8.6.2 直線與平面垂直 （解析版）

8.6.2直線與平面垂直 【考點(diǎn)梳理】 考點(diǎn)一直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直考點(diǎn)二直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語(yǔ)言考點(diǎn)三直線與平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線與平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A射影過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，圖中∠PAO規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，0°≤θ≤90°·文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語(yǔ)言【題型歸納】題型一：直線與平面垂直的定義以及判定定理的理解1．（2022春·河北張家口·高一校聯(lián)考階段）已知、、是不重合的直線，、是不重合的平面，對(duì)于下列命題①若，，則②且，則③且，則④若、是異面直線，，，且，則其中真命題的序號(hào)是（

）A．①② B．③④ C．②④ D．①③【答案】B【分析】根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系的性質(zhì)定理與判定定理一一判斷即可.【詳解】解：對(duì)于①若，，則與可能平行也可能異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若，且，則或，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，且，則由線面垂直的判定定理得，故③正確；對(duì)于④，若、是異面直線，，，且，如圖，因?yàn)?，所以存在直線，且滿足，又，所以同理存在直線，且滿足，又，所以，因?yàn)?、是異面直線，所以與相交，設(shè)，又，所以，故④正確.故選：B2．（2022·高一單元測(cè)試）已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①如果，，，，那么；②如果，，那么；③如果，，，那么；④如果，，，那么.其中正確命題的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】解：對(duì)于①如果，，，，那么或與相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②如果，，由線面垂直的性質(zhì)可知，故②正確；對(duì)于③如果，，，那么或或與相交（不垂直）或與異面（不垂直），故③錯(cuò)誤；對(duì)于④如果，，，那么或與相交（不垂直），當(dāng)且僅當(dāng)，，，，那么，故④錯(cuò)誤.故選：D3．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，圓柱中，是側(cè)面的母線，AB是底面的直徑，C是底面圓上一點(diǎn)，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理及定義判斷即可；【詳解】解：依題意平面，平面，所以，又是底面圓的直徑，所以，，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B：顯然與不垂直，則不可能垂直平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：顯然與不垂直，則不可能垂直平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：顯然與不垂直，則不可能垂直平面，故D錯(cuò)誤；故選：A題型二：直線與平面垂直的判定4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，和所在平面互相垂直，且，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見解析【分析】分別利用三角形相似和等腰三角形性質(zhì)可得、，再由線面垂直的判定定理可得平面，而由可得答案.【詳解】由且，可得，所以，又由為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，又因?yàn)榍移矫妫云矫?，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以平面．5．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，是三棱錐的高，線段的中點(diǎn)為，且，.(1)證明：平面；(2)求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件證明，，由直線與平面垂直的判定定理即可證明.（2）法一：在平面中，過(guò)點(diǎn)作，證明平面，再求值即可；法二：到平面的距離，是三棱錐的高，利用等體積法求解.【詳解】（1）因?yàn)?，線段的中點(diǎn)為，所以.因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面?）法一：（綜合法）在平面中，過(guò)點(diǎn)作，如圖所示，因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)?，平面，平面，，所以平?在中，.所以在中，，所以，所以到平面的距離為.法二：（等體積法）設(shè)到平面的距離為，則在中，.在中，.因?yàn)槭侨忮F的高，所以，，解得，所以到平面的距離為.6．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點(diǎn)，CA＝CB＝CD＝BD＝2，．(1)求證：平面BCD；(2)求點(diǎn)E到平面ACD的距離．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)等體積法，結(jié)合三角形面積公式，可得答案.【詳解】（1）證明：O，E分別是BD，BC的中點(diǎn)，，，，則，即，，則，即，在中，由已知可得，，平面，平面.（2）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為，如圖所示：，，在中，而，，點(diǎn)E到平面ACD的距離為題型三：直線與平面垂直的性質(zhì)7．（2022春·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）證明出平面，即可證得；（2）根據(jù)錐體體積公式，由此可求三棱錐的體積．（1）∵，，∴，∵平面，平面，∴，∵，∴，∵，平面，∴平面，又平面，∴．（2）∵平面，平面ABC，∴，又∵，，∴平面．，8．（2023·高一單元測(cè)試）如圖，在四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形且對(duì)角線與交于點(diǎn)，底面，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若三棱錐的體積為1，求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將線線垂直轉(zhuǎn)化為平面，根據(jù)線面垂直判定定理可證；（2）根據(jù)體積轉(zhuǎn)化，然后由體積公式可得.【詳解】（1）為菱形，.平面平面，.，平面,平面平面.平面，.（2）點(diǎn)是的中點(diǎn)，，.，又，.9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，，且，．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算出的長(zhǎng)以及的面積，利用錐體的體積公式可求得三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，則，，，、平面，平面，平面，，，，、平面，平面，平面，.