4.4 對數(shù)函數(shù)（十三大題型）（解析版）

4．4對數(shù)函數(shù)【題型歸納目錄】題型一：對數(shù)函數(shù)定義的判斷題型二：利用對數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)題型三：求對數(shù)函數(shù)的表達式題型四：對數(shù)型函數(shù)過定點問題題型五：對數(shù)函數(shù)的圖象問題題型六：對數(shù)函數(shù)的定義域題型七：對數(shù)函數(shù)的值域與最值題型八：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應用題型九：比較指數(shù)冪的大小題型十：解對數(shù)型不等式題型十一：判斷對數(shù)函數(shù)的奇偶性題型十二：反函數(shù)題型十三：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用【知識點梳理】知識點一、對數(shù)函數(shù)的概念1、函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)．其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域為．2、判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量．知識點詮釋：（1）只有形如的函數(shù)才叫做對數(shù)函數(shù)，像，，等函數(shù)，它們是由對數(shù)函數(shù)變化得到的，都不是對數(shù)函數(shù)．（2）求對數(shù)函數(shù)的定義域時應注意：①對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于1；②對含有字母的式子要注意分類討論．知識點二、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當時，，當時，當時，，當時，知識點詮釋：關于對數(shù)式的符號問題，既受．．的制約又受的制約，兩種因素交織在一起，應用時經(jīng)常出錯．下面介紹一種簡單記憶方法，供同學們學習時參考．以1為分界點，當，同側(cè)時，；當，異側(cè)時，．知識點三、底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響1、底數(shù)制約著圖象的升降．如圖知識點詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關的問題時，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標系內(nèi)，當時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠離x軸．（見下圖）知識點四、反函數(shù)1、反函數(shù)的定義設分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個函數(shù)（即對任意的一個，都有唯一的與之對應），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習慣上改寫成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因為自變量的取值范圍即定義域都是B，對應法則都為．由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．知識點詮釋：并不是每個函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒有反函數(shù)，如．一般說來，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)．2、反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線對稱．（2）若函數(shù)圖象上有一點，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．【典型例題】題型一：對數(shù)函數(shù)定義的判斷例1．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）下列函數(shù)，其中為對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，的真數(shù)不是自變量，它們不是對數(shù)函數(shù)，AB不是；函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，C是；函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)，而的值不能保證是不等于1的正數(shù)，D不是.故選：C例2．（2023·高一?？颊n時練習）下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的有①；②；③；④；⑤.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】①在且的條件下才是對數(shù)函數(shù)，故①不是對數(shù)函數(shù)；②和③符合對數(shù)函數(shù)的定義，是對數(shù)函數(shù)；④中，底數(shù)不是常數(shù)，不是對數(shù)函數(shù)；⑤中系數(shù)不是，不是對數(shù)函數(shù).故選：B.例3．（2023·全國·高一專題練習）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)(且)為對數(shù)函數(shù)，所以ABC均為對數(shù)型復合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對數(shù)函數(shù).故選：D.變式1．（2023·高一單元測試）下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1C．D．y＝log5x【答案】D【解析】A、B、C都不符合對數(shù)函數(shù)的定義，只有D滿足對數(shù)函數(shù)定義．故選：D.變式2．（2023·高一課時練習）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．y＝lnx B．y＝ln(x＋1)C．y＝logxe D．y＝logxx【答案】A【解析】A是對數(shù)函數(shù)，B中真數(shù)是，不是，不是對數(shù)函數(shù)，C中底數(shù)不是常數(shù)，不是對數(shù)函數(shù)，D中底數(shù)不是常數(shù)，不是對數(shù)函數(shù)．故選：A．【方法技巧與總結(jié)】判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量．