第三章 圓錐曲線的方程（公式、定理、結(jié)論圖表）-2023年高考數(shù)學(xué)知識(shí)手冊(cè)（新教材）

第三章圓錐曲線的方程（公式、定理、結(jié)論圖表）

「、思維導(dǎo)圖

［用平面截圓錐］

匚橢圓，雙曲段I找物線

三種圓維曲線的定義

I坐標(biāo)法

三種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程］落圖

頂點(diǎn)

三種BB錐曲線的幾何性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性

▼離心率］

三種Bl維曲線的應(yīng)用漸近線

（雙曲線）

知識(shí)梳理

一、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)尸2的距離的和等于常數(shù)（大于IBF2∣）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓

的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

注：在橢圓的定義中必須要注意以下兩個(gè)問(wèn)題

（1）定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量.

(2)常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓.

①若IMGl+1MgH《瑪I,M的軌跡為線段F1F2；

②若IM用+∣M^∣VKg∣,M的軌跡無(wú)圖形

二、橢圓的方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程'+g=l(α>Z>>O)^i+^2=l(fl>?>0)

范圍-α^X一〃且一A≤y≤5-bWxWb且一0Wv?α

頂點(diǎn)Aχ(一4,0),—2(〃,0),3ι(0,-b),5?(0,b)Aι(0,-a),A?(0,α),b?(一10),呂式瓦。)

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2m短軸長(zhǎng)=25

焦點(diǎn)-1(-c,0),-2(c,0)Pl(0,-c),—2(0,C)

焦距I尸1BI=2C

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸X軸和y軸,對(duì)稱(chēng)中心(0,0)

三、橢圓的焦點(diǎn)三角形

橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義和正

弦定理、余弦定理.

以橢圓7+方=l(α>)>0)上一點(diǎn)P(Xo,yo)(yo≠O)和焦點(diǎn)外(」,0),尸2(，,0)為頂點(diǎn)的4尸尸1尸2中,若/尸1尸尸2

=θ,則

⑴橢圓的定義：?PFl?+?PF2?=2a.

222

(2)余弦定理：4c=∣PF,I+∣PF2∣-2∣PFι∣∣PF2∣?COSθ.

(3)面積公式：S?PFiF2=∣∣PFι∣∣PF2∣?sin0,當(dāng)仇|=從即尸為短軸端點(diǎn)時(shí)，S"Fg取最大值，為be.

?g

重要結(jié)論：SA∕ΨIF2="tan—

2

推導(dǎo)過(guò)程：由余弦定理得∣F∣F2F=∣PF∣F+∣PB∣2—2∣PF∣∣∣PF2卜COS，得

2

4C=(]PFl?+?PF2?Y-2?PFIHPF2?(1+COSθ)

22

4C=4a-2∣Pfl∣∣PEI(1+cos0)

2b2

H——T

1+cosθ

由三角形的面積公式可得

SΔPFIF2=—∣PF^∣∣PF,Isinθ

.θθ

2osin—cos—

--------=/?2tan

21+cosθ1+cosθ

2cos2-

2

,θ

注：(/'是三角形內(nèi)切圓的半徑)

SΔPFIF2=b~tan-=c?yp?={a+c)r

(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).

(5)在橢圓C：5+∕=l(a>Z>>0)中歷，B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在

短軸端點(diǎn)時(shí)，/"P"最大.

四、點(diǎn)與桶圓的位置關(guān)系

22

點(diǎn)尸(XO,yo)與橢圓a+g=l(α>'>°)的位置關(guān)系：

點(diǎn)尸在橢圓上冷+￡=1；點(diǎn)尸在橢圓內(nèi)部，+1<1；點(diǎn)P在橢圓外部郊+g>l.

五、直線與橢圓的位置關(guān)系

直線y=Ax+m與橢圓今+g=l(α>5>0)的位置關(guān)系，判斷方法：

y=kx+m9

聯(lián)立《χ2e消y得一元二次方程.

當(dāng)/>0時(shí)，方程有兩解,直線與橢圓相交；

當(dāng)/=0時(shí)，方程有一解,直線與橢圓相切；

當(dāng)/<0時(shí)，方程無(wú)解,直線與橢圓相離.