（2）解：，，則，的面積為，，，，，因?yàn)槠矫?，因此?題型四：求直線與平面所成的角10．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體中，若點(diǎn)是面的中心，則與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取中點(diǎn)，則所求線面角為，利用勾股定理求得，作比可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接為側(cè)面的中心，平面，與平面所成角即為，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，，即與平面所成角的余弦值為.故選：C.11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角的正弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接BD，判斷G在BD上，判斷為PG與底面ABCD所成的角，解直角三角形求得所求正弦值.【詳解】連接BD交于，四邊形ABCD為正方形，則為中點(diǎn)，∵G為△ABC的重心，則G在BD上，且，∴，∵PD⊥底面ABCD，∴為PG與底面ABCD所成的角，面ABCD，則，∴，∴.故選：C12．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面．若，則直線與平面所成的角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等積法可得到平面的距離，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以，，，又底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，所以，又平面，平面，所以平面，平面，所以，設(shè)到平面的距離為，直線與平面所成的角，則，所以，，所以，所以，又，所以.故選：A.題型五：直線和平行位置關(guān)系的綜合13．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）先證明為等腰直角三角形，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；（2）將所給的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線線垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結(jié)論.【詳解】（1）由于，，所以，又AB⊥BB1，，故平面，則，為等腰直角三角形，，.（2）由（1）的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，如圖所示，取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，正方形中，為中點(diǎn)，則，又，故平面，而平面，從而.【點(diǎn)睛】求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積．對(duì)于空間中垂直關(guān)系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.14．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（I）見解析；（II）見解析；（III）.【分析】（I）連接，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，得到，利用線面平行的判定定理證得結(jié)果；（II）取棱的中點(diǎn)，連接，依題意，得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到，利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果；（III）利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成的角，放在直角三角形中求得結(jié)果.【詳解】（I）證明：連接，易知，，又由，故，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（II）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，依題意，得，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，，所以平?（III）解：連接，由（II）中平面，可知為直線與平面所成的角.因?yàn)闉榈冗吶切危覟榈闹悬c(diǎn)，所以，又，在中，，所以，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理能力.15．（2022春·福建福州·高一校考期末）如圖，已知平面，，，，，，點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）連接，推導(dǎo)出，由此能證明平面．（2）推導(dǎo)出，從而平面，進(jìn)而，由此能證明平面．（3）取中點(diǎn)和中點(diǎn)，連接，，，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而且，進(jìn)而平面，即為直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的大?。?）證明：連接，在中，和分別是和的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面．（2）證明：，為中點(diǎn)，，平面，，平面，，又，平面，平面，（3）解：取中點(diǎn)和中點(diǎn)，連接，，，和分別為和的中點(diǎn)，且，且，四邊形是平行四邊形，且，又平面，平面，即為直線與平面所成角，在中，可得，，，，且，又由，，在中，，在中，，，即直線與平面所成角的大小為．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題16．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】A【分析】根據(jù)空間線線、線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)線面垂直的定義可知，若，，則，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，，則可能平行，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若，，則可能含于平面，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，，則可能含于平面，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A17．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，為圓的直徑，為圓周上不與點(diǎn)A、C重合的點(diǎn)，圓所在的平面，連接SB、SC、AB、BC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由線面垂直的性質(zhì)以及判定得出，，進(jìn)而得出圖中直角三角形的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)閳A所在的平面，所以，即,為直角三角形.又，所以由線面垂直的判定可知，平面，即，即,為直角三角形.故圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是4.故選：D18．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)是空間中的一個(gè)平面，，，是三條不同的直線，則（