題型二：利用對數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)例4．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a＝.【答案】1【解析】由題意得，解得或1，又且，所以故答案為：1例5．（2023·北京東城·高一?？计谥校┖瘮?shù)為對數(shù)函數(shù)，則．【答案】4【解析】由題意知，，故答案為：4.例6．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則．【答案】1【解析】因為函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則，解得．故答案為：1.變式3．（2023·高一課時練習）若函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則.【答案】5【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義有，解得，故答案為：5．變式4．（2023·全國·高一專題練習）若函數(shù)f(x)=(a2+a-5)logax是對數(shù)函數(shù)，則a=.【答案】2【解析】因為函數(shù)f(x)=(a2+a-5)logax是對數(shù)函數(shù)，、所以a2+a-5=1得或a=2又a>0且a≠1，所以a=2.故答案為：2變式5．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一校考開學考試）已知對數(shù)函數(shù)，則．【答案】2【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．故答案為．【方法技巧與總結(jié)】的系數(shù)為1題型三：求對數(shù)函數(shù)的表達式例7．（2023·高一課時練習）如果函數(shù)對任意的正實數(shù)a，b，都有，則這樣的函數(shù)可以是（寫出一個即可）【答案】【解析】由題意，函數(shù)對任意的正實數(shù)a，b，都有，可考慮對數(shù)函數(shù)，滿足，故答案為：.例8．（2023·全國·高一專題練習）若對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則此函數(shù)的表達式為.【答案】【解析】設對數(shù)函數(shù)為，，因為對數(shù)函數(shù)的圖象過點，所以，即，解得，所以.故答案為：例9．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）函數(shù)y=f(x)滿足；函數(shù)g(x)滿足，且，，則函數(shù)F(x)的表達式可以是【答案】【解析】因為不妨?。ㄇ遥┯?，所以，所以，所以；又，不妨?。ㄇ遥?，所以，所以，所以，又因為所以故答案為：變式6．（2023·高一課時練習）對數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，則此函數(shù)的解析式．【答案】【解析】由已知條件可得，可得，因為且，所以，.因此，所求函數(shù)解析式為.故答案為：.變式7．（2023·高一課時練習）已知對數(shù)函數(shù)過點，則的解析式為.【答案】【解析】設，結(jié)合已知有，∴，又且，∴，則，故答案為：.變式8．（2023·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則時，．【答案】【解析】時，，是偶函數(shù)，∴，故答案為：．變式9．（2023·甘肅白銀·高一統(tǒng)考開學考試）寫出一個滿足且不是常數(shù)函數(shù)的函數(shù)：．【答案】（答案不唯一）【解析】若，則，故符合題意的函數(shù)可以為.故答案為：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他滿足條件的函數(shù)亦可）.【方法技巧與總結(jié)】待定系數(shù)法題型四：對數(shù)型函數(shù)過定點問題例10．（2023·遼寧營口·高一?？茧A段練習）若函數(shù)，且的圖象過定點，則的坐標為．【答案】【解析】令得，又，所以函數(shù)過定點即的坐標為故答案為：例11．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)（，且）的圖象恒過點．【答案】【解析】令，解得，此時，故（，且）的圖象恒過點.故答案為：例12．（2023·高一課時練習）函數(shù)的圖象過定點．【答案】【解析】∵令，則，，∴該函數(shù)過定點．故答案為：變式10．（2023·高一課時練習）函數(shù)（且）恒過定點.【答案】【解析】令得，此時，所以函數(shù)恒過定點.故答案為：.變式11．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的圖象恒過定點，若定點在直線上，其中，則的最小值為.【答案】2【解析】由題意可得定點．又點在直線上，∴，則，當且僅當時取等號．所以的最小值為2.故答案為：2.變式12．（2023·全國·高一專題練習）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（且）的圖象過定點.【答案】【解析】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，所以，，令，可得，且，故函數(shù)的圖象過定點.故答案為：.變式13．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若函數(shù)，且的圖像恒過定點，則點的坐標為．【答案】【解析】令，得.又，所以的圖像經(jīng)過定點.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】令真數(shù)為1求解．題型五：對數(shù)函數(shù)的圖象問題例13．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】的定義域為且，因為，所以為奇函數(shù)，排除A，D，當時，，B錯誤，故選：C.例14．（2023·上海·高一專題練習）函數(shù)與（其中）的圖象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】對于A，因為，故為R上的減函數(shù)，其圖象應下降，A錯誤；對于B，時，為R上的減函數(shù)，為上增函數(shù)，圖象符合題意；對于C，時，為上增函數(shù)，圖象錯誤；對于D，時，為上增函數(shù)，圖象錯誤；故選：B例15．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）如圖（1）（2）（3）（4）中，不屬于函數(shù)，，的一個是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【答案】B【解析】因為，（3）是，（4）是，又與關于軸對稱，（1）是．