《4.2指數(shù)函數(shù)》考點(diǎn)講解、同步練習(xí)與培優(yōu)

《4.2指數(shù)函數(shù)》考點(diǎn)講解與同步練習(xí)【思維導(dǎo)圖】【常見考點(diǎn)】考點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的判斷【例1-1】下列函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）①②③④（為常數(shù)，，）⑤⑥⑦A．1 B．2 C．3 D．4【例1-2】函數(shù)f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為（）A．1 B．3 C．2 D．1或3【一隅三反】1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或 B． C． D．且2．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則的值為()A．2 B．-2 C． D．3．下列函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．考點(diǎn)二定義域和值域【例2-1】求下列函數(shù)的定義域和值域：（1）；（2）；（3）.【例2-2】若函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___．【一隅三反】1．求下列函數(shù)的定義域和值域；（1）；（2）；（3）.2．求下列函數(shù)的定義域與值域.（1）（2）且（3）（4）3．若函數(shù)的值域?yàn)?，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)的值域?yàn)锽，則()A． B． C． D．5．若函數(shù)有最大值，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)【例3】（1）若函數(shù)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A． B． C．? D．（2）已知函數(shù)，則不等式的解集為()A． B． C． D．（3）如果，那么（）A． B．C． D．【一隅三反】1．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A． B． C． D．2．已知定義在R上的函數(shù)m為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，記，，，則()A． B． C． D．3．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．4．若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5.已知函數(shù)，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________7．比較下列各題中的兩個(gè)值的大?。?），；（2），1；（3），.考點(diǎn)四定點(diǎn)【例4】函數(shù)（，且）的圖象過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A． B． C． D．2．函數(shù)且過定點(diǎn)（）A． B． C． D．3．函數(shù)y=ax﹣1+2（a＞0且a≠1）圖象一定過點(diǎn)（）A．（1，1） B．（1，3） C．（2，0） D．（4，0）考點(diǎn)五圖像【例5-1】函數(shù)的圖像可能是（）．A．B．C．D．【例5-2】若函數(shù)的圖像在第一、三、四象限內(nèi)，則（）A． B．，且C．，且 D．【一隅三反】1．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是()A． B． C． D．2．在如圖所示的圖象中，二次函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C． D．3．若函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則的取值范圍是()A． B． C． D．4．若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是___________4.2指數(shù)函數(shù)答案解析考點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的判斷【例1-1】下列函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）①②③④（為常數(shù)，，）⑤⑥⑦A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對(duì)①：指數(shù)式的系數(shù)為2，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)②：其指數(shù)為，不是，故不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)③④：滿足指數(shù)函數(shù)的定義，故都是指數(shù)函數(shù)；對(duì)⑤：是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)⑥：指數(shù)式的系數(shù)為-1，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)⑦：指數(shù)的底數(shù)為-4，不滿足底數(shù)大于零且不為1的要求，故不是；綜上，是指數(shù)函數(shù)的只有③④，故選：B.【例1-2】函數(shù)f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為（）A．1 B．3 C．2 D．1或3【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，故可得解得或，當(dāng)時(shí)，不是指數(shù)函數(shù)，舍去.故選：C.只有形如的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)，系數(shù)等于只有形如的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)，系數(shù)等于1【一隅三反】1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)所以，且，解得.故選：C.2．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則的值為()A．2 B．-2 C． D．【答案】D【解析】∵函數(shù)f（x）＝（a﹣3）?ax是指數(shù)函數(shù)，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2，故選：D．3．下列函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】指數(shù)函數(shù)是形如（且）的函數(shù).對(duì)于A：，系數(shù)不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于B：，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于C：，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于D：，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù).故選：A.考點(diǎn)二定義域和值域【例2-1】求下列函數(shù)的定義域和值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）定義域，值域?yàn)榍遥唬?）定義域，值域；（3）定義域，值域【解析】（1）要使函數(shù)式有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)?（2）要使函數(shù)式有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)椋裕春瘮?shù)的值域?yàn)?（3）函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)椋?又，所以函數(shù)的值域?yàn)?【例2-2】若函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．【答案】（﹣∞，﹣2]【解析】設(shè)，若函數(shù)的值域?yàn)?，，則等價(jià)于，是值域的子集，，設(shè)，則，則，，當(dāng)對(duì)稱軸，即時(shí)，不滿足條件．當(dāng)，即時(shí)，則判別式△，即，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，.故答案為：，1.對(duì)于1.對(duì)于y＝af(x)這類函數(shù)，①定義域是指使f(x)有意義的x的取值范圍．②值域問題，應(yīng)分以下兩步求解：ⅰ由定義域求出u＝f(x)的值域；ⅱ利用指數(shù)函數(shù)y＝au的單調(diào)性或利用圖象求得此函數(shù)的值域．2.對(duì)于y＝(ax)2＋b·ax＋c這類函數(shù)，①定義域是R.②值域可以分以下兩步求解：ⅰ設(shè)t＝ax，求出t的范圍；ⅱ利用二次函數(shù)y＝t2＋bt＋c的配方法求函數(shù)的值域．【一隅三反】1．求下列函數(shù)的定義域和值域；（1）；（2）；（3）.【答案】（1）定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋唬?），；（3），.【解析】（1）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?（2）由知，故的定義域?yàn)椋挥芍?，故的值域?yàn)?（3）的定義域?yàn)?；由知，故的值域?yàn)?2．求下列函數(shù)的定義域與值域.（1）（2）且（3）（4）【答案】（1）定義域?yàn)?；值域?yàn)椋唬?）定義域?yàn)镽；值域?yàn)?－1，1)；（3）定義域?yàn)?；值域?yàn)榍?；?）定義域?yàn)?；值域?yàn)?【解析】（1），解得：，∴原函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則∴原函數(shù)的值域?yàn)椋?）原函數(shù)的定義域?yàn)镽.設(shè)，則，，，，，即原函數(shù)的值域?yàn)?（3）由得，所以函數(shù)定義域?yàn)?，由得，所以函?shù)值域?yàn)榍?(4)由得，所以函數(shù)定義域?yàn)?，由得，所以函?shù)值域?yàn)?3．若函數(shù)的值域?yàn)?，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，即故選：B4．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)的值域?yàn)锽，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)定義域滿足：，即，所以，函數(shù)的值域，所以，故選：A.5．若函數(shù)有最大值，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于函數(shù)有最大值，所以，且當(dāng)時(shí)，取得最大值為，故.故選：D考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)【例3】（1）若函數(shù)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A． B． C．? D．（2）已知函數(shù)，則不等式的解集為()A． B． C． D．（3）如果，那么（）A．B．C．D．【答案】（1）B（2）B(3)C【解析】（1）函數(shù)單調(diào)遞增，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．（2）可知函數(shù)為減函數(shù)，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集為．故選B.(3)根據(jù)函數(shù)在是減函數(shù)，且，所以，所以，故選C.11.11.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)記憶口訣指數(shù)增減要看清，抓住底數(shù)不放松；反正底數(shù)大于0，不等于1已表明；底數(shù)若是大于1，圖象從下往上增；底數(shù)0到1之間，圖象從上往下減；無論函數(shù)增和減，圖象都過(0,1)點(diǎn)．2.比較冪值大小的三種類型及處理方法【一隅三反】1．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，在上遞增，在上遞減，∴函數(shù)的增區(qū)間是．故選：C．2．已知定義在R上的函數(shù)m為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，記，，，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】為偶函數(shù)，，，；；；在，上單調(diào)遞減，并且，，．故選：．3．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以．故選：D．4．若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），解得故選D5.已知函數(shù)，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.【答案】【解析】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故答案為：.6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________【答案】【解析】函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：7．比較下列各題中的兩個(gè)值的大?。?），；（2），1；（3），.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因?yàn)?，，又指?shù)函數(shù)為增函數(shù)，且，所以，即.（2），（3），，所以.考點(diǎn)四定點(diǎn)【例4】函數(shù)（，且）的圖象過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈膱D象恒過點(diǎn)，則的圖象恒過點(diǎn)，所以恒過定點(diǎn).故選.【一隅三反】1．