六、直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式

1.定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱(chēng)為橢圓的弦.

2.求弦長(zhǎng)的方法

(1)交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求.

(2)根與系數(shù)的關(guān)系法：

如果直線的斜率為A,被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x∣,yl),(X2,J2),則弦長(zhǎng)公式為：

∣Aβ∣=√l+?2?√(xι+x2)2-4X∣X2=Ol+j2)2—4jιj2.

注：(1)已知弦AB是橢圓「+三=1(α>A>O)的一條弦，中點(diǎn)M坐標(biāo)為(%,為)，則AB的斜率

ab

M2

?+F-

2

lyχa"

為一一產(chǎn)，運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率，設(shè)∣B(x,y)、都在橢圓上，

ABA(X,y),22iA82?

a^y

0?+/-

Ia

兩式相減得：?≠÷?≠=0,心產(chǎn)2一

即江之bx+*2_bX。_力Xo

l

~；-2-'故'iΛB—2~^

%一%2。乂+%aΛ。%

b2

(2)弦AB的斜率與弦中心M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值：-

a2

七、雙曲線的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)B,F2的距離的差的鈕值等于非零常數(shù)(小于IFlgl)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這

兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

注：1、集合語(yǔ)言表達(dá)式

雙曲線就是下列點(diǎn)的集合:P={M???MFl?-?MF2Il=2a,O<la<?FiF2?}.常數(shù)要小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離.

2、對(duì)雙曲線定義中限制條件的理解

(1)當(dāng)IIM尸II-IM巳∣∣=24>嗎尸2∣時(shí)，M的軌跡不存在.

⑵當(dāng)IlMBI-∣M3∣l=24=嗎尸2∣時(shí)，M的軌跡是分別以尸I,尸2為端點(diǎn)的兩條射線.

⑶當(dāng)IlM尸Il-IM/2∣∣=0,即IM尸II=IM尸2∣時(shí)，M的軌跡是線段尸匹的垂直平分線.

(4)若將定義中的絕對(duì)值去掉，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支.具體是哪一支,取決于IMGl

與IM居I的大小.

①若IMFi?>?MF21.則IM耳I—IMEI>O,點(diǎn)M的軌跡是靠近定點(diǎn)F2的那一支；

②若IMF11<∣MF21,則IMEITMK∣>O,點(diǎn)M的軌跡是靠近定點(diǎn)F1的那一支.

八、雙曲線的方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

y2X2

a2b211

標(biāo)準(zhǔn)方程

(α>0,?>0)(α>0,?>0)

焦點(diǎn)尸1(-C,()),-2(C,0)尸l(0,-C),尸(20,C)

焦距EF2∣=2C

范圍xW—α或xdα,y∈R盡一α或y》a,x∈R

性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸;對(duì)稱(chēng)中心：原直

頂點(diǎn)4(一0,0),A2(4.O)Aι(0,-a),A2(O,a)

實(shí)軸：線段皿，長(zhǎng)：2a；

軸虛軸：線段為①，長(zhǎng)：2b；

雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用雙曲線的定義

和正弦定理、余弦定理.

22

以雙曲線二一???=1(。>0力>0)上一點(diǎn)P(X0,yo)O?WO)和焦點(diǎn)F,(-C,O),&(c,0)為頂點(diǎn)的4PFiB

a~b

中，若NFIPF'2=0，則

⑴雙曲線的定義：IlP用-IPBIl=2a

余弦定理：222

(2)IF1F21=∣PF.∣+∣PF2∣-2∣PFI∣∣PF2∣?COS0.

(3)面積公式：SΔPFIF2=∣∣PFIl∣PF2∣?sinθ,

b2

重要結(jié)論：SAPFIFI=----K

U

tan—

2

推導(dǎo)過(guò)程：由余弦定理得出”2|2=|「人|2+|尸產(chǎn)2|2-2|「尸|||尸尸2卜《)5，得

22

4C=(∣∣PF,1-?PF2??)-2?PFI∣∣PF2?(l+cos^)

22

4C=4a+2∣PFlIlPKl(I-CoSe)

?PF??PFμ

l21-cosθ

由三角形的面積公式可得

SAmQ=JPF肅PF?Isin。

`.θθ

??2sin—cos—j2

?2b2SlnZe222b

?sin。=/72=b=

1—cos6l-c。Se2si*tan

2

十、直線與雙曲線的位置關(guān)系

1、把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過(guò)消元后化為αχ2+%χ+c=0的形式，在a#0的情況下考察方

程的判別式.