）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】B【分析】AD可舉出反例，B選項(xiàng)，由線面垂直的判定定理得；C選項(xiàng)，可得到；【詳解】A選項(xiàng)，與相交、平行或，如圖1，當(dāng)時(shí)，與相交，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，則由線面垂直的判定定理得，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，，，則與相交、平行或異面，如圖2，滿足，，，而與異面，故D錯(cuò)誤．故選：B．19．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】利用線面平行以及線面垂直的相關(guān)知識(shí)，逐一驗(yàn)證，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由，則設(shè)，當(dāng)時(shí)，也是符合條件的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則直線與的位置是平行或異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則存在，，由，則，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，當(dāng)時(shí)，且，也可推出，故D錯(cuò)誤，故選：C20．（2023·高一單元測(cè)試）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．EF平面B．C．EF與AD1所成角為60°D．EF與平面所成角的正弦值為【答案】C【分析】對(duì)于A，證得，則EF平面ABC1D1，從而得出判斷；對(duì)于B，證得平面ABC1D1，從而，而EFBD1，可得EF⊥B1C，從而得出判斷；對(duì)于C，由，得EF與AD1所成角為，在中求解即可得出判斷；對(duì)于D，由，且平面，所以為EF與平面BB1C1C所成的角，在中求解即可得出判斷．【詳解】對(duì)于A，連接BD1，在中，E、F分別為D1D、DB的中點(diǎn)，則EFD1B，又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，∴EF平面ABC1D1，故A正確；對(duì)于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正確；對(duì)于C，由，得EF與AD1所成角為.在中，，所以，所以EF與AD1所成角不為60°，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，且平面，所以為EF與平面BB1C1C所成的角，在中，，所以，故D正確．故選：C．21．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，直三棱柱，.證明：【答案】證明見解析【分析】利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解即可.【詳解】因?yàn)橹比庵?，所以平面，并且平面所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?22．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2．(1)求直線和平面ABCD所成角的大小；(2)求直線和平面ABCD所成角的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平面ABCD得直線和平面ABCD所成角，從而得解；（2）由平面ABCD得直線和平面ABCD所成角，從而得解．【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍭BCD，∴直線在平面ABCD上的射影為直線AB，∴就是直線和平面ABCD所成的角．∵在中，，則，∴直線和平面ABCD所成角的大小為．（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，∴直線在平面ABCD上的射影為直線，∴就是直線和平面ABCD所成的角．∵在中，，則，∴直線和平面ABCD所成角的的正切值為．23．（2023·高一單元測(cè)試）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，，結(jié)合線面垂直的判定即可證；（2）點(diǎn)O到平面PAC距離，即為三棱錐面PAC的高，計(jì)算出與即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.連接，因?yàn)?，所?又，所以，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）因?yàn)?，所以?，.設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.因?yàn)椋?，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.【高分突破】一、單選題24．（2022春·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在長(zhǎng)方體中，，，則直線與平面ABCD所成角的正弦為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)易知為與面ABCD所成角的平面角，進(jìn)而求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)知：面，故為與面ABCD所成角的平面角，，所以.故選：A25．（2022·高一單元測(cè)試）已知三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為6，且，則該三棱柱的側(cè)面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得點(diǎn)在底面內(nèi)的投影點(diǎn)O必定在底部正三角形ABC的的角平分線上，可證得為矩形，分別為求出矩形的面積，四邊形，的面積即可得出答案.【詳解】由于三棱柱的所有棱長(zhǎng)均等于6，且，所以點(diǎn)在底面內(nèi)的投影點(diǎn)O必定在底部正三角形ABC的的角平分線上，所以平面ABC，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，所以，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，，所以矩形的面積為，四邊形，的面積為：，所以該三棱柱的表面積等于.故選：C.26．（2022春·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖所示，在四棱柱中，棱錐即為陽(yáng)馬，已知，則陽(yáng)馬的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)可得到，，，均為直角三角形，分別求得各面的面積，加和即可得到所求的陽(yáng)馬的表面積.【詳解】由題意知：平面，平面，，又，平面，，平面，平面，；同理可得：；則，，，均為直角三角形，，，，，，陽(yáng)馬的表面積.故選：B.27．（2022春·江蘇蘇州·高一校聯(lián)考期末）如圖將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，有如下四個(gè)結(jié)論①

