第05講 三角函數(shù)（六大題型）（原卷版）

第05講三角函數(shù)【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：任意角的概念1、角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角．負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角．零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角．2、終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．知識(shí)點(diǎn)二：弧度制1、弧度制的定義長度等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）．2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：．知識(shí)點(diǎn)三：三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識(shí)點(diǎn)四：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識(shí)點(diǎn)五：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)六：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，．，，其中知識(shí)點(diǎn)七：正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)；最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)八：余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)九：正切函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：2、值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且無限接近于時(shí)，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當(dāng)，無限減小，記作（趨向于負(fù)無窮大）．也可以從單位圓上的正切線來考慮．因此可以取任何實(shí)數(shù)值，但沒有最大值和最小值．稱直線，為正切函數(shù)的漸進(jìn)線．3、周期性：周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：奇函數(shù)，即．5、單調(diào)性：在開區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增知識(shí)點(diǎn)十：由得圖象通過變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標(biāo)不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對(duì)稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）．若則可用誘導(dǎo)公式將符號(hào)“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑【典型例題】題型一：任意角和弧度制【例1】（2024·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長與內(nèi)弧長之和為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為2.5，則該扇環(huán)的內(nèi)弧長為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024·四川宜賓·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，此扇形所在圓面中剩余部分面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”.某扇環(huán)玉雕為“美觀扇面”的一部分，其所在扇面半徑，尺寸（單位：）如圖所示，則該玉雕的扇環(huán)面積為（

）A． B．C． D．【變式1-2】（2024·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2024·全國·高一期末）我國南朝的數(shù)學(xué)家祖沖之發(fā)展了劉徽的“割圓術(shù)”（即圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷增加，它的周長越來越接近圓的周長），在公元5世紀(jì)又進(jìn)一步求得圓周率的值在3.1415926和3.1415927之間，是第一個(gè)將圓周率的計(jì)算精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的人，使中國對(duì)圓周率的計(jì)算在世界上領(lǐng)先一千多年．依據(jù)“割圓術(shù)”，由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓周率的近似值是（

）A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14題型二：三角函數(shù)的概念【例2】（2024·四川雅安·高一雅安中學(xué)校考階段練習(xí)）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值可以為（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知角終邊過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．3 D．【變式2-2】（2024·福建莆田·高一莆田二中?？茧A段練習(xí)）當(dāng)為第四象限角時(shí)，（

）A．1 B． C．3 D．【變式2-3】（2024·福建泉州·高一福建省泉州市泉港區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則等于（

）A． B．2 C．0 D．【變式2-4】（2024·全國·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．3題型三：誘導(dǎo)公式【例3】（2024·吉林長春·高一東北師大附中?？计谀┮阎?1)化簡；(2)若是第三象限角，且，求的值．【變式3-1】（2024·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）已知.(1)化簡；(2)若，求的值.【變式3-2】（2024·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)校考期末）已知．(1)化簡，并求的值；(2)若，求的值．【變式3-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）已知角滿足.(1)求的值；(2)若，求的值.【變式3-4】（2024·四川成都·高一?？计谀┮阎?1)化簡；(2)若，求的值.題型四：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例4】（多選題）（2024·吉林長春·高一東北師大附中?？计谀┫铝泻瘮?shù)中，最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【變式4-1】（多選題）（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，已知在單調(diào)遞增，下列結(jié)論正確的是（

