3.2.1 單調(diào)性與最大（小）值（九大題型）（解析版）

3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲怠绢}型歸納目錄】題型一：單調(diào)性的概念題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系題型七：求函數(shù)的最值題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題【知識點梳理】知識點一、函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．知識點詮釋：（1）屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；（2）任意兩個自變量且；（3）都有；（4）圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．上升趨勢下降趨勢2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．知識點詮釋：①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系----單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；②單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；③不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；④有的函數(shù)不具有單調(diào)性；⑤遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大．3、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號．判斷差的正負或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進行判斷．（2）圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．5、單調(diào)性定義的等價形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若兩個基本初等函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)．知識點詮釋：（1）單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)；（2）要確定內(nèi)層函數(shù)的值域，否則就無法確定的單調(diào)性．（3）若，且在定義域上是增函數(shù)，則都是增函數(shù)．7、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．8、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實際上將含參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為恒成立問題，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問題．知識點二、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1、正比例函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2、一次函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3、反比例函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間．4、二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識點三、函數(shù)的最大（小）值1、最大值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對應(yīng)圖像中的最高點，最小值對應(yīng)圖像中的最低點，它們不一定只有一個．【典型例題】題型一：單調(diào)性的概念例1．（2023·北京東城·高一校考期中）如果函數(shù)在上是增函數(shù)，對于任意的，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A項，因為在上是增函數(shù)，所以對于任意的，（），當(dāng)時，，所以，，所以，當(dāng)時，，所以，，所以，綜述：，故A項正確；對于B項，因為在上是增函數(shù)，所以對于任意的，（），當(dāng)時，，所以，，所以，當(dāng)時，，所以，，所以，綜述：，故B項不成立；對于C項、D項，由于，的大小關(guān)系不確定，所以與的大小關(guān)系不確定，故C項不成立，D項不成立.故選：A.例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，對任意，且，都有，則下列說法正確的是（

）A．是增函數(shù) B．是減函數(shù)C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)【答案】A【解析】不妨令，，令，，又，∴是增函數(shù)．故選:A.例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．函數(shù)在上是增函數(shù) B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性相同 D．函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性相同【答案】C【解析】對于A：定義域為，由二次函數(shù)的圖像可知，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，故A錯誤；對于B：的定義域為，由反比例函數(shù)的圖像可知，在和上是減函數(shù)，故B錯誤；對于C：在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，，當(dāng)時，，易知為增函數(shù)，當(dāng)時，，易知為減函數(shù)，所以函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性相同，故C正確；對于D：定義域為，由反比例函數(shù)的圖像可知，在和上是減函數(shù)；設(shè)定義域為，取，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞減，同理可證，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D錯誤，故選：C．變式1．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上（

）A．一定是增函數(shù) B．沒有單調(diào)性C．不可能是減函數(shù) D．存在減區(qū)間【答案】C【解析】因為函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，對于A，符合條件的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間上不是增函數(shù)，，但，故A錯誤；對于B，符合條件的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間和上連續(xù)，此時在區(qū)間上是增函數(shù)，故B錯誤；對于CD，函數(shù)在區(qū)間和上不論是否連續(xù)，都不可能是減函數(shù)，所以不存在減區(qū)間，故C正確，D錯誤；故選：C變式2．（2023·高一單元測試）已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)【答案】C【解析】對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，等價于對于任意兩個不相等的實數(shù)，總有.所以函數(shù)一定是增函數(shù).故選：C變式3．（2023·高一課時練習(xí)）若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增【答案】A【解析】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當(dāng)a<b時，f(a)<f(b)，或當(dāng)a>b時，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).故選：A.變式4．（2023·上海金山·高一上海市金山中學(xué)校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A，在是增函數(shù)，正確；對于B，在是減函數(shù)，錯誤；對于C，在是減函數(shù)，錯誤；對于D，在上沒有意義，錯誤；故選：A【方法技巧與總結(jié)】單調(diào)性定義的等價形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明例4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減；理由如下：取，規(guī)定，則，因為，，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【解析】任取，且，則，因為，且，所以，所以，即，所以在上是增函數(shù).