北京市朝陽區(qū)三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學模擬（一模）題按題型匯編

北京市朝陽區(qū)三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學模擬（一模）

題按題型匯編

一、單選題

1.（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）已知集合4={x-≤4},集合

B={Λ∣X>O）,則AU8=（）

A.（―∞,-2]B.[—2,0）C.[―2,+∞）D.（0,2]

2.（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）^a>O>b,則（）

A.a3>hiB.同>同C.D.In>0

3.（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）設（1+到'=/+平+々/++anx",若

a1=%,貝IJW=（）

A.5B.6C.7D.8

4.（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）已知點A（TO）,B（l,0）.若直線y=丘-2

上存在點P,使得NAp3=90。，則實數(shù)Z的取值范圍是（）

A.（-∞,-白]B.[6,+∞）

C.[-百,6]D.（-∞,->Λ]u[g,+∞）

5.（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）已知函數(shù)/（x）=∕+χ,則，，芭+々=0”

是）+/（&）=?！钡模ǎ?/p>

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22

6.（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）過雙曲線會-方=1（“>0力>0）的右焦

點F作一條漸近線的垂線，垂足為A.若NAFo=2/4OF（O為坐標原點），則該雙曲

線的離心率為（）

A.此B.氈C.2D.也或2

233

7.（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）在長方體ABCQ-ABIG。中，AG與平

面ABQ相交于點M,則下列結論一定成立的是（）

A.AMLBDB.A1M1BD

C.AM=^MClD.MB=MD

8.（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽

覺的波，我們聽到的聲音多為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)

=SinX+gsin2x（xeR）,則下列結論正確的是（）

A./（x）的一個周期為πB./（x）的最大值為1

C.“X）的圖象關于直線X=兀對稱D.7（x）在區(qū)間［0,2π∣上有3個零點

9.（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）如圖，圓M為一ABC的外接圓，AB=A,

AC=6,N為邊BC的中點，貝IJAN?AM=（）

A.5B.10C.13D.26

10?（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）已知項數(shù)為MZeN*）的等差數(shù)列{4}滿

足q=l,?ɑ,,.,≤all（n=2,3,,k）.若q+見++?*=8,則A的最大值是（）

A.14B.15C.16D.17

IL（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）已知集合A={x∣2≤x<4},集合

3={x,-3x+2<θ},則AkJB=（）

A.0B.{Λ∣1<x<2jC.{x∣2≤x<4}D.（Λ∣1<X<4}

12.（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）直線y=x+l被圓/+V=I截得的弦長

為（）

A.1B.√2C.2D.2夜

13.（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）已知平面向量“，b滿足忖=2,W=I,

且α與人的夾角為充，則卜+H=（）

A.√3B.√5C.√7D.3

試卷第2頁，共14頁

14.（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）設〃2∈（0,l）,若。=但m，?=lg∕√,

C=（Igm）2,貝IJ（）

A.a>b>cB.b>c>aC.Oa>bD.c>b>a

2Λ—3r>O

15.（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）已知函數(shù)f（x）=[-']，若

[-2x,x<0

〃加）=—1,則實數(shù)機的值為（）

A.-2B.?C.1D.2

16.（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）已知αw（O,y）,則“α>1”是“a+J>2”

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

17.（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）已知三棱錐A-3CD,現(xiàn)有質(zhì)點Q從A

點出發(fā)沿棱移動，規(guī)定質(zhì)點。從一個頂點沿棱移動到另一個頂點為1次移動，則該質(zhì)點

經(jīng)過3次移動后返回到A點的不同路徑的種數(shù)為（）

A.3B.6C.9D.12

18.（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）已知數(shù)列｛4｝,若存在一個正整數(shù)T使

得對任意〃∈N*,都有a,5=%,則稱T為數(shù)列｛4｝的周期.若四個數(shù)列分別滿足：

①。=2,α,+∣=l-αz,（"wN*）;

ΠN

②4=1,?+l=^77Γ（≡J:

③c∣=l,C2=2,?,+2=?,+l-?,（neN'）;

④4=ι,4+ι=（-WN）

則上述數(shù)列中，8為其周期的個數(shù)是（）

A.IB.2C.3D.4

19.（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）如圖1,北京2022年冬奧會比賽場地

之一首鋼滑雪大跳臺與電力廠的冷卻塔交相輝映，實現(xiàn)了它與老工業(yè)遺址的有效融合.