②ACD是等邊三角形③AB與CD所成的角為

④AB與平面BCD所成的角為其中錯(cuò)誤的結(jié)論是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】①利用線面垂直的判定定理判斷；②求得AC判斷；③分別取AD，AC的中點(diǎn)F，H，連接OF，OH，F(xiàn)H，得到為所求判斷；④易知是直線AB與平面BCD所成的角判斷.【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，折疊前AC與BD交于點(diǎn)O，折疊后，如圖所示：①因?yàn)?，且，所以平面AOC，又平面AOC所以，故正確；②由題意知：，則，又，所以ACD是等邊三角形，故正確；③分別取AD，AC的中點(diǎn)F，H，連接OF，OH，F(xiàn)H，，則為AB與CD所成的角(或其補(bǔ)角)，又，所以是等邊三角形，所以AB與CD所成的角為，故正確；④因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面BCD=BD，且，所以平面BCD，則是直線AB與平面BCD所成的角，且，故錯(cuò)誤；故選：D28．（2022春·廣東·高一統(tǒng)考期末）如圖正方體的棱長(zhǎng)為a，以下結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．異面直線與所成的角為 B．直線與垂直C．直線與平行 D．直線與平行【答案】C【分析】對(duì)A，根據(jù)直線再在三角形中判斷即可；對(duì)B，根據(jù)直線，結(jié)合正方體的性質(zhì)判定即可；對(duì)C，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷直線與垂直即可；對(duì)D，根據(jù)平行四邊形判斷即可；【詳解】對(duì)A，正方體中，且，故平行四邊形，故，易得正，故異面直線與所成的角為直線與所成的角為，故A正確；對(duì)B，因?yàn)檎叫?，故直線與垂直，又，故與垂直，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，平面，故，又平面，故平面，因?yàn)槠矫?，故直線與垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由A可知平行四邊形，故，D正確；故選：C29．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬．已知在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱底面ABCD，且，則直線PD與平面PAC所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先找到直線PD在平面PAC上的射影，進(jìn)而根據(jù)線面角的定義求得答案.【詳解】如圖，在正方形ABCD中，連接BD交AC于O，則，連接PO.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，而，則平面PAC，于是是直線PD與平面PAC所成的角.因?yàn)镻A=AD=1，易知PA⊥AD，所以，易得，所以，即直線PD與平面PAC所成角的正弦值為.故選：A.二、多選題30．（2023·高一單元測(cè)試）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，與交于點(diǎn)，則（

）A．平面B．平面C．與平面所成的角為D．三棱錐的體積為【答案】ABD【分析】根據(jù)線面平行判定定理判斷A，利用線面垂直判定定理判斷B，利用線面夾角的定義判斷C，根據(jù)等體積法判斷D.【詳解】∵平面平面平面，A對(duì)；因?yàn)橛制矫?，平面，所以平面平面，B對(duì)；因?yàn)槠矫媾c平面所成角為因?yàn)椋珻錯(cuò)；因?yàn)?，D對(duì).故選：.31．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E為棱的中點(diǎn)，則（

）A．面 B．C．平面截該長(zhǎng)方體所得截面面積為 D．三棱錐的體積為【答案】ABD【分析】對(duì)于A：根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)得出，即可證明；對(duì)于B：根據(jù)底面是正方體，得出，根據(jù)三垂線定理結(jié)合長(zhǎng)方體性質(zhì)即可證明；對(duì)于C：根據(jù)長(zhǎng)方體對(duì)稱性易知平面截該長(zhǎng)方體所得截面面積為，根據(jù)已知得出，，，即可根據(jù)余弦定理得出，即可根據(jù)同角三角函數(shù)公式得出，即可根據(jù)三角形面積公式得出答案驗(yàn)證；對(duì)于D：根據(jù)已知直接利用三棱錐的體積公式得出答案；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：連接，為長(zhǎng)方體，，，∴四邊形是平行四邊形，，平面，平面，面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，，平面，在平面上的投影為，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)長(zhǎng)方體對(duì)稱性易知平面截該長(zhǎng)方體所得截面面積為，，，，，，，由，可得，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：三棱錐的底面積，高為，則三棱錐的體積為，故D正確；故選：ABD.32．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知正方體是中點(diǎn)，則（