例6．（2023·北京·高一北理工附中?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖像經(jīng)過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明．【解析】（1）由題意知函數(shù)的圖像經(jīng)過點，故，解得，故；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減；證明：設(shè)，且，則，因為，故，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.變式5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）討論函數(shù)，在上的單調(diào)性【解析】∵函數(shù)=∴任取，且，則=-=，∴當(dāng)，即時，，即，是減函數(shù)；當(dāng)，即時，，即，是增函數(shù).變式6．（2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）英國著名物理學(xué)家牛頓曾研究過函數(shù)的圖象，其形恰如希臘神話中海神波塞冬的武器——三叉戟，因此的圖象又稱為牛頓三叉戟曲線．(1)證明：在上為減函數(shù)；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）取，且，則．因為，所以，所以，又，所以，所以，即，故在上為減函數(shù)．（2）取，且，當(dāng)時，，所以，即，所以在上為減函數(shù)．當(dāng)時，，所以，即，所以在上為增函數(shù)．所以在上有最小值為．要使時，不等式恒成立，則，解之得，故實數(shù)m的取值范圍為．【方法技巧與總結(jié)】（1）證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；（2）如何比較兩個量的大?。浚ㄗ鞑睿?）如何判斷一個式子的符號？（對差適當(dāng)變形）題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7．（2023·高一課時練習(xí)）如圖為的圖象，則它的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】和【解析】由單調(diào)性定義可得的單調(diào)遞減區(qū)間為和.故答案為：和例8．（2023·高一?？颊n時練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是．【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】，畫出函數(shù)圖象如下：可得單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.例9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【解析】當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；故答案為：變式7．（2023·上海浦東新·高一?？计谀┖瘮?shù)的增區(qū)間為.【答案】【解析】任取，，因為，，當(dāng)時，，，此時，，為增函數(shù)，所以函數(shù)的增區(qū)間為.故答案為：變式8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.【答案】和【解析】，由于函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.故答案為：和變式9．（2023·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【答案】【解析】由函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可得時，單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.變式10．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【解析】令，解得，設(shè)，，外函數(shù)為增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間即為內(nèi)函數(shù)的減區(qū)間，，對稱軸為，其開口向下，故其減區(qū)間為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（1）數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關(guān)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決．關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)滿足（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象是開口向上，且以為對稱軸，若在上單調(diào)遞減，所以，解得：.故選：B.例11．（2023·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學(xué)校考期末）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知是二次函數(shù)，其對稱軸為，開口向上，要使得函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則必須，即，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.例12．（2023·甘肅臨夏·高一校考期末）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的對稱軸為：，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得.故選：B.變式11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：C.變式12．（2023·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┮阎瘮?shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】二次函數(shù)的對稱軸為，因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以有，故選：D變式13．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，由題意可得需滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，而的圖象開口向下，對稱軸為，故且，即，故選：C變式14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的對稱軸為，若在上單調(diào)遞增，則，解得，若在上單調(diào)遞減，則，解得，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）解答分類問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及討論對象的范圍；其次要確定分類標準，即標準統(tǒng)一、不重不漏；再對所分類逐步進行討論，分級進行；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論．（2）分離參數(shù)法，即把分離出來放到不等式的左邊，不等式的右邊是關(guān)于的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題．題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式例13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，，是其圖象上的兩點，則的解集是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知，得，則，在R上單調(diào)遞增，.故選：B.例14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足對任意的，且，都有，若，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對任意的，且，都有，即在上是減函數(shù)，因為，所以在上是減函數(shù)，為奇函數(shù)，可得，，可得，因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，根據(jù)在上單調(diào)遞減可得；當(dāng)時，，根據(jù)在上單調(diào)遞減可得；綜上可知，不等式的解集為.