江蘇省百校聯(lián)考2023屆高三下學(xué)期4月第三次考數(shù)學(xué)含答案

江蘇省百校聯(lián)考高三年級(jí)第三次考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

1.己知復(fù)數(shù)Z滿足(l+2i)(z—l)=-2+i,則IZl=()

A.√2B.2C.√3D.3

2.設(shè)集合M=｛削e*τ>1｝,N=｛H爐-2x<θ｝,則MuN=()

A.(0,l)B,(l,2)C,(0,+(Z>)D,(2,+∞)

3.已知｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，｛d｝是等比數(shù)列，且q=4=1,/=4,4=&，設(shè)

C,=4,+2,則數(shù)列｛%｝的前10項(xiàng)和為()

A.567B.568C.1078D.1079

4.設(shè)，ABC的外接圓的圓心為。，半徑為2,若AB+AC=249,且Iod=IAC∣,則向量BA在向量

BC上的投影為()

A.3B.-3C.y∕3D.-y∕3

5.某學(xué)習(xí)小組8名同學(xué)在一次物理測(cè)驗(yàn)中的得分(單位：分)如下：83,84,86,87,88,90,93,96.

這8名同學(xué)成績(jī)的第60百分位數(shù)是〃.若在該小組中隨機(jī)選取2名同學(xué)，則這2名同學(xué)的得分均小于〃的

概率為()

31539

A.-B.—C.—D.—

7281414

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何問(wèn)題有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)可見，譬如

“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽(yáng)馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四

棱錐，“鱉麝”指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”ABC-44G，其中

ACYBC,若A4∣=AB=4,則“陽(yáng)馬”8-A∣ACG體積的最大()

1632

A.—B,—C.16D.32

33

1正ππ,則加∣

7.若tan(萬(wàn)+6)—iosin2e+()+2cos2(-e)=()

tan(2乃一8)4,2^

321

A.-----B.一一C.——D.0

1055

v?

8.已知函數(shù)/(x)=Sin乃x+'-1，則直線y=2x-2與/(x)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為

X-I

()

A.2B.lC.4D.0

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不

選或有錯(cuò)選的得0分.

9.已知一組數(shù)據(jù)玉,工2，,%3構(gòu)成等差數(shù)列，且公差不為0.若去掉數(shù)據(jù)毛，則()

A.平均數(shù)不變B.中位數(shù)不變C.方差變小D.方差變大

10.設(shè)函數(shù)“x)=2Sin(<wx+0)W>O,O<0<;T),若/(x)=/,f(x)=-f(π-x),且

/(χ)的最小正周期大于g,則()

A.69=3

BJ(X)在區(qū)間(0,()上單調(diào)遞增

C"(x)是偶函數(shù)

DJ(X)的圖象向左平移工個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)=2sin3x的圖象

6

11.已知拋物線Cy=的焦點(diǎn)為RP為C上一占，下列說(shuō)法正確的是()

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為??-?

16

B.戰(zhàn)y=x-l與C相切

C.若M(0,4),則IPM的最小值為26

D.在M(3,5),則.PMR的周長(zhǎng)的最小值為11

12.若函數(shù)/(x)是定義域?yàn)?0,+功的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的x∈(0,+s),都有/(/(x)-log2?x)=6,

且方程|/(%)-4|=2/一9—+12*一5+￡在區(qū)間(0.2］上有兩個(gè)不同解，則實(shí)粒/的取值可能為()

A.0B.lC.2D.3

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.己知定義在R上的函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，且滿足/（l+x）=∕（3+x）.當(dāng)0≤x≤l時(shí)，

f（x）=xi-x,則/仁）+〃6）=.

14.已知α>0,卜+^的展開式中所存項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.（用數(shù)字

IX）

作答）

15.設(shè)jt∈R,直線∕∣,Ax+y-k=O,/直線/2：%-6+2左一3=0,記4,分別過(guò)定點(diǎn)A8,∕∣與的交

點(diǎn)為c,則MC+忸C的最大值為.

16.小王自主創(chuàng)業(yè)開了一家禮品店，平常需要用彩繩對(duì)禮品盒做一個(gè)捆扎（要求扎緊繩子不能松動(dòng)），其中

一種長(zhǎng)方體的禮品盒一般都是采用“十字捆扎”（如圖1所示），后來(lái)他又學(xué)習(xí)了一種新的彩繩捆扎方法“對(duì)

角捆扎”（如圖2所示），并認(rèn)為“對(duì)角捆扎”比一般的“十字捆扎”包裝更節(jié)省彩繩.設(shè)長(zhǎng)方體禮品盒的長(zhǎng)、寬

、高分別為蒼KZ,貝廣十字捆扎”所需繩長(zhǎng)為；若采用“對(duì)角捆扎”，則所需繩長(zhǎng)的最小值為

.（注：長(zhǎng)方體禮品盒的高小于長(zhǎng)、寬，結(jié)果用含χ,y,z的式子表示）

四、解答題：本大題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的

文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝,記｛q,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,4=?,5,,+1+S,,=3。；+「

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

,1，、

（2）設(shè)""=（〃+1”，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和卻

18.（本小題滿分12分）

從①2α-b=2cosB:②S=乎+,2）；③布Sin（A+5）=l+2sin2?這三個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并作答.