如圖2,冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面.它的最小半徑為

16m,上口半徑為17m,下口半徑為28.5m,高為70m.在冷卻塔的軸截面所在平面建

立如圖3所示的平面直角坐標系，設=16,CI=I7,值卻=28.5,I況=70,則

雙曲線的方程近似為（）

（參考數(shù)據(jù)：生g=3.17,至g?≈2.81,里21,13）

162172162

-）222O222

A____2L=1B—____=IC—______^―=1D—____=1

162382-162482,172382'172482

20.（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）在通用技術教室里有一個三棱錐木塊如

圖所示，%,VB,VC兩兩垂直，WL=VB=VZC=I（單位：dm）,小明同學計劃通過

側面V?C內(nèi)任意一點尸將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC,則該截面面積（單

位：dm2）的最大值是（）

21.（北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題）已知集合

A={-l,0,l,2,3},B={x∣x-l>0},則AB=（）

A.{0,l,2,3}B.{1,2,3}C.{2,3}D.⑶

22.（北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題）如果復數(shù)"2（6eR）的實部與虛部相

I

等，那么（）

A.-2B.1C.2D.4

23.（陜西省西安市高新一中、交大附中、師大附中2019-2020學年高三上學期1月聯(lián)

考數(shù)學（文）試題）已知等差數(shù)列{%}的前“項和為S“，α3=LS9=l8,貝IJq=（）

A.0B.-1C.-2D.-3

24.（北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題）已知圓W+V=4截直線y=h+2所得

弦的長度為26，則實數(shù)Z=（）

試卷第4頁，共14頁

A.√2B.-石C.±√2D.±√3

25.（重慶市墊江第五中學2021屆高三下學期4月月考數(shù)學試題）已知雙曲線

cW-1=l（O>（U>0）的離心率為2,則雙曲線C的漸近線方程為（）

a~b~

A.y=±石XB.y=±-xC.y=±-xD.y=±2x

32

26.（北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題）在.ΛBC中，a2-b2+c2+ac=O,則

B=（）

A.?B,?C.?D.二

6433

27.（北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題）某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格

紙上小正方形的邊長為1,則該三棱錐最長的棱長為（）

A.2B.√5C.√6D.20

28.（2019屆重慶市南開中學高三2月教學質(zhì)量檢測數(shù)學（理）試題）在ΔA8C中，

“tanAtan8<I”是“ΔA3C為鈍角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

29.（北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題）已知拋物線C:V=4x的焦點為F,準

線為/,點P是直線/上的動點.若點A在拋物線C上，且IAFI=5,貝IJlPAl+∣P0∣（0

為坐標原點）的最小值為（）

A.8B.2713C.√4TD.6

30.（北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題）在棱長為1的正方體ABCQ-A耳GA中，

P是線段Ba上的點，過A的平面α與直線PO垂直，當P在線段8G上運動時，平面α

截正方體ABCz）-ABIGA所得的截面面積的最小值是（）

A.1B.?C.—D.√2

42

二、填空題

2

31.(2020屆北京市朝陽區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學試題)若復數(shù)Z=三，則

1+1

∣Z∣=.

Iog1x,x≥l

32.(北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題)函數(shù)f(x)=5的值域為

3v,x<l

33.(北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題)經(jīng)過拋物線/=4)，的焦點的直線與拋

物線相交于A,8兩點，若IABI=4,貝1]_。鉆(。為坐標原點)的面積為.