函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖象過點(diǎn)，而函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位，函數(shù)的圖象必經(jīng)過的點(diǎn)．故選：．2．函數(shù)且過定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，所以函數(shù)且過定點(diǎn)．3．函數(shù)y=ax﹣1+2（a＞0且a≠1）圖象一定過點(diǎn)（）A．（1，1） B．（1，3） C．（2，0） D．（4，0）【答案】B由x﹣1=0，解得x=1，此時(shí)y=1+2=3，即函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（1，3），故選B考點(diǎn)五圖像【例5-1】函數(shù)的圖像可能是（）．A．B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴函數(shù)需向下平移個(gè)單位，不過（0,1）點(diǎn)，所以排除A，當(dāng)時(shí)，∴，所以排除B，當(dāng)時(shí)，∴，所以排除C，故選D.【例5-2】若函數(shù)的圖像在第一、三、四象限內(nèi)，則（）A． B．，且C．，且 D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在第一、二象限內(nèi)，所以欲使其圖像在第三、四象限內(nèi)，必須將向下移動(dòng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，圖像向下移動(dòng)，只能經(jīng)過第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有當(dāng)時(shí)，圖像向下移動(dòng)才可能經(jīng)過第一、三、四象限，故，因?yàn)閳D像向下移動(dòng)小于一個(gè)單位時(shí)，圖像經(jīng)過第一、二、三象限，而向下移動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，圖像恰好經(jīng)過原點(diǎn)和第一、三象限，所以欲使圖像經(jīng)過第一、三、四象限，則必須向下平移超過一個(gè)單位，故，，故選：B.【一隅三反】1．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以排除AC選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)大于1，函數(shù)單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)大于0小于1，函數(shù)單調(diào)遞減；D選項(xiàng)正確.故選：D2．在如圖所示的圖象中，二次函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)選項(xiàng)中二次函數(shù)圖象，可知，根據(jù)選項(xiàng)中指數(shù)函數(shù)的圖象，可知，所以，所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸在軸左側(cè)，且，所以可排除B、C、D，只有A符合題意.故選：A.3．若函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】指數(shù)函數(shù)過點(diǎn),則函數(shù)過點(diǎn),若圖像不經(jīng)過第二象限,則,即,故選：D4．若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是___________【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，做出圖象，如下圖所示，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，.故答案為:《4.2指數(shù)函數(shù)》同步練習(xí)【題組一指數(shù)函數(shù)的判斷】1.下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為()①②y＝ax；③y＝1x；④A．0B．1C．3D．42．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是________(填序號(hào))．①y＝4x；②y＝x4；③y＝(－4)x；④y＝4x2.4.下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是________.①；②；③；④；⑤；⑥.5．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A． B． C．或 D．且6．若函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則的取值范圍是（）A．且 B．且C．且 D．【題組二定義域和值域】1．已知實(shí)數(shù)且,若函數(shù)的值域?yàn)?則的取值范圍是()A． B．C． D．2．函數(shù)的定義域?yàn)開_________.3．函數(shù)的定義域?yàn)開_____________．4．已知函數(shù)，則的最小值是_____________.5．已知函數(shù)．若，使得，則實(shí)數(shù)的最大值為__________．6．已知函數(shù)，若“對(duì)任意，存在，使”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.7．函數(shù)的值域?yàn)開___________.8．函數(shù)的值域是_________.9．若函數(shù)有最大值3，則實(shí)數(shù)a的值為__________.10．函數(shù)在的最大值為，那么________.11．已知函數(shù)的定義域和值域都是，則________．【題組三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)】1．函數(shù)的增區(qū)間是________________.2．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．3．已知，，，則，，的大小關(guān)系是______．4．已知在上恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是__________.5．求下列函數(shù)的定義域和值域，并寫出其單調(diào)區(qū)間.（1）；（2）；（3）；（4）.6．若函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的定義域；（3）求函數(shù)的值域．【題組四定點(diǎn)】1．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)2．函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為______3．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.4．函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【題組五圖像】1．二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．