故選：A.例15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義在的函數(shù)滿足：對，，且，成立，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由且，，則兩邊同時除以可得，令，則在單調(diào)遞增，由得且，即解得，故選：D.變式15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在上的增函數(shù)，且，則滿足的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以由，因為是定義在上的增函數(shù)，所以有，故選：A變式16．（2023·浙江嘉興·高一浙江省海鹽高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的定義域為，且對于任意均有成立，若，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意,，不失一般性不妨假設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以,解不等式得,則正實數(shù)的取值范圍為.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解．題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系例16．（2023·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O(shè)函數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】,的對稱軸為的圖像開口向上，在上單調(diào)遞減，,故選:B.例17．（2023·北京·高一北理工附中?？计谥校┮阎c都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】二次函數(shù)的對稱軸為，開口向下，在上單調(diào)遞增，由于，則，又，所以.故選：A.例18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是遞減函數(shù)，且，則有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】是減函數(shù)，，；故選：D.變式17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是函數(shù)的增區(qū)間，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是函數(shù)的增區(qū)間，所以，故A正確；由于無法確定、的取值情況，故無法判斷的符號，故B、C、D錯誤；故選：A變式18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義在R上函數(shù)滿足以下條件：①函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，②對任意，當(dāng)時都有，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)圖像關(guān)于對稱，且對任意，當(dāng)時都有，∴在，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，∴．故選：B．變式19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)，則與的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．不確定【答案】B【解析】因為，又是區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)，所以.故選：B．【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較，數(shù)形結(jié)合．題型七：求函數(shù)的最值例19．（2023·四川眉山·高一?？计谥校θ我?，給定，，記函數(shù)，則的最小值是.【答案】4【解析】由定義可知當(dāng)時，解之得，此時，當(dāng)時，則，解之得或，此時，綜上，易知在上單調(diào)遞減，最小值為4，在取得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，綜上的最小值是4.故答案為：4.例20．（2023·江西撫州·高一臨川一中校聯(lián)考期中）函數(shù)，對任意的，總存在，使得成立，則a的取值范圍為．【答案】【解析】對于，顯然是增函數(shù)，，最小值為；對于，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，，無解；綜上，a的取值范圍是；故答案為：.例21．（2023·云南西雙版納·高一統(tǒng)考期末）已知，對恒成立，則實數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】若，則，令，則，可得，整理得，故原題意等價于，對恒成立，∵在上單調(diào)遞增，則，∴，解得，即實數(shù)的取值范圍.故答案為：.變式20．（2023·江蘇揚州·高一期末）設(shè)函數(shù)．(1)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減；(2)求函數(shù)的值域．【解析】（1）對任意的，，且，∵，∴，∴，即：∴函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）∴的定義域為，令，則，①當(dāng)時，在單調(diào)遞減，又∵，所以的值域為；②當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，又∵，所以的值域為；③當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以的值域為．所以，綜上可得：當(dāng)時，的值域為；當(dāng)時，的值域為．變式21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求關(guān)于的二次函數(shù)在上的最小值．【解析】二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)時，.當(dāng)時，二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.綜上所述，.變式22．（2023·云南怒江·高一?？计谥校┮阎?1)函數(shù)的值域；(2)用定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【解析】（1）由題意，函數(shù)，因為，所以，所以的值域為．（2）任取，，且，則，，，，，即，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．（3）由知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，．變式23．（2023·福建福州·高一閩侯縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)判斷并用定義證明在上的單調(diào)性；(2)若在上的最大值為m，且（，），求的最小值．【解析】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減證明：設(shè)，是區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，且，則因為，且，所以，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知在上的，所以，所以（，），所以，因為，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且（，），即，時等號成立，所以的最小值為3．變式24．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，求的值域．【解析】任取，則，由于，所以，可得，即所以在上單調(diào)遞增，無最小值，且趨近于0時，趨近于；當(dāng)時取得最大值1.所以的值域為．變式25．（2023·高一課時練習(xí)）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值【解析】任取且，則，，因為，所以.又，所以，所以函數(shù)在上是減函數(shù)．所以在區(qū)間上的最小值是，最大值是.變式26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)用定義法證明：在上單調(diào)遞增；(3)求在上的最大值與最小值.【解析】（1）由得：，的定義域為.（2）設(shè)，，，，，在上單調(diào)遞增.（3）由（2）知：在上單調(diào)遞增，，.