故選：B．變式14．（2023·全國·高一專題練習）若不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】變形為：，即在上恒成立，若，此時在上單調(diào)遞減，，而當時，，顯然不合題意；當時，畫出兩個函數(shù)的圖像，要想滿足在上恒成立，只需，即，解得：，綜上：實數(shù)a的取值范圍是.故選：C變式15．（2023·云南紅河·高一?？计谥校┤A羅庚是享譽世界的數(shù)學大師，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學問題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象變換向下移動個單位，可得函數(shù)的圖象只有選項C符合.故選：C.變式16．（2023·重慶云陽·高一重慶市云陽高級中學校校考階段練習）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖象知最上方的圖象是的圖象，過點的是的圖象，過點的是的圖象，因此，，，，，，即，故選：C．變式17．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)（為常數(shù)，其中）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)圖象可知函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合可知，當時，，當時，，故，故選：D【方法技巧與總結(jié)】“數(shù)”是數(shù)學的特征，它精確、量化，最有說服力；而“形”則形象、直觀，能簡化思維過程，降低題目的難度，簡化解題過程，把它們的優(yōu)點集中在一起就是最佳組合．利用圖形的形象直觀快速地得到答案，簡化了解題過程．正因為如此，數(shù)形結(jié)合成為中學數(shù)學的四個最基本的數(shù)學思想方法之一，因此我們必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運用它來分析和解決問題．在涉及方程與不等式的問題時，往往構(gòu)造兩個函數(shù)與，則=的實數(shù)解等價于兩個函數(shù)與的圖象的交點的橫坐標；而的的解等價于函數(shù)的圖象在的圖象下方的點的橫坐標的取值范圍．利用圖象的形象性、直觀性，可使問題得到順利地解決，而且分散了問題解決的難度、簡化了思維過程．因此，我們要善于用數(shù)形結(jié)合的方法來解決方程與不等式的問題．題型六：對數(shù)函數(shù)的定義域例16．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】由題意可得，解得，即函數(shù)的定義域是.故答案為：例17．（2023·全國·高一專題練習）若函數(shù)f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】(-2,2)【解析】由題意得在R上恒成立，所以，解得.故答案為：.例18．（2023·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】由題意得，，解得，即函數(shù)定義域為，故答案為：．變式18．（2023·貴州銅仁·高一貴州省松桃民族中學校考階段練習）已知函數(shù)，，且.(1)求的值；(2)求的定義域；【解析】（1）因為，所以，又因為，即，所以.（2）由（1）知，，若使有意義，只須，解得或，所以函數(shù)的定義域為.變式19．（2023·貴州畢節(jié)·高一?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)若的定義域為R，求a的取值范圍；(2)若，求a.【解析】（1）因為若的定義域為R，所以對恒成立，所以，得，即a的取值范圍為（2）由題意得，，，則，得，所以，得，解得或（舍）所以.變式20．（2023·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)若的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若的定義域為，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）∵的定義域為∴對恒成立，當時，對不恒成立，故舍去．當時，．綜上所述：的取值范圍為（2）設，∵的定義域為，∴在上恒成立，當時，在［1,2]恒成立，當時，開口向上，對稱軸，在單調(diào)遞增，∴恒成立∴滿足題意．當時，開口向下，在恒成立，則，，∵恒成立，∴解得，，∵恒成立，∴解得，綜上所述：的取值范圍為.變式21．（2023·河南洛陽·高一孟津縣第一高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)若的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；(2)若的值域為，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題意得，對一切恒成立，當時，其充要條件是即∴或∴又時，，滿足題意.綜上：的取值范圍為（2）當時，得或，檢驗得滿足.當時，若的值域為.須滿足即綜上所述的取值范圍為：.【方法技巧與總結(jié)】與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的定義域：求定義域時，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1．若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時需要保證各個方面都有意義．一般地，判斷類似于的定義域時，應首先保證．題型七：對數(shù)函數(shù)的值域與最值例19．（2023·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若的定義域為，求a的取值范圍；(2)若的值域為，求a的取值范圍：(3)若，求的值域：【解析】（1）的定義域為等價于恒成立，則，解得；（2）的值域為等價于是值域的子集，即存在，使得成立，則，解得；（3）時，，，又是遞增函數(shù)，故，故的值域為.例20．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┖瘮?shù)的定義域為.(1)設，求t的取值范圍；(2)求函數(shù)的最大值與最小值，并求出取最值時對應的x的值【解析】（1）在單調(diào)遞增，故；（2），令，，則函數(shù)變形為，當時，，此時，解得，當時，，此時，解得例21．（2023·云南普洱·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)，，(1)求的取值范圍；(2)求的值域.【解析】（1）因為在上是增函數(shù)，所以；（2）令，則，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以，即的值域為.