記，ABC的內(nèi)角AEC的對(duì)邊分別為α,6,c~A6C的面積為S,己知.

（1）求C的值；

（2）若b=4,點(diǎn)。在邊AB上，CZ）為NTlCs的平分線，BCD的面積為26，求。的值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐A—BCD中，ZACB=，平面AC。，平面

ABC,AC=BC=4,DC=2,AD=2√3.

(1)證明：ADL平面BCD.

TT

(2)設(shè)點(diǎn)E在線段AB上，直線OE與直線BC所成的角為一，求平面OCE與平面AC。所成的銳二

4

面角的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

某學(xué)校為學(xué)生開設(shè)了一門模具加工課，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，擬舉行一次模具加工大賽，學(xué)生小明、小紅

打算報(bào)名參加大賽.賽前，小明、小紅分別進(jìn)行了為期一周的封閉強(qiáng)化訓(xùn)練，下率記錄了兩人在封閉強(qiáng)化訓(xùn)

練期問(wèn)每天加工模具成功的次數(shù)，其中小明第7天的成功次數(shù)。忘了記錄，但知道36≤α≤60,α∈Z.

第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

序號(hào)X1234567

小明成功次數(shù)162020253036a

小紅成功次數(shù)16222526323535

(1)求這7天內(nèi)小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)的概率；

(2)根據(jù)小明這7天內(nèi)前6天的成功次數(shù)，求其成功次數(shù)V關(guān)于序號(hào)X的線性回歸方程，并估計(jì)小明第

七天成功次數(shù)”的值.

參考公式：回歸方程y=?x+4中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

∑i(χi-χ)(yi-y)Yjχiyi-∏χy

b=上―------------=號(hào)----------,a=y-bx.

fα-可2∑x,2-nx2

/=I/=1

參考數(shù)據(jù)：l×16+2×20+3×20+4×25+5×30+6×36=582U2+22+32+42+52+62=91.

21.(本小題滿分12分)

己知橢圓C的焦點(diǎn)為Ft(—1,0)和F2(1,0),且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(Is).

(1)求橢圓C的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)后(1,0)的直線/與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，則在X軸上是否存在定點(diǎn)N,使得NP?NQ的值為

定值？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(%)=?(x-3)ev-??3+^2,其中αeR.

⑴若α=L判斷/(x)的單調(diào)性.

e

(2)設(shè)/(X)有且只有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)%?

(i)求。的取值范圍；

e49

(ii)當(dāng)a>—z時(shí)，設(shè)王<工2，證明：0<?(X1)<.

參考答案

1-8ACCACBDA

9ABDIOACIlBCD12BC

3____________________

13.-14.1515.416.2x+2y+4z,√(2%+2z)2+(2y+2z)2

S+S-3〃2

17.【詳解】⑴由Jsls；13：[此2)，兩式相找得%+α"=3(.+q,)(--q,)("≥2),

4＞。，:.4+1-4=*22),

91

當(dāng)〃=1時(shí)，52+S1=3生，且q=],

.e.9a^—3a2—2=0,得a,=2(〃=—J.＜。舍去)，

33

211

:.a＞-a=-------=一,

-'333

數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，公差為:，

1

an=-n-

b=-------------

(2)由(1)及題意可得"(,?1

(〃+1)?鏟

.?,Tn=bt+b2+bi++bn

?_1

1」+?+

3-4>YlH+1

(2)4.

3

【詳解】ɑ)選①2a-〃=2CCOS5,

22I2

222

則由余弦定理可得2a-b=2c?以十°，整理可得+h-c=ab,

2aca

可得CoSC=土土竺二≤?=L因?yàn)镃e（0,乃），所以C=2.

2ab2'’3

可得LMnC=Wla即SinC=WI"""=病。SC所以tanC="

24Iab

因?yàn)镃∈(0∕),可得C=

選③如Sin(A+B)=l+2sin2..

可得V^sinC=2-cosC.可得2sin[C+-j=2,可得sin[c+K)=L

因?yàn)镃e(O∕),C+g∈(g,?],所以C+J=J,可得C=C.

