《4.2指數(shù)函數(shù)》考點講解、同步練習與培優(yōu)

《4.2指數(shù)函數(shù)》考點講解與同步練習【思維導圖】【常見考點】考點一指數(shù)函數(shù)的判斷【例1-1】下列函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（）①②③④（為常數(shù)，，）⑤⑥⑦A．1 B．2 C．3 D．4【例1-2】函數(shù)f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為（）A．1 B．3 C．2 D．1或3【一隅三反】1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或 B． C． D．且2．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則的值為()A．2 B．-2 C． D．3．下列函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．考點二定義域和值域【例2-1】求下列函數(shù)的定義域和值域：（1）；（2）；（3）.【例2-2】若函數(shù)的值域為[0，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是___．【一隅三反】1．求下列函數(shù)的定義域和值域；（1）；（2）；（3）.2．求下列函數(shù)的定義域與值域.（1）（2）且（3）（4）3．若函數(shù)的值域為，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設函數(shù)的定義域為A，函數(shù)的值域為B，則()A． B． C． D．5．若函數(shù)有最大值，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．考點三指數(shù)函數(shù)性質【例3】（1）若函數(shù)單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍是()A． B． C．? D．（2）已知函數(shù)，則不等式的解集為()A． B． C． D．（3）如果，那么（）A． B．C． D．【一隅三反】1．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A． B． C． D．2．已知定義在R上的函數(shù)m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記，，，則()A． B． C． D．3．設，，，則（）A． B． C． D．4．若關于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5.已知函數(shù)，則該函數(shù)的單調遞增區(qū)間是__________.6．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為________7．比較下列各題中的兩個值的大?。?），；（2），1；（3），.考點四定點【例4】函數(shù)（，且）的圖象過定點，則點的坐標為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．函數(shù)的圖象必經過點（）A． B． C． D．2．函數(shù)且過定點（）A． B． C． D．3．函數(shù)y=ax﹣1+2（a＞0且a≠1）圖象一定過點（）A．（1，1） B．（1，3） C．（2，0） D．（4，0）考點五圖像【例5-1】函數(shù)的圖像可能是（）．A．B．C．D．【例5-2】若函數(shù)的圖像在第一、三、四象限內，則（）A． B．，且C．，且 D．【一隅三反】1．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標系中有可能是()A． B． C． D．2．在如圖所示的圖象中，二次函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C． D．3．若函數(shù)的圖像不經過第二象限，則的取值范圍是()A． B． C． D．4．若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則的取值范圍是___________4.2指數(shù)函數(shù)答案解析考點一指數(shù)函數(shù)的判斷【例1-1】下列函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（）①②③④（為常數(shù)，，）⑤⑥⑦A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對①：指數(shù)式的系數(shù)為2，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對②：其指數(shù)為，不是，故不是指數(shù)函數(shù)；對③④：滿足指數(shù)函數(shù)的定義，故都是指數(shù)函數(shù)；對⑤：是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；對⑥：指數(shù)式的系數(shù)為-1，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對⑦：指數(shù)的底數(shù)為-4，不滿足底數(shù)大于零且不為1的要求，故不是；綜上，是指數(shù)函數(shù)的只有③④，故選：B.【例1-2】函數(shù)f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為（）A．1 B．3 C．2 D．1或3【答案】C【解析】因為函數(shù)f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，故可得解得或，當時，不是指數(shù)函數(shù)，舍去.故選：C.只有形如的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)，系數(shù)等于只有形如的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)，系數(shù)等于1【一隅三反】1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)所以，且，解得.故選：C.2．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則的值為()A．