(l)∕>0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).

(2)/=0時(shí)，直線與雙曲線只有二仝公共點(diǎn).

(3M<()時(shí)，直線與雙曲線投有公共點(diǎn).

當(dāng)α=0時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有二仝公共點(diǎn).

注：直線與雙曲線的關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支.

2、弦長(zhǎng)公式

直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)公式，設(shè)直線與橢圓交于A(M,χ),8(%,%)兩點(diǎn)，則

2222

IAβ∣=^(l+k)(x,-x2)=,y(l+k)λ∕(x,+x2)-4x1x2=J1+')(必一=J,+*),?+%)—.(

(k為直線斜率)

2h2

3、通徑的定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于A、8兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)IABl=2.

a

十一、拋物線的定義

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線Kl不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線

的焦點(diǎn)，直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注：①在拋物線定義中，若去掉條件“，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸'，點(diǎn)的軌跡還是拋物線嗎？

不一定是，若點(diǎn)尸在直線/上，點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)尸且垂直于直線/的直線.

②定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)/(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(點(diǎn)M到點(diǎn)尸的距離

與它到定直線/的距離之比等于1).

十二、拋物線的方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

類(lèi)型y2=2px(p>0)y2=-2px(p>O)x2=2py[p>Q)x2=-2py(p>0)

X=X=Ey=W

準(zhǔn)線x2x2y=~2

范圍x≥0,j∈Rx≤0,j∈Rx∈R,j≥0x∈R,j≤0

性質(zhì)

對(duì)稱(chēng)軸X軸y軸

頂點(diǎn)0(0,0)

離心率

開(kāi)口方向向右向左向上向下

十三、直線與拋物線的位置關(guān)系

設(shè)直線/:y=kx+m,拋物線：y=2pχ(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于X的方程爐爐+2(.

-p)x+,"2=0.

⑴若A≠0,當(dāng)/>0時(shí),直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)/=O時(shí),直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)/<0時(shí),直線與拋物線相離，沒(méi)有公共點(diǎn).

(2)若A=0,直線與拋物線有二個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸或與對(duì)稱(chēng)軸重合.

注：(1)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.

(2)研究直線與拋物線的關(guān)系時(shí)要注意直線斜率不存在的情況.

十四、弦長(zhǎng)問(wèn)題

過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A(X】，yι),B(x2,力)兩點(diǎn)，那么線段AB叫做焦點(diǎn)弦,

如圖：設(shè)A5是過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若Aa1,%),B(x2,y2),則IAM=Xl+4+小

02

注：(1)X1?X2=4?

2

(2)yι?y2=-p.

(3)∣A3∣=XI+X2+P=(G是直線AB的傾斜角).

112

（4）西+麗=5為定值（廠是拋物線的焦點(diǎn)）.

（5）求弦長(zhǎng)問(wèn)題的方法

①一般弦長(zhǎng)：∣AB∣=Λ∕1+P∣X∣-X2?,或歸8|=\/1+表也一X2∣?

②焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A（X1,Jl）,3（X2,J2）,則lA8∣=x∣+刈+p.

〈常用結(jié)論》

1.軌跡類(lèi)型：方程一+—=1,當(dāng)/〃=〃>0時(shí)表示圓；當(dāng)力>〃>0或〃>加〉0時(shí)表不橢圓；當(dāng)初<0時(shí)表不雙曲

mn

線.