34.(北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題)某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習，假設

雙方兵力(戰(zhàn)斗單位數(shù))隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：

x(∕)=X0cosh

，其中正實數(shù)X。,力分別為紅、藍兩方初始兵

J^?X0Sinh

y(r)=Y0cosh

力，，為戰(zhàn)斗時間；χ(f),y(f)分別為紅、藍兩方/時刻的兵力;正實數(shù)”，匕分別為紅方

對藍方、藍方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；COShX=W二和SinhX=三匚分別為雙曲余弦

函數(shù)和雙曲正弦函數(shù).規(guī)定當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰(zhàn)斗演習結束，另一方獲

得戰(zhàn)斗演習勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為?給出下列四個結論：

①若X。>%且α=人，則χ(f)>y(r)(o<t<τ).

②若X°>匕且“=〃，則丁="1。1丁?!

③若黃>一，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利；

“0a

④若a>?p,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利?

其中所有正確結論的序號是.

35.(江蘇省南通市通州區(qū)2020-2021學年高一下學期期中數(shù)學試題)計算

i(l+i)=.

36.(北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題)已知直線x=g和X=學是曲線

36

y=sin(ox+e)(o>0)的相鄰的兩條對稱軸，則滿足條件的一個。的值是.

試卷第6頁，共14頁

37.(北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題)在平面直線坐標系XS，中，設拋物線C：

V=4χ的焦點為尸，直線/：y=6(x-l)與拋物線C交于點A,且點A在X軸上方，

過點A作拋物線C的切線與拋物線C的準線交于點P,與X軸交于點”.給出下列四個結

論：

①Q(mào)E4的面積是G；

②點〃的坐標是(-6,0)；

③在X軸上存在點。使AQ?PQ=O;

④以HF為直徑的圓與)’軸的負半軸交于點N,則AF=2FN.

其中所有正確結論的序號是.

38.(北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題)在(X+—J的展開式中，/的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)

2*XCl

39.(北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題)己知函數(shù)f(x)=,'',則

-log,x,x..l,

/(0)=；/(χ)的值域為.

40.(北京市首都師范大學附屬中學2022屆高三上學期期中數(shù)學試題)已知向量

“=(6,l),ZJ=(X,y)(封≠0),且W=1,a?b<U,則向量b的坐標可以是.(寫

出一個即可)

41.(北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題)李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營一家網(wǎng)店，每售出

一件A商品獲利8元.現(xiàn)計劃在“五一”期間對A商品進行廣告促銷，假設售出A商品的

2

件數(shù)加(單位：萬件)與廣告費用X(單位：萬元)符合函數(shù)模型機=3——若要

x+1

使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用X應投入萬元.

42.(北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題)華人數(shù)學家李天巖和美國數(shù)學家約克給

出了“混沌”的數(shù)學定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學、經(jīng)濟學和社會學領域都有重要

作用在混沌理論中，函數(shù)的周期點是一個關鍵概念，定義如下：設/(x)是定義在R上的

函數(shù)，對于/eR,令z=∕(x,ι)("=l,2,3,?.),若存在正整數(shù)上使得Z=X。，且當

0<j<%時，X∕≠x°,則稱x°是/(x)的一個周期為火的周期點.給出下列四個結論：

①若/(x)=∕τ,則/(x)存在唯一一個周期為1的周期點;

②若/(x)=2(1-X),則/(x)存在周期為2的周期點;

③若/（X）=1則f（x）不存在周期為3的周期點；

2（1—x）,X...一,

2

④若/（X）=X（I-X）,則對任意正整數(shù)”，/都不是/（X）的周期為一的周期點.

其中所有正確結論的序號是.

三、雙空題

43.（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）在一ΛBC中，α=4√Lb=m,

SinA-CoSA=O.

（1）若加=8,則C=；

（2）當加=（寫出一個可能的值）時，滿足條件的ABC有兩個.

44.（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）己知數(shù)列｛《,｝是首項為3,公比為4的

等比數(shù)列，S“是其前”項的和，若為包+為=0,則夕=;邑=.