2 B．-2 C． D．【答案】D【解析】∵函數(shù)f（x）＝（a﹣3）?ax是指數(shù)函數(shù)，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2，故選：D．3．下列函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】指數(shù)函數(shù)是形如（且）的函數(shù).對于A：，系數(shù)不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)；對于B：，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；對于C：，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；對于D：，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù).故選：A.考點二定義域和值域【例2-1】求下列函數(shù)的定義域和值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）定義域，值域為且；（2）定義域，值域；（3）定義域，值域【解析】（1）要使函數(shù)式有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域為.因為，所以，即函數(shù)的值域為.（2）要使函數(shù)式有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為.因為，所以，即函數(shù)的值域為.（3）函數(shù)的定義域為.因為，所以.又，所以函數(shù)的值域為.【例2-2】若函數(shù)的值域為[0，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是_____．【答案】（﹣∞，﹣2]【解析】設，若函數(shù)的值域為，，則等價于，是值域的子集，，設，則，則，，當對稱軸，即時，不滿足條件．當，即時，則判別式△，即，則，即實數(shù)的取值范圍是，.故答案為：，1.對于1.對于y＝af(x)這類函數(shù)，①定義域是指使f(x)有意義的x的取值范圍．②值域問題，應分以下兩步求解：ⅰ由定義域求出u＝f(x)的值域；ⅱ利用指數(shù)函數(shù)y＝au的單調性或利用圖象求得此函數(shù)的值域．2.對于y＝(ax)2＋b·ax＋c這類函數(shù)，①定義域是R.②值域可以分以下兩步求解：ⅰ設t＝ax，求出t的范圍；ⅱ利用二次函數(shù)y＝t2＋bt＋c的配方法求函數(shù)的值域．【一隅三反】1．求下列函數(shù)的定義域和值域；（1）；（2）；（3）.【答案】（1）定義域為R，值域為；（2），；（3），.【解析】（1）的定義域為R，值域為.（2）由知，故的定義域為；由知，故的值域為.（3）的定義域為；由知，故的值域為.2．求下列函數(shù)的定義域與值域.（1）（2）且（3）（4）【答案】（1）定義域為；值域為；（2）定義域為R；值域為(－1，1)；（3）定義域為；值域為且；（4）定義域為；值域為.【解析】（1），解得：，∴原函數(shù)的定義域為，令，則∴原函數(shù)的值域為（2）原函數(shù)的定義域為R.設，則，，，，，即原函數(shù)的值域為.（3）由得，所以函數(shù)定義域為，由得，所以函數(shù)值域為且.(4)由得，所以函數(shù)定義域為，由得，所以函數(shù)值域為.3．若函數(shù)的值域為，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，當時，函數(shù)的值域為，即故選：B4．設函數(shù)的定義域為A，函數(shù)的值域為B，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)定義域滿足：，即，所以，函數(shù)的值域，所以，故選：A.5．若函數(shù)有最大值，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于函數(shù)有最大值，所以，且當時，取得最大值為，故.故選：D考點三指數(shù)函數(shù)性質【例3】（1）若函數(shù)單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍是()A． B． C．? D．（2）已知函數(shù)，則不等式的解集為()A． B． C． D．（3）如果，那么（）A．B．C．D．【答案】（1）B（2）B(3)C【解析】（1）函數(shù)單調遞增，解得所以實數(shù)的取值范圍是．故選：．（2）可知函數(shù)為減函數(shù)，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集為．故選B.(3)根據(jù)函數(shù)在是減函數(shù)，且，所以，所以，故選C.11.11.指數(shù)函數(shù)性質記憶口訣指數(shù)增減要看清，抓住底數(shù)不放松；反正底數(shù)大于0，不等于1已表明；底數(shù)若是大于1，圖象從下往上增；底數(shù)0到1之間，圖象從上往下減；無論函數(shù)增和減，圖象都過(0,1)點．2.比較冪值大小的三種類型及處理方法【一隅三反】1．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，在上遞增，在上遞減，∴函數(shù)的增區(qū)間是．故選：C．2．已知定義在R上的函數(shù)m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記，，，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】為偶函數(shù)，，，；；；在，上單調遞減，并且，，．故選：．3．設，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因為函數(shù)在定義域上為單調遞增函數(shù)，所以．故選：D．4．若關于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得（當且僅當時等號成立），解得故選D5.已知函數(shù)，則該函數(shù)的單調遞增區(qū)間是__________.【答案】【解析】由題得函數(shù)的定義域為.設，函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，函數(shù)在其定義域內單調遞減，所以在單調遞增，在單調遞減.