變式22．（2023·高一課時練習）已知是對數(shù)函數(shù)，并且它的圖像過點，，其中．(1)當時，求在上的最大值與最小值；(2)求在上的最小值．【解析】（1）設（，且），∵的圖像過點，∴，即，∴，即，∴．∵，∴，即．設，則，，∴，又，，∴．∴當時，在上的最大值為3，最小值為．（2）設，則，由（1）知，對稱軸為直線．①當時，在上是增函數(shù)．；②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，；③當時，在上單調(diào)遞減，．綜上所述，．變式23．（2023·全國·高一隨堂練習）已知，，求的最大值及相應的．【解析】，，函數(shù)的定義域滿足，即設，，由在區(qū)間上是增函數(shù)，．從而要求在區(qū)間上的最大值，只需求在區(qū)間上的最大值即可．在上是增函數(shù)，所以當，即時，．綜上可知，當時，的最大值為.變式24．（2023·遼寧鞍山·高一校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，.(1)求實數(shù)的值；(2)，.求的最小值、最大值及對應的的值.【解析】（1）因為，則，所以.（2）由題設，，令且，故，則，當時；此時，當時；此時.變式25．（2023·廣東深圳·高一深圳大學附屬中學?？计谀┮阎瘮?shù).(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【解析】（1），故，，所以，解得；（2）令，當時，，故，由于在上單調(diào)遞增，故，由復合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，故.變式26．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)且．(1)當時，求的單調(diào)增區(qū)間；(2)是否存在，，使在區(qū)間上的值域是？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，試說明理由．【解析】（1）時，，由解得或，所以的定義域為，函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知：的增區(qū)間為（2）令，則在上單調(diào)遞減，當,且在區(qū)間上的值域是，即在區(qū)間上的值域是故必須，即,是的在上的兩個不等實根.而與在上只有一個交點，不符合（舍）.當，且在區(qū)間上的值域是，即在區(qū)間上的值域是故必須，即，得，得，代入得：，同理，令，則在有兩個零點，即，，，解得.變式27．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)（且）.(1)求函數(shù)的定義域；(2)若，求函數(shù)的值域；(3)是否存在實數(shù)a，b，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，若存在，求a，b的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由，解得的定義域為.（2）當時，，.因為的定義域是，所以，所以，，所以，所以，的值域是.（3）因為函數(shù)在上的值域為，又，且，由的定義域得，所以.①當時，因為在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以，所以無解.（或者因為，所以，所以無解），故此時不存在實數(shù)a，b滿足題意.②當時，因為在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即解得或（舍），.綜上，存在實數(shù)，.變式28．（2023·福建泉州·高一?？茧A段練習）設函數(shù)，.(1)求的值；(2)若，求取值范圍；(3)求的最值，并給出最值時對應的的值.【解析】（1）因為所以；（2）因為，所以，又，所以，即；（3）由已知，令，則，當即時，函數(shù)取最小值，最小值為，當，即時，函數(shù)取最大值，最大值為．【方法技巧與總結(jié)】數(shù)形結(jié)合題型八：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應用例22．（2023·全國·高一專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由題設，令，而為增函數(shù)，∴要使在上是增函數(shù)，即在上為增函數(shù)且恒大于零，，可得，∴的取值范圍是.故答案為：例23．（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】【解析】任取且，則，因為，所以，，即，所以在上單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：.例24．（2023·上海·高一專題練習）若函數(shù)是上的嚴格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因為函數(shù)是上的嚴格減函數(shù)，所以，即，解得.故答案為：.變式29．（2023·山東棗莊·高一棗莊市第三中學?？计谥校┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【解析】由題意，函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域為，令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”法則，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：變式30．（2023·福建福州·高一福建省福州屏東中學?？茧A段練習）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【解析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)可知，當時，，又在區(qū)間內(nèi)恒有，所以可得；易知函數(shù)對于恒成立，所以函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：變式31．（2023·全國·高一專題練習）設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是.【答案】【解析】在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，則，又∵在恒成立，則，故，∴，故答案為：變式32．