6{66J623

(2)th.ABC111,SABC=SACD+S8Cf>.可得

-BCCD-SinZBCD+-CACD-sin∕4Cf>=-CACB-sin∕AC8，可得

222

La又CD+CD=幣a①

4

又Scdb=；αXCD-2y∣3.②

由①②可得力—2?！?=0,解得α=4或a=—2(舍去)，

所以。的值為4.

19.【答案】(1)見詳解：(2)叵.

7

【詳解】(1)證明：在，ACD中，因?yàn)锳C=4,OC=2,A0=2j1,

所以AC2=A￡>2+C02,所以AD_LCO.因?yàn)镹ACB=90,所以BCLAC.

因?yàn)槠矫鍭CD±平面ABC,平面ACr>c平面ABC=AC,BCU平面ABC,

所以BC，平面ACD.因?yàn)锳DU平面ACr),所以AOJ.BC.

又A￡)!.CD,BCCe￡>=C,8C,CDU平面BCO,所以AD_L平面BCD

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4所在直線為X軸，CB所在直線為y軸，過(guò)C垂直于平面ABC的直

線為Z軸、建立空間直角坐標(biāo)系、

由題意得4（4,0,0）,3（0,4,0）,。（0,0,0）,。（1,0,石）,

所以A3=（T,4,0）,CB=（0,4,0）,CD=（1,0,班）.

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x,y,z）,AE=λAB（λ∈[0,l]）,

則AE=（Uu,440）=（x—4,XZ）.

所以％=4—4Λ,y—44,Z=O,

所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4一4442,0）,

所以Z）E=（3—4444一招）.

71

因?yàn)橹本€。E與直線BC所成的角為一，

所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,2,0),則CE=(2,2,0)..

設(shè)平面CDE的法向量為∕ι1=(X],y,z∣),

M:Mfcs二Ms可得2,W).

又平面ACD的一個(gè)法向量為〃2=(OJO)

“，/?ZZ?n,-Gy∕∏

所以cos(n,n)=.1,,-，=——/,

'12/同同l×√3+3+l7

所以平面OcE與平面ACD所成的銳二面角的余弦值為叵

7

1727

20.【答案】(1)—(2)y=—x+ll;38.

257

【詳解】(1)因?yàn)?6≤α≤60,且αeZ.所以”的取值共有25種情況.

57

又當(dāng)小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)時(shí)，在E>,+a≥Zz,.

1=1/=I

即16+20+20+25+30+36+α≥16+22+25+26+32+35+35,<?>44.

所以小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)時(shí)，?的取值共有17情況.

17

所以這7天內(nèi)小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)的概率為一.

25

6

(2)由題設(shè)可知Z%%=1x16+2x20+3x20+4x25+5x30+6x36=582,

Z=I

1+2+3+4+5+67_16+20+20+25+30+3649

X=

-----------6-----------Y62

749

八582-6×-×-27_J49277

所以方=--------?2^=-,a=y-bx=---×-=11,

91-6×-/2'2

4

27

所以y關(guān)于序號(hào)X的線性回舊方程為y=萬(wàn)x+ll.

27

當(dāng)x=7時(shí)，γ=y×7+ll=38,

估計(jì)小明第7天成功次數(shù)。的值為38.

21.【答案】(1)工+匕=1,(2)存在點(diǎn)N(]?,O],使得NP?NQ為定值一胃.

4364

【詳解】(1)設(shè)橢圓C的方程為二+/—=1,

a1o2-l

將點(diǎn)代入橢圓方程，

得(〃―4)(4/—1)=0,解得/=；(舍去)，〃=4,

22

所以橢圓C的方程為三+工=1.

43

(2)當(dāng)直線/的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線/的方程為x="zy+l,設(shè)定點(diǎn)N(r,0).

X=my+↑,

聯(lián)立方程組V

3Λ2+4∕=12∕

消掉X可得(3〃，+4)y2+6my-9-Q.

設(shè)P(ApX),。(々，必)，

6加9

可得M+%=展2-∕%=-Q2-，

3m+43m+4

所以NP?NQ=(X]—f)(W—f)+Xy2=(mχ+l-∕)(my2+l-r)+γ,y2

2

=(m+l)y1y2+m(l-r)(yl+y2)+(l-r)

-9/、-6m/、2(6r-15)m^^—9(\2

m2÷1一-——+m(l-r)--——+(I-Z)=δ-------E--------+(I-Z)?

3m2+4'73m2+4v)3m2+4v7

2711

要使上式為定值，則6-15=-一,解得好一,

48

OCIIλ2135

此時(shí)NP.NQ=-^+1――=_上一.

418J64

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，P(-2,0)