2.橢圓結(jié)論：

（1）如圖1：①焦點(diǎn)△￡/!為周長(zhǎng)CA長(zhǎng)數(shù)=2a+2。、面積SARAR=6?tan

9A2

②△/品的周長(zhǎng)為：CAABJ=AB③通徑：Ma=—（橢圓、雙曲線通用）；

a

⑵如圖2：點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則有：①動(dòng)點(diǎn)角范圍：0W∕4∕?W∕4物2；

②焦半徑范圍：a-c≤∣∕^∣≤a+c（長(zhǎng)軸頂點(diǎn)到焦點(diǎn)最近和最遠(yuǎn)，即遠(yuǎn)、近地點(diǎn)）；

/2

③I尸。|范圍：8W∣AO∣Wa（長(zhǎng)、短軸頂點(diǎn)到原點(diǎn)最遠(yuǎn)、最近；④斜率：kpA??kp4=一%

（3）點(diǎn)/（加,Jb）和橢圓的關(guān)系:

222222

①點(diǎn)戶在橢圓內(nèi)=2+殺1.②點(diǎn)P在橢圓上=2+乍=1.③點(diǎn)產(chǎn)在橢圓外=2+V>ι.

ababab

（4）橢圓扁平程度：因?yàn)閭€(gè)"J=qιS,所以e越大，橢圓越扁；e越小，橢圓越

圓.'''

3.雙曲線結(jié)論：

⑴如圖3：①動(dòng)點(diǎn)一到同側(cè)焦點(diǎn)用的距離最小值為：∣ΛSls?=∣4K∣=c—a；

②焦點(diǎn)到漸近線的距離為：IKM=左

22

⑵漸近線求法結(jié)論：可直接令方程當(dāng)一?=Λ（∕l≠0）等號(hào)右邊的常數(shù)為0,化簡(jiǎn)解得;

ab

4.拋物線結(jié)論：

如圖4：拋物線y=2PXS>0）焦點(diǎn)弦46,設(shè)小小，力）、庾及，女），46的中點(diǎn)￡,準(zhǔn)線為1.

⑴焦半徑問(wèn)題：①焦半徑：I=IA9|=為+5?BF?=?BC?=x^（隨焦點(diǎn)位置變動(dòng)而改變）；

②焦點(diǎn)弦：∣46∣=xι+xz+p=一烏不（其中，。為直線16的傾斜角）；?777T+r?Γ=^:

sinQ∕itt??/JrIp

（2）A6兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即不?&=￡，必?Μ=一/（隨焦點(diǎn)動(dòng)而變）；圖4

（3）其他結(jié)論：①心&w=斌其中，。為直線48的傾斜角）；②以/8為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)"

<解題方法與技巧》

一、“回歸定義”解題的三點(diǎn)應(yīng)用

應(yīng)用一：在求軌跡方程時(shí)，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的定義，寫(xiě)出所求的

軌跡方程；

應(yīng)用二：涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題時(shí)，常用定義結(jié)合解三角形的知識(shí)來(lái)解

決；

應(yīng)用三：在求有關(guān)拋物線的最值問(wèn)題時(shí)，常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖

形，利用幾何意義去解決.

提醒：應(yīng)用定義解題時(shí)注意圓錐曲線定義中的限制條件.

典例1：(1)一動(dòng)圓與兩圓：Λ2+J2=1和*+y2-6x+5=0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為()

A.拋物線B.雙曲線C.雙曲線的一支D.橢圓

(2)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)Q,尸2在X軸上，離心率為坐.過(guò)吊的直線

/交C于A,B兩點(diǎn)，且aABF2的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為.

解析：(l)x2+y2=l是圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓，r2+γ2—6x+5=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-3)2+)2=4,

是圓心為A(3,0),半徑為2的圓.設(shè)所求動(dòng)圓圓心為P,動(dòng)圓半徑為J

[∣PO∣=r+l

則，=>∣β?∣-∣po∣=ι<μo∣=3,符合雙曲線的定義，所以動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線的一支.

[?PA?=r+2

72

(2)設(shè)橢圓方程為a+%=im>b>O),因?yàn)锳B過(guò)Fl且4,8在橢圓上，如圖所示，

則AA8F2的周長(zhǎng)為∣A8∣+HF2∣+∣8∕72∣=∣AQI+∣AF2∣+∣8F]∣+∣8F2∣=4q=16,Λa=4.

又離心率e=^=2??*?c=2√2,.*.?2=6Γ-C2=8,

92

.?.橢圓C的方程為蛋+5=1.

Ioe

72

答案：(I)C⑵諱+3f=1

二、求圓錐曲線方程的一般步驟

一般求已知曲線類(lèi)型的曲線方程問(wèn)題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.

(1)定形一一指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱(chēng)軸的位置.

