廣西南寧二中柳鐵一中高三9月聯(lián)考數(shù)學(xué)文科試題

柳鐵一中、南寧二中2021屆高三9月聯(lián)考試卷文科數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)位置上.2.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答，寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由一元二次不等式的解法求集合B，再運(yùn)用集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】由，又所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量求模長公式，化簡后直接求值即可得解.【詳解】法一：，∴.法二：，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模長公式，考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.若，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】形式不同，故采取中間量法比較大小，分別和0，1進(jìn)行比較即可得解.【詳解】，，∵，∴，∴故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了指、對(duì)數(shù)的大小的比較，考查了中間量法比較大小，是指、對(duì)數(shù)的簡單的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4.是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出等比數(shù)列的公比，再由可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知圓,直線,則A.與相離 B.與相交 C.與相切 D.以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能【答案】B【解析】【分析】首先求得恒過的定點(diǎn)，可判斷出定點(diǎn)在圓內(nèi)，從而得到直線與圓相交.【詳解】由方程可知，直線恒過定點(diǎn)：又為圓內(nèi)部的點(diǎn)與相交本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是確定直線恒過的定點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)得到結(jié)果.6.已知向量，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由知，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)向量，設(shè)，由得，根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上最大和最小距離的求法，即可得解.【詳解】由知，建立直角坐標(biāo)系，向量，設(shè)，由得，而，利用點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大最小值分別為2，0.所以的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的取值范圍，考查了向量模的幾何意義，關(guān)鍵點(diǎn)是和圓進(jìn)行結(jié)合，根據(jù)圓的定義找到自由向量的幾何特征，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.7.某幾何體的三視圖如圖，則幾何體的體積為A.8π﹣16 B.8π+16 C.16π﹣8 D.8π+8【答案】A【解析】根據(jù)三視圖恢復(fù)原幾何體為兩個(gè)底面為弓形的柱體，底面積為一個(gè)半圓割去一個(gè)等腰直角三角形，其面積為，高為4，所以柱體體積為.選A【點(diǎn)睛】由于正視圖和側(cè)視圖均為矩形，所以原幾何體為柱體，底面為兩個(gè)弓形，所以原幾何體是由圓柱截得的，三視圖問題是近些年高考必考題，根據(jù)三視圖恢復(fù)原幾何體，數(shù)據(jù)要根據(jù)“長對(duì)正、高平齊，寬相等”的原則，標(biāo)清幾何體中線段的長度，利用面積或體積公式計(jì)算.8.某程序框圖如圖所示，若輸出，則圖中執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的程序框圖，結(jié)合判斷條件，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，若，此時(shí)輸出，不符合題意；對(duì)于B中，若，此時(shí)輸出，不符合題意；對(duì)于C中，若，此時(shí)輸出，符合題意；對(duì)于D中，若，此時(shí)輸出，不符合題意.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的計(jì)算與輸出，其中解答中根據(jù)給定的程序框圖，理解程序框圖的計(jì)算功能與方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.9.《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為步和步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知：直角三角向斜邊長為17，由等面積，可得內(nèi)切圓的半徑為：落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率為，故落在圓外的概率為10.已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由函數(shù)為R上的奇函數(shù)求出當(dāng)時(shí)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，即，則，所以，即，且當(dāng)時(shí)，，即切點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以切線的方程為，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性求解析式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.11.已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.的最大值為 D.既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)【答案】C【解析】試題分析：對(duì)于選項(xiàng)，只需考慮即可，而，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，只需考慮否成立即可，而，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，，故是奇函數(shù)，有，故周期是，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，，令，則，求導(dǎo)，令解得，故在上單增，在與上單減，又當(dāng)時(shí)；又當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)誤.考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、奇偶性；2.函數(shù)的最值求解.12.若函數(shù)在其定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得該函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，若，則；若，則.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由于函數(shù)在其定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得；（2）當(dāng)時(shí)，令，可得，.①若，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒成立，所以，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②若，即當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得.此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則有或，若，則，舍去；若，令，令，其中..當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，則方程無解；③若，即當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則有或，若，則，舍去；若，令，令，其中.，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，此時(shí)方程無解.