第05講 三角函數（六大題型）（原卷版）

第05講三角函數【題型歸納目錄】【知識點梳理】知識點一：任意角的概念1、角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形．正角：按逆時針方向旋轉所形成的角．負角：按順時針方向旋轉所形成的角．零角：如果一條射線沒有做任何旋轉，我們稱它形成了一個零角．2、終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合．那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．知識點二：弧度制1、弧度制的定義長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）．2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧長公式：（是圓心角的弧度數），扇形面積公式：．知識點三：三角函數定義設是一個任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識點四：三角函數在各象限的符號三角函數在各象限的符號：在記憶上述三角函數值在各象限的符號時，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識點五：同角三角函數的基本關系式（1）平方關系：（2）商數關系：知識點六：誘導公式誘導公式一：，，，其中誘導公式二：，，，其中誘導公式三：，，，其中誘導公式四：，．，，其中知識點七：正弦函數性質函數正弦函數定義域值域奇偶性奇函數周期性最小正周期單調區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點最大值點；最小值點對稱中心對稱軸知識點八：余弦函數的性質函數余弦函數定義域值域奇偶性偶函數周期性最小正周期單調區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點最大值點最小值點對稱中心對稱軸知識點九：正切函數的性質1、定義域：2、值域：由正切函數的圖象可知，當且無限接近于時，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當，無限減小，記作（趨向于負無窮大）．也可以從單位圓上的正切線來考慮．因此可以取任何實數值，但沒有最大值和最小值．稱直線，為正切函數的漸進線．3、周期性：周期函數，最小正周期是4、奇偶性：奇函數，即．5、單調性：在開區(qū)間，內，函數單調遞增知識點十：由得圖象通過變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）．若則可用誘導公式將符號“提出”再作圖．決定了函數的周期．3、相位變換：函數，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左（當時）或向右（當時）平行移動個單位長度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數的圖象經變換得到的圖象的兩種途徑【典型例題】題型一：任意角和弧度制【例1】（2024·黑龍江·高一校聯考期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長與內弧長之和為，連接外弧與內弧的兩端的線段長均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數為2.5，則該扇環(huán)的內弧長為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024·四川宜賓·高一統(tǒng)考階段練習）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，設扇形的面積為，其圓心角為，此扇形所在圓面中剩余部分面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”.某扇環(huán)玉雕為“美觀扇面”的一部分，其所在扇面半徑，尺寸（單位：）如圖所示，則該玉雕的扇環(huán)面積為（

）A． B．C． D．【變式1-2】（2024·黑龍江·高一校聯考期末）與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2024·全國·高一期末）我國南朝的數學家祖沖之發(fā)展了劉徽的“割圓術”（即圓的內接正多邊形邊數不斷增加，它的周長越來越接近圓的周長），在公元5世紀又進一步求得圓周率的值在3.1415926和3.1415927之間，是第一個將圓周率的計算精確到小數點后7位的人，使中國對圓周率的計算在世界上領先一千多年．依據“割圓術”，由圓內接正六邊形算得的圓周率的近似值是（

）A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14題型二：三角函數的概念【例2】（2024·四川雅安·高一雅安中學?？茧A段練習）若角的終邊經過點，則的值可以為（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學校?？茧A段練習）已知角終邊過點，且，則實數（

）A．2 B． C．3 D．【變式2-2】（2024·福建莆田·高一莆田二中?？茧A段練習）當為第四象限角時，（

）A．1 B． C．3 D．【變式2-3】（2024·福建泉州·高一福建省泉州市泉港區(qū)第一中學校聯考階段練習）已知，則等于（

）A． B．2 C．0 D．【變式2-4】（2024·全國·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．3題型三：誘導公式【例3】（2024·吉林長春·高一東北師大附中?？计谀┮阎?1)化簡；(2)若是第三象限角，且，求的值．【變式3-1】（2024·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）已知.(1)化簡；(2)若，求的值.【變式3-2】（2024·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學校考期末）已知．(1)化簡，并求的值；(2)若，求的值．【變式3-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）已知角滿足.(1)求的值；(2)若，求的值.【變式3-4】（2024·四川成都·高一?？计谀┮阎?1)化簡；(2)若，求的值.題型四：三角函數的圖像與性質【例4】（多選題）（2024·吉林長春·高一東北師大附中?？计谀┫铝泻瘮抵?，最小正周期為，且在區(qū)間上單調遞減的是（

）A． B．C． D．【變式4-1】（多選題）（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）設函數，已知在單調遞增，下列結論正確的是（

）A．的值可能為1 B．C．若在有且僅有1個零點 D．若在單調遞減【變式4-2】（多選題）（2024·四川綿陽·高一綿陽中學?？计谀┮阎瘮?，則下列結論正確的有（