45.（北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題）某地進行老舊小區(qū)改造，有半徑為60

TT

米，圓心角為W的一塊扇形空置地（如圖），現(xiàn)欲從中規(guī)劃出一塊三角形綠地PQR,其

中尸在BC上，PQ-J-AB,垂足為。，PRlAC,垂足為R,設NPA8=aG（0,?）,則

PQ=《用α表示）；當戶在BC上運動時，這塊三角形綠地的最大面積是

四、解答題

46.（北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）如圖，在三棱柱A8C-A1B1C1中，的，

平面ABC,D,E分別為AC,AG的中點，AB=BC=亞,AC=Λ41=2.

試卷第8頁，共14頁

⑴求證：AC，平面BcE；

(2)求直線OE與平面ABE所成角的正弦值;

(3)求點。到平面ABE的距離.

47.(北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題)設函數(shù)

/(x)=Λsinωxcosωx+cos2<υx(Λ>0,69>0),從條件①、條件②、條件③這三個條件中

選擇兩個作為已知，使得/(x)存在.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)求〃x)在區(qū)間Og上的最大值和最小值.

條件①：/(x)q"(-X);

條件②：/(X)的最大值為；；

條件③：/(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為?.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答

計分.

48.(北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題)某地區(qū)組織所有高一學生參加了“科技

的力量”主題知識竟答活動，根據(jù)答題得分情況評選出一二三等獎若干，為了解不同性

別學生的獲獎情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名參加活動的高一學生，獲獎情況統(tǒng)計結

果如下：

獲獎人數(shù)

性別人數(shù)

一等獎二等獎三等獎

男生200101515

女生300252540

假設所有學生的獲獎情況相互獨立.

(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名，求抽到的2名學生都獲一等

獎的概率；

(2)用頻率估計概率，從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機抽取

1名，以X表示這2名學生中獲獎的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望EX；

(3)用頻率估計概率,從該地區(qū)高一學生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為P。；

從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為P∣;從該地區(qū)高一女生

中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為P2,試比較P。與"包的大小.(結論

不要求證明)

49.(北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題)已知函數(shù)/(x)=e2jc-αr-l(αeR).

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(x)>0對XW(O,y)恒成立，求α的取值范圍；

(3)證明：若/(x)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點為,則x°<n-2.

50.(北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題)已知橢圓屋?+$=1(0<〃<4)經(jīng)過

?(√2,1).

(1)求橢圓E的方程及離心率；

⑵設橢圓E的左頂點為A,直線Lx=%y+1與E相交于MN兩點，直線AM與直線x=4

相交于點。.問：直線NQ是否經(jīng)過X軸上的定點？若過定點，求出該點坐標；若不過

定點，說明理由.

51.(北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題)已知有窮數(shù)列

A:%%Mv(NeN*,N23)滿足4?e{-l,(),l}(i=l,2,,7V),給定正整數(shù)相，若存在正

整數(shù)s,f(s"),使得對任意的Ze{0,l,2,,w-l},都有J=4",則稱數(shù)列A是機一

連續(xù)等項數(shù)列.

(1)判斷數(shù)列A：-l，1，0,1,0,1,T是否為3-連續(xù)等項數(shù)列？是否為4-連續(xù)等項數(shù)列？說

明理由；

(2)若項數(shù)為N的任意數(shù)列Λ都是2-連續(xù)等項數(shù)列，求N的最小值；

⑶若數(shù)列A：%%,?,叫,不是4-連續(xù)等項數(shù)列，而數(shù)列4嗎,生，,aN,-\,數(shù)列

A?:%,生,?,叫,,0與數(shù)列A：%%,-，斯」都是4-連續(xù)等項數(shù)列，且o3=0,求即的值.

52.(北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題)在；A8C中，4sinC+CCoSA=0.

試卷第10頁，共14頁

(1)求A；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使ABC存在且唯一確

定，求一ABC的面積.

條件①：b=>∕2c;條件②：sinB=Y3;條件③：a=?/10.

10

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分

別作答，按第一個解答計分.