【方法技巧與總結(jié)】（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明例22．（2023·河北邯鄲·高一?？计谀┮阎x在上的函數(shù)滿足：①對任意的，都有；②當(dāng)且僅當(dāng)時，成立．(1)求；(2)用定義證明的單調(diào)性；【解析】（1）令，則由題意可得，（2）任取且，即，由題意可得，而當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞減.例23．（2023·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）①，.當(dāng)時，；②，.當(dāng)時，；③，.對，，當(dāng)時，.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答此題.問題：對任意，均滿足___________.(1)判斷的單調(diào)性；(2)求不等式的解集.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【解析】（1）若選①：設(shè)，且，則，所以.由得，所以，所以，所以在上是增函數(shù).若選②：設(shè)，且.則，所以.由得，所以，所以，所以在上是增函數(shù).若選③：設(shè)，且，則，所以.由得，，又，所以>，所以函數(shù)為上的增函數(shù).（2）選①，由得，所以可化為，根據(jù)的單調(diào)性，得，解得，所以不等式的解集為.若選②，令，則，所以可化為，根據(jù)的單調(diào)性，得，解得，所以不等式的解集為.若選③，由得，，所以可化為，根據(jù)的單調(diào)性，得，解得，所以不等式的解集為.例24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知的定義域為，對任意都有，當(dāng)時，(1)求；(2)證明:在上是減函數(shù)；(3)解不等式:.【解析】（1）根據(jù),令，得，解得，再令，則有，解得.（2）設(shè)，則，所以，即，因為所以，所以，即都有，所以在上單調(diào)遞減.（3）由題可知，所以，所以由得，即，即，又因為，所以，由（2）知在上單調(diào)遞減，所以，即即，解得.所以，解集為.變式27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)對任意的，都有，且當(dāng)時，．(1)求證：是上的增函數(shù)；(2)若，解不等式．【解析】（1）設(shè)，且，則，即，所以，所以，所以是上的增函數(shù)．（2）因為，所以．在上式中取，則有，因為，所以．于是不等式等價于．又由（1）知是上的增函數(shù)，所以，解得或，所以原不等式的解集為．變式28．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，滿足，時，對任意正實數(shù)x，y，都有．(1)求的值；(2)證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；(3)求不等式的解集．【解析】（1）因為對任意正實數(shù)x，y，都有，所以，即，因為，所以.（2）由得，任取，且，則，，即，所以函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）由（1）知，，因為，所以，即，由（2）知，函數(shù)在上是增函數(shù)；所以，解得，故不等式的解集為.變式29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)是定義在上的函數(shù)，滿足下列條件：①；②；③任意，有．(1)求的值；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)解不等式．【解析】（1）任意，有，當(dāng)，有，當(dāng)，有，，（2）結(jié)論：在區(qū)間上是減函數(shù)．證明：任取，設(shè)，則，任意，有，當(dāng)，有，．，在區(qū)間上是減函數(shù)．（3），設(shè)，由（2）可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，又，可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，．不等式的解集為．變式30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)，滿足當(dāng)時，，且對任意，有．(1)求；(2)求證：對任意，都有；(3)解不等式；(4)解方程．【解析】（1）因為，令，則，即，所以.（2）由題意可知：當(dāng)時，；由（1）可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，因為，令，則，且，所以，即；綜上所述：對任意，都有.（3）對任意，且，令，則，則，因為，則，可得，且，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，又因為，可得，對于不等式，可得，解得，所以不等式的解集為.（4）由（3）可得，令，可得，令，可得，對于方程，即，則，解得或（舍去），又因為在上單調(diào)遞增，且，則，所以方程的解為0.變式31．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高一校考階段練習(xí)）若非零函數(shù)對任意實數(shù)a，b，均有，且當(dāng)時，．(1)求的值．(2)求證：①任意，．②為減函數(shù)．(3)當(dāng)時，解不等式．(4)若，求在上的最大值和最小值．【解析】（1）因為，，所以．（2）①因為，所以．②因為，所以．任取，則，所以．又因為恒成立，所以，所以為減函數(shù)．（3）由，原不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性得：，所以，故不等式的解集為．（4），，，，所以在上的最大值和最小值分別是16，．【方法技巧與總結(jié)】研究抽象函數(shù)的單調(diào)性是依據(jù)定義和題設(shè)來進行論證的．一般地，在高中數(shù)學(xué)中，主要有兩種類型的抽象函數(shù)，一是“”型[即給出所具有的性質(zhì)，如本例，二是“”型．對于型的函數(shù)，只需構(gòu)造，再利用題設(shè)條件將它用與表示出來，然后利用題設(shè)條件確定的范圍，從而確定與的大小關(guān)系；對型的函數(shù)，則只需構(gòu)造即可．題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題例25．（2023·廣東深圳·高一校考期中）已知二次函數(shù)，，的最大值為16；(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值.【解析】（1）由已知函數(shù)是二次函數(shù)，且，∴函數(shù)圖象的對稱軸為，又的最大值為16，設(shè)，又，∴．∴；（2）由（1）知，圖象的對稱軸為，開口朝下，若，則在上是減函數(shù)，最大值；若，即，則在上是增函數(shù)，；若，即，則；綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．例26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）求二次函數(shù)在上的最小值；（2）求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．【解析】（1）∵函數(shù)圖象的對稱軸是，∴當(dāng)時，在上是增函數(shù)，∴.當(dāng)時，在上是減函數(shù)，∴.當(dāng)時，.設(shè)在的最小值為.∴（2）.設(shè)在上的最小值為.當(dāng)時，在上是增函數(shù)，∴；當(dāng)，即時，；當(dāng)即時，在上是減函數(shù)，∴.綜上，.例27．（2023·全國·高一課堂例題）設(shè)是正數(shù)，且函數(shù)在上的最大值為，求的表達式．【解析】，，，對稱軸為直線，將區(qū)間看作是不動的，對稱軸變化，進行如下討論．（1）當(dāng)，即時，解得或．此時．（2）當(dāng)，即時，解得．此時．（3）當(dāng)，即時，．綜上所述，.變式32．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．求的解析式；【解析】當(dāng)，即時，在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)，即時，；當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)，綜上所述，.變式33．（2023·高一單元測試）已知函數(shù)的最小值為.(1)求的解析式；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)，對稱軸為，當(dāng)即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即；當(dāng)即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即；當(dāng)即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故.