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)在區(qū)間上嚴格遞增，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由題意知，且，令，則其對稱軸為，①當時，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，且在恒成立，則，解得，②當時，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，且在恒成立，則，解得，綜述：或.故答案為：.變式33．（2023·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是.【答案】【解析】令，即單調(diào)遞減，所以，即.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】研究型復合函數(shù)的單調(diào)性，一般用復合法來判定即可．復合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”．研究對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意先研究函數(shù)的定義域，也就是要堅持“定義域優(yōu)先”的原則．題型九：比較指數(shù)冪的大小例25．（2023·全國·高一專題練習）若，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即；；，∴.故選：A.例26．（2023·全國·高一專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意顯然均大于0，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以有，所以，所以，同理可得，又因為在上單調(diào)遞增，所以有，所以，所以，綜上所述：.故選：A.例27．（2023·全國·高一專題練習）已知，，，則x，y，z的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可得，，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，即；又，可得；而，即；綜上可得.故選：C變式34．（2023·全國·高一專題練習）設，則的大小關系為（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，，即，而，所以.故選：A變式35．（2023·全國·高一專題練習）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，所以.故選：A變式36．（2023·全國·高一專題練習）已知，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.在上單調(diào)遞減，所以，由于，所以，所以，綜上所述，.故選：A變式37．（2023·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，故選：C【方法技巧與總結(jié)】比較兩個對數(shù)值的大小的基本方法是：（1）比較同底的兩個對數(shù)值的大小，常利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．（2）比較同真數(shù)的兩個對數(shù)值的大小，常有兩種方法：①先利用對數(shù)換底公式化為同底的對數(shù)，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關系比較大?。虎诶脤?shù)函數(shù)圖象的互相位置關系比較大?。?）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過一個恰當?shù)闹虚g量來比較大?。}型十：解對數(shù)型不等式例28．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，單調(diào)遞減，則不等式的解集為.【答案】或.【解析】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，單調(diào)遞減，所以在上遞增，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以由，得，所以，所以或，所以或，解得或，所以不等式的解集為或.故答案為：或.例29．（2023·全國·高一專題練習）不等式的解集為．【答案】【解析】因為，可得對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則原不等式等價于，解得，即原不等式的解集為.故答案為：.例30．（2023·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習）設函數(shù)，則不等式的解集為【答案】【解析】函數(shù)定義域為，在單調(diào)遞增，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，若，則，則，解得或，即不等式的解集為.故答案為：變式38．（2023·全國·高一專題練習）不等式的解集是.【答案】【解析】易知，由可得；又函數(shù)在為單調(diào)遞減，所以可得，解得.故答案為：變式39．（2023·高一課時練習）若函數(shù)（其中a為常數(shù)，且）滿足，則的解集是.【答案】【解析】∵，∴是減函數(shù)，即，則由可得，解之得.故答案為：.變式40．（2023·北京·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為.【答案】【解析】由題，，，因為在單調(diào)遞增，所以，解集為.故答案為：.變式41．（2023·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象恒過定點，且點又在函數(shù)的圖象上，求不等式的解集【答案】【解析】當時，，所以的圖象恒過點，即，因為點在函數(shù)的圖象上，所以，所以，得，所以，由，得，，所以，得，所以不等式的解集為，故答案為：變式42．（2023·上海松江·高一上海市松江二中?？计谥校┎坏仁降慕饧牵敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意可設，定義域為，由于在都單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，且，故不等式的解集是，故答案為：變式43．（2023·全國·高一專題練習）解關于x的不等式解集為．【答案】【解析】不等式，解，即，有，解得，解，即，化為，有，解得，因此，所以不等式解集為.故答案為：變式44．（2023·高一單元測試）已知函數(shù)，則不等式的解集是．【答案】【解析】當時，，單調(diào)遞減，且；當時，，單調(diào)遞減，且；故可知在上單調(diào)遞減，因此．故答案為：.變式45．（2023·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習）已知函數(shù)，則不等式的解集是.