53.(北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題)某學校在寒假期間安排了“垃圾分類知

識普及實踐活動為了解學生的學習成果，該校從全校學生中隨機抽取了50名學生作

為樣本進行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)若全校學生參加同樣的測試，試估計全校學生的平均成績(每組成績用中間值代替)；

(2)在樣本中，從其成績在80分及以上的學生中隨機抽取3人，用X表示其成績在

[90,100]中的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；

⑶在(2)抽取的3人中，用y表示其成績在[80,90)的人數(shù)，試判斷方差D(X)與。⑺

的大小.(直接寫結果)

54.(北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題)如圖1,在四邊形ABa)中，AClBD,

AC∣BD^O,OD=OB=I,OC=2,E,尸分別是AB,A。上的點，EFHBD,

ACCEF=H,AH=2,HO=I.將AAEF沿EF折起到AEF的位置，得到五棱錐

?-BCDFE,如圖2.

4

圖1圖2

(1)求證：EF/平面AHC；

(2)若平面AEFl平面BCDFE,

(i)求二面角。-AC-4的余弦值；

(ii)對線段A尸上任意一點N,求證：直線BN與平面A。C相交.

55.(北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題)已知/(x)=X-訛1a&R.

⑴若曲線y=∕(x)在點(IJ⑴)處的切線與X軸重合，求。的值；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(l,+w)上存在極值，求。的取值范圍；

(3)設g(x)=∕(2-x),在(2)的條件下，試判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+8)上的單調(diào)性，并

說明理由.

22

56.(北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題)已知橢圓C：'+表?=ig>∕7>0)的

一個焦點為“1,0),且過點(《).

(1)求橢圓C的方程和離心率；

(2)過點P(4,0)且與X軸不重合的直線/與橢圓C交于A,B兩點，與直線x=l交于點。，

點〃滿足Mpj_X軸，M8∕∕x軸，試求直線的斜率與直線MQ的斜率的比值.

57.(北京市朝陽區(qū)2022屆高三一模數(shù)學試題)對非空數(shù)集X,y,定義X與y的和

集X+y={x+y∣xeX,yey}.對任意有限集A,記同為集合A中元素的個數(shù).

⑴若集合X={0,5,10},y={-2,-1,0,1,2),寫出集合X+X與x+y；

(2)若集合X={ΛPΛ2,,X,,}滿足不<々<<X",“≥3,且∣X+X∣<2∣X∣,求證:數(shù)列4,

々，L,X,是等差數(shù)列；

χ

(3)設集合X={和電,,天}滿足不<?2<<n,n>3,且&wZ(i=l,2,,〃)，集合

試卷第12頁，共14頁

B=eZ?-ιn<k<m'j(∕∏≥2,加GN),求證：存在集合A滿足|川41+“'忸；且

X?A+B.

58.(北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題)已知函數(shù)

/(*)=ASin(or+。)(A>0,。>0,0</<^)由下列四個條件中的三個來確定：

①最小正周期為"；②最大值為2；③/(-總=0；Φ∕(0)=-2.

(1)寫出能確定/(x)的三個條件，并求Ax)的解析式；

(2)求/O)的單調(diào)遞增區(qū)間.

59.(北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題)如圖，在四棱錐P-ABCO中，。是AO

邊的中點，POI底面ABCRPO=L在底面ABCD中，

BC∕∕AD,CD±AD,BC=CD=?,AD=2.

(1)求證：AB〃平面POC；

(2)求二面角B—AP—力的余弦值.

60.(北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題)我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面勝利，現(xiàn)行標

準下農(nóng)村貧困人口全部脫貧，消除了絕對貧困.為了解脫貧家庭人均年純收入情況，某

扶貧工作組對A,B兩個地區(qū)2019年脫貧家庭進行簡單隨機抽樣，共抽取500戶家庭作

為樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表：

A地區(qū)B地區(qū)

2019年人均年純收入超過10000元100戶150戶

2019年人均年純收入未超過10000元200戶50戶

假設所有脫貧家庭的人均年純收入是否超過IOoOO元相互獨立.