（2）由（1）知，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，對稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，注意到是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減.由，得，解得，故實數(shù)m的取值范圍為.變式34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的最小值;(2)求的最大值.【解析】（1）由題意可得：，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，最小值；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值；綜上所述：.（2）由（1）可知：當(dāng)時，在單調(diào)遞減，所以的最大值為；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最大值為；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，所以的最大值為；綜上所述：的最大值.變式35．（2023·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值：(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值為，求.【解析】（1）當(dāng)時，，其對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，故函數(shù)在區(qū)間的最大值為，最小值為；（2）對稱軸為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述：.【方法技巧與總結(jié)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題由它的單調(diào)性來確定，而它的單調(diào)性又由二次函數(shù)的開口方向和對稱軸的位置（在區(qū)間上，還是在區(qū)間左邊，還是在區(qū)間右邊）來確定，當(dāng)開口方向和對稱軸的位置不確定時，則需要進行分類討論．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·黑龍江佳木斯·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)與在上都是單調(diào)遞增的，則函數(shù)在上（）A．單調(diào)遞減 B．單調(diào)遞增C．先增后減 D．先減后增【答案】B【解析】因為與在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.故選：B2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的對稱軸是，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則可能單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減，則，即時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增.于是故選：C3．（2023·廣東梅州·高一大埔縣虎山中學(xué)校考開學(xué)考試）對于反比例函數(shù)，如果當(dāng)時有最大值，則當(dāng)時，有（

）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值【答案】A【解析】當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，由題意可知，當(dāng)時，，得，不成立，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，由當(dāng)時有最大值，得時，.，反比例函數(shù)解析式為，當(dāng)時，當(dāng)時，最小值，無最大值.故選：A.4．（2023·安徽蕪湖·高一安徽省無為襄安中學(xué)校考期中）關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．值域是 B．單調(diào)遞增區(qū)間是C．值域是 D．單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】D【解析】因為有意義，所以，解得，即函數(shù)的定義域為，函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯誤，D正確；在上有最大值4，最小值故的值域為，故A、C錯誤.故選：D.5．（2023·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中實數(shù)．若的值域為，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且注意到，，，所以所求a的取值范圍是．故選：D6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由題意函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，需滿足，解得，則推不出，反之，也推不出，故“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件，故選：D7．（2023·河北衡水·高一衡水市第二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)的最小值是－1，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知可得顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，,當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，于題意不符；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，于題意不符；.故選：C.8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義在R上函數(shù)滿足以下條件：①函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，②對任意，當(dāng)時都有，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)圖象關(guān)于對稱，且對任意，當(dāng)時都有，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，∵，∴，∴．故選：B．二、多選題9．（2023·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┮阎瘮?shù)是上的增函數(shù)，則a的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【解析】由題意，函數(shù)的圖象開口朝下，對稱軸為，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，解得.所以實數(shù)的取值可以是，.故選：BC.10．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)，，用表示，中的較大者，記為，則下列說法正確的是（

）A． B．，C．有最大值 D．最小值為0【答案】BD【解析】令，即，解得或，所以可知，所以，故A錯誤；當(dāng)時，，故B正確；由（或）可知，函數(shù)無最大值，故C錯誤；當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以最小值為0，故D正確.故選：BD11．（2023·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，例如．令函數(shù)，以下結(jié)論正確的有（

）A． B．C．的最大值為1，最小值為0 D．與的圖象有2個交點【答案】AB【解析】對于A，由題意得，所以A正確，對于B，，所以B正確，對于C，由選項B可知，是周期為1的周期函數(shù)，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，的值域為，即的最小值為0，無最大值，所以C錯誤，對于D，由選項C可知，且的周期為1，作出與的圖象，由圖象可知與的圖象有無數(shù)個交點，所以D錯誤，故選：AB12．（2023·浙江臺州·高一溫嶺中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)的定義域為A，若對任意，都存在正數(shù)M使得總成立，則稱函數(shù)是定義在A上的“有界函數(shù)”．則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析