）A．面 B．C． D．平面【答案】BC【分析】與平面相交于點(diǎn)，判斷選項(xiàng)A，體對(duì)角線與異面的面對(duì)角線相互垂直，判斷選項(xiàng)B，等邊三角形中為中點(diǎn)，判斷選項(xiàng)C，不垂直于平面，判斷選項(xiàng)D.【詳解】與平面相交于點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；,面面面,故選項(xiàng)B正確；連接,為等邊三角形，為中點(diǎn)，,,則故選項(xiàng)C正確；由于,故不垂直于，不垂直于平面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.33．（2023·高一單元測(cè)試）如圖，平面，正方形邊長(zhǎng)為1，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則（

）A．B．C．若PA=1，則異面直線PE與BC所成角的余弦值為D．若PA=1，則直線PE與平面所成角為【答案】BC【分析】連接，證明，計(jì)算判斷AB；求出異面直線夾角余弦、線面角的正弦判斷CD作答.【詳解】連接，如圖，因?yàn)槠矫?，平面，則，而，平面，于是平面，又平面，因此，在正方形中，，，則，，A錯(cuò)誤，B正確；取中點(diǎn)，連接，則，為異面直線PE與BC所成的角或其補(bǔ)角，而平面，平面，有，又，平面，則有平面，平面，于是，，因此，C正確；由平面知，是直線PE與平面所成的角，，顯然，D錯(cuò)誤.故選：BC34．（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）在邊長(zhǎng)為4的正方形中，如圖1所示，，，分別為，，的中點(diǎn)，分別沿，及所在直線把，和折起，使，，三點(diǎn)重合于點(diǎn)，得到三棱錐，如圖2所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為4C．三棱錐外接球的表面積為D．過(guò)點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)線面垂直可判斷A；根據(jù)三棱錐的等體積法結(jié)合體積公式可判斷B；求得三棱錐外接球的半徑，即可求得外接球的表面積，判斷C；將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，確定最小截面為過(guò)點(diǎn)M垂直于球心O與M連線的圓，求得截面圓半徑，即可得截面的面積，判斷D.【詳解】對(duì)于A：由題意知平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對(duì)于B：,因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)閮蓛纱怪?，故三棱錐的外接球半徑和長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體的外接球半徑相等，故其外接球半徑,故外接球表面積，故C正確；對(duì)于D：將三棱錐補(bǔ)成如圖所示長(zhǎng)方體，，設(shè)長(zhǎng)方體外接球球心為O，即為三棱錐的外接球球心過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐的外接球所得截面為圓，最小截面為過(guò)點(diǎn)M垂直于球心O與M連線的圓，,此時(shí)截面圓半徑為此時(shí)截面圓的面積為，所以過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的最小值為，故D正確,故選：ACD三、填空題35．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則與側(cè)面所成角的正弦值是______．【答案】【分析】由正三棱柱結(jié)構(gòu)特征及線面角定義確定其平面角，進(jìn)而求其正弦值.【詳解】若為中點(diǎn)，連接，由正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，故，且面，面，則，，面，所以面，故為與側(cè)面所成角平面角，所以.故答案為：36．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，直線與平面成角.設(shè)四面體外接球的圓心為，則球的體積為__________.【答案】##【分析】先證明出△PCD和△PBC均為直角三角形，得到O點(diǎn)位置，可求得外接球的半徑，可求其體積．【詳解】在底面ABCD上，，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠ABD＝45°，所以，在△BCD上，，由余弦定理可得：，所以，所以∠CBD＝90°．所以BD⊥CB．又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．又PD∩BD＝D，PD面PBD，BD面PBD所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．則△PCD和△PBC均為直角三角形，當(dāng)O點(diǎn)為PC中點(diǎn)時(shí)，OP＝OD＝OB＝OC，此時(shí)O為四面體PBCD的外接球的球心．∵直線PA與平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD，則∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，又，∴四面體PBCD外接球的半徑為，所以四面體PBCD外接球的體積為．故答案為：．37．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，，則該斜三棱柱的側(cè)面積是_________．【答案】##【分析】過(guò)點(diǎn)作于，證出≌，得出，證得平面，得出，結(jié)合再證明出，得出平行四邊形為矩形，即可計(jì)算出斜三棱柱的側(cè)面積．【詳解】過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示，，，，≌，，，即，又，平面，又平面，，又，，∴平行四邊形為矩形，∴該斜三棱柱的側(cè)面積為：，故答案為：．38．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則正確的序號(hào)是______.①平面；