(1)從A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機抽取1戶，估計該家庭2019年人均年純收入超

適IOOOO元的概率；

(2)在樣本中，分別從A地區(qū)和B地區(qū)2019年脫貧家庭中各隨機抽取1戶，記X為

這2戶家庭中2019年人均年純收入超過IOoOO元的戶數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(3)從樣本中A地區(qū)的300戶脫貧家庭中隨機抽取4戶，發(fā)現(xiàn)這4戶家庭2020年人均

年純收入都超過IOOOO元.根據(jù)這個結果，能否認為樣本中A地區(qū)2020年人均年純收

入超過IOoOO元的戶數(shù)相比2019年有變化？請說明理由.

61.(北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題)已知橢圓C的短軸的兩個端點分別為

A(0,l),β(0,-l),離心率為好.

3

(1)求橢圓C的方程及焦點的坐標；

(2)若點M為橢圓C上異于A,8的任意一點，過原點且與直線他4平行的直線與直線

y=3交于點尸，直線MB與直線y=3交于點°,試判斷以線段PQ為直徑的圓是否過定

點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

62.(北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題)己知函數(shù)/(x)=(OrT)e'(αeR).

(1)求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若直線y=αv+α與曲線y=∕(x)相切，求證：αe(-l,-∣).

63.(北京市朝陽區(qū)20區(qū)屆高三一模數(shù)學試題)設數(shù)列數(shù)：2),若存在

公比為q的等比數(shù)列瓦向：仿也，，%,使得也<4<%,其中A=l,2,即，則稱數(shù)

列?+l為數(shù)列4的''等比分割數(shù)列”.

(1)寫出數(shù)列4：3,6,12,24的一個“等比分割數(shù)列”Bs；

(2)若數(shù)列Ao的通項公式為4=2"5=L2,,10),其“等比分割數(shù)列”%的首項為1,

求數(shù)列用的公比q的取值范圍；

(3)若數(shù)列4的通項公式為4=MS=1,2,,m),且數(shù)列Azn存在“等比分割數(shù)列，，，求

m的最大值.

試卷第14頁，共14頁

參考答案：

1.C

【分析】化簡A={x|-2≤x≤2},再由集合并集的運算即可得解.

【詳解】由題意A={x∣∕≤4}={x∣-2≤x≤2},β={ψ>0},

所以AuB={x∣-2≤x≤2}u{x∣x>θ}={x∣xN-2}=[-2,+8).

故選：C

2.A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A,取特殊值判斷BCD.

【詳解】a>O>b,.?.a3>O,b3<O,即蘇>力，故A正確；

取α=l,b=-2,則同>網(wǎng)不成立，故B錯誤；

取α=l,b=-2,則U不成立,故C錯誤;

取”=；為=-；,則ln(a-A)=InI=0,故D錯誤.

故選:A

3.A

【分析】先求出(l+x)"展開式第廠+1項，再由%=%列出方程，即可求出”的值.

【詳解】(1+x)"展開式第r+l項IM=CK,

'?"ai=a3i?'?C；=,

.?."=2+3=5.

故選：A.

4.D

【分析】將問題化為直線y=H-2與圓V+y2=ι有交點，注意直線所過定點(0,-2)與圓的

位置關系，再應用點線距離公式列不等式求后的范圍.

【詳解】由題設，問題等價于過定點(0,-2)的直線y=履-2與圓/+V=ι有交點，

答案第1頁，共44頁

故選：D

5.C

【分析】由/S)的奇偶性、單調(diào)性結合充分條件、必要條件的概念即可得解.

【詳解】因為/(x)=d+x定義域為R,/(-%)=(-χ)3+(-?)=-f(x),

所以F(X)為奇函數(shù)，且/(X)為R上的增函數(shù).

當x∣+*2=O時，％=-x∣,所以/(xι)+∕(w)=∕(xJ+∕(-x∣)=°,

即“X1+x2=0”是“/(Λ?)+∕(X2)=0”的充分條件,

當〃玉)+F(W)=O時,/(??)=-∕(?)=∕(-?).由/(χ)的單調(diào)性知,

x1=-x2,Bpx1+x2=0,

所以“x,+x2=0”是“/(%)+∕(Λ2)=0”成立的必要條件.

綜上，“%+》2=0”是“/(辦)+/(%)=0”的充要條件

故選：C

6.B

【分析】由題意易得所以NAOF=30,從而tan30=g=*,再由e=?=j+('J求解.