故答案為：.6．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為________【答案】【解析】函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調性可得，函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故答案為：7．比較下列各題中的兩個值的大?。?），；（2），1；（3），.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因為，，又指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，且，所以，即.（2），（3），，所以.考點四定點【例4】函數(shù)（，且）的圖象過定點，則點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為的圖象恒過點，則的圖象恒過點，所以恒過定點.故選.【一隅三反】1．函數(shù)的圖象必經過點（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖象過點，而函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象向上平移1個單位，函數(shù)的圖象必經過的點．故選：．2．函數(shù)且過定點（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，所以函數(shù)且過定點．3．函數(shù)y=ax﹣1+2（a＞0且a≠1）圖象一定過點（）A．（1，1） B．（1，3） C．（2，0） D．（4，0）【答案】B由x﹣1=0，解得x=1，此時y=1+2=3，即函數(shù)的圖象過定點（1，3），故選B考點五圖像【例5-1】函數(shù)的圖像可能是（）．A．B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴函數(shù)需向下平移個單位，不過（0,1）點，所以排除A，當時，∴，所以排除B，當時，∴，所以排除C，故選D.【例5-2】若函數(shù)的圖像在第一、三、四象限內，則（）A． B．，且C．，且 D．【答案】B【解析】因為函數(shù)的圖像在第一、二象限內，所以欲使其圖像在第三、四象限內，必須將向下移動，因為當時，圖像向下移動，只能經過第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有當時，圖像向下移動才可能經過第一、三、四象限，故，因為圖像向下移動小于一個單位時，圖像經過第一、二、三象限，而向下移動一個單位時，圖像恰好經過原點和第一、三象限，所以欲使圖像經過第一、三、四象限，則必須向下平移超過一個單位，故，，故選：B.【一隅三反】1．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標系中有可能是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)單調遞增，所以排除AC選項；當時，與軸交點縱坐標大于1，函數(shù)單調遞增，B選項錯誤；當時，與軸交點縱坐標大于0小于1，函數(shù)單調遞減；D選項正確.故選：D2．在如圖所示的圖象中，二次函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)選項中二次函數(shù)圖象，可知，根據(jù)選項中指數(shù)函數(shù)的圖象，可知，所以，所以二次函數(shù)的對稱軸在軸左側，且，所以可排除B、C、D，只有A符合題意.故選：A.3．若函數(shù)的圖像不經過第二象限，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】指數(shù)函數(shù)過點,則函數(shù)過點,若圖像不經過第二象限,則,即,故選：D4．若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則的取值范圍是___________【答案】【解析】當時，做出圖象，如下圖所示，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點時，.故答案為:《4.2指數(shù)函數(shù)》同步練習【題組一指數(shù)函數(shù)的判斷】1.下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為()①②y＝ax；③y＝1x；④A．0B．1C．3D．42．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是________(填序號)．①y＝4x；②y＝x4；③y＝(－4)x；④y＝4x2.4.下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是________.①；②；③；④；⑤；⑥.5．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A． B． C．或 D．且6．若函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則的取值范圍是（）A．且 B．且C．且 D．【題組二定義域和值域】1．已知實數(shù)且,若函數(shù)的值域為,則的取值范圍是()A． B．C． D．2．函數(shù)的定義域為__________.3．函數(shù)的定義域為______________．4．已知函數(shù)，則的最小值是_____________.5．已知函數(shù)．若，使得，則實數(shù)的最大值為__________．6．已知函數(shù)，若“對任意，存在，使”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是__________.7．函數(shù)的值域為____________.8．函數(shù)的值域是_________.9．若函數(shù)有最大值3，則實數(shù)a的值為__________.10．函數(shù)在的最大值為，那么________.11．已知函數(shù)的定義域和值域都是，則________．【題組三指數(shù)函數(shù)性質】1．函數(shù)的增區(qū)間是________________.2．若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是__________．3．已知，，，則，，的大小關系是______．4．