）A．的值可能為1 B．C．若在有且僅有1個(gè)零點(diǎn) D．若在單調(diào)遞減【變式4-2】（多選題）（2024·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為C．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是 D．函數(shù)的一條對(duì)稱軸是【變式4-3】（2024·四川內(nèi)江·高一四川省隆昌市第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)（，，）的最小值為1，最小正周期為，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(1)求的解析式、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.【變式4-4】（2024·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值，并求出取最值時(shí)的值.【變式4-5】（2024·甘肅白銀·高一校考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期.(2)若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式__________，求實(shí)數(shù)的取值范圍.請(qǐng)選擇①和②中的一個(gè)條件，補(bǔ)全問題（2），并求解.其中，①有解；②恒成立.注：若選擇兩個(gè)條件解答，則按照第一個(gè)解答計(jì)分.題型五：伸縮變換【例5】（2024·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度【變式5-1】（2024·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上的所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【變式5-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)?？家荒＃⒑瘮?shù)（）的圖象向右平移個(gè)單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【變式5-3】（2024·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型六：三角函數(shù)的應(yīng)用【例6】（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）水車又稱孔明車，是以水流為動(dòng)力的機(jī)械裝置，是我國古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具.如圖，某水車的半徑為4米，圓心距離水面2米，每分鐘逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)5圈.當(dāng)水車上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)時(shí)，已知點(diǎn)距離水面的高度（米）關(guān)于時(shí)間（秒）的函數(shù)為，則；點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要秒.【變式6-1】（2024·河北衡水·高三?？茧A段練習(xí)）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．位于山東省濰坊濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為124米，設(shè)置有36個(gè)座艙．開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面145米，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要30分鐘．當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時(shí)．經(jīng)過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中），則（m）．【變式6-2】（2024·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）某時(shí)針的秒針端點(diǎn)到中心的距離為，秒針勻速繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，當(dāng)時(shí)間時(shí)，點(diǎn)與鐘面上標(biāo)有12的點(diǎn)重合，將、兩點(diǎn)間的距離表示成的函數(shù)，則，其中.【變式6-3】（2024·四川南充·高一四川省南充高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：℃）隨時(shí)間（單位：h）的變化近似滿足，要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11℃，則實(shí)驗(yàn)室需要降溫的時(shí)間段是時(shí)到時(shí)．【變式6-4】（2024·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）近年來，淮安市依托地方資源優(yōu)勢(shì)，用風(fēng)能等清潔能源替代傳統(tǒng)能源，因地制宜實(shí)施新能源項(xiàng)目，在帶來了較好經(jīng)濟(jì)效益的同時(shí)，助力了本地農(nóng)戶增收致富．目前利用風(fēng)能發(fā)電的主要手段是風(fēng)車發(fā)電．如圖，風(fēng)車由一座塔和三個(gè)葉片組成，每兩個(gè)葉片之間的夾角均為，現(xiàn)有一座風(fēng)車，塔高90米，葉片長40米．葉片按照逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，并且每6秒旋轉(zhuǎn)一圈，風(fēng)車開始旋轉(zhuǎn)時(shí)某葉片的一個(gè)端點(diǎn)P在風(fēng)車的最低點(diǎn)（此時(shí)P離地面50米）．設(shè)點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)t（秒）后離地面的距離為S（米），則S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，葉片旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi)點(diǎn)P離地面的高度不低于70米的時(shí)長為秒．

【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·吉林長春·高一長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀c(diǎn)在直角坐標(biāo)系內(nèi)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024·云南昆明·高二云南師大附中?？计谀┮阎堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C．0 D．3．（2024·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．4．（2024·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．5．（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上的圖象如圖所示，則的解析式可以為（

）A． B．C． D．6．（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．是函數(shù)的一個(gè)周期B．函數(shù)的對(duì)稱軸是C．函數(shù)取最大值時(shí)自變量的集合為D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是7．（2024·吉林·高一長春外國語學(xué)校校聯(lián)考期末）設(shè)，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．8．（2024·山東臨沂·高一校考期末）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，，其中.已知，則下列說法不正確的是（）A． B．C． D．無法判斷二者大小二、多選題9．（2024·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)與直線（為常數(shù)）公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3 E．410．（2024·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)的周期為的是（

）A． B．C． D．11．（2024·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)在上的最小值為12．（2024·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）關(guān)于函數(shù)有下列命題，其中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)C．若在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為D．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱三、填空題13．（2024·上?！じ咭徊軛疃行？计谀┮阎?，且，則.14．（2024·吉林長春·高一東北師大附中?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)最大值點(diǎn)，則的取值范圍為．15．（2024·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，這是某公園的一條扇形閉合路，其中弧所對(duì)的圓心角為2.4，，則這條扇