02．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．3．已知a＞1，則函數(shù)y=ax與y=（a-1）x2在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．4．已知,則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．設(shè)且則函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．6．已知在同一坐標(biāo)系下，指數(shù)函數(shù)和的圖象如圖，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B． C． D．7．若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則有（）A． B． C． D．8．若函數(shù)，（，且）的圖像經(jīng)過第一，第三和第四象限，則一定有（）A．且 B．且C．且 D．且9．若函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則一定有（）．A．且 B．且 C．且 D．且10．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【題組六綜合運(yùn)用】1．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的值域；（2）若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若的最大值為，求實(shí)數(shù)的值.3．已知函數(shù)，（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有最大值3，求的值.（3）若的值域是，求的取值范圍.4．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．（2）若對(duì)任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4.2指數(shù)函數(shù)答案解析【題組一指數(shù)函數(shù)的判斷】1.下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為()①②y＝ax；③y＝1x；④A．0B．1C．3D．4【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確．故選B2．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義知，，A選項(xiàng)底數(shù)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)系數(shù)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)指數(shù)錯(cuò)誤；D正確.故選：D3．下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是________(填序號(hào))．①y＝4x；②y＝x4；③y＝(－4)x；④y＝4x2.【答案】①【解析】形如且)的函數(shù)，叫指數(shù)函數(shù).由指數(shù)函數(shù)定義，只有①是指數(shù)函數(shù)；②y＝x4是冪函數(shù)；③y＝(－4)x，由于底數(shù)，所以③不是指數(shù)函數(shù)；④y＝4x2不是指數(shù)函數(shù).故答案為：①下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是________.①；②；③；④；⑤；⑥.【答案】①④【解析】函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且也是指數(shù)函數(shù)，其它函數(shù)不符合指數(shù)函數(shù)的三個(gè)特征.故答案為：①④.5．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A． B． C．或 D．且【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義，得，解得．故選：B6．若函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則的取值范圍是（）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【解析】由于函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則且，解得且.故選：C.【題組二定義域和值域】1．已知實(shí)數(shù)且,若函數(shù)的值域?yàn)?則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D【解析】實(shí)數(shù)且,若函數(shù)的值域?yàn)?當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的值域?yàn)?與值域?yàn)槊?所以不成立當(dāng)時(shí),對(duì)于函數(shù),,函數(shù)的值域?yàn)?所以只需當(dāng)時(shí)值域?yàn)榈淖蛹纯?即,解得（舍去）綜上可知的取值范圍為故選:D2．函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【解析】函數(shù)的自變量滿足：，解得即.故答案為：3．函數(shù)的定義域?yàn)開_____________．【答案】【解析】換元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案?4．已知函數(shù)，則的最小值是_____________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，此時(shí)，．綜上可知，函數(shù)的最小值是．故答案為：．5．已知函數(shù)．若，使得，則實(shí)數(shù)的最大值為__________．【答案】2【解析】由題意可知，函數(shù)在的值域是函數(shù)在上值域的子集，，，等號(hào)成立的條件是，即，成立，即函數(shù)在的值域是，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的最大值是2.故答案為：26．已知函數(shù)，若“對(duì)任意，存在，使”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.【答案】【解析】因?yàn)椤皩?duì)任意，存在，使”是真命題，所以只需，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以所以，故答案為：7．函數(shù)的值域?yàn)開___________.【答案】【解析】，，，，所以，則.故答案為：8．函數(shù)的值域是_________.【答案】【解析】設(shè)