已知在上恒成立，則實數(shù)的最大值是__________.5．求下列函數(shù)的定義域和值域，并寫出其單調區(qū)間.（1）；（2）；（3）；（4）.6．若函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的定義域；（3）求函數(shù)的值域．【題組四定點】1．已知函數(shù)的圖象經過定點P，則點P的坐標是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)2．函數(shù)且的圖象過定點，這個點的坐標為______3．函數(shù)的圖象恒過定點P，則點P的坐標為________.4．函數(shù)（且）的圖象過定點，則點的坐標為______.【題組五圖像】1．二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．02．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．3．已知a＞1，則函數(shù)y=ax與y=（a-1）x2在同一坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．4．已知,則函數(shù)的圖像必定不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．設且則函數(shù)與在同一坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．6．已知在同一坐標系下，指數(shù)函數(shù)和的圖象如圖，則下列關系中正確的是（）A． B． C． D．7．若函數(shù)的圖象不經過第二象限，則有（）A． B． C． D．8．若函數(shù)，（，且）的圖像經過第一，第三和第四象限，則一定有（）A．且 B．且C．且 D．且9．若函數(shù)（且）的圖象經過第二、三、四象限，則一定有（）．A．且 B．且 C．且 D．且10．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【題組六綜合運用】1．已知函數(shù)，.（1）當時，，求函數(shù)的值域；（2）若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．2．已知函數(shù)，.（1）當時，求的值域；（2）若的最大值為，求實數(shù)的值.3．已知函數(shù)，（1）若，求的單調區(qū)間；（2）若有最大值3，求的值.（3）若的值域是，求的取值范圍.4．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值．（2）若對任意的都有成立，求實數(shù)的取值范圍．4.2指數(shù)函數(shù)答案解析【題組一指數(shù)函數(shù)的判斷】1.下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為()①②y＝ax；③y＝1x；④A．0B．1C．3D．4【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確．故選B2．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義知，，A選項底數(shù)錯誤，B選項系數(shù)錯誤，C選項指數(shù)錯誤；D正確.故選：D3．下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是________(填序號)．①y＝4x；②y＝x4；③y＝(－4)x；④y＝4x2.【答案】①【解析】形如且)的函數(shù)，叫指數(shù)函數(shù).由指數(shù)函數(shù)定義，只有①是指數(shù)函數(shù)；②y＝x4是冪函數(shù)；③y＝(－4)x，由于底數(shù)，所以③不是指數(shù)函數(shù)；④y＝4x2不是指數(shù)函數(shù).故答案為：①下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是________.①；②；③；④；⑤；⑥.【答案】①④【解析】函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且也是指數(shù)函數(shù)，其它函數(shù)不符合指數(shù)函數(shù)的三個特征.故答案為：①④.5．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A． B． C．或 D．且【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義，得，解得．故選：B6．若函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則的取值范圍是（）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【解析】由于函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則且，解得且.故選：C.【題組二定義域和值域】1．已知實數(shù)且,若函數(shù)的值域為,則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D【解析】實數(shù)且,若函數(shù)的值域為,當時,當時,的值域為,與值域為矛盾,所以不成立當時,對于函數(shù),,函數(shù)的值域為.所以只需當時值域為的子集即可.即,解得（舍去）綜上可知的取值范圍為故選:D2．函數(shù)的定義域為__________.【答案】【解析】函數(shù)的自變量滿足：，解得即.故答案為：3．函數(shù)的定義域為______________．【答案】【解析】換元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函數(shù)的定義域為，故答案為.4．已知函數(shù)，則的最小值是_____________.【答案】【解析】當時，函數(shù)單調遞增，此時；當時，設，，此時，．綜上可知，函數(shù)的最小值是．故答案為：．5．已知函數(shù)．若，使得，則實數(shù)的最大值為__________．【答案】2【解析】由題意可知，函數(shù)在的值域是函數(shù)在上值域的子集，，，等號成立的條件是，即，成立，即函數(shù)在的值域是，是增函數(shù)，當時，函數(shù)的值域是，所以，解得：，所以實數(shù)的最大值是2.故答案為：26．已知函數(shù)，若“對任意，存在，使”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為“對任意，存在，使”是真命題，所以只需，因為函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為函數(shù)在上單調遞減，所以所以，故答案為：7．函數(shù)的值域為____________.【答案】【解析】，，，，所以，則.故答案為：8．函數(shù)的值域是_________.【答案】【解析】設