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為.因為在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，又，所以不等式的解集為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解題型十一：判斷對數(shù)函數(shù)的奇偶性例31．（2023·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)的定義域；(2)若函數(shù)是奇函數(shù)，求的值【解析】（1）由題意可知，若，則，則有，解得或，即函數(shù)的定義域為.（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，則有，即，化簡可得，解得，則，當時，，不滿足要求；當時，，也滿足要求；所以.例32．（2023·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）已知為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)判斷的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．【解析】（1）由題意知是奇函數(shù)，得，而，所以，即，即，所以，，可得，當時，無意義；當時，，由可得，合乎題意，因此，．（2）是定義在上的增函數(shù)，證明如下：任取、，且，由（1）知，令，則，由、，且得：，，，所以，所以，，所以，，因此，函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．例33．（2023·山東青島·高一?？计谥校┰O為奇函數(shù)，為常數(shù)．(1)求的值；(2)證明在區(qū)間上單調(diào)遞增．【解析】（1）因為為奇函數(shù)，所以，所以．所以，即，所以或，當時，，此時不成立，故；（2）證明：由（1）可知，令，，，且，則．因為，所以，，，所以，即，所以函數(shù)在上是減函數(shù)．又因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)．變式46．（2023·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)解不等式．【解析】（1）∵當時，當，則，可得，又∵是奇函數(shù)，所以，綜上可得：.（2）對任意的，且，則，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得，故，即，故在上是增函數(shù)，由為奇函數(shù)，則在上也是增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，若，則，又∵是奇函數(shù)，所以，故原不等式等價于，且是上的增函數(shù)，則，解得，故不等式的解集為．變式47．（2023·江蘇·高一?？奸_學考試）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)記，①當時，求的值域（用表示）；②若存在r，s，，使得，求實數(shù)的范圍．【解析】（1）∵是定義在上的偶函數(shù)．∴對任意成立，即對任意成立，即對任意成立，即對任意成立，即對任意成立，所以．（2）①由（1）得當時，令，則，，令，下面證明在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，對任意，且，，∵，，∴，∴在上單調(diào)遞減，同理可證在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴的值域為②由①可知，，，所以，存在實數(shù)r，s，，使得等價于，而若，則或，即或，故當時，，所以，變式48．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）已知函數(shù)的定義域為集合A，集合，且．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：函數(shù)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)．【解析】（1）由＞0得，∴函數(shù)的定義域；又，且，∴，解得，即；（2）∵，∴，，∴函數(shù)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)．變式49．（2023·江西宜春·高一江西省豐城中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)若，求實數(shù)的值；(3)若，求證：為偶函數(shù)，并求的解集.【解析】（1）要使得有意義，只需，得，故得，所以函數(shù)的定義域為；（2）因為，得，即，解得；（3）因為，由，得或，則的定義域為，又，所以為偶函數(shù)；由，得，則，所以或，所以的解集為或.變式50．（2023·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)．(1)求實數(shù)k的值；(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)a的范圍．【解析】（1）由函數(shù)為R上的偶函數(shù)，則，即.即，解得.當時，..則，即為R上的偶函數(shù)；（2）對任意恒成立，即，

令，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.令，則，當且僅當，即時取等號.而函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，

所以，即．變式51．（2023·福建福州·高一福建省福州屏東中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)判定函數(shù)的奇偶性，并加以證明；(2)判定的單調(diào)性（不用證明），并求不等式的解集.【解析】（1）是奇函數(shù)，理由如下：由題意，解得，即的定義域關于原點對稱，且，即，所以是奇函數(shù).（2）由于，所以由復合函數(shù)單調(diào)性可知在定義域上單調(diào)遞增，由（1）可知的定義域為，且是奇函數(shù)，所以，因為在定義域上單調(diào)遞增，所以有，解不等式組得，即，所以不等式的解集為.【方法技巧與總結(jié)】斷函數(shù)奇偶性的步驟是：（1）先求函數(shù)的定義域，如果定義域關于原點對稱，則進行（2），如果定義域不關于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．（2）求，如果，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果，則函數(shù)是奇函數(shù)．題型十二：反函數(shù)例34．（2023·高一課時練習）的反函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系，可得函數(shù)的反函數(shù)為.故選：B.例35．（2023·湖北孝感·高一統(tǒng)考開學考試）已知函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以其反函數(shù)為，即，所以，故選：D.例36．（2023·北京·高一?？计谀┮阎瘮?shù)的圖像與的圖像關于直線對稱，則（