當(dāng)時(shí)，有最大值是9；當(dāng)時(shí)，有最小值是-9，，由函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，∴原函數(shù)的值域是故答案為9．若函數(shù)有最大值3，則實(shí)數(shù)a的值為__________.【答案】2【解析】令，則，由題意有最大值3，則有最小值，所以且，解得.故答案為：210．函數(shù)在的最大值為，那么________.【答案】【解析】令，則，對(duì)稱軸為，在單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：11．已知函數(shù)的定義域和值域都是，則______．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，此時(shí)方程組無解.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，解得：所以，則故答案為：.【題組三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)】1．函數(shù)的增區(qū)間是________________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，而在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的增區(qū)間為.故答案為：2．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】本題等價(jià)于在上單調(diào)遞增，對(duì)稱軸，所以，得．即實(shí)數(shù)的取值范圍是．3．已知，，，則，，的大小關(guān)系是______．【答案】【解析】∵指數(shù)函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，，∴,是單調(diào)增函數(shù)，∴，∴，故答案為：.4．已知在上恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是__________.【答案】2【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，可得，即最小值為2，又由在上恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的最大值2.故答案為：2.5．求下列函數(shù)的定義域和值域，并寫出其單調(diào)區(qū)間.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）定義域：，值域：，減區(qū)間：；（2）定義域：，值域：，減區(qū)間：和；（3）定義域：R，值域：，增區(qū)間：，減區(qū)間：；（4）值域，減區(qū)間：，增區(qū)間：【解析】（1）由得，所以定義域?yàn)椋?，所以，，所以值域中，在上是減函數(shù)，所以的減區(qū)間是；（2）由得，所以定義域是，又，所以值域是，在和上都是增函數(shù)，所以的減區(qū)間是和；（3）定義域是，又，所以值域中，在上遞增，在上遞減，所以的增區(qū)間，減區(qū)間是；（4）定義域是，令，由，所以，，所以，值域，又在上遞減，在上遞增，而是減函數(shù)，所以的減區(qū)間是，增區(qū)間．6．若函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的定義域；（3）求函數(shù)的值域．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）記，∵是奇函數(shù)，∴，∴；（2），，∴定義域?yàn)?；?）由（1），∵，∴或，∴或，∴或．∴值域?yàn)椋绢}組四定點(diǎn)】1．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【解析】當(dāng)，即時(shí)，，為常數(shù)，此時(shí)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，5).故選：A.2．函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為______【答案】【解析】令，，所以函數(shù)過定點(diǎn).故答案為:.3．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.【答案】【解析】由指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)且圖像向右平移1個(gè)單位，向上移動(dòng)1個(gè)單位得到圖像，所以函數(shù)過定點(diǎn)故答案為：4．函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____.【答案】【解析】由得,此時(shí),即函數(shù)過定點(diǎn)，故答案為:.【題組五圖像】1．二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】二次函數(shù)，且時(shí)，；時(shí)，.指數(shù)函數(shù),當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.兩個(gè)函數(shù)上均單調(diào)遞減，在坐標(biāo)系中畫出與的圖象，如圖所示，由圖可得，兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選：C.2．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象，如下圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位得到圖象.故選：B3．已知a＞1，則函數(shù)y=ax與y=（a-1）x2在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵a＞1，∴函數(shù)y=ax為增函數(shù)，函數(shù)y=（a-1）x2在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)．故選：A．4．已知,則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】此題考查指數(shù)函數(shù)的圖像的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的上下平移；有已知得到：此指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，分布在第一，二象限，漸近線是軸，即；（）是由指數(shù)函數(shù)向下平移大于1個(gè)單位得到的，即原來指數(shù)函數(shù)所過的定點(diǎn)向下平移到原點(diǎn)的下方了，所以圖像不經(jīng)過第一象限，所以選A，如下圖所示：5．設(shè)且則函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)A，中的，中的，不能統(tǒng)一，錯(cuò)誤；對(duì)B，中的，中的，不能統(tǒng)一，錯(cuò)誤；對(duì)C，中的，中的，正確；對(duì)D，中的，中的，不能統(tǒng)一，錯(cuò)誤；故選：C.6．已知在同一坐標(biāo)系下，指數(shù)函數(shù)和的圖象如圖，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】很顯然，均大于1；與的交點(diǎn)在與的交點(diǎn)上方，故，綜上所述:.故選:C.7．若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則有（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則有，解得，故選：D.8．