當時，有最大值是9；當時，有最小值是-9，，由函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，∴原函數(shù)的值域是故答案為9．若函數(shù)有最大值3，則實數(shù)a的值為__________.【答案】2【解析】令，則，由題意有最大值3，則有最小值，所以且，解得.故答案為：210．函數(shù)在的最大值為，那么________.【答案】【解析】令，則，對稱軸為，在單調遞增，所以，解得.故答案為：11．已知函數(shù)的定義域和值域都是，則______．【答案】【解析】當時，函數(shù)在上單調遞增，所以，即，此時方程組無解.當時，函數(shù)在上單調遞減，所以，即，解得：所以，則故答案為：.【題組三指數(shù)函數(shù)性質】1．函數(shù)的增區(qū)間是________________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，令，則，因為在上單調遞減，而在上單調遞減，所以函數(shù)的增區(qū)間為.故答案為：2．若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】本題等價于在上單調遞增，對稱軸，所以，得．即實數(shù)的取值范圍是．3．已知，，，則，，的大小關系是______．【答案】【解析】∵指數(shù)函數(shù)是單調減函數(shù)，，∴,是單調增函數(shù)，∴，∴，故答案為：.4．已知在上恒成立，則實數(shù)的最大值是__________.【答案】2【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質，可得在為單調遞增函數(shù)，所以，可得，即最小值為2，又由在上恒成立，所以，即實數(shù)的最大值2.故答案為：2.5．求下列函數(shù)的定義域和值域，并寫出其單調區(qū)間.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）定義域：，值域：，減區(qū)間：；（2）定義域：，值域：，減區(qū)間：和；（3）定義域：R，值域：，增區(qū)間：，減區(qū)間：；（4）值域，減區(qū)間：，增區(qū)間：【解析】（1）由得，所以定義域為，又，所以，，所以值域中，在上是減函數(shù)，所以的減區(qū)間是；（2）由得，所以定義域是，又，所以值域是，在和上都是增函數(shù)，所以的減區(qū)間是和；（3）定義域是，又，所以值域中，在上遞增，在上遞減，所以的增區(qū)間，減區(qū)間是；（4）定義域是，令，由，所以，，所以，值域，又在上遞減，在上遞增，而是減函數(shù)，所以的減區(qū)間是，增區(qū)間．6．若函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的定義域；（3）求函數(shù)的值域．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）記，∵是奇函數(shù)，∴，∴；（2），，∴定義域為；（3）由（1），∵，∴或，∴或，∴或．∴值域為．【題組四定點】1．已知函數(shù)的圖象經過定點P，則點P的坐標是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【解析】當，即時，，為常數(shù)，此時，即點P的坐標為(－1，5).故選：A.2．函數(shù)且的圖象過定點，這個點的坐標為______【答案】【解析】令，，所以函數(shù)過定點.故答案為:.3．函數(shù)的圖象恒過定點P，則點P的坐標為________.【答案】【解析】由指數(shù)函數(shù)過定點且圖像向右平移1個單位，向上移動1個單位得到圖像，所以函數(shù)過定點故答案為：4．函數(shù)（且）的圖象過定點，則點的坐標為____.【答案】【解析】由得,此時,即函數(shù)過定點，故答案為:.【題組五圖像】1．二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】二次函數(shù)，且時，；時，.指數(shù)函數(shù),當時，；時，.兩個函數(shù)上均單調遞減，在坐標系中畫出與的圖象，如圖所示，由圖可得，兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)為1.故選：C.2．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象，如下圖所示，將的圖象向左平移個單位得到圖象.故選：B3．已知a＞1，則函數(shù)y=ax與y=（a-1）x2在同一坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵a＞1，∴函數(shù)y=ax為增函數(shù)，函數(shù)y=（a-1）x2在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)．故選：A．4．已知,則函數(shù)的圖像必定不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】此題考查指數(shù)函數(shù)的圖像的性質和指數(shù)函數(shù)的上下平移；有已知得到：此指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，分布在第一，二象限，漸近線是軸，即；（）是由指數(shù)函數(shù)向下平移大于1個單位得到的，即原來指數(shù)函數(shù)所過的定點向下平移到原點的下方了，所以圖像不經過第一象限，所以選A，如下圖所示：5．設且則函數(shù)與在同一坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對A，中的，中的，不能統(tǒng)一，錯誤；對B，中的，中的，不能統(tǒng)一，錯誤；對C，中的，中的，正確；對D，中的，中的，不能統(tǒng)一，錯誤；故選：C.6．