）A． B．10 C．12 D．【答案】C【解析】因為函數(shù)的圖像與的圖像關于直線對稱，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，所以，故選：C.變式52．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)過點，若的反函數(shù)為，則的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)過點，則，解得，∴，的反函數(shù)為，得，由，∴的定義域為，當，有，則的值域為.故選：D變式53．（2023·江西南昌·高一?？茧A段練習）函數(shù)與的圖象關于直線對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由條件求得，利用復合函數(shù)的單調(diào)性同增異減即可得解.由題意可得函數(shù)，則令，求得，故的定義域為，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性同增異減可知，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的減區(qū)間.所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上的減區(qū)間為，故選：B.變式54．（2023·廣東廣州·高一廣州市第八十六中學?？计谀┮阎瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，，則（

）A． B．6 C． D．7【答案】D【解析】由已知，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則．由題設，當時，，則．因為為奇函數(shù)，所以.故選：D．變式55．（2023·北京·高一清華附中?？计谀┮阎呛瘮?shù)的反函數(shù)，則的值為（

）A．0 B．1 C．10 D．100【答案】A【解析】因是函數(shù)的反函數(shù)，則，，所以的值為0.故選：A變式56．（2023·高一課時練習）關于的方程，的根分別為，，則的值為（

）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】，．作出，和的圖象如圖所示．，兩點的橫坐標分別是，，點，關于直線對稱，∴，兩點的中點是．聯(lián)立和，求得點的橫坐標為，∴．故選：A變式57．（2023·高一單元測試）設函數(shù)（），若存在，使得，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為,所以,因為與關于直線對稱,所以,因為,所以,即,則,所以,設,因為在上單調(diào)遞增,所以,因為存在,使得,所以,故選:B【方法技巧與總結(jié)】反函數(shù)的定義域都由原函數(shù)的值域來確定的，特別是當反函數(shù)的定義域與由反函數(shù)解析式有意義所確定的自變量的取值范圍不一致時，一定要注明反函數(shù)的定義域．題型十三：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用例37．（2023·廣東深圳·高一校考階段練習）已知函數(shù).(1)若，求的最大值，并給出函數(shù)取最大值時對應的的值；(2)解不等式.【解析】（1）設，則，對稱軸為，二次函數(shù)圖象開口向上，故當時，即時，.（2）因為，所以，解得或，即或，所以不等式的解集為或.例38．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的定義域，判斷并證明該函數(shù)的單調(diào)性；(2)函數(shù)，若對，都，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)函數(shù)，若對，都存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；【解析】（1）對于函數(shù)，有，即，解得，所以，函數(shù)的定義域為，函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，證明如下：任取、且，即，則，因為，則，則，且，，，，則，所以，，所以，，所以，，所以，函數(shù)在其定義域上為增函數(shù).（2），當時，，則，則，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，故函數(shù)在上的值域為，則，對，都，使得成立，則，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.（3）因為在上單調(diào)遞增，由（2）可知，函數(shù)在上的值域為，因為函數(shù)，若對，都存在，使得成立，則，即，，令，則，可得，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，解得，故實數(shù)的取值范圍是.例39．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)（且）．(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以對定義域內(nèi)每一個元素恒成立．即，則，即．又因為，所以，故．（2）因為，所以．由，得到，又，故只需要，即對任意恒成立．因為，所以，故對任意的恒成立．因為在為減函數(shù)，所以，故．綜上所述，．變式58．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的定義域；(2)當時，求關于的不等式的解集；【解析】（1）當時，，故，解得，故函數(shù)的定義域為；（2），由，得，所以的定義域為，任取，且，則，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以在上的單調(diào)遞增，所以由，得，解得，所以的解集為.變式59．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)解關于x的不等式；(2)若在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍.【解析】（1），由于函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，即，即恒成立，∴.所以不等式為，解得：，所以原不等式的解集是.