若函數(shù)，（，且）的圖像經(jīng)過第一，第三和第四象限，則一定有（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，要使函數(shù)y＝ax﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則函數(shù)為增函數(shù)，∴a＞1，且f（0）＜0，即f（0）＝1﹣b＜0，解得b＞1，故選：B．9．若函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則一定有（）．A．且 B．且 C．且 D．且【答案】C【解析】，經(jīng)過二、三、四象限，則其圖像應(yīng)如圖所示：所以，，即，故選B.10．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，的定義域?yàn)?，排除C,D；當(dāng)時(shí)，，∵，∴在上單調(diào)遞減，排除A，故選B.【題組六綜合運(yùn)用】1．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的值域；（2）若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，令，由，得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴函數(shù)的值域?yàn)椋唬?）設(shè)，則，在對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，等價(jià)于在上恒成立，∴在上恒成立，∴，設(shè)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴．2．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若的最大值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，，所以的值域?yàn)?（2），令，則原函數(shù)可化為，其圖象的對(duì)稱軸為.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，無解；②當(dāng)時(shí)，，即，解得；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，解得，不合題意，舍去.綜上，的值為.3．已知函數(shù)，（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有最大值3，求的值.（3）若的值域是，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(?2,+∞),遞減區(qū)間是(?∞,?2)；（2）a=1；（3）{0}【解析】(1)當(dāng)a=?1時(shí),，令，由于g(x)在(?∞,?2)上單調(diào)遞增,在(?2,+∞)上單調(diào)遞減，而在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(?∞,?2)上單調(diào)遞減,在(?2,+∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(?2,+∞),遞減區(qū)間是(?∞,?2).(2)令,,由于f(x)有最大值3，所以h(x)應(yīng)有最小值?1，因此=?1，解得a=1.即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值等于1.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使y=h(x)的值域?yàn)?0,+∞).應(yīng)使的值域?yàn)镽，因此只能有a=0.因?yàn)槿鬭≠0,則h(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R.故a的取值范圍是{0}.4．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．（2）若對(duì)任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（I）(II)【解析】（1）已知函數(shù)為奇函數(shù)，由，求得的值；（2）恒成立問題通常是求最值，將原不等式整理為對(duì)恒成立，進(jìn)而求在上的最小值，得到結(jié)果.試題解析：（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即所以對(duì)一切恒成立，所以.（2）因?yàn)?，均有即成立，所以?duì)恒成立，所以,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以.《4.2指數(shù)函數(shù)》培優(yōu)同步練習(xí)一、單選題1．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)3．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是()A． B． C． D．4．函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．5．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與在上的圖象可能是（）．A． B． C． D．6．若a<0，則0.5a,、5a、5－a的大小關(guān)系是（）A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a C．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a7．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A．或 B．C． D．8．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．9．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A． B． C． D．10．若函數(shù)的值域?yàn)?，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題11．若函數(shù)（且）的圖像過第一、三、四象限，則必有（）．A． B． C． D．12．已知，則（）A． B． C． D．13．已知函數(shù)，，則，滿足（）A． B．且C． D．14．定義運(yùn)算，設(shè)函數(shù)，則下列命題正確的有（）A．的值域?yàn)锽．的值域?yàn)镃．不等式成立的范圍是D．不等式成立的范圍是三、填空題15．函數(shù)y=（a2–3a+3）?ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為___________．16．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________．17．若函數(shù)在［－1，2］上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a＝＿＿＿＿.四、雙空題18．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于______對(duì)稱，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是____.19．