和當(dāng)a＞0時(shí)，【解答過程】解：∵a+b＝﹣2，∴a＝﹣b﹣2，b＝﹣2﹣a，又∵a≥2b，∴﹣b﹣2≥2b，a≥﹣4﹣2a，移項(xiàng)，得﹣3b≥2，3a≥﹣4，解得，b≤?23＜0（不等式的兩邊同時(shí)除以﹣3，不等號(hào)的方向發(fā)生改變），由a≥2b，得ab≤2（不等式的兩邊同時(shí)除以負(fù)數(shù)A、當(dāng)a＞0時(shí)，ba＜0，即baB、當(dāng)?43≤a＜0時(shí)，ba≥C、abD、ab故選：C．【變式5-2】(2023?利州區(qū)模擬）(2023春?十堰期末）已知a，b，c為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足a+b+c=302a+3b+4c=100，令W＝3a+2b+5c，則WA．90 B．130 C．150 D．180【解題思路】將方程組兩個(gè)方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整體替換可得W＝130﹣2b，再由b的取值范圍即可求解．【解答過程】解：a+b+c=30①2a+3b+4c=100②①+②，得3a+4b+5c＝130，∴W＝3a+2b+5c＝2b+130﹣4b＝130﹣2b，∵b是非負(fù)實(shí)數(shù)，∴b≥0，∴W＝130﹣2b的最大值為130，故選：B．【變式5-3】(2023春?唐河縣期中）【提出問題】已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍．【分析問題】先根據(jù)已知條件用一個(gè)量如y取表示另一個(gè)量如x，然后根據(jù)題中已知量x的取值范圍，構(gòu)建另一量y的不等式，從而確定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍，最后利用不等式性質(zhì)即可獲解．【解決問題】解：∵x﹣y＝2，∴x＝y(tǒng)+2．又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．【嘗試應(yīng)用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范圍．【解題思路】先根據(jù)已知條件用一個(gè)量如y取表示另一個(gè)量如x，然后根據(jù)題中已知量x的取值范圍，構(gòu)建另一量y的不等式，從而確定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍，最后利用不等式性質(zhì)即可獲解．【解答過程】解：∵x﹣y＝﹣3，∴x＝y(tǒng)﹣3．又∵x＜﹣1，∴y﹣3＜﹣1，∴y＜2．又∵y＞1，∴1＜y＜2，…①同理得﹣2＜x＜﹣1…②由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1．∴x+y的取值范圍是﹣1＜x+y＜1．【題型6不等關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用】【例6】(2023春?博野縣期末）5名學(xué)生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設(shè)前三名的平均身高為a米，后兩名的平均身高為b米．又前兩名的平均身高為c米，后三名的平均身高為d米，則（）A．a(chǎn)+b2＞c+d2 B．c+d2【解題思路】根據(jù)已知得出3a+2b＝2c+3d，推出2a+2b＜2c+2d，求出a+b＜c+d，兩邊都除以2即可得出答案．【解答過程】解：∵3a+2b＝2c+3d，∵a＞d，∴2a+2b＜2c+2d，∴a+b＜c+d，∴a+b2即c+d2故選：B．【變式6-1】(