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值是解答的關(guān)鍵，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題.每小題5分，共20分.13.若x，y滿足約束條件，則的最大值為_______.【答案】4【解析】【分析】本題考查了線性規(guī)劃求最值問題，先畫出可行域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，在圖像中即可得解.【詳解】如圖，陰影部分為可行域，根據(jù)的幾何意義，可知在處取得最大值，，故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃，關(guān)鍵點(diǎn)是結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，有截距、斜率、距離等幾何意義，本題可視作和橫截距有關(guān)，屬于基礎(chǔ)題.14.已知等差數(shù)列中前n項(xiàng)和為，且，，則________.【答案】70【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式建立方程組，即可求出，，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，所以，，則.故答案為：70.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓C上的一點(diǎn)，且，與y軸交于點(diǎn)B，則________.【答案】【解析】【分析】由條件可知，是橢圓通徑的一半，根據(jù)通徑計(jì)算公式可得其長度，是三角形的中位線，即可得到的長度是長度的一半.【詳解】因?yàn)?所以的長度是橢圓通徑的一半，即，因?yàn)椋允侨切蔚闹形痪€，即；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓通徑的計(jì)算和三角形中位線性質(zhì)的應(yīng)用，屬于簡單題，解題中需要注意的是長是通徑的一半長度.16.已知球的直徑，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，若，，則棱錐的表面積為___________.【答案】16【解析】【分析】設(shè)球心為，連結(jié)，，由是球的直徑，得到，證明平面，利用題中條件求得各邊長，利用三角形的面積公式求得各個(gè)面的面積，之后作和求得表面積..【詳解】∵，且為直徑，∴與均為等腰直角三角形.∴，.又，∴面.中，，，∴，同理，∵，∴棱錐的表面積為16.故答案為：16.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有球內(nèi)接棱錐，棱錐的表面積的求解，屬于簡單題目.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若，AD為BC邊上的中線，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求AD的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理及可得，從而得到；（2）在中，利用余弦定可得，，而，故當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)，，在中，再利用余弦定理即可解決.【詳解】（1）由正弦定理及已知得，結(jié)合，得，因?yàn)?，所以，由，?（2）在中，由余弦定得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí).在中，由余弦定理得.即.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.18.若養(yǎng)殖場每個(gè)月生豬的死亡率不超過，則該養(yǎng)殖場考核為合格，該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個(gè)月中任意選取3個(gè)月，求恰好有2個(gè)月考核獲得合格的概率；（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤y（十萬元）關(guān)于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預(yù)計(jì)在今后的養(yǎng)殖中，月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關(guān)系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只，試估計(jì)：該月利潤約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式如下：，參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）；（2）；（3）利潤約為111.2萬元.【解析】【分析】（1）首先列出基本事件，然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個(gè)月合格的概率；（2）首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤.【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個(gè)月份任意選取3個(gè)月份的基本事件有，，，，，，，，，，共計(jì)10個(gè)，故恰好有兩個(gè)月考核合格的概率為；（2），，，，故；（3）當(dāng)千只，（十萬元）（萬元），故9月份的利潤約為111.2萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn)，將沿折到的位置，．（1）求證：平面平面；（2）若為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）在矩形中，由題意可得，結(jié)合，可得平面，再由面面垂直的判定可得面面；（2）在矩形中，求得，然后利用等積法求得三棱錐的體積.試題解析：（1）由題知，在矩形中，，，又，面，面面；（2）.20.已知函數(shù)，，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，分，討論，解不等式可得單調(diào)區(qū)間；（2）將關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，極值與最值，以及特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，通過零點(diǎn)存在性定理即可得出.【詳解】解：（1）由已知，則，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令得，，令得，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜合得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）關(guān)于x的方程，即有實(shí)根，即函數(shù)存在零點(diǎn)，又，和（1）中的一樣，則由（1）可得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，而，所以函數(shù)存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極小值，也是最小值，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，注意到，所以函數(shù)存在零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力與分析能力，關(guān)鍵是取合適的的值來判斷零點(diǎn)的存在性，是一道難度較大的題目.21.已知?jiǎng)訄AQ經(jīng)過定點(diǎn)，且與定直線相切（其中a為常數(shù)，且）.記動(dòng)圓圓心Q的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作曲線C的切線，切點(diǎn)為A，若過點(diǎn)P的直線m與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，證明：.【答案】（1），它是以F為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意得，化簡即得解；（2）不妨設(shè)，先證明軸，再利用韋達(dá)定理證明即得解.【詳解】（1）設(shè)，由題意得，化簡得，所以動(dòng)圓圓心Q的軌跡方程為，它是以F為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線.（2）不妨設(shè).因?yàn)椋?，從而直線的斜率為，解得，即，又，所以軸.要使，只需.設(shè)直線m的方程為，代入并整理，得.所以，解得或.設(shè)，，則，..故存在直線m，使得，此時(shí)直線m的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題號(hào)后的方框涂黑.【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參