【詳解】解：在∕?4AFO中，因為NA尸O=2NAOF,

所以ZAo尸=30,則tan30=2=在，

3

所以，若此

2=空

7

答案第2頁，共44頁

故選：B

7.C

【分析】根據(jù)平面交線的性質(zhì)可知ANACt=M,又平行線分線段成比例即可得出正確答

案，對于ABD可根據(jù)長方體說明不一定成立.

【詳解】如圖，連接AC,8E>,交于N,連接AG,A1N,

在長方體中，平面ACea與平面ABO的交線為AN,

而AGu平面AeGA,,且AGC平面A］。=M,

所以MeAN,

又AN∕∕A1G,AN=^AiCl,

所以4W=g"G,故C正確.

對于A,因為長方體中AC與80不一定垂直，故推不出AΛ∕LE),故A錯誤；

對于B,因為長方體中A,。與AB不一定相等，故推不出AMLBD,故B錯誤；

對于D,由B知，不能推出AN與8。垂直，而AN是中線，所以推不出M3=ME>,故D

錯誤.

故選：C

8.D

【分析】A.代入周期的定義，即可判斷；

B?分別比較兩個函數(shù)分別取得最大值的X值，即可判斷；

C.代入對稱性的公式，即可求解；

D.根據(jù)零點的定義，解方程，即可判斷.

答案第3頁，共44頁

【詳角星】A./(x÷π)=sin(jc+π)+?sin2(x+π)=-sinx+-^sin2x≠/(x),故A錯誤；

TT1TE

B.y=sinx,當X=—+2%兀，Z∈Z時，取得最大值1,y=—sin2x,當2無=—+2E,%∈Z

222

時，即x=：+E,ZwZ時，取得最大值所以兩個函數(shù)不可能同時取得最大值，所以/(x)

3

的最大值不是:，故B錯誤；

C./(2π-x)=sin(2π—x)+Jsin2(2兀一X)=-Sinx—;sin2xw/(x),所以函數(shù)/(x)的圖象不

關于直線X=兀對稱，故C錯誤；

D.∕(x)=sinx+^sin2x=sinx+sinXCOSx=0,即SinX(1+cosX)=O,x∈[θ,2π],

即SinX=O或COSX=-1,解得：x=0,π,2π,

所以函數(shù)外可在區(qū)間[0,2π]上有3個零點，故D正確.

故選：D

9.C

【分析】由三角形中線性質(zhì)可知AN=g(AB+AC),再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交

]f1→

點可知IAMlCOSNBAM=FABI,同理可得IAMlCoSNCAM=-|AC∣,再由數(shù)量積運算即

22

可得解.

【詳解】N是BC中點，

.?.AN=-(AB+AC),

2

M為JlBC的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，

.?.AM-AB=|AM∣∣Λθ∣cosZβAM=^∣AB∣2=→42=8,

同理可得AM?AC=g∣ACf=18,

AMAD=AM-(AB+AC)=-AMAB+-AMAC=-×S+-×?S=13.

22222

故選：C

10.B

13

【分析】通過條件q=l,→∕π.l≤?(n=2,3,,k),得到八-五三，

再利用條件q+%++%=8得到16=2A+1)”,

答案第4頁，共44頁

進而得到不等關系：16≥2Z+k(%-從而得到女的最大值.

DK-N

【詳解】由q=l,;%≤q5=2,3,次)，得到1+(〃—2)d≤4[l+5-1)句,

即3+(3九-2)d≥0,

3

當〃=2,3,，女時，恒有3+(3"-2)d≥0,即d≥———,

3〃一2

3

所以d≥-γ,

737k-2

I,-?k(a,+a..)k?2+(k-?)d?

由“∣+%++《=q8,得zb到zll8=二~1~D=」--------i,

22

所以16=2《+Jt(Z-l)d≥2Z+氏(Z-I)^-,,?∈NΛ≥2,

3k-2

整理得到：3∕-4%+32≤0,所以％≤15.