②與所成角為；③該二十四等邊體的體積為；

④該二十四等邊體外接球的表面積為.【答案】③④【分析】將該二十四等邊體補(bǔ)形為正方體，利用與是異面直線判定選項(xiàng)①錯(cuò)誤，利用和的形狀判定選項(xiàng)②錯(cuò)誤，利用正方體和等二十四等邊體的關(guān)系和分割法判定選項(xiàng)③正確，利用該二十四等邊體外接球的球心即為正方體的中心及球的表面積公式判定選項(xiàng)④正確．【詳解】解：將該二十四等邊體補(bǔ)形為正方體（如圖所示），因?yàn)樵摱牡冗咉w的所有棱長(zhǎng)都為，所以正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于①：根據(jù)正方體的性質(zhì)可得平面，平面，所以，同理可證，，平面，所以平面，而與是異面直線，所以平面不成立，即選項(xiàng)①錯(cuò)誤；對(duì)于②：因?yàn)?，所以是與所成角或其補(bǔ)角，在中，，因?yàn)椋裕催x項(xiàng)②錯(cuò)誤；對(duì)于③：因?yàn)樵摱牡冗咉w的所有棱長(zhǎng)都為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，所以該二十四等邊體的體積為，即選項(xiàng)③正確；對(duì)于④：設(shè)該二十四等邊體外接球的半徑為，該二十四等邊體外接球的球心即為正方體的中心，正方體六個(gè)表面的面積都為1，所以，所以其表面積為，即選項(xiàng)④正確．故答案為：③④．四、解答題39．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在正方體-中，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：⊥平面.【答案】證明見解析.【分析】要證明⊥平面，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知，只需證明直線垂直于平面中的兩條相交直線即可.【詳解】證明∵四邊形為正方形，∴，∵平面，，∴，又∵，且，∴平面，而，∴，令正方體的棱長(zhǎng)為2，連接，，如下圖所示則有，∴，∴，又且，∴⊥平面.40．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面，，，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱CD．(1)求四棱錐P－ABCD的表面積；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可證出，，則表面積等于四個(gè)直角三角形與底面矩形之和，根據(jù)勾股定理求出各邊長(zhǎng)即可求得表面積.（2）由已知條件，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證出平面，由線面垂直的性質(zhì)和已知條件再證平面，即可推出.【詳解】（1）解：已知平面，平面，，而底面ABCD是矩形，則，又，平面，，∴平面，平面ABP，∴，∴，同理可得，∴.（2）證明：∵平面，平面，∴，又四邊形是矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴，又∵，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，而，∴平面，∵平面，∴．41．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知圓錐的軸截面SAB是等腰直角三角形，，Q是底面圓O內(nèi)一點(diǎn)，且，C是AS中點(diǎn)，D是點(diǎn)O在SQ上的射影．(1)求證：面AQS；(2)求三棱錐體積的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)空間中線線垂直，線面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系即可證明．（2）先通過(guò)空間中垂直關(guān)系證明平面，再根據(jù)三棱錐的體積公式，結(jié)合基本不等式，即可求其體積的最大值【詳解】（1）∵底面，在底面上

∴又∵，，平面，平面，∴平面∵平面，∴

又∵D是點(diǎn)O在SQ上的射影，即且，平面，平面，∴平面（2）∵圓錐的軸截面是等腰直角三角形，C是AS中點(diǎn)，O是AB中點(diǎn)，∴又由(1)知，平面∴且，平面，平面，∴平面又∵∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以三棱錐的體積最大值為．42．（2023·全國(guó)·高一專題