）A．函數的最小正周期為 B．函數的一個單調增區(qū)間為C．函數的一個對稱中心是 D．函數的一條對稱軸是【變式4-3】（2024·四川內江·高一四川省隆昌市第一中學?？计谀┮阎瘮担?，，）的最小值為1，最小正周期為，且的圖象關于直線對稱.(1)求的解析式、對稱軸、對稱中心；(2)求函數在上的單調遞減區(qū)間.【變式4-4】（2024·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知函數.(1)求的單調遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值，并求出取最值時的值.【變式4-5】（2024·甘肅白銀·高一?？计谀┮阎瘮?(1)求函數的單調遞增區(qū)間和最小正周期.(2)若當時，關于的不等式__________，求實數的取值范圍.請選擇①和②中的一個條件，補全問題（2），并求解.其中，①有解；②恒成立.注：若選擇兩個條件解答，則按照第一個解答計分.題型五：伸縮變換【例5】（2024·黑龍江·高一校聯考期末）要得到函數的圖象，可以將函數的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【變式5-1】（2024·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）為了得到函數的圖象，只要把的圖象上的所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【變式5-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學?？家荒＃⒑瘮担ǎ┑膱D象向右平移個單位長度后與函數的圖象重合，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【變式5-3】（2024·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，若函數的圖象關于軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型六：三角函數的應用【例6】（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）水車又稱孔明車，是以水流為動力的機械裝置，是我國古老的農業(yè)灌溉工具.如圖，某水車的半徑為4米，圓心距離水面2米，每分鐘逆時針勻速旋轉5圈.當水車上點從水中浮現時（圖中點）開始計時，已知點距離水面的高度（米）關于時間（秒）的函數為，則；點第一次到達最高點大約需要秒.【變式6-1】（2024·河北衡水·高三?？茧A段練習）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．位于山東省濰坊濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為124米，設置有36個座艙．開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，當到達最高點時距離地面145米，勻速轉動一周大約需要30分鐘．當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．經過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關于的函數關系式滿足（其中），則（m）．【變式6-2】（2024·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）某時針的秒針端點到中心的距離為，秒針勻速繞點旋轉到點，當時間時，點與鐘面上標有12的點重合，將、兩點間的距離表示成的函數，則，其中.【變式6-3】（2024·四川南充·高一四川省南充高級中學校考開學考試）某實驗室一天的溫度（單位：℃）隨時間（單位：h）的變化近似滿足，要求實驗室溫度不高于11℃，則實驗室需要降溫的時間段是時到時．【變式6-4】（2024·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）近年來，淮安市依托地方資源優(yōu)勢，用風能等清潔能源替代傳統(tǒng)能源，因地制宜實施新能源項目，在帶來了較好經濟效益的同時，助力了本地農戶增收致富．目前利用風能發(fā)電的主要手段是風車發(fā)電．如圖，風車由一座塔和三個葉片組成，每兩個葉片之間的夾角均為，現有一座風車，塔高90米，葉片長40米．葉片按照逆時針方向勻速轉動，并且每6秒旋轉一圈，風車開始旋轉時某葉片的一個端點P在風車的最低點（此時P離地面50米）．設點P轉動t（秒）后離地面的距離為S（米），則S關于t的函數關系式為，葉片旋轉一圈內點P離地面的高度不低于70米的時長為秒．

【過關測試】一、單選題1．（2024·吉林長春·高一長春吉大附中實驗學校?？计谀c在直角坐標系內位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024·云南昆明·高二云南師大附中?？计谀┮阎堑捻旤c在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（

）A． B． C．0 D．3．（2024·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）函數的值域為（

）A． B．C． D．4．（2024·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．5．（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數在上的圖象如圖所示，則的解析式可以為（

）A． B．C． D．6．（2024·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數，下列說法正確的是（

）A．是函數的一個周期B．函數的對稱軸是C．函數取最大值時自變量的集合為D．函數的單調遞增區(qū)間是7．（2024·吉林·高一長春外國語學校校聯考期末）設，則的大小順序為（

）A． B． C． D．8．（2024·山東臨沂·高一?？计谀┯鴶祵W家泰勒發(fā)現了如下公式：，，其中.已知，則下列說法不正確的是（）A． B．C． D．無法判斷二者大小二、多選題9．（2024·全國·高一專題練習）函數與直線（為常數）公共點個數可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3 E．410．（2024·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）下列函數的周期為的是（

）A． B．C． D．11．（2024·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A．B．函數為偶函數C．函數的圖象關于直線對稱D．函數在上的最小值為12．（2024·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）關于函數有下列命題，其中正確的是（

）A．的圖象關于點對稱B．在區(qū)間上是單調遞減函數C．若在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍為D．的圖像關于直線對稱三、填空題13．（2024·上?！じ咭徊軛疃行？计谀┮阎?，則.14．（2024·吉林長春·高一東北師大附中?？计谀┮阎瘮翟趨^(qū)間上恰有三個最大值點，則的取值范圍為．15．（2024·四川雅安·高一雅安中學?？茧A段練習）如圖，這是某公園的一條扇形閉合路，其中弧所對的圓心角為2.4，，則這條扇