已知函數(shù)，則_______，函數(shù)的值域?yàn)開______.20．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)奇偶性是函數(shù)，的值域是21．已知函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為_______，最小值為______.五、解答題22．比較下列各題中的兩個(gè)值的大?。?），；（2），1；（3），.23．求下列函數(shù)的定義域與值域．（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝.24．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）（2）y＝.25．已知(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷的奇偶性；并說明理由；(3)證明26．函數(shù)是奇函數(shù)．求的解析式；當(dāng)時(shí)，恒成立，求m的取值范圍．27．已知定義在上的奇函數(shù)，在時(shí)，且.（1）求在上的解析式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若，常數(shù)，解關(guān)于的不等式.4.2指數(shù)函數(shù)答案解析一、單選題1．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義知，，A選項(xiàng)底數(shù)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)系數(shù)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)指數(shù)錯(cuò)誤；D正確.故選：D2．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【解析】當(dāng)，即時(shí)，，為常數(shù)，此時(shí)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，5).故選：A.3．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以排除AC選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)大于1，函數(shù)單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)大于0小于1，函數(shù)單調(diào)遞減；D選項(xiàng)正確.故選：D4．函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】要是函數(shù)有意義須滿足，即，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.5．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與在上的圖象可能是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】為冪函數(shù)，為指數(shù)函數(shù)A.過定點(diǎn)，可知，，的圖象符合，故可能.B.過定點(diǎn)，可知，，的圖象不符合，故不可能.C.過定點(diǎn)，可知，，的圖象不符合，故不可能.D.圖象中無冪函數(shù)圖象，故不可能.故選：A6．若a<0，則0.5a,、5a、5－a的大小關(guān)系是（）A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a C．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a【答案】B【解析】因?yàn)?，故可得，，；再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)系，則.故.故選：B.7．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，由于函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，由，得，所以，，解得或.因此，不等式的解集為或.故選：A.8．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】D【解析】由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，因此，即函數(shù)的值域?yàn)?故選：.9．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，在上遞增，在上遞減，∴函數(shù)的增區(qū)間是．故選：C．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（在函數(shù)定義域內(nèi)）：增增增增減減減增減減減增10．若函數(shù)的值域?yàn)?，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，即故選：B二、多選題11．若函數(shù)（且）的圖像過第一、三、四象限，則必有（）．A． B． C． D．【答案】BC【解析】若，則的圖像必過第二象限，而函數(shù)（且）的圖像過第一、三、四象限，所以．當(dāng)時(shí)，要使的圖像過第一、三、四象限，則，即．故選：BC12．已知，則（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】，則，，，又，，．故選：AC.13．已知函數(shù)，，則，滿足（）A． B．且C． D．【答案】AB【解析】對(duì)A,成立.故A正確.對(duì)B,因?yàn)橹袨樵龊瘮?shù),為減函數(shù),故為增函數(shù).故成立.因?yàn)?,故成立.故B正確.對(duì)C,,.故C錯(cuò)誤.對(duì)D,.故D錯(cuò)誤.故選：AB14．定義運(yùn)算，設(shè)函數(shù)，則下列命題正確的有（）A．的值域?yàn)锽．的值域?yàn)镃．不等式成立的范圍是D．不等式成立的范圍是【答案】AC【解析】由函數(shù)，有,即，作出函數(shù)的圖像如下，根據(jù)函數(shù)圖像有的值域?yàn)?，若不等式成立，由函?shù)圖像有當(dāng)即時(shí)成立，當(dāng)即時(shí)也成立.所以不等式成立時(shí)，.故選：AC.三、填空題15．函數(shù)y=（a2–3a+3）?ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為___________．【答案】2【解析】由題意得：a2–3a+3=1，即（a–2）（a–1）=0，解得a=2或a=1（舍去），故答案為2．16．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________．【答案】【解析】∵a2＋a＋2＝，∴y＝(a2＋a＋2)x為R上的增函數(shù)．∴x>1－x，即.x的取值范圍是.17．若函數(shù)在［－1，2］上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a＝＿＿＿＿.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，此時(shí)為減函數(shù)，不合題意.若