故選：B

11.D

【分析】將集合A、8化簡，再根據(jù)并集的運算求解即可.

【詳解】：集合A={X∣2≤X<4},集合B=卜卜2_3》+2<0}={x∣l<x<2∣,

/.AUB={JV∣1<X<4∣.

故選：D.

12.B

【分析】先求出圓心到直線的距離，然后利用半徑、圓心距和弦的關系可求出弦長

【詳解】解：圓f+y2=ι的圓心為0(0,0),半徑r=1,

則圓心。(0,0)至IJ直線>=X+1的距離4=3=變，

√22

所以直線y=χ+ι被圓V+/=1所截得的弦長為2√T=/=27]=&,

故選：B

13.A

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運算性質(zhì)即得.

【詳解】?"“∣=2,W=I,且〃與6的夾角為g，

.,—i2TTi

..??￡>=2×l×cos——=-1,

3

答案第5頁，共44頁

Λpz+fe∣=(a+b)2=a+2α?b+Z?=22—2×1+12=3,

Λ∣tz+?∣=+.

故選：A.

14.C

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】V7∏∈(0,l),

Λα=lg∕π<0,b-Ignι2=21gA?z<lgm=a,C=(Igmy>0,

*?c>a>b.

故選：C.

15.C

HW-3=-1?-2m=-l

【分析】由題可得八或八，即求.

/n≥Om<O

【詳解】:函數(shù)/(x)=(c'[，f(m)=-lf

-2x,x<0

.∫2w-3=-1∫-2zn=-l

m≥0[∕π<0

解得m=l.

故選：C.

16.A

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，利用基本不等式定理與舉特例判斷可得.

【詳解】解：當α=:時，??α+l=→3>2i

3a3

當α>I時,有a+^>2個a」=2成立,

綜上，“。>1”是七+，>2”的充分不必要條件，

a

故選：A.

17.B

【分析】第1步和最后一步位置都是A,中間兩步位置可從8、C、。三個點中選兩個排列

即可.

答案第6頁，共44頁

【詳解】可以看成先后順序為1、2,3、4的四個座位，第1和第4個座位都是4,第2和

第3兩個座位從8、C、。三個字母選兩個進行排列，共鷺=6種排法.

故選：B.

18.B

【分析】利用數(shù)列的周期的定義逐項分析即得.

【詳解】①'?'an+2=l-an+l=l-(l-?)=αn,

.?.數(shù)列｛q｝的周期為T=2,故8也是數(shù)列｛4｝的周期；

②由4=1,=-?jT?^("eN),可得

,1f1-…11

b2=一二&=---Γ=2,?4=--~~-=h?5

2,1I—1-22

2

故數(shù)列｛。,,｝的周期為丁=3；

③由C∣=l,C2=2,q,+2=%+|-%(〃￡?4*)可得，

cc

C3=C2-C1=l,c4=C3-C2=TC5~4~3=-2,6=C5一。4=-1工7=。6一。5=L/=C7-C6=2,

故數(shù)列｛%｝的周期為7=6；

④由4=1,d,l+i=(T)"&(Λ∈N*)可得，

n+3n+2n+n+

4-九=(-ι)?(-ι)%=-dn+2=-(-ι)'%=-(-ι)'?(-?)"dn=dn,

故數(shù)列｛4｝的周期為T=4,所以8也是數(shù)列｛q,｝的周期.

故8為其周期的數(shù)列個數(shù)為2.

故選：B.

19.A

【分析】根據(jù)題意，設雙曲線的標準方程為宗-/=1(。>0/>0),進而結合題意得”=16,

設口。=%,則C(17,%),3(28.5,%-70),再待定系數(shù)，結合已知數(shù)據(jù)計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，設雙曲線的標準方程為，?-/=1(。>0,6>0),

因為∣GA∣=16,I明=17,|國=28.5,ID￡|=70,

答案第7頁，共44頁

所以a=16,設I。。=%,

則點C(17,%)B(285y0-70)在雙曲線與一/1(“>0/>0)上,

28.52(%-70)2

所以