(2)定式一一根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸

上時(shí)，可設(shè)方程為RX2+0/2=](勿>0,∕7>0).

(3)定量一一由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系，通過(guò)解方程得到量的大小.

典例2：(1)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,O),離心率等于+則C的方程是()

A?+1=1B?+?=1c?f+?=1d?+?=1

(2)已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線「一，=1(4>0,心0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為2,則該

雙曲線的方程為.

尸產(chǎn)

解析：⑴由題意得Jg=I,解得I=]，

則?2=tz2-C?2=3,故橢圓方程為于+'=1.

(2)由題意得(c，解得“,則從=C2-∕=3,

_=2c=2

Ia

因此雙曲線方程為χ2-]=l.

2

答案：(I)D(2)Λ2-f=l

三、圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用

1.圓錐曲線的幾何性質(zhì)主要包括范圍、對(duì)稱(chēng)性、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、長(zhǎng)短軸(橢圓)、實(shí)虛軸(雙曲線)、漸近線

(雙曲線)、離心率和準(zhǔn)線(拋物線).

2.橢圓的離心率，雙曲線的離心率和漸近線，拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，都是?？嫉男再|(zhì)，要熟練掌握.

r2V2?/?V22

典例3：(1)若橢圓5+b=l(4>8>0)的離心率為與，則雙曲線《一v3=1的漸近線方程為()

C4U4xΛCz

A.γ=+∣xB.y=±2xC.y=±4xD.y=±%

(2)已知雙曲線「一g=l(α>O,8>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為√Σ若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙

曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()

2222222

A工一匕=1—匕=1--r=l

A?44-1B88-1cc,48^1DR「∣

解析：⑴由橢圓的離心率可知宗=--=*工,=/

故雙曲線的漸近線方程為y=±^x.

(2)由題意可得§=陋，即又左焦點(diǎn)F(-c,0),P(0,4),

則直線PF的方程為丁二=H~,化簡(jiǎn)即得y=j+4.

4—()。十Cc

結(jié)合已知條件和圖象易知直線P尸與y=3平行,

,c=√2α,

4bIa-=8,

則一=一，即4〃=姐故，4“=姐解得J

ca

221[∕r=8,

[a+b=ct

故雙曲線方程為?■一5=1.

OO

答案：(I)A(2)B

四、直線與圓錐曲線相交，經(jīng)常出現(xiàn)弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問(wèn)題.

(1)處理弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得方程組，化為一元二次方程后，利用根與系

數(shù)的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式M用="劑為一?；騃a=亥I，其中左為直線四的斜率，J(A-1,

%),B(xz,%).

(2)處理中點(diǎn)弦問(wèn)題，一般有兩種思路，思路一：聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行設(shè)而不

求；思路二：利用“點(diǎn)差法”.

v2,2/?

典例4：已知橢圓了+]=l(α>b>O)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(O,1),離心率為彳，過(guò)點(diǎn)8(0,-2)及左焦點(diǎn)Fl的

直線交橢圓于C,C兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)設(shè)為危.

(1)求橢圓的方程；

(2)求4CZ)F2的面積.

2

解：⑴由題意知Z>=l,A乎，且02=c+序，解得&=巾，C=1,

2

易得橢圓方程為，+.V2=L

⑵?.?Q(-l,0),二直線BFl的方程為y=-2x~2,

y=-2x-2

得9Λ2+16X+6=0.

VJ=162-4×9×6=40>0,所以直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn),

16

JC∣+X2=-9

設(shè)為C(X1,y∣),D(X,V),則

22

χr12=q

??CD?=√l+(-2)2lxι—X2∣=-3+x2)2—4x∣X2=小(一學(xué))一4X∣=^√2,

又點(diǎn)F2到直線BFl的距離d=W，

故5ΔCDF2=?CD∣-<∕=∣√Tδ.

五、圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題

(1)定值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

①求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值.

②求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形

求得.

③求某線段長(zhǎng)度為定值.利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得.

(2)定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法

①引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)

系，找到定點(diǎn).

②特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).

典例5：在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，直線/與拋物線γ2=4x相交于不同的A,B兩點(diǎn).

(1)如果直線/過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求宓?勵(lì)的值；

(2)如果?λm=-4