（2）由題得恒成立，即恒成立，因為，所以，所以恒成立，令，令，則，因為在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故.∴.∵對任意的恒成立，且，∴.∴實數(shù)a的取值范圍是.變式60．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，是偶函數(shù).(1)求的值；(2)若函數(shù)的圖象在直線上方，求的取值范圍；(3)若函數(shù)，，是否存在實數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）∵，所以，即，即，即，即，∴，對任意恒成立，所以，.所以，.（2）函數(shù)的圖象在直線上方，等價于對任意的成立，即.即對任意的成立.令，在上單調(diào)減，而，所以，由此.（3），令，則，.①當，即時，在遞增，從而，舍去；②當，即時，在上遞減，在遞增，從而，則；③，即時，在遞減，從而，則舍去.綜上：.【方法技巧與總結(jié)】如果函數(shù)的定義域為某個區(qū)間，則函數(shù)在這個區(qū)間的任何子集內(nèi)部都有意義；如果函數(shù)在區(qū)間上有意義，而的定義域為，則必有．考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的關系，提問方式靈活．靈活掌握轉(zhuǎn)化的思想，基礎知識扎實是解決此類問題的關鍵．【過關測試】一、單選題1．（2023·廣東深圳·高一深圳大學附屬中學?？计谀┤粢幌盗泻瘮?shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數(shù)為“同值函數(shù)”.例如函數(shù)，與函數(shù)，即為“同值函數(shù)”，給出下面四個函數(shù)，其中能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要想能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”，則要函數(shù)不單調(diào)，ABC選項，在R上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，ABC錯誤；D選項，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設，與函數(shù)，，兩者的值域相同，為同值函數(shù)，D正確.故選：D2．（2023·全國·高一專題練習）已知，，則的值域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則，又，所以原函數(shù)可變?yōu)?，，所以，，所以的值域?故選：A.3．（2023·福建·高一?？计谥校啊笔恰啊钡模?/p>

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，顯然滿足，但是對數(shù)式?jīng)]有意義，因為函數(shù)是正實數(shù)集上的增函數(shù)，所以由，因此是的必要不充分條件，故選：B4．（2023·山東棗莊·高一棗莊市第三中學?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過函數(shù)且的圖象所經(jīng)過的定點，則的值等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，得，即，函數(shù)且的定點為，即.故選：D5．（2023·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，單調(diào)遞增且，所以當時，也單調(diào)遞增，則解得，所以.故選：B.6．（2023·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得，可知的定義域為，可得，解得，關于不等式，即，整理得，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，結(jié)合，解得，所以不等式的解集為.故選：D.7．（2023·四川南充·高一四川省南充高級中學?？奸_學考試）關于函數(shù)，下列描述不正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的圖象關于直線對稱C．函數(shù)的圖象與x軸有且僅有兩個交點 D．若，但，則【答案】D【解析】因為，將關于y軸對稱，可得，將位于x軸下方的部分對折至x軸上方，可得，將向右平移2個單位，可得，據(jù)此可得的圖象，結(jié)合圖象可知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)的圖象與x軸有且僅有兩個交點，故A、B、C正確；例如：，可得滿足選項D條件，但，故D錯誤；故選：D.8．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，設，，，則，，的大小關系（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.，，，所以.故選：B二、多選題9．（2023·全國·高一專題練習）已知，且，則函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【解析】若，則函數(shù)的圖象單調(diào)遞減且過點，函數(shù)的圖象單調(diào)遞減且過點；若，則函數(shù)的圖象單調(diào)遞增且過點，而函數(shù)的圖象單調(diào)遞增且過點，只有A,C的圖象符合．故選：AC10．（2023·全國·高一隨堂練習）函數(shù)中，實數(shù)的取值可能是（）A． B．3C．4 D．5【答案】AC【解析】因為，所以根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義得：，即：，所以或，故選：AC.11．（2023·江西南昌·高一南昌市八一中學校考階段練習）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)可能值是（

）A． B． C．1 D．【答案】CD【解析】函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為.在上單調(diào)遞減.要使在上是減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知：，解得，所以CD選項符合，AB選項不符合.故選：CD12．（2023·全國·高一專題練習）設都是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對于任意，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因為是上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意，設，其中為常數(shù)，即