已知在同一坐標系下，指數(shù)函數(shù)和的圖象如圖，則下列關系中正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】很顯然，均大于1；與的交點在與的交點上方，故，綜上所述:.故選:C.7．若函數(shù)的圖象不經過第二象限，則有（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，當時，，所以函數(shù)的圖象不經過第二象限，則有，解得，故選：D.8．若函數(shù)，（，且）的圖像經過第一，第三和第四象限，則一定有（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質可知，要使函數(shù)y＝ax﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的圖象經過第一、三、四象限，則函數(shù)為增函數(shù)，∴a＞1，且f（0）＜0，即f（0）＝1﹣b＜0，解得b＞1，故選：B．9．若函數(shù)（且）的圖象經過第二、三、四象限，則一定有（）．A．且 B．且 C．且 D．且【答案】C【解析】，經過二、三、四象限，則其圖像應如圖所示：所以，，即，故選B.10．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，的定義域為，排除C,D；當時，，∵，∴在上單調遞減，排除A，故選B.【題組六綜合運用】1．已知函數(shù)，.（1）當時，，求函數(shù)的值域；（2）若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當時，令，由，得，，當時，；當時，．∴函數(shù)的值域為；（2）設，則，在對任意的實數(shù)x恒成立，等價于在上恒成立，∴在上恒成立，∴，設，，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，∴，∴．2．已知函數(shù)，.（1）當時，求的值域；（2）若的最大值為，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）當時，在上單調遞減，故，，所以的值域為.（2），令，則原函數(shù)可化為，其圖象的對稱軸為.①當時，在上單調遞減，所以，無解；②當時，，即，解得；③當時，在上單調遞增，所以，解得，不合題意，舍去.綜上，的值為.3．已知函數(shù)，（1）若，求的單調區(qū)間；（2）若有最大值3，求的值.（3）若的值域是，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(?2,+∞),遞減區(qū)間是(?∞,?2)；（2）a=1；（3）{0}【解析】(1)當a=?1時,，令，由于g(x)在(?∞,?2)上單調遞增,在(?2,+∞)上單調遞減，而在R上單調遞減，所以f(x)在(?∞,?2)上單調遞減,在(?2,+∞)上單調遞增，即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(?2,+∞),遞減區(qū)間是(?∞,?2).(2)令,,由于f(x)有最大值3，所以h(x)應有最小值?1，因此=?1，解得a=1.即當f(x)有最大值3時，a的值等于1.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質知，要使y=h(x)的值域為(0,+∞).應使的值域為R，因此只能有a=0.因為若a≠0,則h(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R.故a的取值范圍是{0}.4．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值．（2）若對任意的都有成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（I）(II)【解析】（1）已知函數(shù)為奇函數(shù)，由，求得的值；（2）恒成立問題通常是求最值，將原不等式整理為對恒成立，進而求在上的最小值，得到結果.試題解析：（1）因為是奇函數(shù)，所以，即所以對一切恒成立，所以.（2）因為，均有即成立，所以對恒成立，所以,因為在上單調遞增，所以，所以.《4.2指數(shù)函數(shù)》培優(yōu)同步練習一、單選題1．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的圖象經過定點P，則點P的坐標是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)3．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標系中有可能是()A． B． C． D．4．函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．5．在同一直角坐標系中，函數(shù)與在上的圖象可能是（）．A． B． C． D．6．若a<0，則0.5a,、5a、5－a的大小關系是（）A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a C．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a7．設函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（）A．或 B．C． D．8．函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．9．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A． B． C． D．10．若函數(shù)的值域為，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題11．若函數(shù)（且）的圖像過第一、三、四象限，則必有（）．A． B． C． D．12．已知，則（）A． B． C． D．13．已知函數(shù)，，則，滿足（）A． B．且C． D．14．定義運算，設函數(shù)，則下列命題正確的有（）A．的值域為B．的值域為C．不等式成立的范圍是D．不等式成立的范圍是三、填空題15．函數(shù)y=（a2–3a+3）?ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為___________．16．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________．17．若函數(shù)在［－1，2］上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a＝＿＿＿＿.四、雙空題18．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于______對稱，它們的交點坐標是____.19．已知函數(shù)，則_______，函數(shù)的值域為_______.20．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)奇偶性是函數(shù)，的值域是21．已知函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為_______，最小值為______.五、解答題22．比較下列各題中的兩個值的大?。?），；（2），1；（3），.23．求下列函數(shù)的定義域與值域．（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝.24．求下列函數(shù)的單調區(qū)間．（1）（2）y＝.25．已知(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷的奇偶性；并說明理由；(3)證明26．函數(shù)是奇函數(shù)．求的解析式；當時，恒成立，求m的取值范圍．27．已知定義在上的奇函數(shù)，在時，且.（1）求在上的解析式；（2）證明：當時，；（3）若，常數(shù)，解關于的不等式.4.2指數(shù)函數(shù)答案解析一、單選題1．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義知，，A選項底數(shù)錯誤，B選項系數(shù)錯誤，C選項指數(shù)錯誤；D正確.故選：D2．已知函數(shù)的圖象經過定點P，則點P的坐標是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【解析】當，即時，，為常數(shù)，此時，即點P的坐標為(－1，5).故選：A.3．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標系中有可能是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)單調遞增，所以排除AC選項；當時，與軸交點縱坐標大于1，函數(shù)單調遞增，B選項錯誤；當時，與軸交點縱坐標大于0小于1，函數(shù)單調遞減；D選項正確.故選：D4．函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】要是函數(shù)有意義須滿足，即，解得，因此，函數(shù)的定義域為.故選：C.5．在同一直角坐標系中，函數(shù)與在上的圖象可能是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】為冪函數(shù)，為指數(shù)函數(shù)A.過定點，可知，，的圖象符合，故可能.B.過定點，可知，，的圖象不符合，故不可能.C.過定點，可知，，的圖象不符合，故不可能.D.圖象中無冪函數(shù)圖象，故不可能.故選：A6．若a<0，則0.5a,、5a、5－a的大小關系是（）A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a C．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a【答案】B【解析】因為，故可得，，；再結合指數(shù)函數(shù)的圖像關系，則.故.故選：B.7．設函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】當時，，函數(shù)單調遞增，由于函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，由，得，所以，，解得或.因此，不等式的解集為或.故選：A.8．函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由二次函數(shù)的性質可知，因此，即函數(shù)的值域為.故選：.9．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，在上遞增，在上遞減，∴函數(shù)的增區(qū)間是．故選：C．復合函數(shù)的單調性（在函數(shù)定義域內）：增增增增減減減增減減減增10．若函數(shù)的值域為，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，當時，函數(shù)的值域為，即故選：B二、多選題11．若函數(shù)（且）的圖像過第一、三、四象限，則必有（）．A． B． C． D．【答案】BC【解析】若，則的圖像必過第二象限，而函數(shù)（且）的圖像過第一、三、四象限，所以．當時，要使的圖像過第一、三、四象限，則，即．故選：BC12．已知，則（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】，則，，，又，，．故選：AC.13．已知函數(shù)，，則，滿足（）A． B．且C． D．【答案】AB【解析】對A,成立.故A正確.對B,因為中為增函數(shù),為減函數(shù),故為增函數(shù).故成立.因為,,故成立.故B正確.對C,,.故C錯誤.對D,.故D錯誤.故選：AB14．定義運算，設函數(shù)，則下列命題正確的有（）A．的值域為B．的值域為C．不等式成立的范圍是D．不等式成立的范圍是【答案】AC【解析】由函數(shù)，有,即，作出函數(shù)的圖像如下，根據(jù)函數(shù)圖像有的值域為，若不等式成立，由函數(shù)圖像有當即時成立，當即時也成立.所以不等式成立時，.故選：AC.三、填空題15．函數(shù)y=（a2–3a+3）?ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為___________．【答案】2【解析】由題意得：a2–3a+3=1，即（a–2）（a–1）=0，解得a=2或a=1（舍去），故答案為2．16．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________．【答案】【解析】∵a2＋a＋2＝，∴y＝(a2＋a＋2)x為R上的增函數(shù)．∴x>1－x，即.x的取值范圍是.17．若函數(shù)在［－1，2］上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a＝＿＿＿＿.【答案】【解析】當時，有，此時，此時為減函數(shù)，不合題意.若